第4章_機(jī)器人動(dòng)力學(xué)

1、.機(jī)器人學(xué)基礎(chǔ)機(jī)器人學(xué)基礎(chǔ)智能科學(xué)基礎(chǔ)系列課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)智能科學(xué)基礎(chǔ)系列課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)“機(jī)器人學(xué)機(jī)器人學(xué)”課程配套教材課程配套教材蔡自興蔡自興 主編主編中南大學(xué)中南大學(xué)2009.2第四章 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)分析機(jī)器人操作的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，主要采用下列兩種理論：動(dòng)力學(xué)基本理論，包括牛頓歐拉方程。拉格朗日力學(xué)，特別是二階拉格朗日方程。 對(duì)于動(dòng)力學(xué)，有兩個(gè)相反的問(wèn)題：其一是已知機(jī)械手各關(guān)節(jié)的作用力或力矩，求各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，求得運(yùn)動(dòng)軌跡。其二是已知機(jī)械手的運(yùn)動(dòng)軌跡，即各關(guān)節(jié)的位移、速度和加速度，求各關(guān)節(jié)所需要的驅(qū)動(dòng)力或力矩。 機(jī)器人學(xué)基礎(chǔ).34.1 剛體動(dòng)力學(xué)拉格朗日函數(shù)L被定義為系統(tǒng)的動(dòng)能K和位能P

2、之差，即:系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程式，即拉格朗日方程如下： 式中， 為表示動(dòng)能和位能的坐標(biāo)， 為相應(yīng)的速度，而 為作用在第i個(gè)坐標(biāo)上的力或是力矩。 第四章 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)PKLniqLqLdtdiii, 2 , 1, F(4.1)(4.2)iqiq iF.44.1.1 剛體的動(dòng)能與位能2002112121xxMMK0011201)(21gxgxxxMMkP201)(21xx D01FxFx W4.1 剛體動(dòng)力學(xué)圖4.1 一般物體的動(dòng)能與位能.54.1.1 剛體的動(dòng)能與位能 為廣義坐標(biāo) 其中，左式第一項(xiàng)為動(dòng)能隨速度（或角速度）和時(shí)間的變化；第二項(xiàng)為動(dòng)能隨位置（或角度）的變化；第三項(xiàng)為能耗隨速度變化；第四項(xiàng)為

3、位能隨位置的變化。右式為實(shí)際外加力或力矩。表示為一般形式： 4.1 剛體動(dòng)力學(xué)1, 0 xx 11111xWxPxDxKxKdtdgFxxx111111MdcM .64.1.1 剛體的動(dòng)能與位能 均為廣義坐標(biāo)，有下式： 或用矩陣形式表示為： 100, 0 xxx和Fgxxxxx1010111)()(MkcM Fgxxxxx0010100)()(MkcM FFxxxxxx0101010100kkkkccccMM 4.1 剛體動(dòng)力學(xué).74.1.1 剛體的動(dòng)能與位能二連桿機(jī)械手的動(dòng)能和位能 4.1 剛體動(dòng)力學(xué)圖4.2 二連桿機(jī)器手（1）.84.1.1 剛體的動(dòng)能與位能二連桿機(jī)械手系統(tǒng)的總動(dòng)能和總位能

4、分別為：(4.3)21KKK)(cos)(21)(2121212212221222212121ddmdmdmm21PPP)cos(cos)(21221121gdmgdmm(4.4)4.1 剛體動(dòng)力學(xué).94.1.2 動(dòng)力學(xué)方程的兩種求法拉格朗日功能平衡法 二連桿機(jī)械手系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)L為： 求得力矩的動(dòng)力學(xué)方程式：4.1 剛體動(dòng)力學(xué)PKL)2(21)(21222121222212121dmdmm)cos(cos)()(cos2122112121212212gdmgdmmddm(4.5)2112212212121211122221222211122111212221121121DDDDDDDDD

5、DDDDDTT (4.10).10拉格朗日功能平衡法 比較可得本系統(tǒng)各系數(shù)如下：有效慣量 耦合慣量向心加速度系數(shù)4.1.2 動(dòng)力學(xué)方程的兩種求法2212222212111cos2)(ddmdmdmmD22222dmD)cos(cos221222221222212dddmddmdmD0sinsin022222122112212122111DddmDddmDD.11拉格朗日功能平衡法哥氏加速度系數(shù)重力項(xiàng)4.1.2 動(dòng)力學(xué)方程的兩種求法0sin2212122212121112DDddmDD)sin()sin(sin)(21222212211211gdmDgdmgdmmD.12拉格朗日功能平衡法表4.

