電磁場點電荷電場線電勢MATLAB仿真中南大學

1、電磁場理論 實驗一利用Matlab模擬點電荷電場的分布1 實驗?zāi)康模? 熟悉單個點電荷及一對點電荷的電場分布情況；2 學會使用Matlab進行數(shù)值計算，并繪出相應(yīng)的圖形；2 實驗原理：根據(jù)庫倫定律：在真空中，兩個靜止點電荷之間的作用力與這兩個電荷的電量乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比，作用力的方向在兩個電荷的連線上，兩電荷同號為斥力，異號為吸力，它們之間的力F滿足： (式1)由電場強度E的定義可知： (式2)對于點電荷，根據(jù)場論基礎(chǔ)中的定義，有勢場E的勢函數(shù)為 (式3)而 (式4) 在Matlab中，由以上公式算出各點的電勢U，電場強度E后，可以用Matlab自帶的庫函數(shù)繪出相應(yīng)電荷的電

2、場分布情況. 三.實驗內(nèi)容：1. 單個點電荷點電荷的平面電力線和等勢線真空中點電荷的場強大小是E=kq /r2 ,其中k 為靜電力恒量, q 為電量, r 為點電荷到場點P(x,y)的距離.電場呈球?qū)ΨQ分布, 取電量q> 0, 電力線是以電荷為起點的射線簇.以無窮遠處為零勢點, 點電荷的電勢為U=kq /r,當U 取常數(shù)時, 此式就是等勢面方程.等勢面是以電荷為中心以r 為半徑的球面.l 平面電力線的畫法在平面上, 電力線是等角分布的射線簇, 用MATLAB 畫射線簇很簡單.取射線的半徑為( 都取國際制單位) r0=0.12, 不同的角度用向量表示( 單位為弧度) th=linspace

3、(0,2*pi,13).射線簇的終點的直角坐標為: x,y=pol2cart(th,r0).插入x 的起始坐標x=x; 0.1*x.同樣插入y 的起始坐標, y=y; 0.1*y, x 和y 都是二維數(shù)組, 每一列是一條射線的起始和終止坐標.用二維畫線命令plot(x,y)就畫出所有電力線.l 平面等勢線的畫法在過電荷的截面上, 等勢線就是以電荷為中心的圓簇, 用MATLAB 畫等勢線更加簡單.靜電力常量為k=9e9, 電量可取為q=1e- 9; 最大的等勢線的半徑應(yīng)該比射線的半徑小一點? r0=0.1.其電勢為u0=k8q /r0.如果從外到里取7 條等勢線, 最里面的等勢線的電勢是最外面的

4、3 倍, 那么各條線的電勢用向量表示為: u=linspace(1,3,7)*u0.從- r0 到r0 取偶數(shù)個點, 例如100 個點, 使最中心點的坐標繞過0, 各點的坐標可用向量表示: x=linspace(- r0,r0,100), 在直角坐標系中可形成網(wǎng)格坐標: X,Y=meshgrid(x).各點到原點的距離為: r=sqrt(X.2+Y.2), 在乘方時, 乘方號前面要加點, 表示對變量中的元素進行乘方計算.各點的電勢為U=k8q. /r, 在進行除法運算時, 除號前面也要加點, 同樣表示對變量中的元素進行除法運算.用等高線命令即可畫出等勢線contour(X,Y,U,u), 在畫

5、等勢線后一般會把電力線擦除, 在畫等勢線之前插入如下命令hold on 就行了.平面電力線和等勢線如圖1, 其中插入了標題等等.越靠近點電荷的中心, 電勢越高, 電場強度越大, 電力線和等勢線也越密.圖1l 點電荷的立體電力線和等勢面立體電力線的畫法先形成三維單位球面坐標, 繞z 軸一周有8 條電力線X,Y,Z=sphere(8),每維都是9×9 的網(wǎng)格矩陣, 將X 化為行向量, 就形成各條電力線的終點x 坐標x=r0=X(:), 其他兩個坐標也可同樣形成終點坐標y=r0+Y(:)' , z=r0+Z(:)' .對x坐標插入原點x=x(zeros(size(x), 其

6、他兩個坐標如下形成y=y(zeros(size(y), z=z(zeros(size(z), 用三維畫線命令plot3(x,y,z), 就畫出所有電力線.l 立體等勢面的畫法畫5 條等勢面時, 各面的電勢為u=linspace(1,3,5)+u0, 各等勢面的半徑為r=k6q. /u, 其中第一個球面的半徑為rr=r(1).三維單位球面的坐標可由X,Y,Z=sphere 命令形成, 每維都是21×21 的網(wǎng)格矩陣, 由于外球會包圍內(nèi)球, 因此把球面的四分之一設(shè)為非數(shù), 表示割去該部分Z(X<0&Y<0)=nan. 用曲面命令可畫出第一個曲面surf(rr6X,rr

