數(shù)學(xué)分析公式定理

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第12章 富里埃級(jí)數(shù)1 富里埃級(jí)數(shù)一 富里埃（Fourier）級(jí)數(shù)的引進(jìn)1 定義：設(shè)是上以為周期的函數(shù)，且在上絕對(duì)可積，稱形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為的 Fourier級(jí)數(shù)(的 Fourier展開式)，其中， 稱為的 Fourier系數(shù)，記為2 說明 1）在未討論收斂性，證明一致收斂到之前，不能將“”改為“=”；此處“”也不包含“等價(jià)”之意，而僅僅表示是的 Fourier級(jí)數(shù)，或者說的 Fourier級(jí)數(shù)是。2) 要求上的 Fourier級(jí)數(shù)，只須求出Fourier系數(shù)。二 富里埃級(jí)數(shù)收斂性的判別1. Riemann（黎曼）引理 設(shè)在（有界或無界）區(qū)間上絕對(duì)可積，則， . 推論

2、 在上絕對(duì)可積函數(shù)的Fourier系數(shù)；2. Fourier級(jí)數(shù)收斂的充要條件定理1 和, 使得當(dāng)時(shí)成立其中.3. Fourier級(jí)數(shù)收斂的Dini判別法推論: 設(shè)在上除去有限點(diǎn)外存在有界導(dǎo)數(shù),則的Fourier級(jí)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)收斂,且特別地, 是的連續(xù)點(diǎn)時(shí), ,即例: 設(shè)是以為周期的函數(shù)，其在上可表示為,判定的Fourier級(jí)數(shù)的收斂性.例：設(shè)是以為周期的函數(shù),其在上等于,判定的 Fourier級(jí)數(shù)的收斂性例： 4. Jordan判別法設(shè)在上單調(diào)(或有界變差)，則。例：設(shè)是以為周期的函數(shù)，其在上可表示為 ,求的 Fourier展開式。 計(jì)算的 Fourier系數(shù)的積分也可以沿別的長度為的區(qū)間來積.如

3、， 例： 設(shè)是以為周期的函數(shù),其在上等于,求的 Fourier級(jí)數(shù). 如果僅定義在長為的區(qū)間上,例如定義在上, 此時(shí)不是周期函數(shù), 從而不能按上述方法展開為Fourier級(jí)數(shù).但可對(duì)在外補(bǔ)充定義,使其以為周期, 如定義, 它有下述性質(zhì): a) 時(shí),； b) 以為周期. 例 : 三 正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)1 定義 形如的三角級(jí)數(shù)(函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))稱為正弦級(jí)數(shù);形如的三角級(jí)數(shù)（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）稱為余弦級(jí)數(shù).2 如果是以為周期的函數(shù),在上絕對(duì)可積, 若是奇函數(shù),則有；若是偶函數(shù),則有.3設(shè)僅在上有定義, 如果按奇函數(shù)的要求,補(bǔ)充定義,然后再作周期延拓,必得奇函數(shù), 所得Fourier級(jí)數(shù)必為正弦級(jí)數(shù). 對(duì)應(yīng)地,

4、 補(bǔ)充定義后,再作周期延拓,必得偶函數(shù), 所得Fourier級(jí)數(shù)必為余弦級(jí)數(shù)。例: ),將展開成余弦函數(shù)。例：將在上展開為余弦級(jí)數(shù)。四 一般周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù) 設(shè)是周期為的函數(shù),且在上絕對(duì)可積, 則有,其中， 例: 求的Fourier展開式.五 Fourier級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)表示形式 設(shè), 則其復(fù)數(shù)表示形式為, 其中, 復(fù)的Fourier系數(shù).2 富里埃變換一 富里埃變換的概念設(shè)在內(nèi)絕對(duì)可積。定義1 稱是的富里埃變換，并把它記為或。即。富里埃變換的性質(zhì) （i）是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)；（ii）。定義2 稱是的富里埃逆變換。又稱是的富里埃變換積分公式。例： 求衰減函數(shù)的富里埃變換。例： 求函數(shù)的富里埃

5、變換和富里埃變換積分公式。二 富里埃變換的一些性質(zhì)富里埃變換有一些簡(jiǎn)單的性質(zhì)，這些性質(zhì)在偏微分方程和概率論等課程中有著很重要的應(yīng)用。性質(zhì)1（線性），其中是兩個(gè)任意給定的常數(shù)。性質(zhì)2（平移）對(duì)任何，設(shè)，那么。性質(zhì)3（導(dǎo)數(shù)）設(shè)，則。性質(zhì)4 。第13章 多元函數(shù)的極限和連續(xù)性1、平面點(diǎn)集一 鄰域、點(diǎn)列的極限定義1 在平面上固定一點(diǎn)，凡是與的距離小于的那些點(diǎn)組成的平面點(diǎn)集，叫做的鄰域，記為。定義2 設(shè)，。如果對(duì)的任何一個(gè)鄰域，總存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有。就稱點(diǎn)列收斂，并且收斂于，記為或。性質(zhì)：（1）。（2）若收斂，則它只有一個(gè)極限，即極限是唯一的。二 開集、閉集、區(qū)域 設(shè)是一個(gè)平面點(diǎn)集。1 內(nèi)點(diǎn)：設(shè)，如果

6、存在的一個(gè)鄰域，使得，就稱是的內(nèi)點(diǎn)。2 外點(diǎn)：設(shè)，若存在的一個(gè)鄰域，使，就稱是的外點(diǎn)。3 邊界點(diǎn)：設(shè)是平面上一點(diǎn)，它可以屬于，也可以不屬于，如果對(duì)的任何鄰域， 其中既有的點(diǎn)，又有非中的點(diǎn)，就稱是的邊界點(diǎn)。的邊界點(diǎn)全體叫做的邊界。4 開集：如果的點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)，就稱是開集。5 聚點(diǎn)：設(shè)是平面上的一點(diǎn)，它可以屬于，也可以不屬于，如果對(duì)的任何鄰域， 至少含有中一個(gè)（不等于的）點(diǎn)，就稱是的聚點(diǎn)。性質(zhì)：設(shè)是的聚點(diǎn)，則在中存在一個(gè)點(diǎn)列以為極限。6 閉集：設(shè)的所有聚點(diǎn)都在內(nèi)，就稱是閉集。7 區(qū)域：設(shè)是一個(gè)開集，并且中任何兩點(diǎn)和之間都可以用有限條直線段所組成的折線連接起 來，而這條折線全部含在中，就稱是區(qū)域。一

