信號的抽取與插值

1、信號的抽取與插值信號的抽取與插值 許多數(shù)字信號處理應用中，一個系統(tǒng)中會存在不同采樣頻率的許多數(shù)字信號處理應用中，一個系統(tǒng)中會存在不同采樣頻率的信號，稱這樣的系統(tǒng)為信號，稱這樣的系統(tǒng)為多速率信號處理系統(tǒng)多速率信號處理系統(tǒng) 數(shù)字音頻：數(shù)字音頻：廣播、數(shù)字壓縮光盤和數(shù)字音頻磁帶使用的采樣率廣播、數(shù)字壓縮光盤和數(shù)字音頻磁帶使用的采樣率不同，音頻系統(tǒng)中經(jīng)常需要在幾種不同的采樣率之間轉(zhuǎn)換不同，音頻系統(tǒng)中經(jīng)常需要在幾種不同的采樣率之間轉(zhuǎn)換 多媒體通信多媒體通信，所傳輸?shù)男盘柊ㄒ纛l、視頻和數(shù)據(jù)等不同類型的，所傳輸?shù)男盘柊ㄒ纛l、視頻和數(shù)據(jù)等不同類型的信號，這些信號的帶寬相差很大，因此它們的采樣率也不同信號，

2、這些信號的帶寬相差很大，因此它們的采樣率也不同 增加信號采樣率的運算叫增加信號采樣率的運算叫內(nèi)插內(nèi)插(interpolation)或或上采樣上采樣(up-sampling)降低采樣率的運算叫降低采樣率的運算叫抽取抽取(decimation)或或下采樣下采樣(down-sampling) 多速率信號處理系統(tǒng)的核心內(nèi)容是多速率信號處理系統(tǒng)的核心內(nèi)容是信號采樣率轉(zhuǎn)換信號采樣率轉(zhuǎn)換與與濾波器組濾波器組整數(shù)因子抽取整數(shù)因子抽取 整數(shù)因子插值整數(shù)因子插值 采樣率的分數(shù)倍轉(zhuǎn)換采樣率的分數(shù)倍轉(zhuǎn)換 抽取和插值的多相濾波器結(jié)構(gòu)抽取和插值的多相濾波器結(jié)構(gòu)主要內(nèi)容主要內(nèi)容 1 整數(shù)因子抽取整數(shù)因子抽取 )(nx1 D

3、)(mxD把原序列把原序列每隔每隔個點抽取一個點組成一個新序列個點抽取一個點組成一個新序列 DmxmxD 其中，其中，D為正整數(shù)為正整數(shù) 051015202530-1-0.500.51Input SequenceTime index nAmplitude0123456789-1-0.500.51Output sequence down-sampled by 3AmplitudeTime index n抽取后是否會丟失信息？抽取后是否會丟失信息？ )(mxD)(nx為此分析序列為此分析序列與原序列與原序列之間的頻譜關(guān)系之間的頻譜關(guān)系 )(nxsf)(mxDDfs/)2/( Dfs以因子以因子D進

4、行抽取后不產(chǎn)生混疊的頻率范圍為進行抽取后不產(chǎn)生混疊的頻率范圍為2/sf如果要采樣不產(chǎn)生混疊，則如果要采樣不產(chǎn)生混疊，則 的頻率限制在的頻率限制在 以內(nèi)以內(nèi))(nx的頻率分量的頻率分量如果如果x(n)中含有大于中含有大于)2/( Dfs必然產(chǎn)生頻譜混疊，導致不能從必然產(chǎn)生頻譜混疊，導致不能從中恢復中恢復)(mxD)(nx nDDnnxnx其它其它0,.2, 0)()(int)()()()()(intnnxiDnnxnxDi 其中其中)()(iDnniD )()()(intDmxDmxmxD nnmDmDzDnxzmxzX )()()(DnnnnznxzDnx/intDint)()( 的整數(shù)倍的整

