2020屆慕華優(yōu)策高三第一次聯(lián)考數(shù)學(文)試題(解析版)

1、2xy第 1 1 頁共 2222 頁2020 屆慕華優(yōu)策高三第一次聯(lián)考數(shù)學（文）試題、單選題1 1 .若復數(shù) z z 滿足1 i z 1 i（i是虛數(shù)單位），則z（）A A. . 、2B B. 1 1C C. . 、. .3D D .【答案】B B【解析】將表達式變形，結(jié)合復數(shù)的除法運算及復數(shù)模的定義即可求解【詳解】 將表達式化簡可得z21ii,1i 1 i則z 1,故選：B.B.【點睛】本題考查了復數(shù)的除法運算，復數(shù)模的定義及求法，屬于基礎題22 2.已知全集U R，集合A xx 2x 30,B x1 x 3（ ）A A.x 1 x 1B B.x 1 x 3C C.x 1 x 3D D.【答

2、案】D D【解析】解不等式可得集合 A A，由集合交集運算即可求解 【詳解】集合A x 1 x 3，集合B x 1 x 3,則A B x1 x 3,故選：D.D.【點睛】本題考查集合的概念與交集運算，屬于基礎題3 3 實數(shù)x，y滿足x y 0，則下列不等式成立的是（）A A.In(x y) 0由復數(shù)除法運算化簡可得，貝U Al B2xy第 1 1 頁共 2222 頁11B B.2C C.x xy第3 3頁共 2222 頁【答案】D D【解析】由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可判斷 A A，根據(jù)不等式性質(zhì)可判斷 BCBC,利用分析法，證明 D D正確 【詳解】對于 A A,當0 x y 1時，不等式不成立，所以次

3、 A A 錯誤；C11對于 B B,由不等式性質(zhì)可知當xy0時一，所以 B B 錯誤；xy對于 C C, 由不等式性質(zhì)可知當xy0時x2xy，所以 C C 錯誤；對于 D D,因為x y 0，貝9xJy 0，x y 0，欲證.x2xy 2y，即x y，顯然 D D 成立. .故選：D.D.【點睛】 本題考查不等式性質(zhì)與證明及推理的簡單應用，屬于基礎題4 4 .下列命題正確的是（）A.若 命題p q為真命題”，則 命題p q為真命題B B .命題“x 0,x lnx 0”的否定為 “x00,x0Inxo0C C .存在實數(shù)x，使得sin2x cos2x 2【答案】D D輔助角公式，可得sin2x

4、 cos2x的最大值，進而可判斷；由直線與圓的位置關(guān)系，結(jié) 合點到直線距離公式即可判斷D.D.【詳解】對于 A A:命題p q為真命題”，則p,q至少有一個為真；而 命題Pq為真命題”，則p,q都為真，A錯；對于 B B:命題 “x 0,x In x 0的否定 “x00,x0ln x00”，B B 錯；D D .已知直線ax by 1與圓O : x2y21沒有公共點，貝Ua2b21【解析】根據(jù)復合命題真假關(guān)系可判斷A A ;含全稱量詞命題的否定，條件不改變；根據(jù)2第4 4頁共 2222 頁對于 C C：sin2x cos2x 2,C錯;2圓心O到直線ax by 1的距離d=r，因為直Ja2b2

5、【答案】A A即可求得 z z 的最小值. .【詳解】對于 D D :圓o : X2線與圓沒有公共點, 所以:ar1，化簡可得a2b21. .故選：D.D.【點本題考查常用邏輯用語的簡單應用，直線與圓的位置關(guān)系的應用, 屬于基礎題15 5 .已知實數(shù)x, y滿足x y令z 4x2y，則z z 的最小值為(A A . 16162xB B. 3232D D . 3636【解析】根據(jù)所給不等式組，畫出可行域;將目標函數(shù)變形為z 22xy，求得(2x y)min2第5 5頁共 2222 頁則mnin(2x y)min231設m 2x y，由圖可知當m32x y經(jīng)過A - ,1時m取得最小值,根據(jù)不2第

