數(shù)學(xué)建模飲酒駕車問題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上飲酒駕車的數(shù)學(xué)模型摘要本文解決的是一個(gè)司機(jī)安全駕車與飲酒的問題，目的是通過建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型（結(jié)合新的國家駕駛員飲酒標(biāo)準(zhǔn)）分析司機(jī)如何適量飲酒不會(huì)影響正常的安全駕駛。根據(jù)一定合理的假設(shè)，建立人體內(nèi)酒精濃度隨時(shí)間變化的微分方程模型，并通過擬合曲線對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。在不同飲酒方式下進(jìn)行分類討論，得出體內(nèi)酒精濃度隨時(shí)間的變化函數(shù)。在討論過程中，我們得到兩個(gè)結(jié)論：在短時(shí)間喝酒形式下，達(dá)到最大值的時(shí)間為1.23小時(shí)，與喝酒量無關(guān)；在長時(shí)間喝酒形式下，喝酒結(jié)束時(shí)酒精含量最高。最后，我們討論了模型的優(yōu)缺點(diǎn)，并結(jié)合新的國家標(biāo)準(zhǔn)寫一篇關(guān)于司機(jī)如果何適量飲酒的一篇短文 。關(guān)鍵詞：微分方程、模

2、型、房室系統(tǒng)。 一、問題重述 飲酒駕車問題主要是分析駕駛員在喝過一定量的酒后，酒精在體內(nèi)被吸收后，血液中酒精含量上升，影響司機(jī)駕車，所以司機(jī)飲酒后需經(jīng)過一段時(shí)間后才能安全駕車，國家標(biāo)準(zhǔn)新規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升為飲酒駕車，血液中酒精含量大于或等于80毫克/百毫升為醉酒駕車，司機(jī)大李在中午12點(diǎn)喝下一瓶啤酒，6小時(shí)后檢查符合新標(biāo)準(zhǔn)，晚飯地其又喝了一瓶啤酒，他到凌晨2點(diǎn)駕車，被檢查時(shí)定為飲酒駕車，為什么喝相同量的酒，兩次結(jié)果不一樣？討論問題：1、 對大李碰到的情況做出合理解釋；2、 在喝三瓶啤酒或半斤白酒后多長時(shí)間內(nèi)駕車會(huì)違反標(biāo)準(zhǔn)，喝酒時(shí)間

3、長短不同情況會(huì)怎樣？3、 分析當(dāng)司機(jī)喝酒后何時(shí)血液中的酒精含量最高；4、 如果該司機(jī)想天天喝酒還能否開車；5、 結(jié)合模型和國家新標(biāo)準(zhǔn)寫一篇關(guān)天司機(jī)如何駕車的忠告。 二、模型假設(shè)1、 酒精從胃轉(zhuǎn)移到體液的速率與胃中的酒精濃度成正比。2、 酒精從體液轉(zhuǎn)移到體外的速率與體液中的酒精濃度成正比。3、 酒精從胃轉(zhuǎn)移到體液的過程中沒有損失。4、 測量設(shè)備完善，不考慮不同因素所造成的誤差。5、 酒精在體液中均勻分布。三、符號(hào)說明k:酒精從體外進(jìn)入胃的速率；f(t):酒精從胃轉(zhuǎn)移到體液的速率；f(t):酒精從體液轉(zhuǎn)移到體外的速率；X(t):胃里的酒精含量；Y(t)：體液中酒精含量；V:體液的容積；K:酒精從胃

4、轉(zhuǎn)移到體液的轉(zhuǎn)移速率系數(shù)；K:酒精從體液轉(zhuǎn)移到體外的轉(zhuǎn)移速率系數(shù)；C(t):體液中的酒精濃度。：短時(shí)間喝酒情況下進(jìn)入胃中的初始酒精量。T：較長時(shí)間喝酒所用的時(shí)間或達(dá)到濃度最大值所需時(shí)間。四、模型的分析與建立（一）、模型分析： 假設(shè)酒精先以速率進(jìn)入胃中，然后以速率從胃進(jìn)入體液，再以速率f(t)從體液中排到體外。根據(jù)假設(shè)可以建立如圖一所示的帶有吸收室的單房室系統(tǒng)，其中胃為吸收室，體液為中心室。 圖一（二）模型建立：用x(t)與y(t)分別表示酒精在胃、體液中的酒精量，c(t)表示酒精在體液中的濃度。根據(jù)酒精從胃進(jìn)入體液的速度f(t)與胃中的酒精量成正比，速率系數(shù)為K；酒精從血液中排出的速率f(t)