5、數(shù)倍是是由于由于n不是不是D的整數(shù)倍時的整數(shù)倍時)(intnx=0 DnDnDnnDznnxznxzX )()()()(/int )(01110niDniDnWDDnrDDr DnnrDDrnDzWDnxzX 101)()()(1)(1110110DrDDrnDrDnDrzWXDzWnxD )e (1)e (2j10jDrDrDXDX )e (j DX可見，抽取序列的頻譜可見，抽取序列的頻譜是原序列頻譜是原序列頻譜D倍展寬后倍展寬后按（按（22）的整數(shù)倍位移并疊加而成）的整數(shù)倍位移并疊加而成 抽取產(chǎn)生抽取產(chǎn)生頻譜混疊頻譜混疊 為保證抽取后不丟失信息，應該保證抽取后信號的頻為保證抽取后不丟失信息

6、，應該保證抽取后信號的頻譜不發(fā)生混疊，所以在抽取前對信號的頻譜應該加以譜不發(fā)生混疊，所以在抽取前對信號的頻譜應該加以限制。限制。如果在抽取前先用一數(shù)字低通濾波器（濾波器的帶寬如果在抽取前先用一數(shù)字低通濾波器（濾波器的帶寬為為 /D,對對x(n)進行濾波，使得進行濾波，使得DX/|0)e (j 則按因子則按因子D抽取后信號頻譜不會發(fā)生混疊抽取后信號頻譜不會發(fā)生混疊 序列抽取不發(fā)生混疊的序列抽取不發(fā)生混疊的Nyquist條件條件 其其他他0/| )e (|jDDHD 2 2 整數(shù)因子插值整數(shù)因子插值 nIImImxmxI其它其它0,.2, 0)/()()(nxsf)(mxIsIfnnmImIzIn

7、xzmxzX )/()()()()(InInzXznx )e ()e (jjIIXX 內(nèi)插后信號頻譜被壓縮了內(nèi)插后信號頻譜被壓縮了I倍倍 )e (j IX)e (j X中不僅包含中不僅包含的高頻成分的高頻成分還含有大于還含有大于 /I/I的基帶部分的基帶部分為了能從中為了能從中 得到基帶信號，需要通過低通濾波得到基帶信號，需要通過低通濾波消除內(nèi)插帶來的鏡像。消除內(nèi)插帶來的鏡像。)e (j IX低通濾波器的幅度響應為低通濾波器的幅度響應為 其其他他0/|1| )e (|jIHI 插值可以提高時域分辨率插值可以提高時域分辨率3 3 采樣率的分數(shù)倍轉(zhuǎn)換采樣率的分數(shù)倍轉(zhuǎn)換 假設(shè)輸入輸出信號采樣率的轉(zhuǎn)換

8、因子為假設(shè)輸入輸出信號采樣率的轉(zhuǎn)換因子為DIR/ 可以通過將可以通過將D D抽取與抽取與I I插值結(jié)合來實現(xiàn)插值結(jié)合來實現(xiàn)為了保證不丟失信息，分數(shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換應為了保證不丟失信息，分數(shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換應先插值后抽取先插值后抽取 其他其他0/,/min| )e (|jDIDH )e (j H 例例 在圖示系統(tǒng)中，已知輸入信號在圖示系統(tǒng)中，已知輸入信號x(n)的采樣率為的采樣率為4kHz，其，其頻譜幅度如圖所示。試確定該系統(tǒng)中的頻譜幅度如圖所示。試確定該系統(tǒng)中的I、D和和幅度特性，使輸出信號幅度特性，使輸出信號y(m)的抽樣頻率為的抽樣頻率為5kHz解：解：由于輸出信號比輸由于輸出信號比輸入信號的抽樣

9、頻率入信號的抽樣頻率提高了提高了5/4倍，所以倍，所以R=5/4 取取I=5，D=4 |16. 0016. 0|4| )(|j eH7. 4 多抽樣率系統(tǒng)的多相濾波結(jié)構(gòu)多抽樣率系統(tǒng)的多相濾波結(jié)構(gòu)先濾波后抽取先濾波后抽取 先插值后濾波先插值后濾波 對運算速度的要求相當高對運算速度的要求相當高 7. 4. 1 抽取器與插值器的恒等變換抽取器與插值器的恒等變換恒等變換恒等變換1 1D1( )x n2( )xn1()y mDD1( )x n2( )xn()y m2 1 1 2 恒等變換恒等變換2 2兩個信號分別定標以后再相加后的抽取等于它們各自抽取后再定標和相加兩個信號分別定標以后再相加后的抽取等于它

