關(guān)于浮體的平衡與穩(wěn)定性

1、關(guān)于浮體的平衡與穩(wěn)定性謝建華(西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室)摘要：本文討論了浮體的平衡與穩(wěn)定問(wèn)題，介紹了定傾中心的定義，并結(jié)合一個(gè)具體的例子，給出了定傾高度的三種不同的計(jì)算方法，最后，根據(jù)能量方法說(shuō)明了用定傾高度判定浮體穩(wěn)定性的理論依據(jù)。關(guān)鍵詞：浮體；平衡；穩(wěn)定性浮體的平衡與穩(wěn)定問(wèn)題研究是一個(gè)非常有實(shí)際意義的課題，是船舶與海洋平臺(tái)設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)，在其它工程中也有廣泛的應(yīng)用。在浮體穩(wěn)定性研究中，定傾中心是一個(gè)重要的概念，但是，筆者認(rèn)為有一些教科書或文獻(xiàn)對(duì)此概念的定義是不夠明確的，例如，有的認(rèn)為，當(dāng)船體發(fā)生微小搖晃時(shí)浮力的作用線交對(duì)稱軸線（浮軸）于一定點(diǎn)，此點(diǎn)即為定傾中心，也有的認(rèn)為實(shí)驗(yàn)表明

2、前述兩直線交于一點(diǎn)。另外，在用力系簡(jiǎn)化方法推導(dǎo)定傾高度的過(guò)程中也有含糊不清之處，或在穩(wěn)定性判定上發(fā)生錯(cuò)誤。筆者帶著這些疑問(wèn)查閱了若干參考書，特別是5、6和7。根據(jù)這些材料，本文介紹了定傾中心的明確定義，并結(jié)合一個(gè)具體的例子，給出了定傾高度三種不同的計(jì)算方法，最后，根據(jù)能量方法說(shuō)明了用定傾高度判定浮體穩(wěn)定性的理論依據(jù)。如果物體的比重比水小，物體在水中漂浮平衡時(shí)，有一部分將露出水面，這樣的物體稱為浮體。浮體要滿足以下兩個(gè)條件才能平衡：(i) 受水的浮力等于浮體的重量；(ii)浮心(浮力的作用點(diǎn))與浮體重心的連線和水平面垂直，如圖1(a)所示。浮體平衡位置還要滿足穩(wěn)定性條件才能具體實(shí)現(xiàn)。圖1(b)表

3、示一個(gè)長(zhǎng)方形物塊平躺和豎立平衡位置發(fā)生了微小的擾動(dòng)，其中，左邊的物塊上作用的重力和浮力阻礙了物塊進(jìn)一步偏離其平衡位置，因此平衡是穩(wěn)定，而右邊的物塊則相反，其上作用的重力和浮力加劇了偏離其平衡位置，平衡是不穩(wěn)定。以下來(lái)分析浮體平衡和穩(wěn)定的條件。 圖1 浮體的平衡假設(shè)浮體有一個(gè)對(duì)稱面，平衡位置發(fā)生擾動(dòng)時(shí)，浮體上各點(diǎn)的位移均平行于對(duì)稱面，浮體作平面運(yùn)動(dòng)。容易說(shuō)明浮體對(duì)鉛直和水平擾動(dòng)是穩(wěn)定的，僅需考慮浮體對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)方向擾動(dòng)的穩(wěn)定性問(wèn)題。平衡時(shí)，浮體與水平面的交面稱浮面，記為。先建立一個(gè)與浮體固連的坐標(biāo) 國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10772151)系：取浮面的形心為坐標(biāo)系原點(diǎn)，浮面與對(duì)稱面的交線稱為浮線，取