5、與血液中的酒精量y(t)成正比，速率系數(shù)為K，可以建立方程如下： （1） （2） （3）將（1）式代入（3）式可得： （4）通過移項(xiàng)，上式可以轉(zhuǎn)化為； （5）利用一階線性常微分方程的常數(shù)變易法對（5）式求解，可以得到； （6）又因?yàn)?，聯(lián)合（6）式可得： （7） 又對中心室（即體液）可建立方程組如下； （8）將（2）式代入（8）式可得；將上式轉(zhuǎn)化為：因?yàn)椋瑢⑵浯肷鲜娇傻玫剑?（9）求解（11）式可得； （10）（其中 ， ，）又酒精濃度為酒精量與體液容積之比，即： （11）（其中 ，）。（三）模型的討論：1、 當(dāng)酒是在較短時(shí)間內(nèi)喝時(shí)此時(shí)有，。因?yàn)橛?，所以經(jīng)計(jì)算整理后可得：，將A，B，C代入

6、式（11）可以得到：酒在較短時(shí)間內(nèi)喝下去時(shí)，體液中的酒精濃度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式如下所示： （12）（其中 ）當(dāng)t比較大時(shí)，顯然K1>>K2,因此可認(rèn)為：利用數(shù)表一：時(shí)間(小時(shí))0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量153437.5414138.534342925.52520.5時(shí)間(小時(shí))678910111213141516酒精含量1917.51412.597.5653.53.52（表一）通過Matlab進(jìn)行曲線擬合可得：，根據(jù)查閱資料可知：一瓶啤酒的酒精量一般為640ml，密度為810mg/ml酒精濃度為84.5%所以兩瓶啤酒的酒精總量由于體重為70kg

7、,體重的65%左右，體液密度為1.05mg/ml，所以可得體液的總體積為毫克/百毫升。由可求得：?？傻枚虝r(shí)間內(nèi)喝下兩瓶啤酒時(shí)血液中的酒精含量與時(shí)間的關(guān)系式如下； （13）用Matlab軟件畫出圖形為：（圖二：擬合曲線）2、 當(dāng)酒是在較長時(shí)間內(nèi)喝時(shí)我們可將其進(jìn)行分段討論。當(dāng)t時(shí)，同樣可以得到： （14）但此時(shí)，x（0）=0，y（0）=0可得：（其中A=，）根據(jù)上式可得到：（ 其中 ， A=， ） 即：可以求得： A= B=28.所以可得 : 當(dāng)t時(shí)，則此時(shí)血液中的濃度與時(shí)間關(guān)系式如下： 其中綜上所述，可得，當(dāng)時(shí) （17）五、問題的解答問題一：假設(shè)大李第一次喝酒是在短時(shí)間內(nèi)喝的，根據(jù)所建立模型，可

8、知人體中血液中的酒精含量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式如下；根據(jù)求解可得，。所以可求得，當(dāng)時(shí)，可以求得，小于國家規(guī)定的新標(biāo)準(zhǔn)，所以第一次遭遇檢查時(shí)沒有被認(rèn)定為是飲酒駕駛，見圖二圖三接著，大李在吃晚飯時(shí)又喝了一瓶啤酒，此時(shí)大李體內(nèi)還留有第一次喝后殘留酒精，所以第二次體內(nèi)的酒精含量，應(yīng)該是二喝酒后體內(nèi)酒精的疊加，此時(shí)我們認(rèn)為大李是在較長時(shí)間內(nèi)喝的，根據(jù)所建模型，有：已知，A=59.27295,k2=0.1940,k1=2.114,T=6.所以可以求出當(dāng)t=14時(shí)，大于國家新規(guī)定的20mg/100ml,所以第二次雖然遲了二個(gè)小時(shí)，但檢查出來時(shí)，酒精還是超標(biāo)的，見下圖：圖四所以從以上分析可知，雖然大李是喝相同量的

9、酒，且第二次檢查時(shí)離喝酒時(shí)間比第一次延長了二個(gè)小時(shí)，但由于第一次喝后體內(nèi)還留有第一次剩余的酒精，并且第二次是較長時(shí)間內(nèi)喝的比第一次短時(shí)間內(nèi)喝的達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)所需時(shí)間要大，所以第二次會(huì)被認(rèn)定是飲酒駕車，大李的這種遭遇我們可知，一個(gè)人人體內(nèi)血液中的酒精含量不僅與所喝的酒量有關(guān)，而且還與喝酒所用的時(shí)間快慢及體內(nèi)血液中原來的酒精含量也有關(guān)。問題二（1）當(dāng)酒是在較短時(shí)間內(nèi)喝時(shí)，根據(jù)已建立的基本模型，可知，人體血液中的酒精含量與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為： （18）因?yàn)槭嵌虝r(shí)間喝，此時(shí)，所以上式可轉(zhuǎn)化為： （19）由于，所以 （20）因?yàn)楹攘巳科【疲瑒t有，。 所以： 當(dāng)時(shí)，可求得。所以當(dāng)駕駛員在較短時(shí)間內(nèi)喝下三瓶啤酒

