數(shù)值分析題庫

1、一 單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分）1 在下列四個(gè)數(shù)中，有一個(gè)數(shù)具有4位有效數(shù)字，且其絕對誤差限為 ，則該數(shù)是（ ）A 0.001523 B 0.15230C 0.01523 D 1.523002 設(shè)方陣A可逆，且其n個(gè)特征值滿足：，則的主特征值是（ ）A B C 或 D 或3 設(shè)有迭代公式。若|B| > 1，則該迭代公式（ ）A 必收斂 B 必發(fā)散C 可能收斂也可能發(fā)散4 常微分方程的數(shù)值方法，求出的結(jié)果是（ ）A 解函數(shù) B 近似解函數(shù)C 解函數(shù)值 D 近似解函數(shù)值5 反冪法中構(gòu)造向量序列時(shí)，要用到解線性方程組的（ ）A 追趕法 B LU分解法C 雅可比迭代法 D 高斯塞德爾迭代法

2、二 填空題（每小題4分，共20分）1 設(shè)有方程組 ，則可構(gòu)造高斯塞德爾迭代公式為2 設(shè)，則 3 設(shè)，則相應(yīng)的顯尤拉公式為 4 設(shè),。若要使與在0，1上正交，則= 5 設(shè)，若有平面旋轉(zhuǎn)陣P，使P的第3個(gè)分量為0，則P = 三 計(jì)算題（每小題10分，共50分）1 求的近似值。若要求相對誤差小于0.1%，問近似值應(yīng)取幾位有效數(shù)字？2 設(shè),若在-1，0上構(gòu)造其二次最佳均方逼近多項(xiàng)式,請寫出相應(yīng)的法方程。3 設(shè)有方程組 ，考察用雅可比迭代解此方程組的收斂性。4 試確定常數(shù)A，B，C及，使求積公式為高斯求積公式。5設(shè)有向量，試構(gòu)造初等反射陣H，使。 四 證明題（每小題10分，共20分）1設(shè)有迭代公式 ，試

3、證明該公式在鄰近是2階收斂的，并求 。2.設(shè)是n 維列向量，Q為n階正交矩陣，且Q，試證 。模擬二一、 單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分）1 在下列四個(gè)數(shù)中，有一個(gè)數(shù)具有4位有效數(shù)字，且其絕對誤差限為 ，則該數(shù)是（ ）。A 0.00217 B 0.02170C 0.21700 D 2.170002 已知是A的特征值，p是給定參數(shù)，則B=A-pE的特征值是（ ）。A +p B -pC +2p D -2p3 設(shè)有迭代公式，則|B| < 1 是該迭代公式收斂的（ ）。A 充分條件 B 必要條件C 充分必要條件4 三次樣條插值法中遇到的線性方程組應(yīng)該用（ ）求解。A 雅可比迭代 B 高斯-塞德爾

4、迭代C 平方根法 D 追趕法5 若尤拉公式的局部截?cái)嗾`差是，則該公式是（ ）方法。A 1階 B 2階C 3階 D 無法確定二、 填空題（每小題4分，共20分）a) 設(shè)，則 。b) 設(shè)有方程組 ，則可構(gòu)造高斯塞德爾迭代公式為。c) 設(shè)，則相應(yīng)的顯尤拉公式為 。d) 設(shè)，若有平面旋轉(zhuǎn)陣P，使P的第3個(gè)分量為0，則P = 。e) 設(shè),.若要使與在-1，0上正交，則= 。三計(jì)算題（每小題10分，共50分）1 設(shè),若在0，1上構(gòu)造其二次最佳均方逼近多項(xiàng)式,請寫出相應(yīng)的法方程。2求的近似值。若要求相對誤差小于1%，問近似值應(yīng)取幾位有效數(shù)字？3設(shè)有方程組 ，考察用雅可比迭代解此方程組的收斂性。4試確定常數(shù)A

