關(guān)于相對(duì)論與其解的時(shí)空分析

1、關(guān)于相對(duì)論與其解的時(shí)空分析         一。狹義相對(duì)論的時(shí)空解及比較在狹義相對(duì)論中，兩慣性系相對(duì)速度 與 和 平行（1）（ ）為 坐標(biāo)系的坐標(biāo)，（ ）為 坐標(biāo)系的坐標(biāo)，令 ， ，所以變換矩陣為（2）如果; ,相對(duì)速度 不變，那么 (3)比較 與 （4） （5）比較后知道（4）式=（5）式（6）二。時(shí)空觀測(cè)的定義為了較方便地說(shuō)清楚不同的觀測(cè)結(jié)果與不同坐標(biāo)中長(zhǎng)度與時(shí)間的相互比較的關(guān)系，在字母頂部加3個(gè)指標(biāo)，如： 定義為：左邊指標(biāo)為觀察目標(biāo)所在的坐標(biāo)系，中間指標(biāo)為觀察者選擇的單位長(zhǎng)度與時(shí)間所在的坐標(biāo)系，右邊

2、指標(biāo)為觀察者觀察時(shí)所在的坐標(biāo)系。這樣有：其中， 和 是固有時(shí)， 與 是固有長(zhǎng)度。三。 的推導(dǎo)在狹義相對(duì)論中有 (6.1)那么，在什么條件下上式會(huì)是普適的呢？先來(lái)考察歐幾里德幾何。對(duì)觀察者而言，在歐幾里德幾何中的二維空間的坐標(biāo) 中，觀察到的單位長(zhǎng)度 ，與在歐幾里德幾何中的二維空間坐標(biāo) 中，觀察到的單位長(zhǎng)度 。觀察者是無(wú)法在長(zhǎng)度方面區(qū)別 和 的，即（7）這是歐幾里德幾何的觀察者假設(shè)，也是符合經(jīng)驗(yàn)的假設(shè)，以前從未被指出過(guò)。 根據(jù)相對(duì)論，在四維時(shí)空坐標(biāo)中，時(shí)空量表示為：（8）廣義相對(duì)論中的不變量原理確定了，任意四維時(shí)空坐標(biāo)都有（8）式?，F(xiàn)在，在非歐幾里德的四維時(shí)空坐標(biāo)中，推廣歐幾里德幾何的觀察者假設(shè)。

3、先定義一種四維時(shí)空坐標(biāo)，在觀察者觀察的時(shí)間內(nèi)，這個(gè)坐標(biāo)內(nèi)的時(shí)空度規(guī)時(shí)間平移不變性和空間平移不變性，令為坐標(biāo)內(nèi)時(shí)空?qǐng)? ,(i=1,2,3,4)，表示為李（Lie）微商有? g =0 （9）而 （10）如果所取的時(shí)空體積足夠小，即 ，那么總可以成為這種坐標(biāo)。這種坐標(biāo)具有普適性。在四維時(shí)空中,隨意取兩個(gè)這種坐標(biāo) 和 ，觀察者在坐標(biāo)內(nèi)所觀察到的單位時(shí)空量 和 ，如果觀察者不與坐標(biāo)外其他坐標(biāo)比較的話，他是無(wú)法在時(shí)空量方面區(qū)分他在 和坐標(biāo)內(nèi)觀察到的單位時(shí)空量和（觀察者在 坐標(biāo)內(nèi)觀察 時(shí)，也不能與 坐標(biāo)內(nèi)的比較。他只能分別觀察 和 后，再比較 和 ）。這是四維彎曲時(shí)空的觀察者假設(shè)。即觀察者無(wú)法區(qū)分不同的這

4、種坐標(biāo)系的固有時(shí)間和固有長(zhǎng)度。 這樣觀察者可以得到（11）令 ， ，得：（12）（12.1)由（9）式和（10）式的定義，觀察者總能認(rèn)為他所在的坐標(biāo)系內(nèi)滿足（13）（14）那么有（6）因 所以 有相同的量綱。所以可以，令（15）（16）那么有（15.1)(16.1)所以(17)而在上述定義的坐標(biāo)系中，總有（18）所以 （19）這樣就有在上述定義的坐標(biāo)系中，時(shí)間量平方的變化量與空間量平方的變化量相等。這就是時(shí)空的對(duì)稱變化?？蓪憺椋?）這里稱為時(shí)空對(duì)稱理論。上式的空間量是固有長(zhǎng)度 和 ，時(shí)間量則不是固有時(shí)，固有時(shí) 和 有下列關(guān)系：（20）而 和 不符合 中的任一種時(shí)間量的微分，故（16）不是真實(shí)觀