7、個(gè)區(qū)域加上它的邊界就是一個(gè)閉區(qū)域。三 平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本定理1矩形套定理：設(shè)是矩形序列，其中每一個(gè)矩形都含在前一個(gè)矩形中，并且，那么存在唯一的點(diǎn)屬于所有的矩形。2.致密性定理：如果序列有界，那么從其中必能選取收斂的子列。3.有限覆蓋定理：若一開矩形集合覆蓋一有界閉區(qū)域。那么從 里，必可選出有限個(gè)開矩形，他們也能覆蓋這個(gè)區(qū)域。4收斂原理：平面點(diǎn)列有極限的充分必要條件是：對(duì)任何給定的，總存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有。2 多元函數(shù)的極限和連續(xù)一 多元函數(shù)的概念不論在數(shù)學(xué)的理論問題中還是在實(shí)際問題中，許多量的變化，不只由一個(gè)因素決定，而是由多個(gè)因素決定。例如平行四邊行的面積由它的相鄰兩邊的長和寬以及夾角所確定

8、,即;圓柱體體積由底半徑和高所決定,即。這些都是多元函數(shù)的例子。一般地，有下面定義：定義1 設(shè)是的一個(gè)子集，是實(shí)數(shù)集，是一個(gè)規(guī)律，如果對(duì)中的每一點(diǎn)，通過規(guī)律，在中有唯一的一個(gè)與此對(duì)應(yīng)，則稱是定義在上的一個(gè)二元函數(shù)，它在點(diǎn)的函數(shù)值是，并記此值為，即。有時(shí)，二元函數(shù)可以用空間的一塊曲面表示出來，這為研究問題提供了直觀想象。例如，二元函數(shù)就是一個(gè)上半球面，球心在原點(diǎn)，半徑為，此函數(shù)定義域?yàn)闈M足關(guān)系式的，全體，即。又如，是馬鞍面。二 多元函數(shù)的極限 定義2 設(shè)是的一個(gè)開集，是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)在點(diǎn)附近有定義如果，當(dāng)時(shí)，有，就稱是二元函數(shù)在點(diǎn)的極限。記為或。定義的等價(jià)敘述1 設(shè)是的一個(gè)開集，是一個(gè)常數(shù)，

9、二元函數(shù)在點(diǎn) 附近有定義如果，當(dāng)時(shí)，有，就稱是二元函數(shù)在點(diǎn)的極限。記為或。定義的等價(jià)敘述2 設(shè)是的一個(gè)開集，是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)在點(diǎn) 附近有定義如果，當(dāng)且時(shí)，有，就稱是二元函數(shù)在點(diǎn)的極限。記為或。注：（1）和一元函數(shù)的情形一樣，如果，則當(dāng)以任何點(diǎn)列及任何方式趨于時(shí)，的極限是；反之，以任何方式及任何點(diǎn)列趨于時(shí)，的極限是。但若在某一點(diǎn)列或沿某一曲線時(shí)，的極限為，還不能肯定在的極限是。所以說，這里的“或”要比一元函數(shù)的情形復(fù)雜得多，下面舉例說明。例：設(shè)二元函數(shù)，討論在點(diǎn)的的二重極限。例：設(shè)二元函數(shù)，討論在點(diǎn)的二重極限是否存在。例：，討論該函數(shù)的二重極限是否存在。二元函數(shù)的極限較一元函數(shù)的極限而言，要

10、復(fù)雜得多，特別是自變量的變化趨勢(shì)，較之一元函數(shù)要復(fù)雜。例：。例：例：求在（，）點(diǎn)的極限，若用極坐標(biāo)替換則為 （注意：在時(shí)為，此時(shí)無界）。例：（極坐標(biāo)法再舉例）：設(shè)二元函數(shù)，討論在點(diǎn)的二重極限證明二元極限不存在的方法基本思想：根據(jù)重極限定義，若重極限存在，則它沿任何路徑的極限都應(yīng)存在且相等，故若）某個(gè)特殊路徑的極限不存在；）或某兩個(gè)特殊路徑的極限不等；）或用極坐標(biāo)法說明極限與輻角有關(guān)例：在的二重極限不存在三 二元函數(shù)的連續(xù)性定義3 設(shè)在點(diǎn)有定義，如果，則稱在點(diǎn)連續(xù)“語言”描述：，有。如果在開集內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù)，或稱是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。例：求函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)。四 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界

11、性定理 若再有界閉區(qū)域上連續(xù)，則它在上有界。一致連續(xù)性定理 若再有界閉區(qū)域上連續(xù)，則它在上一致連續(xù)。最大值最小值定理 若再有界閉區(qū)域上連續(xù)，則它在上必有最大值和最小值。零點(diǎn)存在定理 設(shè)是中的一個(gè)區(qū)域，和是內(nèi)任意兩點(diǎn)，是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，如果，則在內(nèi)任何一條連結(jié)的折線上，至少存在一點(diǎn)，使。五 二重極限和二次極限在極限中，兩個(gè)自變量同時(shí)以任何方式趨于，這種極限也叫做重極限（二重極限）此外，我們還要討論當(dāng)先后相繼地趨于與時(shí)的極限這種極限稱為累次極限（二次極限），其定義如下：若對(duì)任一固定的，當(dāng)時(shí)，的極限存在：,而在時(shí)的極限也存在并等于，亦即，那么稱為先對(duì)，再對(duì)的二次極限，記為 同樣可定義先后的二次極限：上

12、述兩類極限統(tǒng)稱為累次極限。注意：二次極限（累次極限）與二重極限（重極限）沒有什么必然的聯(lián)系。例：（二重極限存在，但兩個(gè)二次極限不存在）設(shè)由得（兩邊夾）;不存在知的累次極限不存在。例：（兩個(gè)二次極限存在且相等，但二重極限不存在）。設(shè)，由知兩個(gè)二次極限存在且相等。但由前面知 不存在。例：（兩個(gè)二次極限存在，但不相等）。設(shè)，則，; （不可交換）上面諸例說明：二次極限存在與否和二重極限存在與否，二者之間沒有一定的關(guān)系。但在某些條件下，它們之間會(huì)有一些聯(lián)系。定理1設(shè)（1）二重極限；（2），。則。（定理1說明：在重極限與一個(gè)累次極限都存在時(shí)，它們必相等。但并不意味著另一累次極限存在）。推論1 設(shè)（1） ；

13、（2），存在；（3）， 存在；則，都存在，并且等于二重極限。推論2 若累次極限與存在但不相等，則重極限必不存在（可用于否定重極限的存在性）。例：求函數(shù)在的二次極限和二重極限。第14章 多元函數(shù)微分學(xué)1 偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念一 偏導(dǎo)數(shù)的定義1 偏導(dǎo)數(shù)定義定義1 設(shè)是一個(gè)二元函數(shù)，定義在內(nèi)某一個(gè)開集內(nèi)，點(diǎn)（，） D， 在中固定,那么是一個(gè)變?cè)暮瘮?shù)，如果在點(diǎn)可導(dǎo)，即如果 (1)存在，則稱此極限值為二元函數(shù)在點(diǎn)（,）關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)。記為，。 類似地可定義。2 偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算例: 設(shè)，求偏導(dǎo)數(shù)，。例：，求和。 例：U=+yz 求，。 3. 偏導(dǎo)數(shù)和連續(xù) 若在點(diǎn)關(guān)于（或）可導(dǎo)，則在關(guān)于（或）連續(xù)。但不能推出