5、，B，C及，使求積公式有盡可能高的代數(shù)精度，并問該公式是否為高斯求積公式。5設(shè)有向量，試構(gòu)造初等反射陣H，使四證明題（共20分）1設(shè)有迭代公式 ，試證明該公式。在附近是平方收斂的，并求 。2 設(shè)是的一次拉格朗日插值，試證： 模擬三一、 單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分）1、 若近似值10.00230具有7位有效數(shù)字，則其較小的絕對誤差限為（ ）。A. B. C. D. 2、 若已知迭代過程是3階收斂， C是不為零的常數(shù)，則下列式子中，正確的式子是（ ）。 A BC D3、 4階牛頓柯特斯求積公式至少具有（ ）次代數(shù)精度。 A. 4 B. 5 C. 8 D. 94、 三次樣條插值與二階

6、常微分方程的邊值問題中，都會(huì)用到求解線性方程組的（ ）。 A. LU分解法 B.追趕法 C.高斯消去法 D.平方根法5、 設(shè)A的特征值滿足，則相應(yīng)冪法的速比（ ）。A. B. C. D. 二、 填空題（每小題4分，共20分）1、過節(jié)點(diǎn)，做近似的二次拉格朗日插值，其表達(dá)式是 。2、若 是三次樣條函數(shù)，則 , , 。3、設(shè)，則 。4、設(shè)C=PA,其中P是三階平面旋轉(zhuǎn)陣， ，若使=0，則。5、設(shè)，則相應(yīng)的隱尤拉公式為 。三、 計(jì)算題（每小題10分，共50分）。1、 利用最小二乘法原理，求矛盾線性方程組 的近似解。2、 設(shè)，。若線性方程組僅有右端有擾動(dòng) 。試估計(jì)由此引起的解的相對誤差。3、 確定求積公

7、式，并指明其代數(shù)精度。4、 設(shè)有方程組，試考察求解該方程組的高斯-塞德爾迭代公式的斂散性。5、 設(shè)有方程 。試確定迭代函數(shù)，使迭代公式在=3附近收斂，并指出其收斂階。四、 證明題（每小題10分，共20分）1、 設(shè)是n階正交矩陣，A是n階方陣。試證明 。（提示： ）2、設(shè)有差分公式 。試證明該公式是二階公式。模擬四一、 單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分）1、 按四舍五入原則，數(shù)-7.00038的具有4位有效數(shù)字的近似值是（ ）。 A. 7.0004 B.-7.000 C. 7 D.-7.00032、 若行列式=0，其中是n階單位陣，A是n階方陣，則A的范數(shù)滿足（ ）。A. B. C. D. 3、

8、 條件數(shù)=（ ）。A. B. C. D.4、 設(shè)A是n階方陣，則A可作唯一LU分解的充分必要條件是（ ）。A. B .A為正交陣C.A為對稱正定陣 D.A為對角占優(yōu)陣5、 判定某數(shù)值求積公式具有m次代數(shù)精度，只需該公式滿足條件（ ）。A . 公式對準(zhǔn)確成立，而對不準(zhǔn)確成立B. 公式對任意次數(shù)不超過m次的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立C. 公式對任意次數(shù)為m+1次的多項(xiàng)式不準(zhǔn)確成立D. 公式對任意次數(shù)不超過m的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，而對不準(zhǔn)確成立二、填空題（每小題4分，共20分）1、 設(shè)是方程的單根，是對應(yīng)的牛頓迭代函數(shù)。若鄰近二階連續(xù)，則 。2、 設(shè)，則二階均差 。3、 設(shè)R是含的鄰域。要使迭代公式在R內(nèi)局部收斂，

9、應(yīng)滿足條件 。4、 設(shè)。若存在平面旋轉(zhuǎn)陣P，使P，則P=。5、 設(shè)有數(shù)值求積公式 。若該公式為高斯公式，則 。 三、計(jì)算題（每小題10分，共50分）。1、 設(shè)，。試求在-1，1上的二次最佳均方逼近多項(xiàng)式。2、 設(shè)曲線和相切。試構(gòu)造求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的近似值的收斂迭代公式。3、 設(shè)，試求其分解。4、 已知迭代公式 。設(shè)是B的任意特征值，試確定使迭代公式收斂的的取值范圍。5、 設(shè) ，若用復(fù)化梯形求積公式求的近似值，要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第4位，問步長h應(yīng)如何取值？四、證明題（每小題10分，共20分）1、 設(shè)矩陣。證明雅可比迭代法應(yīng)用于解方程組只對是收斂的。2、證明：當(dāng)|B|<1時(shí)，E+B是可逆矩陣，且