6、6 6頁共 2222 頁2 x y4所以Zmin2ymin216. .故選：A.A.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃的簡單應用，屬于基礎題6 6 .為考察某動物疫苗預防某種疾病的效果，現(xiàn)對200200 只動物進行調(diào)研，并得到如下數(shù)據(jù)：未發(fā)病發(fā)病合計未注射疫苗202060608080注射疫苗80804040120120合計100100100100200200n(ad b2(a b)(c d)(a c)(b d)2P(KP(K %)%)0.050.050.010.010.0050.0050.0010.001k03.8413.8416.6356.6357.8797.87910.82810.828則下列說法

7、正確的：()A A .至少有 99.9%99.9%的把握認為 發(fā)病與沒接種疫苗有關(guān)”B B 至多有 99%99%的把握認為發(fā)病與沒接種疫苗有關(guān)”C C 至多有 99.9%99.9%的把握認為 發(fā)病與沒接種疫苗有關(guān) ”D D .發(fā)病與沒接種疫苗有關(guān) ”的錯誤率至少有 0.01%0.01%【答案】A A【解析】根據(jù)所給表格及公式，即可計算K2的觀測值，對比臨界值表即可作出判斷【詳解】根據(jù)所給表格數(shù)據(jù)，結(jié)合K2計算公式可得其觀測值為2(附:K2第7 7頁共 2222 頁K2200(204060 80)10010.828,100 100 80 1203所以至少有 99.9%99.9%的把握認為發(fā)病與沒

8、接種疫苗有關(guān)第8 8頁共 2222 頁故選：A.A.【點睛】本題考查了獨立性檢驗思想的簡單應用，屬于基礎題7 7 .公差不為零的等差數(shù)列an的前 n n 項和為Sn,若a5是a2與a?的等比中項，且S 52,則恥= =()A A . 1 1B B. 2 2C C. 3 3D D. 4 4【答案】A A【解析】 根據(jù)等差數(shù)列通項公式及所給條件，可得關(guān)于ai和d的方程組，進而求得等差數(shù)列an的通項公式，即可求得ai2的值. .【詳解】設公差為d，依題意a124d4 d a 6d8a128d52解得印10,d1,所以a12a111d 1,故選：A.A.【點睛】本題考查數(shù)列的通項與求和公式的簡單應用，

9、屬于基礎題. .ur uuuiurur in8 8 .已知e,色分別為直角坐標系xOy的x,y軸正上方上單位向量，AC43q,uuuITurBD 6q 8e2，則平行四邊形ABCD的面積為( )【答案】A Aurnr ur uu uu ur uuAC4q3e2,BD6q8e2,A A. 2525B B. 5050C C. 7575D D . 100100【解析】 根據(jù)平面向量數(shù)量積定義可證明uuuACuuuBD，可知行四邊形ABCD對角線互相垂直，結(jié)合平面向量模的求法可得【詳uuruurAC,ITuuxOy的x,y軸正上方上單位向量,第9 9頁共 2222 頁uuur uuu則AC BDITu

10、u ur uu4e 3e26 8e21T2ur iuuu22414 e224e20,第1010頁共 2222 頁uuu ULW二二AC BD，UULT r-2uuu2則平行四邊形 ABCDABCD 對角線垂直，AC寸4235,BD J6 810, ,1所以面積為5 10 25. .2故選：A.A.【點睛】本題主要考查平面向量的運算與幾何意義，平面向量數(shù)量積的運算，屬于基礎題. .2 29 9.已知橢圓C:篤yI1,(a b 0)的左焦點為F,若點F關(guān)于直線x y 0的a b對稱點G在橢圓C上，則橢圓的離心率為()爲近243A A .B B.C C .一D D.3232【答案】B B【解析】 根

11、據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)及點關(guān)于直線的對稱點可得G點坐標，代入橢圓方程即可確定a與c的關(guān)系，進而得離心率 【詳解】2 2橢圓C:務與1(a b 0)的左焦點為 F F,a b則橢圓焦點F ( c,0),則b c，由a2b2c2可得a 2c，故選：B.B.【點睛】 本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)及簡單應用，點關(guān)于直線對稱點問題，屬于基礎題1010 .一豎立在水平面上的圓錐物體的母線長為2m2m，一只螞蟻從圓錐的底面圓周上的點P P 出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到P P 點，螞蟻爬行的最短路徑為2、3m,則圓錐的底點F關(guān)于直線x y0的對稱點G在橢圓C上，貝U G(0,c),因為G在橢圓上，代入可得b2第11