6、1給出這些系數(shù)值及其與位置 的關(guān)系。 表4.1 222cos11D12D22D1IfI負(fù)載地面空載09018027010-1064242101111164242323地面滿載09018027010-1018102108404444418102102626外空間負(fù)載09018027010-10402202220220010001001001001001004022022202210221024.1.2 動(dòng)力學(xué)方程的兩種求法.134.1.2 動(dòng)力學(xué)方程的兩種求法牛頓-歐拉動(dòng)態(tài)平衡法二連桿系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程的一般形式為：式中的W、K、D、P和qi等的含義與拉格朗日法一樣；i為連桿代號(hào)，n為連桿數(shù)目。

7、niqPqDqKqKdtdqWiiiii, 2 , 1, (4.11)4.1 剛體動(dòng)力學(xué).14牛頓-歐拉動(dòng)態(tài)平衡法質(zhì)量 的位置矢量 （見(jiàn)圖4.3）為： 21rr 和21mm 和jirr)sin()cos(111101ddji)sin()cos(1111ddjirr)sin()cos(21221212ddji)sin(sin)cos(cos2121121211dddd4.1.2 動(dòng)力學(xué)方程的兩種求法圖4.3 二連桿機(jī)械 .152牛頓-歐拉動(dòng)態(tài)平衡法可得:1221222221211cos2)( ddmdmdmmT2122121122212222)sin2(cos ddmcddmdm)sin(sin

8、)()sin(21221121222212gdmgdmmddm(4.12)4.1.2 動(dòng)力學(xué)方程的兩種求法2122122222122122222sin)cos( ddmdmddmdmT)sin(212222gdmc(4.13).164.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程 分析由一組A變換描述的任何機(jī)械手，求出其動(dòng)力學(xué)方程。推導(dǎo)過(guò)程分五步進(jìn)行：計(jì)算任一連桿上任一點(diǎn)的速度；計(jì)算各連桿的動(dòng)能和機(jī)械手的總動(dòng)能；計(jì)算各連桿的位能和機(jī)械手的總位能；建立機(jī)械手系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)；對(duì)拉格朗日函數(shù)求導(dǎo)，以得到動(dòng)力學(xué)方程式。第四章 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)圖4.4 四連桿機(jī)械手.174.2.1 速度的計(jì)算連桿3上點(diǎn)P的速度為：對(duì)于連桿i上

9、任一點(diǎn)的速度為： 4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程ppppTTdtddtdrrrv333300)()(rrviijjjiqqTdtd1(4.15).184.2.1 速度的計(jì)算P點(diǎn)的加速度為：pjiippppqqTdtdTTdtddtdrrrva3313333300)()(pkjjkkjpjiiqqqqTqdtdqTrr33131323313pkjjkkjpjiiqqqqTqqTrr33131323313 4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程.194.2.1 速度的計(jì)算速度的平方式中，Trace表示矩陣的跡。對(duì)于n階方程來(lái)說(shuō)，其跡即為它的主對(duì)角線上各元素之和。4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程)()()()()(000020

10、TpppppTracevvvvv31313333)()(jkTpkkpjjqqTqqTTracerr31333133)( )(jkjkTTpkpjqqqTqTTracerr.204.2.1 速度的計(jì)算任一機(jī)械手上一點(diǎn)的速度平方為：ijikTikkiijjiqqTqqTTracedtdr1122rrvijkkTkiTikiikiqqqTqTTrace11rr(4.16)4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程.214.2.2 動(dòng)能和位能的計(jì)算動(dòng)能的計(jì)算 令連桿3上任一質(zhì)點(diǎn)P的質(zhì)量為dm，則其動(dòng)能為：dmvdKp2321dmqqqTrrqTTracejkiTkkTppi31313333)(2131313333)(