14、關(guān)于兩個(gè)變量是連續(xù)的。見下面的例子。例： ； 。4. 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線在的切向量。就是曲線在的切向量。二 全微分的定義 二元函數(shù)微分的定義 定義2 若函數(shù)的全改變量可表示為 =(+,+)=+()且其中與，無關(guān)而僅與有關(guān)，則稱函數(shù)在點(diǎn)可微，并稱為在點(diǎn)的全微分，記為，即 。性質(zhì)1 如果在點(diǎn)（, ）可微，則，。注：若在點(diǎn)可微，則。性質(zhì)2 若在點(diǎn)（，）可微，則f在點(diǎn)（，）連續(xù)。例：設(shè) 證明在點(diǎn)不可微。定理1 設(shè)函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)（，）存在而且都連續(xù)，則在點(diǎn)（，）可微。例：設(shè)，求。三 高階偏導(dǎo)數(shù)與高階全微分 類似于一元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，可以定義高階偏導(dǎo)數(shù)。例：設(shè) ，求，；，；，。注：一般情況下

15、，未必有。例： 設(shè) ，可求得，。定理2 設(shè)二元函數(shù)的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)，在(，)連續(xù)，則有(,)=(,)。2 求復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理1（鏈?zhǔn)椒▌t）設(shè)，此時(shí)在點(diǎn)可微，又和都在點(diǎn) 關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)存在，則 說明：(1) 幾種特殊情形：定理1顯然講的是2個(gè)中間變量，2個(gè)自變量的情形，但其思想方法完全適用與其它情形：1） 則。2）設(shè)則例：又設(shè)。求 （2） 計(jì)算復(fù)合函數(shù)的兩階及兩階以上偏導(dǎo)數(shù)，只要重復(fù)運(yùn)用鏈?zhǔn)椒▌t即可。(3)有時(shí)記 。例：。例：（4）鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t中的條件是充分的，并非必要的。在使用鏈?zhǔn)椒▌t時(shí)，要注意的可微性條件，如果不滿足這一條件，鏈?zhǔn)椒▌t不一定成立。二 一階

16、微分形式不變性 一階微分有個(gè)很重要性質(zhì)形式不變性。在二元函數(shù)中也有類似的性質(zhì)。設(shè)是二元可微函數(shù)，如果是自變量，則： （各自獨(dú)立變量）（1） 如果不是自變量而是中間變量， 又設(shè)都可微，并且可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，那么： （2）由（1），（2）的可知一階微分形式的不變性。注意（1）兩階微分沒有這一性質(zhì)，如下例。例：設(shè) 則如果二階微分只有形式不變性，則有：但 （2）利用一階微分形式不變性求偏導(dǎo)數(shù)例：設(shè)利用微分形式不變性求 并求出 （3）高階微分不具有形式不變性。3 由方程（組）所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法 在此之前，我們所接觸的函數(shù)，其表達(dá)式大多是自變量的某個(gè)算式，如這種形式的函數(shù)稱為顯函數(shù)。但在不少場(chǎng)合常會(huì)遇到

17、另一種形式的函數(shù)，其自變量與因變量之間的對(duì)應(yīng)法則是由一個(gè)方程式所決定的。這種形式的函數(shù)稱為隱函數(shù)。本節(jié)將介紹由一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)求導(dǎo)法以及由方程組所確定的隱函數(shù)求導(dǎo)法。一 一個(gè)方程的情形對(duì)說明：（1） 求需要假定，這一假設(shè)是很重要的；（2） 這里只用到了“鏈?zhǔn)椒▌t”；（3） 對(duì)求導(dǎo)，只在假定的函數(shù)的情況下，求導(dǎo)數(shù)，如何確定。例： 設(shè)。 例： 設(shè)二階可微，求。二 方程組的情形設(shè)由方程組 確定了：并且它們具有對(duì)各個(gè)變?cè)倪B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，如何求偏導(dǎo)數(shù)？解決方案： 求完全相同。例：設(shè)。例：設(shè)。例：設(shè)，變換方程。4 空間曲線的切線與法平面本節(jié)主要討論由參數(shù)方程表示的空間曲線和由方程組表示的空間曲線的切線

18、和法平面的計(jì)算問題。參數(shù)方程的情形 設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為 其中的參數(shù)。又設(shè)都在連續(xù)，并且對(duì)每一不全為0，這樣的曲線稱為光滑曲線。通過曲線上任一點(diǎn)的切線定義為割線的極限位置，由此就可寫出曲線在任一點(diǎn)的切線方程為： 。法平面：過點(diǎn)可以作無窮多條切線與切線垂直，所有這些直線都在同一平面上，稱這個(gè)平面為曲線在點(diǎn)處的法平面，其方程為： 。例：求螺旋線：，（其中為常數(shù)）在點(diǎn)（，0，0）的切線方程和法平面方程。如果曲線方程由下式表示：， 。則過點(diǎn)的切線方程為 ，過點(diǎn)的法平面方程為 。空間曲線是用兩個(gè)曲面的交線表示： 。 又設(shè)，關(guān)于有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)， ； 例：求兩柱面的交線在點(diǎn)的切線方程和法平面方程。5 曲面

19、的切平面與法線1、設(shè)光滑曲面的方程，為曲面上一點(diǎn)，過點(diǎn)的切平面方程為：。過點(diǎn)并與切線平面垂直的直線，稱為曲線在點(diǎn)的法線，方程為：。2、若曲面方程為，則曲面過的切平面方稱為 法線方程：。3、曲面方程由方程組給出： ，給出，其中是參數(shù)。則曲面過的切平面方稱為。法線方程為：例：求曲面在點(diǎn)（2，1，4）的法向量的方向余弦，并求其法線方程和切平面方程。例：證明對(duì)任何常數(shù)，球面和錐面正交。6 方向?qū)?shù)和梯度一 方向?qū)?shù) 在許多實(shí)際問題中，常常需要知道函數(shù)在一點(diǎn)沿任何方向或某個(gè)方向的變化率。定義1 設(shè)是中的一個(gè)區(qū)域，是D內(nèi)一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)方向向量，令，如果存在，則稱此極限是在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)，記為。它表示