10、時(shí)，必須經(jīng)過11.261小時(shí)后開車才不會(huì)被認(rèn)為是飲酒駕車。（2）當(dāng)酒是在較長時(shí)間內(nèi)喝時(shí)，根據(jù)模型可知，人體中血液內(nèi)灑精的含量與時(shí)間的關(guān)系式為：且此時(shí)，所以上式可轉(zhuǎn)化為：因?yàn)橐阎?，百毫升，?dāng)時(shí)，可以求出小時(shí)，所以當(dāng)駕駛員在較長時(shí)間（如二個(gè)小時(shí)）喝下三瓶啤酒后，必須經(jīng)過13.407小時(shí)后開車才不被認(rèn)為是飲酒駕車。問題三：（1） 短時(shí)間內(nèi)喝酒時(shí)根據(jù)所建立模型可知： 當(dāng)?shù)膶?dǎo)數(shù)等于0時(shí)，可解得： （21）所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，因?yàn)門只與k1,k2有關(guān)，從表達(dá)式可知當(dāng)在較短時(shí)間內(nèi)喝酒時(shí)濃度達(dá)到最大值的時(shí)間與喝酒量無關(guān)。（2）、當(dāng)酒是在較長時(shí)間內(nèi)喝時(shí)當(dāng)時(shí)， 求導(dǎo)得：由K1大于K2知，體液中酒精濃度不可能在（

11、0，T）內(nèi)達(dá)到最大值。當(dāng)時(shí)，其中當(dāng)T比較大時(shí)，趨向于，趨向于，現(xiàn)對求導(dǎo)得： 可以由上式推出： 由K1大于K2知，體液中酒精濃度不可能在t>T時(shí)達(dá)到最大值。綜上所述，長時(shí)間喝酒時(shí)，血液中的酒精含量當(dāng)喝酒結(jié)束時(shí)達(dá)到最大值。所以當(dāng)喝酒時(shí)間是二個(gè)小時(shí)時(shí)，在第二小時(shí)時(shí)含量最高。問題四:假設(shè)天天喝酒,每次喝酒的量為均勻的,每隔T時(shí)間喝一次酒;當(dāng)喝酒n次后,則時(shí)間t=nT,T>1.23小時(shí).所以將根據(jù)所建的模型,可以進(jìn)行n次模型疊加,即表示為:當(dāng)n時(shí),上式可近似為如果要使駕駛員,天天喝酒還能開車不被認(rèn)定為是引飲酒駕車,則必: A=所以所以可設(shè)啤酒瓶數(shù)為 a。綜上所述,如果駕駛員想天天喝酒,天天開

12、車的話,那么必需每天飲酒數(shù)量不超過1.7瓶.模型的評價(jià)及推廣1、 所建立的模型簡潔、明了，便于使用數(shù)學(xué)工具，如Matlab LINDO等，降低了編程求解的難度，縮短了運(yùn)行時(shí)間，提高了工作效率。2、 易于推廣，模型是根據(jù)酒精在血液里的變化消耗減小規(guī)律得出了酒精在血液中的濃度變化類似藥物，進(jìn)入人體內(nèi)起藥里作用的濃度變化，所以該模型可進(jìn)一步的推廣到藥物在人體中的濃度隨時(shí)間的變化，對醫(yī)學(xué)和臨床的治療，給藥等提供了很好的參考價(jià)值。3、 不足之處，受到的限制的條件太多，實(shí)際情況時(shí)人的主觀因素影響很大。給司機(jī)朋友的忠告對于喜愛飲酒的司機(jī)朋友來說，只要在飲酒時(shí)把握住適量的尺度，便不會(huì)出現(xiàn)飲酒駕車的尷尬場面，在

13、現(xiàn)實(shí)生活中由于酒后駕車而造成的事故占總交通事故的一半以上，另據(jù)統(tǒng)計(jì),我國道路交通事故死亡人數(shù)在全國總死亡人數(shù)居第七位.世界衛(wèi)生組織認(rèn)為,交通事故的“魁首”是酒后駕車，因此道路交通的執(zhí)法人員對此很重視。為此我們建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，通過該模型讓廣大司機(jī)朋友能對自己的飲酒情況有所了解，并作出判斷自己是否能夠駕車。酒精在血液中的含量隨時(shí)間的變化而減少，從而可以推算出當(dāng)一名司機(jī)在飲酒后，經(jīng)過多長時(shí)間后駕車不影響其正常駕駛，也就是當(dāng)司機(jī)飲酒后血液中的酒精濃度經(jīng)過t時(shí)間后，要小于20毫克/百毫升。當(dāng)以題中的大李為例，當(dāng)他在中午12點(diǎn)喝酒后其身體內(nèi)血液中酒精含量升高，經(jīng)過6小時(shí)，血液中的酒精大部分已排出體外，即