10、 。其中是指矩陣的算子范數(shù)。模擬五一、 單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分）1、階方陣可作分解的一個(gè)充分條件是為 （ ）。A.對角占優(yōu)陣 B.正交陣C.非奇異陣 D.對稱正定陣、設(shè)n階方陣及單位陣滿足，則譜半徑（ ）。A. <3 B.C. >3 D.3、若迭代公式是p階收斂，則（ ）。A. B. p!C. D. 4、設(shè)和是相同的插值條件下關(guān)于的拉格朗日插值和牛頓插值，則下述式子中正確的是（ ）。（其中）A. B. C. D. 、稱函數(shù)為a,b上的三次樣條函數(shù)，是指滿足條件（ ）。A. 為分段三次多項(xiàng)式且有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)B. 為分段三次多項(xiàng)式且有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)C. 為分段函數(shù)且有任意階導(dǎo)數(shù)

11、D. 為分段三次埃爾米特插值多項(xiàng)式二、填空題（每小題4分，共20分）、若已知的相對誤差為，則的相對誤差為 。、設(shè)，則過節(jié)點(diǎn)，的二次牛頓插值多項(xiàng)式為 。、設(shè)有求積公式是插值型求積公式，則 ， 。、設(shè)，若其在，上與帶權(quán)正交，則與的關(guān)系為 。、設(shè)求解的牛頓迭代公式平方收斂，是相應(yīng)迭代序列值，則 。三、 計(jì)算題（每小題10分，共50分）、已知數(shù)據(jù)表如下-1013-11331428 試求及的近似值。、確定參數(shù)，使積分取得最小值。、設(shè)試確定用牛頓法求解時(shí)的收斂性及收斂階數(shù)。、已知迭代公式，設(shè)為的任意特征值，設(shè)確定使迭代公式收斂的的取值范圍。、設(shè)，求其分解。四、證明題（每小題10分，共20分）、 設(shè)有n個(gè)不

12、同的實(shí)根，證明、 設(shè)是對稱矩陣，是的一個(gè)特征值及其相應(yīng)的特征向量。又設(shè)是一個(gè)正交陣，使證明：的第一行和第一列除了外，其余元素均為零。模擬六一、 單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分）6 若某個(gè)迭代公式是三階收斂的，c是非零常數(shù)，則當(dāng)時(shí)，有（ ）A B C D 7 已知是A的特征值，p是給定參數(shù)，則B=A-pE的特征值是（ ）A +p B -pC +2p D -2p8 龍貝格算法是求（ ）的算法。A 微分方法 B 插值函數(shù)C 數(shù)值積分 D 線性方程組9 若，則譜半徑（ ）A B C D 10 反冪法中構(gòu)造向量序列時(shí)，要用到解線性方程組的（ ）A 高斯塞德爾迭代法 B LU分解法C 雅可比迭代法 D

13、追趕法二、 填空題（每小題4分，共20分）1、 若某近似數(shù)具有6位有效數(shù)字，已知第一個(gè)非零數(shù)字在個(gè)位上，則其絕對誤差限為 。2、 求在0，1上的一次最佳均方逼近多項(xiàng)式時(shí)所用的法方程為 。3、 設(shè)，則相應(yīng)的顯尤拉公式為 。4、 矩陣的條件數(shù)是用來判斷線性方程組是否為 。5、 設(shè)，若有平面旋轉(zhuǎn)陣P，使P的第3個(gè)分量為0，則P= 。三、 計(jì)算題（每小題10分，共50分）1、 為了使計(jì)算圓面積時(shí)的相對誤差小于1%，問R的允許相對誤差界應(yīng)是多少？ 2、 用順序消去法解線性方程組3、 試確定常數(shù)A，B，C及，使求積公式有盡可能高的代數(shù)精度，并問該公式是否為高斯求積公式。4、 設(shè)有向量，試構(gòu)造初等反射陣H，