10、們各自抽取后再定標和相加 1 2 II( )x nI2 ( )x n1( )y m2( )y m2()y m1( )y m1 信號分別定標以后的插值等于它們各自插值后再分別定標信號分別定標以后的插值等于它們各自插值后再分別定標恒等變換恒等變換3 3D( )x n()y mDz 2()y mD( )x n1z 信號延遲信號延遲D個樣本后作個樣本后作D倍抽取和先倍抽取和先作作D倍抽取再延遲一個樣本是等效的倍抽取再延遲一個樣本是等效的 ( )()x nx nD ( )( )DXzzX z 證明：設(shè)證明：設(shè) 則則x(n)y(m)11101( )( )()DrDDDrY zXzX W zD 11101(

11、)()DrDrDDDDrW zX W zD 11101()DrDDrz X W zD ()()()Dy mxmx Dm 2()(1)y my m 12( )( )Y zz Y z 1101( )()DrDDrY zX W zD 1111201( )( )()DrDDrY zz Y zz X W zD 12( )( )Y zY z 恒等變換恒等變換4 4I( )x n1z ()y mIIz ()y m( )x n信號經(jīng)過單位延遲后作信號經(jīng)過單位延遲后作I倍插值倍插值和先和先作作I倍倍插值插值再延遲再延遲L個樣本是等效的個樣本是等效的 )(1)(110DrDDrDzWXDzX )(1)(1101D

12、rDDrzWXDzV )()(1)()()(11011DrDDrzWXzHDzVzHzY )()()(2zXzHzVD )()(1)(11102DrDDDrDDrzWXzWHDzY 1 rDDW)()(1)()(1)(1101102DrDDrDrDDrzWXzHDzWXzHDzY 因為因為所以所以)()(21zYzY 將信號按將信號按D因子抽取后再經(jīng)過濾波器因子抽取后再經(jīng)過濾波器H(z),等價于將信號先經(jīng)過濾波器等價于將信號先經(jīng)過濾波器H(zD),再按再按D因子抽取因子抽取 恒等變換恒等變換5 5)()(IIzXzX 因為因為)()()(3zXzHzV )()()()(33IIIzXzHzVz

13、Y )()(4IzXzV )()()()()(44IIIzXzHzVzHzY )()(43zYzY 將信號先經(jīng)過濾波器將信號先經(jīng)過濾波器H(z)后再按后再按I因子內(nèi)插，等價于將信號按因子內(nèi)插，等價于將信號按I因子內(nèi)因子內(nèi)插后再經(jīng)過濾波器插后再經(jīng)過濾波器H(zI)恒等變換恒等變換6 67. 4. 2 抽取和插值的多相濾波器結(jié)構(gòu)抽取和插值的多相濾波器結(jié)構(gòu) nnznhzH 1111 DDllDllDllzDDlhzDlhzDlh DllDDllDllzDDlhzzDlhzzDlh 11)1(1令令 1, 1 , 0, DjzjDlhzEllj 則則 DjDjjzEzzH 10 多相分量多相分量 I I型多相分解型多相分解 jenh Dnj DjDjjzEzzH 10先濾波后抽取先濾波后抽取 先抽取后濾波先抽取后濾波降低了對處理速度的要求，提高了實時處理能力降低了對處理速度的要求，提高了實時處理能力 減小運算誤差的積累，提高運算精度降減小運算誤差的積累，提高運算精度降, ,低對字長的要求低對字長的要求, , 每一支每一支路上濾路上濾波器的波器的階數(shù)只階數(shù)只有有H(z)階數(shù)的階數(shù)的1/D nnznhzH 1111 IIllIllIllzIIlhzIlhzIlh IjIjjzEz 10jIj 1令令 IjIIjjIzEz 110)1(定義定義 zEzRj