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文檔簡介
1、極限計算方法總結(簡潔版)一、極限定義、運算法則和一些結果1定義:(各種類型的極限的嚴格定義參見高等數(shù)學函授教材,這里不一一敘述)。說明:(1)一些最簡單的數(shù)列或函數(shù)的極限(極限值可以觀察得到)都可以用上面的極限嚴格定義證明,例如:;等等 (2)在后面求極限時,(1)中提到的簡單極限作為已知結果直接運用,而不需再用極限嚴格定義證明。2極限運算法則定理1 已知 ,都存在,極限值分別為A,B,則下面極限都存在,且有 (1)(2)(3) 說明:極限號下面的極限過程是一致的;同時注意法則成立的條件,當條件不滿足時,不能用。3兩個重要極限(1) (2) ; 說明:不僅要能夠運用這兩個重要極限本身,還應能
2、夠熟練運用它們的變形形式, 作者簡介:靳一東,男,(1964),副教授。例如:,;等等。 4等價無窮小 定理2 無窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無窮?。礃O限是0)。定理3 當時,下列函數(shù)都是無窮?。礃O限是0),且相互等價,即有: 。說明:當上面每個函數(shù)中的自變量x換成時(),仍有上面的等價關系成立,例如:當時, ; 。 定理4 如果函數(shù)都是時的無窮小,且,則當存在時,也存在且等于,即=。5洛比達法則 定理5 假設當自變量x趨近于某一定值(或無窮大)時,函數(shù)和滿足:(1)和的極限都是0或都是無窮大; (2)和都可導,且的導數(shù)不為0; (3)存在(或是無窮大); 則極限也一定存在,且等于,即= 。
3、說明:定理5稱為洛比達法則,用該法則求極限時,應注意條件是否滿足,只要有一條不滿足,洛比達法則就不能應用。特別要注意條件(1)是否滿足,即驗證所求極限是否為“”型或“”型;條件(2)一般都滿足,而條件(3)則在求導完畢后可以知道是否滿足。另外,洛比達法則可以連續(xù)使用,但每次使用之前都需要注意條件。6連續(xù)性 定理6 一切連續(xù)函數(shù)在其定義去間內(nèi)的點處都連續(xù),即如果是函數(shù)的定義去間內(nèi)的一點,則有 。7極限存在準則 定理7(準則1) 單調(diào)有界數(shù)列必有極限。 定理8(準則2) 已知為三個數(shù)列,且滿足:(1) (2) , 則極限一定存在,且極限值也是a ,即。二、求極限方法舉例1 用初等方法變形后,再利用
4、極限運算法則求極限例1 解:原式= 。注:本題也可以用洛比達法則。例2 解:原式= 。例3 解:原式 。2 利用函數(shù)的連續(xù)性(定理6)求極限例4 解:因為是函數(shù)的一個連續(xù)點, 所以 原式= 。3 利用兩個重要極限求極限例5 解:原式= 。注:本題也可以用洛比達法則。例6 解:原式= 。例7 解:原式= 。4 利用定理2求極限例8 解:原式=0 (定理2的結果)。5 利用等價無窮小代換(定理4)求極限 例9 解:,原式= 。例10 解:原式= 。注:下面的解法是錯誤的: 原式= 。 正如下面例題解法錯誤一樣: 。例11 解:, 所以, 原式= 。(最后一步用到定理2)6 利用洛比達法則求極限說明
5、:當所求極限中的函數(shù)比較復雜時,也可能用到前面的重要極限、等價無窮小代換等方法。同時,洛比達法則還可以連續(xù)使用。例12 (例4)解:原式= 。(最后一步用到了重要極限)例13 解:原式= 。例14 解:原式= 。(連續(xù)用洛比達法則,最后用重要極限)例15 解:例18 解:錯誤解法:原式= 。 正確解法:應該注意,洛比達法則并不是總可以用,如下例。例19 解:易見:該極限是“”型,但用洛比達法則后得到:,此極限不存在,而原來極限卻是存在的。正確做法如下:原式= (分子、分母同時除以x)= (利用定理1和定理2)7 利用極限存在準則求極限例20 已知,求解:易證:數(shù)列單調(diào)遞增,且有界(0<<2),由準則1極限存在,設 。對已知的遞推公式 兩邊求極限,得: ,解得:或(不合題意,舍去)。所以 。例21 解: 易見:因為 ,所以由準則2得: 。上面對求極限的常用方法進行了比較全面的總結,由此可以看出,求極限方法靈活
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