12、11頁共 2222 頁面圓半徑為（）243A A . 1m1mB B.mC C. mD D. m332【答案】B B【解析】將圓錐展開后的扇形畫出，結(jié)合母線及最短距離，即可確定圓心角大?。贿M而求得弧長，即為底面圓的周長，由周長公式即可求得底面圓的半徑【詳解】將圓錐側(cè)面展開得半徑為 2m2m 的一扇形，螞蟻從P爬行一周后回到P（記作R），作OM PPi,如下圖所示:0由最短路徑為2 .3m，即PP| |2、.3,OP 2，則圓錐底面圓的周長為I4_則底面圓的半徑為I V 2，r 亠 _，223故選：B.B.【點睛】 本題考查了了圓錐側(cè)面展開圖、扇形弧長公式的簡單應用，屬于基礎題 1111.阿基米

13、德（公元前 287287 年公元前 212212 年）是偉大的古希臘哲學家、 百科式科學家、數(shù)學家、物理學家、力學家，靜態(tài)力學和流體靜力學的奠基人，他研究了圓錐曲線許多性質(zhì)，曾利用逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸之積 若3離心率為一，則橢圓 C C 的面積為（）由圓的性質(zhì)可得POMPOM3，即扇形所對的圓心角為橢圓 C C 的兩個焦點為F1,F2, P P 為橢圓上一點，PF1F2的面積最大值為 1212，且橢圓第1212頁共 2222 頁5【答案】A AA A.20B B.80C C.40D D.100第1313頁共 2222 頁【解析】根據(jù)PF1F2的最大值、離心率

14、及橢圓中a, b,c關(guān)系，可列方程組求得a, b, c的值，結(jié)合題意即可確定橢圓C C 的面積. .【詳解】3設橢圓長半軸與短半軸分別為a, b，PFF2的面積最大值為 1212,橢圓離心率為 ，51 F1F2b be 12c3則，解得a 5，b 4，e 3，a 5222a b eS由題意可知ab，所以橢圓 C C 的面積為S ab 20故選：A.A.【點睛】本題考查了圓錐曲線性質(zhì)的簡單應用，借助古典文化考查理解能力，屬于基礎題1212 將函數(shù)y2si n2 - 1 (2 6位后得到奇函數(shù)yf (x)的圖象與直線A A B B.6120)的圖象向右平移(0-)個單y 1相鄰兩個交點的距離為，則

15、()5C C.D D.123【答案】C C第1414頁共 2222 頁定；由平移后函數(shù)的值 yf (x)為奇函數(shù)可得的表達性，進而由0即可求得2【詳解】由降幕公式化簡可得y2si n12 6cos x一sinx36向右平移個單位后yf (x)的圖象與直線y 1相鄰兩個交點的距離為,即周期為【解析】根據(jù)降幕公式化簡函數(shù)表達性,根據(jù)相鄰兩個交點的距離可確定周期，即可確第1515頁共 2222 頁【答案】-2所以所以平移后的解析式為y f(x) sin 2x 2因為向右平移后所得函數(shù)y f (x)為奇函數(shù)，則26k，則122，可得5_12，故選：C.C.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)化簡、三角函數(shù)圖象

16、平移變換與性質(zhì)的綜合應用，屬于中檔題、填空題,x1313 .函數(shù)F(x)log1x,x30，則F F(2020)0【答案】20202020【解析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，先求得F(2020【詳,x函數(shù)F(x)log-1x,x3則F (2020) log120203所以F(F(2020) F log120203log120201332020. .故答案為：2020.2020.【點本題考查了分段函數(shù)求值，對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及運算，屬于基礎題1414 .直線3x y 10的傾斜角為“ sinsincoscos，則 sinsin coscos第1616頁共 2222 頁【解析】根據(jù)直線方程可求得ta