14、使5、 用尤拉方法求解初值問題步長取0.2,迭代2次。四、 證明題（共20分）1設(shè)迭代函數(shù) 在區(qū)間a,b上對任意 總有，且，試證明在a,b內(nèi)有且僅有一個(gè)解。2設(shè) (k= 0, 1, 2, ,n)是n次拉格朗日插值基函數(shù)，試證： 。（j = 0, 1, 2, , n）模擬七一、 單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分）1、 若下列數(shù)中，有一個(gè)數(shù)具有4位有效數(shù)字，且其絕對誤差限為 ，則該數(shù)是（ ）A 0.001523 B 0.15230C 0.01523 D 1.523002、 已知A的某一特征值是，p是給定參數(shù)，則B=A-pE對應(yīng)的特征值是（ ）A +p B -pC +2p D -2p3、 若某個(gè)迭代

15、公式是三階收斂的，c是非零常數(shù)，則當(dāng)時(shí)，有（ ）A B C D 4、 三次樣條插值法中遇到的線性方程組應(yīng)該用（ ）求解A 雅可比迭代 B 高斯-塞德爾迭代C 平方根法 D 追趕法 5、 反冪法中構(gòu)造向量序列時(shí)，要用到解線性方程組的（ ）A 追趕法 B LU分解法C 雅可比迭代法 D 高斯塞德爾迭代法五、 填空題（每小題4，共20）1、 設(shè)有方程組 ，則可構(gòu)造高斯塞德爾迭代公式為2、 設(shè)，則 3、 矩陣的條件數(shù)是用來判斷線性方程組是否為 4、 設(shè),.若要使f(x)與g(x)在-1，0上正交，則= 5、 設(shè)，若有平面旋轉(zhuǎn)陣P，使P的第3個(gè)分量為0，則P = 六、 計(jì)算題（每小題10分，共50分）1

16、、 近似數(shù)具有三位有效數(shù)字，試估計(jì)的相對誤差。對于，試估計(jì)的相對誤差。2、 取初始向量,用雅可比迭代法求解線性方程組3、 已知的三個(gè)點(diǎn)，寫出拉格朗日插值基函數(shù)，并求的二次插值多項(xiàng)式。4、 試確定常數(shù)A，B，C及D，使求積公式有盡可能高的代數(shù)精度，指出其代數(shù)精度。5設(shè)有向量，試構(gòu)造初等反射陣H，使七、 證明題（共20）1設(shè)是 的一個(gè)單根，在鄰近存在且連續(xù)。試證明牛頓法在 鄰近具有局部收斂性并且至少是平方收斂的。2證明解 的差分方程是二階方法（假設(shè)）。模擬八一、 單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分）1、 若下列數(shù)中，有一個(gè)數(shù)具有4位有效數(shù)字，且其絕對誤差限為，則該數(shù)是（ ）A 0.001223 B

17、0.12230C 0.01223 D 1.223002、 設(shè)有迭代公式。若|B| > 1，則該迭代公式（ ）A 必收斂 B 必發(fā)散C 可能收斂也可能發(fā)散3、 常微分方程的數(shù)值方法，求出的結(jié)果是（ ）A 解函數(shù) B 近似解函數(shù)C 解函數(shù)值 D 近似解函數(shù)值4、 專用來求解三對角形線性方程組的方法是（ ）A 追趕法 B LU分解法C 雅可比迭代法 D 平方根法5、 若，則譜半徑（ ）A B C D 八、 填空題（每小題4，共20）1、 設(shè)有方程組 ，則可構(gòu)造高斯塞德爾迭代公式為2、 設(shè)，則 3、 設(shè)常微分方程初值問題，則相應(yīng)的顯尤拉公式為： 4設(shè), .若要使與在0，1上正交，則= 5設(shè)，若有

18、平面旋轉(zhuǎn)陣P，使P的第3個(gè)分量為0，則P = 九、 計(jì)算題（每小題10分，共50分）1、 近似數(shù)具有三位有效數(shù)字，試估計(jì)的相對誤差。對于，試估計(jì)的絕對誤差。2、 討論牛頓法對的收斂性和收斂速度。3、 設(shè),若在0，1上構(gòu)造其二次勒讓德多項(xiàng)式, 請寫出相應(yīng)的法方程。4、 已知下面公式為高斯求積公式： 試求出A，B，及。5設(shè)有向量，試構(gòu)造初等反射陣H，使十、 證明題（共20）1證明線性方程組的迭代解收斂。2證明n次拉格朗日插值可表示成，其中 模擬九一、 單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分）1、 若下列數(shù)中，有一個(gè)數(shù)具有4位有效數(shù)字，且其絕對誤差限為 ，則該數(shù)是（ ）A 0.001583 B 0.158