11、21jkiTkkTTppiqqqTrdmrqTTrace4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程.22動(dòng)能的計(jì)算任一機(jī)械手連桿i上位置矢量 的質(zhì)點(diǎn)，其動(dòng)能為：連桿3的動(dòng)能為：dmqqqTqTTracedKijkjikkTiTijjii1121rrijkjikkTiTTiijiqqqTdmqTTrace11)(21rr331313333333)(21連桿連桿jkkjTkTppjqqqTdmqTTracedKKrrri4.2.2 動(dòng)能和位能的計(jì)算.23動(dòng)能的計(jì)算任何機(jī)械手上任一連桿i動(dòng)能為：式中， 為偽慣量矩陣。具有n個(gè)連桿的機(jī)械手總的功能為：iiidKK連桿ijikkjkiijiqqqTIqTTrace1121

12、(4.17)4.2.2 動(dòng)能和位能的計(jì)算iIninjkiikkTiijiniiqqqTIqTraceTKK111121(4.19).24動(dòng)能的計(jì)算連桿 的傳動(dòng)裝置動(dòng)能為：所有關(guān)節(jié)的傳動(dòng)裝置總動(dòng)能為：機(jī)械手系統(tǒng)（包括傳動(dòng)裝置）的總動(dòng)能為：4.2.2 動(dòng)能和位能的計(jì)算i221iaiaiqIKniiaiaqIK1221atKKK61116122121iijikiiaikjkTiiiiqIqqqTIqTTrace(4.20).254.2.2 動(dòng)能和位能的計(jì)算位能的計(jì)算一個(gè)在高度h處質(zhì)量m為的物體，其位能為：連桿i上位置 處的質(zhì)點(diǎn)dm，其位能為：式中，rirdmTrdmdPiiTTigg0mghP 1

13、,zyxTggggiiiiiTiiTiirdmTrdmTdPP連桿連桿連桿ggiiiTiiiiiTrTmrmTgg。4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程.26位能的計(jì)算連桿上位置 處的質(zhì)點(diǎn)dm，其位能為：機(jī)械手系統(tǒng)的總位能為： rdmTrdmdPiiTTigg0niniiaiiPPPP11)(niiiiTirTm1g ri4.2.2 動(dòng)能和位能的計(jì)算(4.21).274.2.3 動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)據(jù)式(4.1)求拉格朗日函數(shù) PKLt,2121112111niniiiiTiiainiijikkjkTiiiirTmqIqqqTIqTTraceg2 , 1n (4.22)4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程.284.2.3

14、 動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)再據(jù)式(4.2)求動(dòng)力學(xué)方程，先求導(dǎo)數(shù) nikikkTiipipqqTIqTTraceqL1121niijpapjpTiiiiqIqqTIqTTtace1121np, 2 , 14.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程.294.2.3 動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)據(jù)式(4.18)知， 為對(duì)稱矩陣，即 ，所以下式成立： jTiikijTiTikikTiijiqWIqTTraceqWIqTTraceqTIqTTracenipapkikpTiikipqIqqTIqTTraceqL11iTiIIiI4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程.304.2.3 動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)npiikpapkpTiikipqIqqTIqTTrac

15、eqLdtd1 npiijkjikiTiikjiqqqTIqqTTrace112npiijkjikiTiikpiqqqTIqqTTrace112npiikpapkpTiikiqIqqTIqTTrace1 npiijkjikkTiikjiqqqTIqqTTrace1122 4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程.314.2.3 動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)npiijikkjkTiikjipqqqTIqqTTraceqL11221npiiinpiiipiTiikkjjtiipkirqTmqqqTIqqTTrace11221gnpiijiknpiiipiTikjkTiijpirqTmqqqTIqqTTrace112g4.2 機(jī)械手動(dòng)力學(xué)方程.324.2.3 動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)具有n個(gè)連桿的機(jī)械手系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程如下：nijjkiaikiTjjkjiqIqqTIqTTraceT1 njjknjiiii