20、在點(diǎn)沿方向的變化率。定理1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)沿任何方向的方向?qū)?shù)存在，并且有其中是方向的方向余弦。例：設(shè)，求在點(diǎn)（1，0，2）沿方向（2，1，-1）的方向?qū)?shù)。設(shè)是中的一個(gè)區(qū)域，是內(nèi)的一個(gè)二元可微函數(shù)，那么在內(nèi)每一點(diǎn)，沿單位向量的方向?qū)?shù)是 ，其中是軸正向（即軸上單位向量）和向量之間的夾角。二 梯度 1、引言在一個(gè)數(shù)量場(chǎng)中，在給定點(diǎn)沿不同的方向，其方向?qū)?shù)一般是不相同的，現(xiàn)在我們所關(guān)心的是：沿哪一個(gè)方向其方向?qū)?shù)最大？其最大值是多少？為此引進(jìn)一個(gè)很重要的概念梯度。2、梯度的定義定義2 設(shè)定義于某個(gè)三維區(qū)域內(nèi)，又設(shè)函數(shù)具有關(guān)于各個(gè)多元的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，稱向量 是在點(diǎn)的梯度，記為，即。它的長度為

21、。 注：它是一個(gè)向量，是由數(shù)量場(chǎng)產(chǎn)生的向量。3、的性質(zhì)： 設(shè)可微，則（1）；（是常數(shù)）。（2）； （3） （）（4） （在可微）例：設(shè)在空間原點(diǎn)處有一個(gè)點(diǎn)電荷，在真空中產(chǎn)生一個(gè)靜電場(chǎng)，在空間任一點(diǎn)處的電位是： ， 則 。4、的意義：的方向表示數(shù)量場(chǎng)沿此方向的方向?qū)?shù)達(dá)到最大；的根長就是這個(gè)最大的方向?qū)?shù)。例：求數(shù)量函數(shù)在的梯度及其大小。7 泰勒公式定理1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)內(nèi)對(duì)及具有直到階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。對(duì)D內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)，則 ，這里。二元函數(shù)的中值公式，其中。例：寫出在點(diǎn)附近函數(shù)的泰勒公式。例：按及的乘冪展開函數(shù)到三項(xiàng)為止。第十五章 極值和條件極值1. 極值和最小二乘法一 極值 定義1設(shè)在的鄰域內(nèi)成立不

22、等式 ， 則稱函數(shù)在點(diǎn)取到極大值，點(diǎn)稱為函數(shù)的極大點(diǎn)，若在的鄰域內(nèi)成立不等式，則稱函數(shù)在點(diǎn)取到極小值，點(diǎn)稱為函數(shù)的極小點(diǎn)。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大點(diǎn)和極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。定義2 設(shè)是內(nèi)的一個(gè)區(qū)域，是的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，如果，則稱是的一個(gè)駐點(diǎn)。 根據(jù)費(fèi)瑪定理，可知定理1 二元函數(shù)的極值點(diǎn)必為的點(diǎn)或至少有一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。注：定理1的條件是必要條件，而不是充分條件。例：在點(diǎn)。 例：在點(diǎn)。怎樣進(jìn)一步判斷是否有極值？定理2 設(shè)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有各個(gè)二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且點(diǎn)是的一個(gè)駐點(diǎn)，則：（1）若，則在點(diǎn)有極小值；（2）若，則在點(diǎn)有極大值；（3）若，則在點(diǎn)沒有極值；（4）若，則須進(jìn)一步判斷。例：求 的

23、極值。 例：求的極值。多元函數(shù)的最大（?。┲祮栴} 設(shè)函數(shù)在某一有界閉區(qū)域中連續(xù)且可導(dǎo)，必在上達(dá)到最大（?。┲怠Ｈ暨@樣的點(diǎn)位于區(qū)域內(nèi)部，則在這點(diǎn)顯然函數(shù)有極大（小）值。因此，在這種情形函數(shù)取到最大（?。┲档狞c(diǎn)必是極值點(diǎn)之一。然而函數(shù)的最大（小）值最可能在區(qū)域的邊界上達(dá)到。因此，為找出函數(shù)在區(qū)域上的最大（?。┲?，必須找出一切有極值的內(nèi)點(diǎn)，算出這些點(diǎn)的函數(shù)值，再與區(qū)域邊界上的函數(shù)值相比較，這些數(shù)值中最大數(shù)（或最小數(shù)）就是函數(shù)在閉區(qū)域上的最大（小）值。通?？筛鶕?jù)問題的實(shí)際意義來判斷。例：有一塊寬24cm的矩形薄鐵皮，把兩邊折起來，做成一個(gè)梯形水槽，問和各自為何值時(shí)，水槽的流量是最大？例：試在軸，軸與直

24、線圍成的三角形區(qū)域上求函數(shù)的最大值。二 . 最小二乘法 例：已知，服從線性關(guān)系：?jiǎn)枺喝绾胃鶕?jù)這組數(shù)據(jù)來合理地確定系數(shù)和？解：總偏差為 ，確定系數(shù)，使總偏差最小。這種確定系數(shù)的方法叫做最小二乘法。令， 即可解得。幾個(gè)疑問：1）如果怎么辦？2）這樣求出的 就是達(dá)到極小值的點(diǎn)？3）在選取 時(shí)，為什么不取各個(gè)偏差的代數(shù)和作為總偏差？例：已知，現(xiàn)測(cè)得一組數(shù)據(jù)，利用最小二乘法，求系數(shù)所滿足的三元一次方程組。2 條件極值一 何謂條件極值在討論極值問題時(shí)，往往會(huì)遇到這樣一種情形，就是函數(shù)的自變量要受到某些條件的限制。決定一給定點(diǎn)到一曲面的最短距離問題，就是這種情形。我們知道點(diǎn)到點(diǎn)的距離為?，F(xiàn)在的問題是要求出曲

25、面上的點(diǎn)使F為最小。即，問題歸化為求函數(shù)在條件下的最小值問題。又如在總和為C的幾個(gè)正數(shù)的數(shù)組中，求一數(shù)組，使函數(shù)值為最小，這是在條件 的限制下，求函數(shù)的極小值問題。這類問題叫做條件極值問題。二 條件極值的必要條件為了方便起見，同時(shí)又不不失一般性，我們僅討論以下情形。前提：設(shè)函數(shù)具有對(duì)各個(gè)變?cè)倪B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而這些變?cè)g又受到以下條件的限制：其中和都具有對(duì)各個(gè)變?cè)倪B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且它們的行列式。目標(biāo)：我們要求函數(shù)在限制條件下的極值的必要條件。定理1（限制極值的必要條件）在限制條件下于點(diǎn)取得極值，那么必存在常數(shù)，使得在該點(diǎn)有：稱，是乘數(shù)（待定乘數(shù)）。這一結(jié)果可推廣到元函數(shù)。三 條件極值的求法 在具