19、30C 0.01583 D 1.583002、 若，則譜半徑（ ）A B C D 3、 六階牛頓-柯特斯公式至少具有（ ）次代數(shù)精度。A 7 B 6C 12 D 134、 常微分方程的數(shù)值方法，求出的結(jié)果是（ ）A解函數(shù) B近似解函數(shù)C解函數(shù)值 D近似解函數(shù)值5、 若尤拉公式的局部截?cái)嗾`差是，則該公式是（ ）方法A 1階 B 2階C 3階 D無法確定十一、 填空題（每小題4，共20）1、 設(shè)有方程組 ，則可構(gòu)造高斯塞德爾迭代公式為2、 設(shè)，則 3、 設(shè)，則相應(yīng)的顯尤拉公式為 4、 設(shè),.若要使與在-1，0上正交，則a = 5、 設(shè)，若有平面旋轉(zhuǎn)陣P，使P的第3個(gè)分量為0，則P = 十二、 計(jì)算

20、題（每小題10分，共50分）1、 為了使計(jì)算球體積時(shí)的相對誤差小于1%，問R的允許相對誤差界應(yīng)是多少？2、 討論牛頓法對的收斂性和收斂速度。3、 設(shè),在0，1上求其三次最佳均方逼近多項(xiàng)式。4、 用改進(jìn)的尤拉方法求解初值問題步長取0.2,迭代2次。5設(shè)有向量，試構(gòu)造初等反射陣H，使十三、 證明題（共20）1證明求解線性方程組的雅可比迭代對任意初值均收斂。2寫出辛卜生公式，并驗(yàn)證其具有三次代數(shù)精度。模擬十一、 單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分）1、 若下列數(shù)中，有一個(gè)數(shù)具有4位有效數(shù)字，且其絕對誤差限為 ，則該數(shù)是（ ）A 0.001111 B 0.11110C 0.01111 D 1.11100

21、2、 設(shè)方陣A可逆，且其n個(gè)特征值滿足：，則的主特征值是（ ）A 或 B C 或 D 3、 設(shè)有迭代公式。若|B| > 1，則該迭代公式（ ）A 必收斂 B 必發(fā)散C 可能收斂也可能發(fā)散4、 六階牛頓-柯特斯公式至少具有（ ）次代數(shù)精度。A 7 B 6C 12 D 135、 三次樣條插值法中遇到的線性方程組應(yīng)該用（ ）求解。A 雅可比迭代 B 高斯-塞德爾迭代C 平方根法 D 追趕法十四、 填空題（每小題4，共20）1、 設(shè)有方程組 ，則可構(gòu)造高斯塞德爾迭代公式為2、 若求積公式具有 ，則稱是高斯點(diǎn)。3、 設(shè)，則相應(yīng)的顯尤拉公式為 4、 若是上的分段三次多項(xiàng)式，且 ，則稱是上的三次樣條函

22、數(shù)。5、 設(shè)，若有平面旋轉(zhuǎn)陣P，使P的第3個(gè)分量為0，則P = 十五、 計(jì)算題（每小題10分，共50分）1、 求的近似值。若要求相對誤差小于0.1%，問近似值應(yīng)取幾位有效數(shù)字？2、 應(yīng)用牛頓法于方程,導(dǎo)出求（a>0）的迭代公式，并求當(dāng)k趨于無窮時(shí)的極限。3、 設(shè) 時(shí)，。求的二次插值多項(xiàng)式。4、 試確定常數(shù)A，B，C及，使求積公式有盡可能高的代數(shù)精度，并問該公式是否為高斯求積公式。5設(shè)有向量，試構(gòu)造初等反射陣H，使十六、 證明題（共20）1、設(shè)向量，試證：是一個(gè)初等反對稱陣。2、設(shè)，驗(yàn)證 滿足向量范數(shù)的定義。模擬十一一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分）。1、當(dāng)滿足（ ）條件時(shí)，依據(jù)線性方