4、其為軸，浮軸鉛直向上， 軸在浮面內(nèi)并于和軸正交，如圖2所示。浮體繞點(diǎn)(軸)轉(zhuǎn)動(dòng)微小角度時(shí)，與浮體固連的坐標(biāo)系變成了。設(shè)平衡時(shí)，浮體重心和浮心在與軸平行的直線上，此直線交軸于點(diǎn)，設(shè)，。考慮積分 (1) 因?yàn)檩S是通過(guò)形心的主軸，故(1)成立。即當(dāng)繞軸作微小轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，浮體排開(kāi)水的體積不發(fā)生變化，隨之其受到的浮力大小不變。 圖2 浮心與定傾中心 平衡位置發(fā)生微小轉(zhuǎn)角之后，浮體浸入水中部分的形狀發(fā)生了變化，浮力的作用點(diǎn)位置隨之改變，浮心相對(duì)浮體由點(diǎn)移至點(diǎn)，其相對(duì)浮體的軌跡是平面過(guò)和點(diǎn)的平面曲線，稱其為浮心曲線(curve of buoyancy)。杜賓(Dupin)第一定理表明，過(guò)點(diǎn)的水平線是浮心曲線在該

5、點(diǎn)切線，因此浮力作用線是浮心曲線在該點(diǎn)的法線，于是當(dāng)點(diǎn)無(wú)限趨近點(diǎn)時(shí)，浮力作用線與浮軸交點(diǎn)趨近位于軸的一個(gè)定點(diǎn)，該點(diǎn)稱為定傾中心(metacentre)。定傾中心即為浮心曲線在點(diǎn)處的曲率中心。當(dāng)發(fā)生微小轉(zhuǎn)角時(shí)，浮力作用線與浮軸的交點(diǎn)在定傾中心的充分小鄰域內(nèi)，有時(shí)又稱為定傾中心。如圖1(b)，若定傾中心位于浮體重心之上，重力和浮力形成了一個(gè)“恢復(fù)”力偶，浮體的平衡是穩(wěn)定的；反之，若定傾中心位于浮體重心之下，重力和浮力形成了一個(gè)“排斥”力偶，浮體的平衡是不穩(wěn)定的。對(duì)某個(gè)平衡位置而言(圖2)，定傾中心與浮體重心的高度差稱為定傾高度(metacentre hight)。當(dāng)時(shí)，浮體的平衡是穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)，浮

6、體的平衡是不穩(wěn)定的。如圖2所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，其中軸和軸分別與軸和軸平行且指向分別相同，計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)如下： (2) (3)其中是平衡時(shí)的浮面對(duì)軸的慣性矩，是浮體排開(kāi)水的體積。由(2)和(3)式， (4)其中是浮心曲線上由到的弧長(zhǎng)。于是 (5) (6)其中是浮心曲線在點(diǎn)處的曲率半徑。例1 如圖3(a)所示，一根橫截面為正方形的長(zhǎng)木塊漂浮于水面上，試確定其平衡位置穩(wěn)定性。已知木塊和水的比重分別為和，木塊的相對(duì)密度為。 圖3水中漂浮的木塊解法一：設(shè)木塊平衡時(shí)吃水深度為，由平衡條件 (7)由(7)，得： (8)有關(guān)量計(jì)算如下： (9) (10)由(6) (11)令，由(11)解出：。因

7、此，當(dāng)或時(shí)，平衡是穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)，平衡是不穩(wěn)定的。 容易證明，如將換成，并將木塊的某一個(gè)平衡位置沿浮面反射，木塊仍保持平衡，而且穩(wěn)定性不變，因此可設(shè)。 解法二：先求出浮心曲線的表達(dá)式，然后確定此曲線在平衡時(shí)浮心處的曲率半徑。為此，建立與浮體固連的直角坐標(biāo)系，如圖3(b)所示。可計(jì)算出浮心的坐標(biāo)： (12) (13)浮體平衡條件(ii)為： (14)將(12)、(13)代入(14)中，得： (15)由(15) 知浮體有平凡的平衡位置： (16)及可能有非平凡的平衡位置： (17)由(12)和(13)消去，得： (18)可見(jiàn)浮心曲線是頂點(diǎn)在點(diǎn)處、開(kāi)口向上的拋物線。在處的曲率半徑為 (19)于是 (2

8、0)顯然(20)與(11)相同。由(17)和(20)可知，當(dāng)平凡解不穩(wěn)定時(shí)，有非平凡解存在。解法三：在(12)和(13)中，記及，則 (21) (22) (23)令，得到與(15)等價(jià)的方程。將平凡平衡位置代入(23)，令可解出；將非平凡的平衡位置(17)代入(23)，有。因此，對(duì)平凡平衡位置，當(dāng)時(shí)，浮體重心到浮心的距離是極小值，平衡是穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)，浮體重心到浮心的距離是極大值，平衡是不穩(wěn)定的。 圖4尖點(diǎn)奇異性 浮心曲線(18)是對(duì)應(yīng)正方形有兩個(gè)頂點(diǎn)浸入水中情況的，由圖3(b)，此時(shí)要滿足條件 (24)將(24)代入(17)，可得，正方形有兩個(gè)頂點(diǎn)浸入水中的平衡位置存在范圍為。當(dāng)正方形有兩個(gè)頂