26、體解題時(shí)，例如在限制條件下求的極值，可如下進(jìn)行：1 引入函數(shù)（函數(shù)）：。2 求的極值（視為獨(dú)立變量）：由，。 解得可能的極值點(diǎn)。3. 求的二階全微分。若，則取得極小值；若，則取得極大值。例：求空間內(nèi)一點(diǎn)到平面的距離。例：要制造一容積為16的無蓋長方形水箱，問水箱長、寬、高為多少時(shí)，所用材料最?。康谑?隱函數(shù)存在定理、函數(shù)相關(guān)1 隱函數(shù)存在定理一 一個(gè)方程的情形在前面，我們是在假定從方程中可以確定的前提下，給出求導(dǎo)數(shù)的方法。然而需要指出的是：并不是任一方程都能確定出隱函數(shù)。因此，我們必須知道方程在什么情況下才能確定隱函數(shù)？ 例：設(shè)有方程，問在點(diǎn)，的附近是否確定為的函數(shù)？定理1 （隱函數(shù)存在定

27、理） 設(shè)二元函數(shù)滿足下列條件： 注： (1)定理的幾何意義：條件(1)表明曲面是光滑的；條件（2）表明曲面和坐標(biāo)平面有一個(gè)交點(diǎn)，條件（3）（不妨設(shè)）表明在的附近，對(duì)固定的，設(shè)為正向，曲面是單調(diào)增加的。定理的結(jié)論是：在點(diǎn)的附近曲面和有一條唯一的光滑交線.（2）定理的結(jié)論是局部性的，即在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)由方程可以唯一確定一個(gè)可微的隱函數(shù)。例如：在點(diǎn)(0,1)的某個(gè)鄰域內(nèi)由方程可以確定唯一的。在點(diǎn)(0,-1)的某個(gè)鄰域內(nèi)由方程可確定唯一的 （3） 定理的條件是充分的，非必要的。如上例中的函數(shù)：在（-1，0）和（1，0）兩點(diǎn)，破壞了定理中的條件（3），從而定理失效。從圖中可以看出，對(duì)于一在右鄰域或左鄰域

28、內(nèi)的任何一個(gè)值，將獲得兩個(gè)值： ，唯一性條件破壞。 定理1中的方程是含有兩個(gè)變量和的，對(duì)于3個(gè)變量，甚至于多個(gè)變量，也有類似的結(jié)果。 二 多變量及方程組的情形定理2 滿足： 的一個(gè)鄰域內(nèi)對(duì)各個(gè)變?cè)羞B續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；（2） （3） F，G關(guān)于的Jacobi矩陣則：（1）存在點(diǎn)的一個(gè)鄰域，在此鄰域內(nèi)由方程組 可以確定唯一的函數(shù)：滿足：（2）在內(nèi)連續(xù)；（3）在內(nèi)有關(guān)于和的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。例：。問：（1）由方程確定的是關(guān)于和的可微函數(shù)？ （2）由方程確定的都是關(guān)于和的可微函數(shù)？例：函數(shù)在那些點(diǎn)近旁可唯一地確定膽汁連續(xù)，且又連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)？2 函數(shù)行列式的性質(zhì)、函數(shù)相關(guān)一 函數(shù)行列式的性質(zhì) 函數(shù)行列式不僅在隱

29、含數(shù)存在定理中起著重要作用，而且在其它分析問題和應(yīng)用中，也是經(jīng)常出現(xiàn)的，它有以下主要性質(zhì)：性質(zhì)1 設(shè)函數(shù) 定義于某一維區(qū)域中，且有關(guān)于一切變?cè)倪B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。又設(shè)定義于某一維區(qū)域中，且有關(guān)于一切變?cè)倪B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。設(shè)的值域包含在中。則有。注：這個(gè)性質(zhì)可看成復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式的拓廣。性質(zhì)2 設(shè)函數(shù) 定義于某一維區(qū)域中，且有關(guān)于一切變?cè)倪B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且它們的反函數(shù)存在，且有關(guān)于一切變?cè)倪B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。則有 。第十七章 含參變量的積分設(shè)函數(shù)在矩形上連續(xù)。定義含參積分 和.含參積分提供了表達(dá)函數(shù)的又一手段。我們稱由含參積分表達(dá)的函數(shù)為含參積分。這種形式的函數(shù)在理論上和應(yīng)用上都有重要作用，有很多很有用的特殊函

30、數(shù)就是這種形式的函數(shù)。 下面討論這種由積分所確定的函數(shù)的連續(xù)性，可微性與可積性。定理1 若函數(shù)在矩形上連續(xù), 則函數(shù)在上連續(xù).注：在定理的條件下，有 ， 即極限運(yùn)算可以通過積分號(hào)。例：求。定理2 若函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)都在矩形上連續(xù), 則 ， 也就是微分運(yùn)算可以通過積分號(hào)。例：當(dāng)時(shí)，能否利用定理2計(jì)算的導(dǎo)數(shù)？定理3 若函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在矩形域上連續(xù), 函數(shù)和在上連續(xù)，并且 ，則函數(shù)在上連續(xù)。 例：求。 定理4 設(shè)函數(shù)函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在矩形域上連續(xù)，函數(shù)和在上存在，并且 ， 則 。例：設(shè)，求。定理5若函數(shù)在矩形上連續(xù)，則 .注：在定理的條件下，累次積分可交換求積分的次序。例：求。 例： 研究函數(shù) 的連續(xù)性

31、，其中是上連續(xù)且為正的函數(shù)。解： 令，則在連續(xù)，其中。從而在連續(xù)。當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，記 ，則 若存在，則 故在不連續(xù)。或用定積分中值定理，當(dāng)時(shí)， ，使 若存在，則, 故在不連續(xù)。問題1 上面最后一個(gè)式子能否寫為 。事實(shí)上，是依賴于的，極限的存在性還難以確定。例：設(shè)在連續(xù)，求證 : （其中 ）滿足微分方程 。證：令，則， 它們都在上連續(xù)，則 例：設(shè)為連續(xù)函數(shù)，,求。解：令，則 第一項(xiàng)中令，第二項(xiàng)中令，則。第18章 含參變量的廣義積分 一、一致收斂的定義定義1 設(shè)函數(shù)定義在上，稱含參變量的無窮積分。定義2設(shè)函數(shù)定義在上，若, 當(dāng)時(shí),對(duì)一切，成立 或 。就稱含參無窮積分關(guān)于一致收斂。定義3設(shè)對(duì)于上的每一值

32、，以為奇點(diǎn)的積分存在。若, 當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，成立 或 ，就稱含參無窮積分關(guān)于一致收斂。二、一致收斂積分的判別法 以下假定積分收斂。定理1（魏爾斯特拉斯判別法）設(shè)有函數(shù)，使得 如果積分收斂，那么關(guān)于一致收斂。例：證明含參無窮積分在內(nèi)一致收斂。三、一致收斂積分的性質(zhì)1. 連續(xù)性定理 定理2 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，關(guān)于一致收斂，那么是上的連續(xù)函數(shù)。注：在定理的條件下，有 ， 即極限運(yùn)算可以通過積分號(hào)。2.積分順序交換定理.定理3設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，關(guān)于一致收斂，那么。注：在定理的條件下，累次積分可交換求積分的次序。例：計(jì)算積分。3. 積分號(hào)下求導(dǎo)定理.定理4 設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，存在，關(guān)于一致收斂。那么，也就是微