23、程組系數(shù)矩陣的結(jié)構(gòu)，則雅可比迭代解和高斯-塞德爾迭代解一定收斂。A 大于6 B 等于6 C 小于6 D任意實(shí)數(shù)2、矩陣范數(shù)與譜半徑所滿足的關(guān)系是：（ ）。A BC D3、求解線性方程組的追趕法是用來求解下列哪種類型的方程組（ ）A系數(shù)矩陣為對稱陣 B系數(shù)矩陣為正交陣C系數(shù)矩陣為三角陣 D系數(shù)矩陣為三對角陣4、線性多步法公式，當(dāng)下列哪個(gè)式子成立時(shí)，該公式為隱公式（ ）A B C D5、求解初值問題的梯形公式：是( )階方法。A 1 B 2 C 3 D 二、填空題（每小題4分，共20分）。1、作為圓周率的近似值有 位有效數(shù)字。2、設(shè)矩陣，則的譜半徑 。3、設(shè)是n+1個(gè)互異的插值節(jié)點(diǎn)，是拉格朗日插值

24、基函數(shù)，則 。4、用列主元消去法解線性方程組，第1次消元，選擇主元為 。5、設(shè)矩陣，則矩陣的行范數(shù)是 。 三、計(jì)算題（每小題10分，共50分）。1、 設(shè)0，0，確定迭代公式在的鄰近的收斂階數(shù)。2、 設(shè)，在0，1上構(gòu)造其二次最佳均方逼近多項(xiàng)式的法方程（權(quán)為1）。3、 設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為，試求能使雅可比方法收斂的的取值范圍 。4、 取,寫出下述常微分方程初值問題 的二階龍格庫塔公式,并求的近似值。5、 利用龍貝格求積公式計(jì)算積分的近似值，要求誤差小于。四、證明題（每小題10分，共20分）。1、 設(shè)(k= 0, 1, 2, ,n)是n次拉格朗日插值基函數(shù)，試證： （j = 0, 1, 2, ,

25、 n）。2、設(shè)有數(shù)值積分公式，若其至少有次代數(shù)精度，試證該公式是插值型求積公式。模擬十二一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分）。1、設(shè)非奇異矩陣（可逆陣），若用反冪法求得的按模最小特征值為，則用冪法求得的的按模最大的特征值為（ ）。（其中為矩陣的按模最大的特征值）A B C D2、設(shè)是方程的根，若，則選擇下列哪個(gè)函數(shù)作為新的迭代函數(shù)，可保證新公式收斂？（ ）A B C（反函數(shù)） D3、若某個(gè)數(shù)值積分公式對次多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，則可判定該積分公式的代數(shù)精度為（ ）。A次 B次 C次 D次4、設(shè)，則均差（ ）。A B0 C1 D65、若數(shù)的近似值的絕對誤差限為，則具有幾位有效數(shù)字?（ ）A5位 B6位

26、 C7位 D8位二、填空題（每小題4分，共20分）。1、設(shè)矩陣，則矩陣的2-范數(shù)是 。2、要使函數(shù)，對任意的常數(shù)，都與在0，1正交，則= ，= 。3、二階牛頓-柯特斯求積公式 具有 次代數(shù)精度。4、常微分方程求解中，改進(jìn)尤拉公式的增量函數(shù)是 。5、已知，則 。三、計(jì)算題（每小題10分，共50分）。1、設(shè)函數(shù)。寫出解的牛頓迭代公式并確定其收斂階數(shù)。2、求函數(shù)在-1，1上的二次勒讓德展開式的法方程。3、用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分的近似值時(shí)，要求精確到小數(shù)點(diǎn)后第4位，問應(yīng)取多少個(gè)節(jié)點(diǎn)？4、設(shè)有求積公式成立，驗(yàn)證該公式是否為高斯公式。5、設(shè)， ?？疾斓袷降氖諗啃?。四、證明題（每小題10分，共20分）。