7、6Y,rr6Z), 只要取不同的半徑就能畫出不同的等勢面.為了使等勢面好看, 可設(shè)置一個顏色濃淡連續(xù)變化的命令shading interp.點電荷的立體電力線和等勢面如圖2, 旋轉(zhuǎn)圖片可從不同的角度觀察.圖22 一對點電荷l 平面等勢線的畫法仍然用MATLAB 的等高線命令畫等勢線.對于正負兩個點電荷, 電量不妨分別取q1=2e- 9,q2=- 1e- 9, 正電荷在x 軸正方, 負電荷在x 軸負方, 它們到原點的距離定為a=0.02; 假設(shè)平面范圍為xx0=0.05,yy0=0.04, 兩個坐標向量分別x=linspace(- xx0,xx0,20)和y=linspace(- yy0,yy0

8、,50).設(shè)置平面網(wǎng)格坐標為X,Y=meshgrid(x), 各點到兩電荷的距離分別為r1=sqrt(X- a).2+Y.2)和r2=sqrt(X+a).2+Y.2).各點的電勢為U=k6q1. /r1+k6q2. /r2, 取最高電勢為u0=50, 最低電勢取其負值.在兩者之間取11 個電勢向量u=linspace (u0,- u0,11), 等高線命令contour(X,Y,U,u,'k- ' )用黑實線, 畫出等勢線如圖4所示, 其中, 左邊從里到外的第6 條包圍負電荷的等勢線為零勢線.l 平面電力線的畫法利用MATLAB 的箭頭命令, 可用各點的電場強度方向代替電力線.

9、根據(jù)梯度可求各點的場強的兩個分量Ex,Ey=gradient(- U),合場強為E=sqrt(Ex.2+Ey.2).為了使箭頭等長, 將場強Ex=Ex. /E,Ey=Ey. /E 歸一化, 用箭頭命令quiver(X,Y,Ex,Ey)可標出各網(wǎng)點的電場強度的方向,異號點電荷對的場點方向如圖3 所示.為了畫出連續(xù)的電力線, 先確定電力線的起點.電荷的半徑可取為r0=0.002, 如圖4 所示, 假設(shè)第一條電力線的起始角為30 度, 其弧度為q=30+pi /180, 起始點到第一個點電荷的坐標為x1=r0+cos(q),y=r0+sin(q), 到第二個點電荷的坐標只有橫坐標x2=2+a+x1

10、不同.用前面的方法可求出該點到兩個電荷之間的距離r1 和r2, 從而計算場強的兩個分量以及總場強Ex=q1+x1 /r13 +q2+x2 /r23, Ey=q1+y/r13+q2+y/r23, E=sqrt(Ex6Ex+Ey6Ey).下面只要用到場強分量與總場強的比值, 在計算場強分量時沒有乘以靜電力常量k.由于電力線的方向與場強的切線方向相同, 取線段為s=0.0001,由此可求出終點的坐標為x1=x1+s#Ex/E,y=y+s+Ey/E, 從而計算x2.以終點為新的起點就能計算其他終點.當終點出界時或者到達另一點電荷時, 這個終點可作為最后終點. 這種計算電力線的方法稱為切線法.圖3圖4圖

11、5部分M-file;1. 點電荷的平面電力線和等勢線%點電荷的平面電力線和等勢線%平面電力線的畫法q=1e-9;r0=0.12;th=linspace(0,2*pi,13);x,y=pol2cart(th,r0);x=x;0.1*x;y=y;0.1*y;plot(x,y);grid onhold onplot(0,0,'o','MarkerSize',12)xlabel('x','fontsize',16)ylabel('y','fontsize',16)title('單個點電荷的電場線與等

12、勢線','fontsize',20)%平面等勢線的畫法k=9e9;r0=0.1;u0=k*q/r0;u=linspace(1,3,7)*u0;x=linspace(-r0,r0,100);X,Y=meshgrid(x);r=sqrt(X.2+Y.2);U=k*q./r;hold on;contour(X,Y,U,u)2. 一對電荷平面等勢線和電場線圖%一對電荷平面等勢線和電場線圖clear all;clf;%平面等勢線的畫法q1=2e-9;q2=-1e-9;a=0.02;%到原點的距離xx0=0.05;yy0=0.04;k=9e9;x=linspace(-xx0,xx0