9、點(diǎn)浸入水時(shí)，浮心曲線是一拋物線，如圖4所示，漸屈線(曲率中心的軌道)有一個(gè)尖點(diǎn)。浮體的重心到浮心曲線任一條法線對(duì)應(yīng)一個(gè)平衡位置，如圖4(a)中的法線與4 (b)中的 和。浮體搖晃運(yùn)動(dòng)類似于與剛體固連的浮心曲線在某一水平線上作純滾動(dòng)(的高度是變化的)。對(duì)某一平衡位置而言，如果浮體的重心在浮心之定傾中心之間，如圖4(a)中的平衡位置，那么到的距離是極小值，浮體的勢(shì)能(含排開(kāi)水的勢(shì)能)為極小值，于是平衡是穩(wěn)定的；如果浮體的重心在浮心和定傾中心之外，如圖4(b)中的平衡位置，那么到的距離是極大值，浮體的勢(shì)能為極大值，于是平衡是不穩(wěn)定的。當(dāng)平衡位置不穩(wěn)定時(shí)，木塊就轉(zhuǎn)換到新的穩(wěn)定平衡位置上，在水中傾斜了。

10、如果記浮體浮心和重心距水表面深度分別為、， 是浮體的重量。浮體將其排開(kāi)的水?dāng)D壓到水的自由表面上，故其勢(shì)能為 (25) 如果記為浮體的重心到浮心的距離，可證明與等價(jià)，以及與同號(hào)，即浮體勢(shì)能的每個(gè)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)浮體的一個(gè)平衡位置，浮體勢(shì)能的極小值對(duì)浮體穩(wěn)定的平衡位置，而極大值對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定的平衡位置。浮心曲線是一條封閉曲線，例如，長(zhǎng)方形木塊的浮心曲線是四段拋物線和四段雙曲線相間連接而成，浮體重心到浮心曲線的每個(gè)法線確定一個(gè)平衡位置，此時(shí)浮體重心到浮心距離為極值，因此任何浮體總存在一個(gè)穩(wěn)定和一個(gè)不穩(wěn)定的平衡位置，穩(wěn)定平衡位置與不穩(wěn)定總是相互隔離的?？梢宰C明一般邊形最多可能有個(gè)平衡位置，例如，正三角形最多可能

11、有個(gè)平衡位置。 以上討論的僅是平面浮體的平衡問(wèn)題，如果是像海洋平臺(tái)之類的三維浮體的平衡問(wèn)題的話，那么就更復(fù)雜了。但是，近期發(fā)展起來(lái)的奇異性和突變理論為研究此類問(wèn)題提供了強(qiáng)有力工具。由此看來(lái)，由阿基米德兩千多年前開(kāi)始的、后經(jīng)惠更斯和歐拉之手的關(guān)于浮體平衡問(wèn)題研究至今尚未劃上句號(hào)，有很多問(wèn)題值得進(jìn)一步研究。 參考文獻(xiàn)1. 董曾南，章梓雄。非粘性流體力學(xué)。清華大學(xué)出版社，20032.中國(guó)大百科全書-力學(xué)卷。中國(guó)大百科全書出版社，19853.陳清梅。浮體穩(wěn)定性的研究。大學(xué)物理，2003,22(7):33-344. 趙凱華，羅蔚茵。新概念物理教程-力學(xué)。高等教育出版社，19955. Statics. 1

12、9126.H.E.茹科夫斯基。理論力學(xué)（下）。高等教育出版社，19557.T. Poston, I.Stewart. Catastrophe Theory and its Applications. Pitman,London,1978On the equilibrium and stability of floating body Xie Jianhua(Traction Power State Key Laboratory of Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031) Abstract This paper discusses the equilibrium and stability of floating body, and introduced the definition of metacentre, then gives three different methods of calculating the height of meta