27、1、設(shè)是以個(gè)互異點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值基函數(shù) 試證明： 2、證明求解常微分方程數(shù)值方法中改進(jìn)尤拉方法是收斂的。模擬十三一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分）1、線性方程組,對于任意初始向量及任意向量，那么譜半徑是迭代格式收斂的（ ）條件。A充分 B必要 C充分且必要 D都不是2、用選主元的方法解線性方程組，是為了（ ）。A 提高計(jì)算速度 B 減少舍入誤差 C 減少相對誤差 D 方便計(jì)算3、 是按“四舍五入”原則得到的近似數(shù)，則它有（ ）位有效數(shù)字。A 2 B 3 C 4 D 54、求解初值問題時(shí)，改進(jìn)尤拉方法的局部截?cái)嗾`差是（ ）。A B C D5、用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根，已知誤差限，確定

28、二分的次數(shù)是使（ ）成立。 A B C D二、填空題（每小題4分，共20分）1、方程的牛頓迭代公式是 。2、如果用復(fù)化梯形公式計(jì)算定積分，要求截?cái)嗾`差的絕對值不超過0.5×104，試問n³ 。3、設(shè)方程組有唯一解。如果擾動(dòng)，則解的相對誤差有估計(jì)式 。4、求積公式的代數(shù)精度為 。5、解常微分方程的迭代公式的增量函數(shù)是 。三、計(jì)算題（每小題10分，共50分）1、 用雅可比迭代法求解方程組是否收斂？為什么？2、 求三次多項(xiàng)式，使其在與處與相切。3、 求在-1，1上表示為用勒讓德多項(xiàng)式作線性組合的二次最佳均方逼近函數(shù)（即二次勒讓德展開式）。4、 構(gòu)造連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)在-1，1區(qū)間上的兩

29、點(diǎn)高斯-勒讓德求積公式。5、 利用雅可比方法求矩陣的特征值。（要求只做出第一次消主元過程）四、證明題（每小題10分，共20分）1、 設(shè)，證明是求的三階迭代方法。2、機(jī)械求積公式至少具有n次代數(shù)精度的充分條件是該公式是插值型求積公式。模擬十四一、單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分）1、對于迭代過程，如果迭代函數(shù)在所求的根的附近有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，則迭代過程（ ）。A 發(fā)散 B 一階收斂 C 二階收斂 D三階收斂2、插值型求積公式能達(dá)到的最高代數(shù)精度是（ ）次。An-1 B 2n C2n-1 D 2n+13、牛頓插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)的表述形式是（ ） 。 A Bfx,x0,x1,x2,xn(xx1)(

30、xx2)(xxn1)(xxn)C Dfx0,x1,x2,xn(xx0)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)4、設(shè)某數(shù),對其進(jìn)行四舍五入的近似值是（ ）,則它有3位有效數(shù)字，絕對誤差限是。A 0.315 B 0.03150 C 0.0315 D 0.003155、n次勒讓德多項(xiàng)式在-1，1內(nèi)有（ ）不同的實(shí)零點(diǎn)。A2n B.n C.n-1 D.n+1二、填空題（每小題4分，共20分）1、給定一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，求擬合的直線方程y=a0+a1x的系數(shù)a0,a1是使 最小。2、設(shè)，則差商（均差）= 。3、設(shè)，的近似值的相對誤差是，則的相對誤差限是 。4、矩陣的行范數(shù)為 。5、求方程在1.3,1.6內(nèi)

31、的根時(shí)，迭代法和 （前者或后者）收斂較快。三、計(jì)算題（每小題10分，共50分）1、 用歐拉法解初值問題,取步長h=0.2。（要求迭代進(jìn)行三次）2、 要使取4位有效數(shù)字，求它的絕對誤差和相對誤差。3、 應(yīng)用牛頓法于方程，導(dǎo)出求 （a>0）的迭代公式，并求的值。4、 設(shè)矩陣，求出雅可比方法應(yīng)用于方程組收斂時(shí)參數(shù)a的取值范圍。5、 設(shè)，在-1，1上求其三次勒讓德展開式的法方程。四、證明題（每小題10分，共20分）1、 證明二分法得到的序列線性收斂。2、 證明恒等式 提示：利用拉格朗日插值及其余項(xiàng)證明，或者差商的函數(shù)值表達(dá)形式及差商與導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系論證。模擬十五一、 單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10