17、n，結(jié)合齊次式的變形即可求解【詳解】直線3x y 1 0的傾斜角為，則tan 3，sin cos所以sin costan13 1 1tan13 1 21故答案為：丄.2【點睛】本題主要考查三角函數(shù)化簡與求值，齊次式形式的求值，屬于基礎題由正弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系式及正弦和角公式化簡可得 3si nA sin B si nC sin(B C)sin C cosB cosB cosC cosBcosC二tanC 3,因為0 C所以C. .3故答案為：一. .3【點睛】 本題主要考正弦定理在邊角轉(zhuǎn)化中的應用，三角函數(shù)變換與求值，屬于基礎題1616 .已知函數(shù)f(x) exax2,g(x) 2ax2

18、x，若在2,上曲線y f(x)與1515 在VABC中，角 A A, B B, C C 的對邊分別為tan B tan C,則角 C C 的值為_【答案】3【解析】將表達式借助正弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡,由正弦和角公式變形，即ccosBtan B tan C,第1717頁共 2222 頁y g(x)沒有交點，則實數(shù)a的取值范圍為_取值范圍【詳解】曲線y f (x)與y g(x)在2,上沒有交點,xe x2，x【點睛】本題考查了導數(shù)在證明函數(shù)單調(diào)性中的應用，由導函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，分離參數(shù)法的應用，屬于中檔題 三、解答題1717 共享單車是指由企業(yè)在校園、公交站點、商業(yè)區(qū)、公共服務

19、區(qū)等場所提供的自行車單車共享服務，由于其依托互聯(lián)網(wǎng)+ +”，符合低碳出行”的理念，已越來越多地引起了【答e22【解析】根據(jù)題意可知f(x) g(x)在2,上無實數(shù)根，分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)F(x)xe x2x，由導函數(shù)判斷F(x)的單調(diào)性，從而求得F(x)的最小值，即可確定a的f (x)g(x)在2,上無實數(shù)根,ax2x,axe x2x在2,上無實數(shù)根,F(x)x22xx2F (x)x4x 22eX x 2,4xF F (x)(x)0 0，即F(x)2時單調(diào)遞增,F(x)F(2)故答案為:e224第1818頁共 2222 頁人們的關(guān)注 某部門為了對該城市共享單車加強監(jiān)管，隨機選取了 5050 人就

20、該城市共享單車的推行情況進行問卷調(diào)査，并將問卷中的這5050 人根據(jù)其滿意度評分值（百分制）按照50,60）,60,70）, L ,90,100分成 5 5 組，請根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖所示）解決下列問題：頻率分布表組別分組頻數(shù)頻率第 1 1 組50,60)8 80.160.16第 2 2 組60,70)a第 3 3 組70,80)20200.400.40第 4 4 組80,90)0.080.08第 5 5 組90,1002 2b合計（2 2）若在滿意度評分值為80,100的人中隨機抽取 2 2 人進行座談，求所抽取的 2 2 人中 至少一人來自第 5

21、5 組的概率. .3【答案】（1 1）a 16,b0.04, x 0.032, y 0.004；（2 2）5【解析】（1 1）根據(jù)頻率分布表可得b.b.先求得80,90）內(nèi)的頻數(shù)，即可由總數(shù)減去其余部分求得a. .結(jié)合頻率分布直方圖，即可求得x,y的值. .第1919頁共 2222 頁（2 2）根據(jù)頻率分布表可知在80,90）內(nèi)有 4 4 人, ,在90,100有 2 2 人. .列舉出從這 6 6 人中選第2020頁共 2222 頁取 2 2 人的所有可能，由古典概型概率計算公式即可求解【詳解】80,90）內(nèi)的頻數(shù)為50 0.08 4, ,10 90,100內(nèi)的頻率為 0.040.04(2