14、血液中酒精含量低于20毫克/百毫升，符合新的駕車標(biāo)準(zhǔn)，但其體血液中仍存在部分酒精，當(dāng)其晚上再次喝酒時(shí)，血液中的酒精濃度又一次升高，使二次進(jìn)入血液中的酒精相疊加，再經(jīng)過8小時(shí)，血液中酒精濃度便高于20毫克/百毫升超過國家標(biāo)準(zhǔn)。第二種情況，如果該司機(jī)想天天喝酒又能正常開車，假設(shè)該司機(jī)每次喝酒的量都是一定的，則我們經(jīng)計(jì)算可得出，只要該司機(jī)喝啤酒的總數(shù)不超過1.7瓶，他便可以天天喝酒，也不會(huì)影響開車。根據(jù)人體科學(xué)驗(yàn)證,科學(xué)家指出適量飲酒有益于身心健康!但是如果飲酒過量或長期酗酒,會(huì)導(dǎo)致麻痹腦部神經(jīng),影響視覺,聽覺,使人反應(yīng)遲鈍,肥肉失去控制能力,口齒不清等,酒精能破壞肝臟功能,易造成胃發(fā)炎,嚴(yán)重時(shí)可造

15、成胃潰瘍和十二指腸潰瘍。尤其是我們的司機(jī)朋友，更要引起高度的重視與關(guān)注。下面我們就以提問的形式闡述飲酒駕車的危害。為什么不能酒后駕車？從科學(xué)理論上說，酒精在人體血液內(nèi)達(dá)到一定的濃度。人對外界的反應(yīng)能力及控制能力會(huì)下降，尤其是處理緊急情況的能力下降。一名駕駛員血液中酒精含量達(dá)0.064（每100毫升的血液中含有64毫克酒精）水平時(shí)，發(fā)生交通事故的機(jī)會(huì)較零點(diǎn)水平高3.5倍；達(dá)0.08水平時(shí)，發(fā)生交通事故的機(jī)會(huì)較零點(diǎn)水平3.5倍；達(dá)0.12水平時(shí)，發(fā)生交通事故的機(jī)會(huì)較零點(diǎn)水平高26倍。對于青年駕駛員而言，血液含量相同的酒精，發(fā)生交通事故的機(jī)會(huì)更高，交通安全埋下了隱患，極有可能發(fā)生交通事故，既不利于架

16、車者自身的交通安全，也對周圍的交通安全構(gòu)成了威脅，因此酒后不能架車。我們結(jié)合所建立的數(shù)學(xué)模型和最新頒布的車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閥值與檢驗(yàn)國家標(biāo)準(zhǔn),給出下面一些特別針對車輛駕駛?cè)藛T的忠告:(1) 養(yǎng)成良好的生活習(xí)慣,經(jīng)常鍛煉身體,增強(qiáng)體質(zhì),不酗酒駕車.(2) 過多地、長時(shí)間、長期地飲酒對身體的不利影響很大，使體質(zhì)減弱，體內(nèi)器官（特別是肝、膽囊、胃、心臟等）的破壞很大，影響器官的機(jī)能。(3) 對車輛的駕駛?cè)藛T,出車前應(yīng)不能飲酒.(4) 如果你是一個(gè)天天要喝一點(diǎn)酒的駕駛員,喝一瓶啤酒,則你只能呆到5.3小時(shí)后,你血液中的酒精濃度才不會(huì)高于國家標(biāo)準(zhǔn).(5) 在你感覺身體不舒服時(shí),不能喝酒. &

17、#160;希望廣大的司機(jī)朋友們看了這篇文章后能有所啟示，正確，科學(xué)，適量的飲酒，既有益于身心健康，也有益于社會(huì)。參考文獻(xiàn)1 楊啟帆 方道元，數(shù)學(xué)建模，杭州：浙江大學(xué)出版社，1999年；2 姜啟源 謝金星，數(shù)學(xué)建模，北京：高等教育出版社，2003年；3 李 濤 賀勇軍，應(yīng)用數(shù)學(xué)篇，北京：電子工業(yè)出版社，2000年。附錄本程序是對圖二曲線的擬合Matlab程序：>> t= 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16;y1=82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4;y2=log(y1);polyfit(t,y2,1);ans = -0.1940 4.7753短時(shí)間內(nèi)喝下二瓶酒時(shí)的酒精濃度與時(shí)間關(guān)系曲