5、測(cè)值。四。Schwarzchild解的分析 用時(shí)空對(duì)稱理論求解Schwarzchild解十分簡(jiǎn)單，在得到 后，因 （19） 可得 （15.2) (16.1) (13.1) 下面用廣義相對(duì)論四維時(shí)空標(biāo)架求解Schwarzchild解，并比較時(shí)空對(duì)稱理 論用四維時(shí)空標(biāo)架求解Schwarzchild解的辦法 （t=ict , c =1) (21)這是靜態(tài)球?qū)ΨQ度規(guī)的標(biāo)準(zhǔn)形式。在求解過(guò)程中得到， （22）令 ，得到（23）令 ，其物理意義是將絕對(duì)平直坐標(biāo)系內(nèi)的固有時(shí)與固有長(zhǎng)度之間物理?xiàng)l件，應(yīng)用到有引力場(chǎng)的非慣性坐標(biāo)系。 因此 （16.2) 不是真實(shí)觀測(cè)值。 而固有時(shí) 與 之間有 （20.1) 這樣 與

6、固有長(zhǎng)度的度規(guī) 有 （24） 又因?yàn)閷?duì)觀測(cè)者而言 項(xiàng)是觀測(cè)不到的，所以觀測(cè)到的是正交時(shí)空坐標(biāo)，這樣靜態(tài)球?qū)ΨQ度規(guī)的標(biāo)準(zhǔn)形式： （t=ict , c =1) （21） 不符合要求，只有（25）符合要求?？死锼苟浞蚵?lián)絡(luò)的非零分量，其中， ， ， 。 與經(jīng)典的求解Schwarzchild解的計(jì)算值一樣。（26）也與經(jīng)典的求解Schwarzchild解的計(jì)算值一樣，也可得， （22）令 ，Schwarzchild解中的長(zhǎng)度量，用固有長(zhǎng)度表示有（23.1）用時(shí)空對(duì)稱理論求解Schwarzchild解有（13.1）因?yàn)?項(xiàng)觀測(cè)不到，任何觀測(cè)坐標(biāo)都是正交的。1    

7、        不變，（其中的r 是遠(yuǎn)離引力場(chǎng)的觀測(cè)者的觀測(cè)值， ） 這樣，時(shí)空對(duì)稱理論依舊可解釋引力紅移，引力引起的光線偏折和水星近 日點(diǎn)進(jìn) 動(dòng)（詳細(xì)內(nèi)容在附錄中）。 這樣，用時(shí)空對(duì)稱理論和廣義相對(duì)論求得的Schwarzchild解時(shí)空物理意義等價(jià)。五。關(guān)于Kerr解Kerr解中 不全為0，不是真實(shí)觀測(cè)解，不能符合用四維時(shí)空的觀察者假設(shè)推導(dǎo)出的時(shí)空對(duì)稱理論。但用時(shí)空對(duì)稱理論分析自轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，也能得到Kerr解才有的單位質(zhì)量的角量a ，這將在下面分析。六。時(shí)間量和空間量經(jīng)驗(yàn)告知，空間是三維的，時(shí)間是一維的。在觀測(cè)者的