33、分運(yùn)算可以通過積分號(hào)。例：計(jì)算積分。例：證明含參量非正常積分在上一致收斂，其中。但在區(qū)間內(nèi)非一致收斂。 4. 含參無窮積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系定理5 積分在上一致收斂對(duì)任一數(shù)列, , 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂。四、歐拉（Euler）積分 介紹用含參廣義積分表達(dá)的兩個(gè)特殊函數(shù), 即和.它們統(tǒng)稱為Euler積分.在積分計(jì)算等方面, 它們是很有用的兩個(gè)特殊函數(shù)1. Beta函數(shù)（1） Beta函數(shù)及其連續(xù)性：稱(含有兩個(gè)參數(shù)的)含參積分為Beta函數(shù)。當(dāng)和中至少有一個(gè)小于1 時(shí), 該積分為瑕積分。下證對(duì), 該積分收斂。由于時(shí)點(diǎn)和均為瑕點(diǎn)，故把積分分成和考慮。: 時(shí)為正常積分; 當(dāng)時(shí), 點(diǎn)為瑕點(diǎn)。由被積函

34、數(shù)非負(fù), 和 , ( 由Cauchy判法) 積分收斂. ( 易見時(shí)積分發(fā)散 ).: 時(shí)為正常積分; 當(dāng)時(shí), 點(diǎn)為瑕點(diǎn).由被積函數(shù)非負(fù), 和 , ( 由Cauchy判法) 積分收斂. ( 易見時(shí)積分發(fā)散 ).綜上, 當(dāng)時(shí)積分收斂. 設(shè)D,于是, 積分定義了D內(nèi)的一個(gè)二元函數(shù).稱該函數(shù)為Beta函數(shù), 記為, 即 = 不難驗(yàn)證, 函數(shù)在D內(nèi)閉一致收斂. 又被積函數(shù)在D內(nèi)連續(xù), 因此, 函數(shù)是D內(nèi)的二元連續(xù)函數(shù).（2）函數(shù)的對(duì)稱性: .由于函數(shù)的兩個(gè)變?cè)菍?duì)稱的, 因此, 其中一個(gè)變?cè)哂械男再|(zhì)另一個(gè)變?cè)匀灰簿哂?2Gamma函數(shù)（1）Gamma函數(shù) 考慮無窮限含參積分 , 當(dāng)時(shí), 點(diǎn)還是該積分的

35、瑕點(diǎn). 因此我們把該積分分為 來討論其斂散性 .: 時(shí)為正常積分.時(shí), .利用非負(fù)函數(shù)積的Cauchy判別法, 注意到當(dāng)時(shí)積分收斂. (易見當(dāng)時(shí), 仍用Cauchy判別法判得積分發(fā)散). 因此, 時(shí)積分收斂.: 對(duì)R成立,.因此積分對(duì)R收斂.綜上, 時(shí)積分收斂. 稱該積分為Euler第二型積分. Euler第二型積分定義了內(nèi)的一個(gè)函數(shù), 稱該函數(shù)為Gamma函數(shù), 記為, 即 = , .函數(shù)是一個(gè)很有用的特殊函數(shù).（2）函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性:在區(qū)間內(nèi)非一致收斂.這是因?yàn)闀r(shí)積分發(fā)散. 這里利用了下面的結(jié)果: 若含參廣義積分在內(nèi)收斂, 但在點(diǎn)發(fā)散, 則積分在內(nèi)非一致收斂.但在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂.即在

36、任何上,一致收斂. 因?yàn)闀r(shí), 對(duì)積分 , 有, 而積分收斂.對(duì)積分, , 而積分收斂.由M判法,它們都一致收斂, 積分在區(qū)間上一致收斂.作類似地討論,可得積分也在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂.于是可得如下結(jié)論:的連續(xù)性: 在區(qū)間內(nèi)連續(xù). 的可導(dǎo)性: 在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 且 .同理可得: 在區(qū)間內(nèi)任意階可導(dǎo),且 .（3）的遞推公式，函數(shù)表 的遞推公式 : .證 . 于是, 利用遞推公式得: , , , , ,一般地有 .可見, 在上, 正是正整數(shù)階乘的表達(dá)式. 倘定義, 易見對(duì),該定義是有意義的.因此,可視為內(nèi)實(shí)數(shù)的階乘.這樣一來, 我們很自然地把正整數(shù)的階乘延拓到了內(nèi)的所有實(shí)數(shù)上,于是, 自然就有, 可見在初

37、等數(shù)學(xué)中規(guī)定 是很合理的.例：計(jì)算積分 。第十九章 積分（二重、三重積分，第一類曲線、曲面積分）的定義和性質(zhì)1 二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分的概念1. 二重積分、三重積分，第一類曲線積分、第一類曲面積分都可看成已知物體的密度，求物體的質(zhì)量。但要看物體的幾何形狀。2. 幾何體上的黎曼積分的定義。定義1 設(shè)為一塊幾何形體，這個(gè)幾何形體是可以度量的，在這個(gè)幾何形體上定義了一個(gè)函數(shù)，。將這幾何形體分為若干可以度量的小塊，。既然每一小塊都可度量，故它們皆有度量大小可言，把他們的度量大小仍記為。并令，在每一塊中任取一點(diǎn)，做下列和式： 如果這個(gè)和式不論對(duì)于的怎樣分劃以及在上如何取法，只

38、要當(dāng)時(shí)恒有同一極限，則稱此極限為在幾何形體上的黎曼積分，記為： .也就是 ，這個(gè)極限是與分法和取法無關(guān)的。敘述：如果對(duì)任意及一定數(shù)，總存在一個(gè)數(shù)，對(duì)于任意的分法，只要時(shí)，不管點(diǎn)在上如何選取，恒有，則稱為在上的黎曼積分，記為：，這時(shí)，也稱在上可積。根據(jù)幾何形體的不同形態(tài)，進(jìn)一步給出上積分的具體表示式及名稱。（1）如果幾何體是一塊可求面積的平面圖形，那么上的積分就稱為二重積分，在直角坐標(biāo)下記為。（2）如果幾何體是一塊可求體積的空間幾何體，那么上的積分就稱為三重積分，在直角坐標(biāo)下記為。（3）如果幾何體是一塊可求長的空間曲線段，那么上的積分稱為第一類曲線積分，在直角坐標(biāo)下記為。（4）如果幾何體是一塊可