22、2)由題意可知，第 4 4 組共有 4 4 人，第 5 5 組共有 2 2 人，設第 4 4 組的 4 4 人分別為a1、a2、a3、a4；第 5 5 組的 2 2 人分別為 d、d從中任取 2 2 人的所有基本事件為：2, ,a4,bl, ,a4至少一人來自第 5 5 組的基本事件有：印山, ,q,b2, ,a2,b1, ,azb?, ,a3,Q, ,asb?, ,a4,0, ,a4,p0,4共 9 9 個. .93所以 P P 3. .1553所抽取 2 2 人中至少一人來自第 5 5 組的概率為. .【點睛】本題考查了頻率分布表及頻率分布直方圖的應用，列舉法表示事件的可能，古典概型概率計

23、算方法，屬于基礎題. .1818在三棱柱ABCAB1G1G 中，側(cè)面ACGA為菱形，M,N分別為AC,RB的中點，ABC為等腰直角三角形，ABC 90, A A1ACAC 6060，且AC AB 4. .(1(1)由b 0.0450： a 50 8 20 42 16/ 60,70)內(nèi)的頻率為50a2,b2a3,a4第2121頁共 2222 頁(1)求證:BM平面ACC1A；(2(2)求三棱錐C BMN的體積 【答案】(1 1)證明見解析(2 2) 乂3【解析】(1 1)由ABC為等腰直角三角形，M為AC中點可得BM AC(2 2)根據(jù)三棱錐體積公式，且由V三棱椎 C BMNV三棱椎 N BMC

24、即可由線段關(guān)系求得體積【詳解】(1 1)ABC為等腰直角三角形，M為AC的中點，所以由等腰三角形三線合一可得BM AC又側(cè)面ACCA,為菱形，AAC3，所以AM AC,由AC AB 4，可得AM2,3,BM 2,AB 4,二由勾股定理逆定理可得BMA1M，且A1M I AC M,所以由線面垂直的判疋疋理可得BM平面ACC1A1；(2(2)由(1 1)知AM平面ABC，N為AB中點,N到底面ABC的距離為-A1M2所以V三棱椎 C BMNV三棱椎 N BMC【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，三棱錐體積公式的求法，屬于基礎題1919已知各項為正數(shù)的數(shù)列an，前n項和為Sn，且a-1, , &

25、 &(Sn 1, a-)22.3第2222頁共 2222 頁(J證明：數(shù)列.S?為等差數(shù)列，并求出數(shù)列an通項公式an(2(2)設 b bn1求數(shù)列bn的前n項和Tn. .anan 1【解析】(1 1)根據(jù)所給條件式，變形后由等差數(shù)列定義即可證明數(shù)列.s.sn為等差數(shù)列,由等差數(shù)列通項公式即可求得Sn，再根據(jù)anSn Sn 1即可求得數(shù)列a.通項公式;(2(2)表示出數(shù)列bn的通項公式，結(jié)合裂項求合法即可求得數(shù)列【詳解】(1(1)證明：各項為正數(shù)的數(shù)列an,SnC.S；&)21)2,所以S、，家1，n 2，所以ST 1 n 112即Snn，n 1符合,故an2n 1. .2n 1 2n 1【點

26、睛】法的應用，屬于基礎題【答案】(1 1)證明見解析;an2n1(2 2)Tnn2n 1bn的前n項和Tn. .即數(shù)列.S?.S?為等差數(shù)列是首項為1 1,公差為 1 1的等差數(shù)列. .所以anSnSn 1n2(n 1)22n1. .n1也符合該通項公式,(2)bn anan 1(2n 1)(2n1)2n 12n 1Tn1 12n2n 1 1n n2n2n 1 1 . .本題考查了等由前 n n 項和求等差數(shù)列通項公式的方法，裂項求和第2323頁共 2222 頁AF - 1. .2020 .已知拋物線x22py(P0)的焦點為F，拋物線上的點A到x軸的距離為第2424頁共 2222 頁（1 1

27、）求p的值;（2 2）已知點M 2,0，若直線AF交拋物線于另一個點B，且AM BM,求直線AF的方程 1【答案】（1 1）p 2（ 2 2）yx18【解析】（1 1）根據(jù)拋物線定義，結(jié)合題意即可求得P的值；x；X；（2 2）設出直線AF方程A冷丄，B X2,-2，聯(lián)立直線與拋物線方程，表示出44X1X2，X1X2. .由平面向量數(shù)量積的坐標運算及AM BM即可求得斜率k，進而求 得直線AF的方程 【詳解】由拋物線定義可得AF等于A到y(tǒng) 1的距離，所以y1為拋物線準線方程，衛(wèi)1，2解得p 2 x2x2（2 2）由（1 1）知F（0,1），可設AF方程為y kx 1，A x1，B x2,J，44