8、直接觀測(cè)中，是觀 測(cè)不到空間與時(shí)間，空間與空間的相互作用。故假定：觀測(cè)者通過(guò)直接觀測(cè)，無(wú)法觀測(cè)到空間與時(shí)間的相互作用量。即：(27) 除非通過(guò)觀測(cè)結(jié)果，方可知道空間與時(shí)間的相互作用量。這樣，對(duì)觀測(cè)者的直接觀測(cè)而言，任何觀測(cè)四維時(shí)空的線元長(zhǎng)度為(13)而 項(xiàng)是觀測(cè)不到的。 絕對(duì)平直時(shí)空的四維時(shí)空線元 （13） 就是任何觀測(cè)者的直接觀測(cè)結(jié)果。 設(shè)有一種坐標(biāo)系： 在該坐標(biāo)系內(nèi)任何一點(diǎn)觀測(cè)，光在此坐標(biāo)系內(nèi)的任何兩點(diǎn)的行走路 徑，都是直線；在坐標(biāo)系內(nèi)任意點(diǎn)的真空中光速恒定，稱為相對(duì)平直坐標(biāo)系。在彎曲時(shí)空取足夠小的時(shí)空范圍，可得到此類坐標(biāo)系，這類似微分。在彎曲時(shí)空取足夠小的時(shí)空范圍，該范圍的時(shí)空近似平直。

9、這與上面關(guān)于直接觀測(cè)是觀測(cè)不到 項(xiàng)是一致的。在此坐標(biāo)系內(nèi)有統(tǒng)一的時(shí)空單位和統(tǒng)一的鐘和尺。所以，此坐標(biāo)系有：（28）v是指此坐標(biāo)系內(nèi)任意點(diǎn)真空中光的速度， t是指此坐標(biāo)系內(nèi)任意點(diǎn)的時(shí)間。以后本文中的坐標(biāo)系都是此類坐標(biāo)系。稱為相對(duì)平直坐標(biāo)系。不同的相對(duì)平直坐標(biāo)系之間是"平行"的，須通過(guò)物理參數(shù)的變化，物質(zhì)方能從一個(gè)相對(duì)平直坐標(biāo)系進(jìn)入另一個(gè)相對(duì)平直坐標(biāo)系。（29）（29）是時(shí)空對(duì)稱理論，即時(shí)間量平方的變化量與空間量平方的變化量相等。所用的坐標(biāo)系是相對(duì)平直坐標(biāo)系。其中 和 不是固有時(shí)，設(shè)這兩個(gè)坐標(biāo)系固有時(shí)為 和 ，有：（30）所以，這里的時(shí)間量平方 與空間量平方 不能理解為：可用時(shí)

10、間單位或空間單位的平方代替，而應(yīng)理解為類似密度的一種量，稱為時(shí)間量密度與空間量密度。時(shí)空對(duì)稱理論是指時(shí)間量密度與空間量密度的對(duì)稱變 化。令時(shí)間量密度為 ，空間量密度為 ，類比固有時(shí)平方的倒數(shù) ，并可以替代；類比固有長(zhǎng)度平方 ，并可以替代；（ 分別為固有時(shí)和固有長(zhǎng)度）令時(shí)空密度為 ，不同的相對(duì)平直坐標(biāo)系有不同的時(shí)空密度 ，任意相對(duì)平直坐標(biāo)系中有（31）在同一個(gè)相對(duì)平直坐標(biāo)系中， 類比線元 ，但是不可以替代。不同的相對(duì)平直坐標(biāo)系比較時(shí)空觀測(cè)值時(shí)，須使用時(shí)間量密度和空間量密度，通過(guò)設(shè)定某一相對(duì)平直坐標(biāo)系時(shí)間量密度和空間量密度為1，得到不同的相對(duì)平直坐標(biāo)系的不同時(shí)間量密度和空間量密度。然后，對(duì)不同的相

11、對(duì)平直坐標(biāo)系換算出不同的時(shí)間量和空間量單位。這樣時(shí)空對(duì)稱理論實(shí)際上是關(guān)于時(shí)空密度的變化的理論，可表示為：（32）為不同的兩個(gè)相對(duì)平直坐標(biāo)系時(shí)空密度， 為時(shí)空密度的變化量。七。時(shí)空密度的變化量在狹義相對(duì)論中（33）在Schwarzschild解中（c=1） (34)引力 （35）根據(jù)等效原理有慣性質(zhì)量等于引力質(zhì)量，或在局域時(shí)空內(nèi)慣性力和引力不可區(qū)分，在本文中局域時(shí)空為相對(duì)平直坐標(biāo)系代替，那么在相對(duì)平直坐標(biāo)系中（36）（37）（38）所以有：（39）在狹義相對(duì)論和Schwarzschild解中（33）那么，時(shí)空對(duì)稱理論中，時(shí)空密度變化量 ，在 時(shí)，（33）這樣 （37）變?yōu)?（40）此積分為不定積