13、,20);y=linspace(-yy0,yy0,50);X,Y=meshgrid(x);r11=sqrt(xx0/1.7-a)2+(yy0/1.7)2); r22=sqrt(xx0/1.7+a)2+(yy0/1.7)2);r1=sqrt(X-a).2+Y.2); %各點到點電荷的距離r2=sqrt(X+a).2+Y.2);U=k*q1./r1+k*q2./r2; %各點的電勢u0=k*q1/r11+k*q2/r22;u=linspace(u0,-u0,11); %取21個等勢向量contour(X,Y,U,u,'k-');hold ongrid onplot(a,0,'

14、;o','MarkerSize',12);plot(-a,0,'o','MarkerSize',12);xlabel('x','fontsize',16);ylabel('y','fontsize',16);%平面電力線的畫法Ex,Ey=gradient(-U);E=sqrt(Ex.2+Ey.2);Ex=Ex./E;Ey=Ey./E;hold on;quiver(X,Y,Ex,Ey);title('一對不相等的電荷的等勢線圖和電場線圖','fontsi

15、ze',20)clear;3. 立體電力線的畫法%立體電力線的畫法q=1e-9;X,Y,Z=sphere(8);r0=0.18;r1=0.2;k=9e9;u0=k*q/r0;x=r1*X(:)'y=r1*Y(:)'z=r1*Z(:)'x=x;zeros(size(x);y=y;zeros(size(y);z=z;zeros(size(z);plot3(x,y,z)hold on;%立體等勢線之畫法u=linspace(1,3,5)*u0; %畫5 條等勢面時, 各面的電勢為u=linspace(1,3,5)+u0,r=k*q./u; %各等勢面的半徑為r=k6q

16、. /uX,Y,Z=sphere;Z(X<0&Y<0)=nan;surf(r(1)*X,r(1)*Y,r(1)*Z); %第一到第五個球面surf(r(2)*X,r(2)*Y,r(2)*Z);surf(r(3)*X,r(3)*Y,r(3)*Z);surf(r(4)*X,r(4)*Y,r(4)*Z);surf(r(5)*X,r(5)*Y,r(5)*Z);shading interp %個顏色濃淡連續(xù)變化的命令shading interp.xlabel('x','fontsize',16);ylabel('y','font

17、size',16);zlabel('z','fontsize',16);title('正電荷電場線等勢面的三維圖形','fontsize',20);clear;4.clear all;clf;q1=1;q2=1;a=0.02;xx0=0.05;yy0=0.04;k=9e9;x=linspace(-xx0,xx0,20);y=linspace(-yy0,yy0,50);X,Y=meshgrid(x);r11=sqrt(xx0/1.7-a)2+(yy0/1.7)2);r22=sqrt(xx0/1.7+a)2+(yy0/1.7)

18、2);r1=sqrt(X-a).2+Y.2);r2=sqrt(X+a).2+Y.2);U=k*q1./r1+k*q2./r2;u0=k*q1/r11+k*q2/r22;u=linspace(u0,-u0,11);contour(X,Y,U,u,'k-');hold onEx,Ey=gradient(-U);E=sqrt(Ex.2+Ey.2);Ex=Ex./E;Ey=Ey./E;dth1=20;th1=(dth1:dth1:180-dth1)*pi/180;r0=a/5;x1=r0*cos(th1)+a;y1=r0*sin(th1);streamline(X,Y,Ex,Ey,x1

19、,y1);streamline(-X,-Y,-Ex,-Ey,x1,-y1);q=abs(q1/q2);dth2=dth1/q;th2=(180-dth2:-dth2:dth2)*pi/180;x2=r0*cos(th2)-a;y2=r0*sin(th2);streamline(X,Y,Ex,Ey,x2,y2);streamline(X,-Y,Ex,-Ey,x2,-y2);grid onplot(a,0,'o','MarkerSize',12);plot(-a,0,'o','MarkerSize',12);xlabel('x

20、','fontsize',16);ylabel('y','fontsize',16);title('一對點電荷的電場分布圖');clear;clear all;clf;q1=1;q2=1;a=0.02;xx0=0.05;yy0=0.04;k=9e9;x=linspace(-xx0,xx0,20);y=linspace(-yy0,yy0,50);X,Y=meshgrid(x);r11=sqrt(xx0/1.7-a)2+(yy0/1.7)2);r22=sqrt(xx0/1.7+a)2+(yy0/1.7)2);r1=sqrt(X-a).2+Y.2);r2=sqrt(X+a).2+Y.2);U=k*q1./r1+k*q2./r2;u0=k*q1/r11+k*q2/r22;u=linspace(u0,-u0,11);contour(X,Y,U,u,'k-');hold onEx,Ey=gradient(-U);E=sqrt(Ex.2+Ey.2);Ex=Ex./E;Ey=E