28、直線AF交拋物線于另一個點B，即直線與拋物線有兩個交點，因而k存在；y kx 1o所以2，化簡可得x 4kx 4 0 x 4y則x-ix24k，x1x24. .第2525頁共 2222 頁由于AM BM,4 2(4k) 4 10所以直線AF方程為y1x 18【點睛】本題考查了拋物線的定義及性質(zhì)簡單應用,直線與拋物線位置關(guān)系的應用，平面向量垂直時的坐標關(guān)系及運算，屬于基礎題22121 已知函數(shù)f(x) In x ax 2(a1)x(a R)(1) 求函數(shù) f(x)f(x)在點(1, 3)處的切線方程；(2) 討論函數(shù) f f (x)(x)的極值點個數(shù). .【答案】(1 1)y x 2(2 2)當

29、a, 0時，f(x)f(x)只有一個極大值點；當a 0時，f(x)f(x) 有一個極大值點和一個極小值點【解析】( (1 1)將點坐標代入函數(shù)解析式，求得參數(shù)a的值，代入導函數(shù)即可求得切線的斜率，進而求得切線方程 (2 2)求得導函數(shù)并化簡變形，進而討論a 0、a a 0 0、a 0三種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可確定極值情況 【詳解】(1 1)函數(shù) f(x)f(x)圖象過點(1, 3),代入可得f(1) a 2(a 1)3,解得 a a 1.1.代入函數(shù)可得f(x) ln x x24x,uuuu又AM2Xi,2Xiuuuu, ,BM 42X2,2X242 x12 x216代入x-ix24k,x

30、-|X24化簡可得第2626頁共 2222 頁則f (x)- 2x 4, ,x所以f1,由點斜式可得切線方程為y(x 1) 3 x 2. .所以函數(shù) f(x)f(x)在點(1, 3)處的切線方程為y x 2. .(2 2)函數(shù)f (x) ln x ax22(a 1)x(a R). .則f (x)12ax 2(a 1)2(a -)x 1，x 0，xx令g(x) 2ax22(a 1)x 1，x 0. .1令f x 0,解得x -,211當0 x -,f (x)0，所以函數(shù) f(x)f(x)在0 x內(nèi)單調(diào)遞增,2211當x時，f (x)0，所以函數(shù) f(x)f(x)在x時單調(diào)遞減，22因而 f f

31、(x)(x)只有一個極大值點x -2( (iiii )當 a a 0 0 時，令g(x) 0,1由兩根之積為0可知方程只有一個正根x0,2a當0 x滄時，f (x)0，所以函數(shù) f f (x)(x)單調(diào)遞增,當x x0時，f (x) 0，所以函數(shù) f f (x)(x)單調(diào)遞減,因而 f f (x)(x)只有一個極大值點x滄(iii)(iii)當a 0時，令g(x)0，有兩個正根0X1X2,x0,為X1X1,X2X2X2,當a 0時，代入可得f (x)1 2xx第2727頁共 2222 頁g(x)+ +0 0- -0 0+ +f(x)f(x)增極大值減極小值增第2828頁共 2222 頁綜上可知，當 a a 0 0 時，f(x)f(x)只有一個極大值點； 當a 0時，f f (x)(x)有一個極大值點和一個極小值點【點睛】差角公式展開，結(jié)合極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化公式，代入化簡即可【詳解】即方程x23x 2m在0,2上有兩個不同實根，即y x23x與y、2m在0,2上有兩個不同交點,2y x 3x的函數(shù)圖像如下圖所示:本題主要考查了導數(shù)的幾何意義及切線方程的求法,由導函數(shù)確定函數(shù)的極值情況，含參數(shù)的單調(diào)性及分類討論思想的綜合應用，屬于中檔題2222 已知在直角坐標系