12、分。這里 是能量的一種形式。用四維時(shí)空觀點(diǎn)看， 是二階逆變二階協(xié)變張量而不是狹義速度矢量的平方。時(shí)空對(duì)稱理論在 時(shí)表示為（41）為須觀測(cè)的坐標(biāo)系的時(shí)空密度； 為觀測(cè)者所在的坐標(biāo)系的時(shí)空密度，時(shí)間密度，空間密度； 是能量的一種形式。哪個(gè)坐標(biāo)系絕對(duì)地得到能量，這個(gè)坐標(biāo)系的時(shí)空密度絕對(duì)地改變。 2    3         王仁川 廣義相對(duì)論引論 技術(shù)出版社 1996 俞允強(qiáng) 廣義相對(duì)論引論 北京大學(xué)出版社 1997 趙崢 黑洞的熱性質(zhì)與時(shí)空奇異性 北京大學(xué)出版社 1999 附 錄

13、（用時(shí)空對(duì)稱理論解釋光子軌線的引力偏折和水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)）廣義相對(duì)論中求質(zhì)點(diǎn)和光子的軌道方程時(shí)，取球坐標(biāo)，認(rèn)為運(yùn)動(dòng)滿足于, （1）協(xié)變動(dòng)量 和 是守恒量，有（2）E和L的物理意義，為觀測(cè)者所測(cè)到的質(zhì)點(diǎn)或光子的能量和角動(dòng)量。四維速度的歸一條件 有（3）得到質(zhì)點(diǎn)的軌道微分方程（4）光子的軌道微分方程（5）廣義相對(duì)論用這兩個(gè)軌道微分方程解釋了光子的引力偏折和水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)。廣義相對(duì)論用來(lái)解釋引力紅移的方法也一樣適用于時(shí)空對(duì)稱理論。這里就不重復(fù)了。只討論時(shí)空對(duì)稱理論解釋光子軌線的引力偏折和水星近日點(diǎn)進(jìn)動(dòng)。因?yàn)闀r(shí)空對(duì)稱理論是用真實(shí)觀測(cè)值來(lái)解釋時(shí)空的理論。用它得到的Schw- arzschild解有（6）（

14、7）固有時(shí)的關(guān)系有（8） 固有長(zhǎng)度的關(guān)系有（9）為時(shí)空密度， 為時(shí)間密度， 為空間密度。按固有時(shí)和固有長(zhǎng)度來(lái)看，觀測(cè)者在遠(yuǎn)離引力場(chǎng)的坐標(biāo)系，觀測(cè)引力場(chǎng)坐標(biāo)系有（10）是引力場(chǎng)坐標(biāo)系固有時(shí)， 是遠(yuǎn)離引力場(chǎng)的坐標(biāo)系固有時(shí)， 是引力場(chǎng)坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng)平面角。這樣就有（11）因?yàn)閮蓚€(gè)坐標(biāo)系之間的能量 ，角度 ，角動(dòng)量 和長(zhǎng)度 的比較有（12）（能量守恒）（13） （ 項(xiàng)為零）（14） （坐標(biāo)系之間固有時(shí)和固有長(zhǎng)度的比較） （15） （坐標(biāo)系之間固有長(zhǎng)度的比較）代入（11）式有（16）四維速度的歸一條件變?yōu)檎鎸?shí)觀測(cè)值有（17）將（16）式代入（17）式有(18), 這就是時(shí)空對(duì)稱理論的引力場(chǎng)中的軌道微分方程。能量E是遠(yuǎn)離引力場(chǎng)中的觀測(cè)者觀測(cè)到引力場(chǎng)中的能量，為引力場(chǎng)坐標(biāo)系與無(wú)窮遠(yuǎn)處坐標(biāo)系的能量差，數(shù)量級(jí)為 略去二級(jí)小量，時(shí)空對(duì)稱理論的軌道微分方程成為相對(duì)論的質(zhì)點(diǎn)軌道微分方程（4）對(duì)于光子而言，角動(dòng)量 ，因?yàn)楣庾釉谌跻?chǎng)中