39、求面積的曲面片，那么上的積分稱為第一類曲面積分，在直角坐標(biāo)下記為。3性質(zhì) （1）。 （2）若在上可積，則在上有界。2 積分的性質(zhì) 性質(zhì)1 若函數(shù)在上可積，為常數(shù)，則在上也可積，且 。即常數(shù)因子可從積分號(hào)里提出（注意與不定積分的不同）。性質(zhì)2 若函數(shù)、都在上可積，則在上也可積，且有。性質(zhì)3 若函數(shù)在上可積，且，則在和上都可積，且。反之，若在和上都可積，則在上可積，且上述等式成立。性質(zhì)4 若函數(shù)和都在上可積，且在上成立，則。性質(zhì)5 若函數(shù)在上可積，則在上可積，且。注：若在上可積，不能推出在上可積。例： 在上不可積，但可積。性質(zhì)6（積分第一中值定理）若函數(shù)在上可積，則存在常數(shù)，使得 。推論 若函數(shù)在

40、上連續(xù)，則在上至少存在一點(diǎn)，使 。例：若函數(shù)在上連續(xù)，但不恒等于0，則。第二十章 重積分1二重積分的計(jì)算一 化二重積分為二次計(jì)分1. 關(guān)于體積的計(jì)算2. 矩形上的二重積分可以化為二次積分進(jìn)行計(jì)算簡(jiǎn)單地說，形如的積分稱為一個(gè)先后的二次積分。確切地說，設(shè)函數(shù)在上有定義，如果任意確定，則是自變量為的一元函數(shù)，設(shè)，有意義，其值是的函數(shù)，記為，又得體積為同樣，可以先后的二次積分：=在此例中，先后的二次積分等于先后的二次積分，即兩個(gè)二次積分相等，這個(gè)現(xiàn)象包含在下面的定理中。3一般性化二重積分為二次積分在平面區(qū)域中，有兩類特殊的區(qū)域是最具代表性的。所示區(qū)域用集合可表示為： 型區(qū)域其特點(diǎn)是，則直線至多與區(qū)域的

41、邊界交于兩點(diǎn)；所示區(qū)域用集合可表示為： 型區(qū)域其特點(diǎn)是，則直線至多與區(qū)域的邊界交于兩點(diǎn)。為什么說這兩類區(qū)域常用到（最具代表性），因?yàn)樵S多常見的區(qū)域都可分割為有限個(gè)無分類點(diǎn)的型區(qū)域和型區(qū)域。因而，解決了型區(qū)域和型區(qū)域上二重積分的計(jì)算方法后，一般區(qū)域上的二重積分的計(jì)算問題也就得到解決。如何計(jì)算型區(qū)域和型區(qū)域上的二重積分呢？ 最基本的想法還是化二重積分為二次積分（累次積分）。問題是化為什么樣的二次積分呢？有下面的結(jié)果：定理1 設(shè)，則 =。例：化二重積分為二次積分，其中是由直線，拋物線所圍的平面區(qū)域。例：求由和，所圍空間區(qū)域的體積V 。例：求二次積分注意：最外層積分的積分限一定是常數(shù)。二 用極坐標(biāo)計(jì)算

42、二重積分 也有一種情形，函數(shù)f在上可積，但無論采用哪種積分次序都“算不出來”。例：，=在定積分中，換元積分法對(duì)簡(jiǎn)化定積分計(jì)算起著重要的作用。對(duì)于二重積分也有相應(yīng)的換元公式，用于簡(jiǎn)化積分區(qū)域或被積函數(shù)。作極坐標(biāo)變換： 。在變換下，函數(shù)，區(qū)域。二重積分化為。說明：注意，雖經(jīng)極坐標(biāo)交換，但又變成極坐標(biāo)系下二重積分，這是如何計(jì)算極坐標(biāo)系下二重積分，在極坐標(biāo)下，二重積分一樣可以化為二次積分來計(jì)算，下面分情況討論之：情形1 若=， ，為，上的連續(xù)函數(shù)，則稱之為型區(qū)域。這時(shí)，可將之化為下面形式：=情形2 若=，其中，C，（型區(qū)域），此時(shí)有=情形3 若極點(diǎn)O是積分區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)，則交換后的區(qū)域?yàn)椋?此處=是的邊界

43、曲線，=情形4 若積分區(qū)域的邊界曲線=通過極點(diǎn)O時(shí)，應(yīng)先求出極徑，繼使=0的兩個(gè)角度，此時(shí)有：=。何時(shí)使用極坐標(biāo)變換？當(dāng)積分區(qū)域是圓域或是圓域的部分或被積函數(shù)的形式為時(shí)，采用極坐標(biāo)交換來計(jì)算往往簡(jiǎn)便得多。例：，=。 例：求。三 二重積分的一般變量替換計(jì)算二重積分，除了引用上面講的極坐標(biāo)這一特殊交換外,有時(shí)還要取一般的變量替換。定理2 設(shè)是平面的閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，又設(shè) ， （*）。在上有關(guān)于和的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，通過（*）把變?yōu)?，并且變換（*）是一對(duì)一的，又設(shè)，則 =。注：（1）在定理中，假設(shè)，但有時(shí)會(huì)遇到這種情形。變換行列式在區(qū)域內(nèi)個(gè)別點(diǎn)上等于0。或只在一小區(qū)域上等于0而在其他點(diǎn)上非0，此時(shí)上述結(jié)

44、論能成立。（2）特例：，此時(shí)=，根據(jù)，有=。（3）在具體問題中，選擇變換公式的依據(jù)有兩條：（i）使交換的函數(shù)容易積分；（ii）使得積分限容易安排。例：求橢球體的體積。例: 求出由拋物線，以及雙曲線，所圍區(qū)域的面積。2 三重積分的計(jì)算一 化三重積分為三次積分設(shè)是中的（閉）長方體，是定義在上的有界函數(shù)。那么在上的三重積分可以化為先對(duì)，后對(duì)的積分： =， 或的積分= 。等等（共6種），并且此時(shí)（連續(xù)時(shí)），各個(gè)三次積分的值與積分次序無關(guān)，他們都相等。1. 計(jì)算（化為逐次積分）設(shè)，則有=，如果，則=。設(shè)，=。 2. 三重積分的直接計(jì)算方法（舉例）例：，：有平面所圍成區(qū)域。例：，：錐面，平面所圍（）成區(qū)域

45、。例：，： 的內(nèi)部區(qū)域。二 三重積分的變量替換 設(shè)作變量替換： , 且滿足下列條件：（1） 建立了之間的一一對(duì)應(yīng)；（2）在內(nèi)有關(guān)于的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且其變換：在內(nèi)有關(guān)于的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；（3） Jacohi行列式 在內(nèi)無零點(diǎn)，則=注：和二重積分類似，當(dāng)J點(diǎn)在內(nèi)個(gè)別點(diǎn)上為零時(shí)，上述公式仍成立。最常用的坐標(biāo)變換1. 柱坐標(biāo)代換令，則三重積分的柱坐標(biāo)換元公式為=。注：柱坐標(biāo)變換適用于型被積函數(shù)或積分區(qū)域。注：用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分，通常是找出在平面上的投影區(qū)域，那當(dāng)時(shí)，=先對(duì)積分，再計(jì)算上的三重積分，其中二重積分能用極坐標(biāo)來計(jì)算（極坐標(biāo)系下的二重積分）。例：，D由上半球面和拋物面所圍的區(qū)域。2球面坐標(biāo)變換球

46、面坐標(biāo)：設(shè)空間一點(diǎn)在平面上的投影為，是有向線段與軸的正向之間的交角（），是兩平面與的交角（），則叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo)。在球面坐標(biāo)中，有三族坐標(biāo)平面：=常數(shù)，以原點(diǎn)為中心的球面；=常數(shù)，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸為軸的圓錐面；=常數(shù)，過軸的柱面（兩兩正交是正交坐標(biāo)系）。有時(shí)，取作為，這時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo)與它的球面坐標(biāo)的點(diǎn)系為：，而。令 ，則 =。例：求球面和錐面所圍區(qū)域的體積，其中錐面是以軸為軸，頂角為的錐面。3 積分在物理上的應(yīng)用一 質(zhì)心 設(shè)為一塊可以度量的幾何體，它的密度函數(shù)是。又假設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)。則幾何體的質(zhì)心的坐標(biāo)為：， ，。具體地說，如果幾何體是一塊空間體積，那么這塊體積的質(zhì)心坐標(biāo)應(yīng)為：, , 。例

47、：求密度均勻的上半橢球體的質(zhì)心. 二 矩 設(shè)為一塊可度量的幾何形體，它的密度函數(shù)為，并設(shè)在上連續(xù)。分別稱，為物體關(guān)于坐標(biāo)平面，坐標(biāo)平面，坐標(biāo)平面的階矩。當(dāng)時(shí)稱為零階矩，表示物體的質(zhì)量。當(dāng)時(shí)稱為靜矩。當(dāng)時(shí)稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例：計(jì)算由平面，所圍成的均勻物體（設(shè)）對(duì)于坐標(biāo)平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例：求密度均勻的圓環(huán)對(duì)于圓環(huán)面中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 例：求密度均勻的圓盤對(duì)于其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 例：設(shè)某球體的密度與球心的距離成正比,求它對(duì)于切平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 三 引力設(shè)為一塊可以度量的幾何體，它的密度函數(shù)是，為上的連續(xù)函數(shù)。為外一點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)具有單位質(zhì)量。則幾何體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量，分別為:，其中為引力常數(shù)，

48、。例：設(shè)球體具有均勻的密度,求對(duì)球外一點(diǎn)(質(zhì)量為1)的引力。 4 廣義重積分對(duì)于重積分，也可以作兩方面的拓廣：無界區(qū)域上的積分和無界函數(shù)的積分。定義1 設(shè)是平面上一無界區(qū)域，函數(shù)在上各點(diǎn)有定義，用任意光滑曲線在中劃出有限區(qū)域.設(shè)二重積分存在，當(dāng)曲線連續(xù)變動(dòng)時(shí)，使所劃出的區(qū)域無限擴(kuò)展而趨于區(qū)域時(shí)，如果不論的形狀如何， 也不論擴(kuò)展的過程怎樣，而 常有同一極限值，就稱是函數(shù)在無界區(qū)域上的二重積分，記為 ,這時(shí)也稱函數(shù)在上的積分收斂。否則，稱積分是發(fā)散的?？挛髋袆e法 設(shè)在無界區(qū)域上的任意有界區(qū)域上二重積分存在，如果在內(nèi)相當(dāng)遠(yuǎn)處滿足。其中為正的常數(shù)，是到原點(diǎn)的距離，且，那么積分收斂。例：計(jì)算廣義重積分。

49、例：討論廣義重積分的收斂性。定義2 設(shè)在有界區(qū)域上有奇點(diǎn)或奇線（函數(shù)在這些點(diǎn)或線的附近無界）。以中的光滑曲線來隔開奇點(diǎn)或奇線，所圍成的區(qū)域記為.如果在區(qū)域收縮到奇點(diǎn)或奇線時(shí)，這些積分的極限值存在且與的取法和收縮的方式無關(guān)，則稱這極限值是上的無界函數(shù)的廣義二重積分，記為。并稱函數(shù)在上的積分收斂。否則，稱積分是發(fā)散的。柯西判別法 設(shè)在內(nèi)有奇點(diǎn)，如果對(duì)于和充分鄰近的點(diǎn)，有 。其中為正的常數(shù)，是與點(diǎn)的距離，且，那么積分收斂。例：計(jì)算廣義重積分。 例：討論廣義重積分的收斂性。第21章 曲線積分和曲面積分的計(jì)算1 第一類曲線積分的計(jì)算 設(shè)函數(shù)在光滑曲線上有定義且連續(xù)，的方程為則。特別地，如果曲線為一條光滑

50、的平面曲線，它的方程為，那么有。例：設(shè)是半圓周, 。求。 例：設(shè)是曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段，計(jì)算第一類曲線積分。 例：計(jì)算積分，其中是球面被平面截得的圓周。例：求，此處為連接三點(diǎn)，的直線段。2 第一類曲面積分的計(jì)算一 曲面的面積（1）設(shè)有一曲面塊，它的方程為 。具有對(duì)和的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影為可求面積的。則該曲面塊的面積為 。（2）若曲面的方程為 , 令，則該曲面塊的面積為 。例：求球面含在柱面內(nèi)部的面積。例：求球面含在柱面內(nèi)部的面積。二 化第一類曲面積分為二重積分（1）設(shè)函數(shù)為定義在曲面上的連續(xù)函數(shù)。曲面的方程為。具有對(duì)和的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，即此曲面是光滑的，且其在平面上的

51、投影為可求面積的。則。（2）設(shè)函數(shù)為定義在曲面上的連續(xù)函數(shù)。若曲面的方程為令 ，則 。例：計(jì)算，是球面，。例：計(jì)算，其中為螺旋面的一部分： 。注：第一類曲面積分通過一個(gè)二重積分來定義，這就是為什么在第一類曲面積分中用“二重積分符“的原因。例：I=，是球面，球心在原點(diǎn)，半徑為。3 第二類曲線積分一 變力做功和第二類曲線積分的定義1.力場(chǎng)沿平面曲線從點(diǎn)A到點(diǎn)B所作的功。先用微元法，再用定義積分的方法討論這一問題，得 。2. 第二型曲線積分的定義 定義1 設(shè)是一條光滑或逐段光滑曲線，且設(shè)是定義在上的有界函數(shù)，將沿確定方向從起點(diǎn)開始用分點(diǎn)分成個(gè)有向弧段，直至終點(diǎn)。且設(shè)。在每一弧段 上任取一點(diǎn)，作和式： 。其中為起點(diǎn)，為終點(diǎn)。設(shè)，這里表示有向線段的長度。若當(dāng)時(shí)，和有極限，且它與的分法無關(guān)，也與點(diǎn)的選擇無關(guān)，則稱為沿曲線按所述方