32、分）1、 高斯求積公式的代數(shù)精度是（ ）。A 3次 B 4次C 5次 D 6次、若某常微分方程數(shù)值計(jì)算公式的局部截?cái)嗾`差是，則該公式是（ ）方法A 1階 B 2階C 3階 D 無法確定3、設(shè)，則n階均差的值是( )。A B1 C D0 4、命題”梯形求積公式和辛卜生求積公式都是插值型求積公式”( )。A 對 B錯(cuò) C不能確定5、下面哪一種方法不是求矩陣特征值或特征向量的數(shù)值方法。( )A 冪法 B反冪法 C 原點(diǎn)平移法 D牛頓法迭代法二、填空題（每小題4分，共20分）1、已知函數(shù), 過點(diǎn)(2,5),(5,9),那么的拉格朗日插值多項(xiàng)式的基函數(shù)為 。2、改進(jìn)尤拉預(yù)測校正公式是 3、為了

33、避免兩相近數(shù)相減， （）,應(yīng)變形為 。4、求方程在區(qū)間1.0,1.5內(nèi)的根，要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后兩位，需二分 次可達(dá)到精度要求。5、如果是一個(gè)n次多項(xiàng)式，則 。（k>n）三、計(jì)算題（每小題10分，共50分）1、已知數(shù)據(jù)如下表的第2，3列，試用直線擬合這組數(shù)據(jù)。 11414224.5493369184481632558.52542.5S153155105.52、應(yīng)用牛頓法解方程，導(dǎo)出求立方根的近似公式。3、已知數(shù)值求積公式為 試確定其求積節(jié)點(diǎn)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出其代數(shù)精度的次數(shù)。4、用下面的例子說明 收斂性判定條件若線性代數(shù)方程組的系數(shù)方陣滿足下列條件： 按行（或按列）為嚴(yán)格對角占優(yōu)

34、；則雅可比迭代法和賽德爾迭代法都是收斂的。是雅可比迭代法收斂的一個(gè)充分條件而不是必要條件。5、設(shè)有方程組系數(shù)矩陣，常數(shù)項(xiàng),若右端有擾動(dòng) 時(shí)，估計(jì)解的相對誤差。四、證明題（每小題10分，共20分）1、設(shè) 的次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式，過插值點(diǎn)做的n次插值多項(xiàng)式。試證、證明：高斯求積公式中的求積系數(shù)可表示為（其中，是n次拉格朗日插值基函數(shù)。）模擬十六一、 單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分）1、 由下表 00.511.522.5-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項(xiàng)式的次數(shù)是（ ）。A二次 B 三次 C 四次 D五次2、 已知函數(shù)，設(shè)對一切，存在且，當(dāng)取值（ ）時(shí)，迭代過程收斂于的根。A或

35、B C D 3、 若線性代數(shù)方程組的系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代（ ）。A都收斂 B都發(fā)散 C前者收斂，后者發(fā)散 D前者發(fā)散，后者收斂、求解常微分方程初值問題的數(shù)值公式： 是（ ）。A單步二階 B多步二階 C單步一階 D多步一階、 使兩點(diǎn)的數(shù)值求積公式：具有最高的代數(shù)精確度，則其求積節(jié)點(diǎn)應(yīng)分別為 （ ）。A 任意 B ， C D 二、判斷題（每小題4分，共20分）1、 若是非奇異階陣，則必存在單位下三角陣和單位上三角陣，使得分解成立。（ ）2、 區(qū)間上的三次樣條插值函數(shù)，在具有直到三階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。（ ）3、 若是n階非奇異陣，則的條件數(shù)。（ ）4、 形如的

36、高斯（Gauss）求積公式具有最高代數(shù)精度次。（ ）5、 若，則其六階均差。（ ）三、計(jì)算題（每小題10分，共50分）、若，說明對任意實(shí)數(shù)，方程組中矩陣的條件數(shù)。（用形式表示）。、在區(qū)間，上給定函數(shù)，求其在上關(guān)于權(quán)函數(shù)的最佳平方逼近多項(xiàng)式。、寫出解線性代數(shù)方程組的高斯塞德爾迭代法迭代格式，并判斷其收斂性。、推導(dǎo)常微分方程的初值問題 （）的數(shù)值解公式：并證明它是四階方法。、用“追趕法”求線性方程組四、證明題（每小題10分，共20分）、 若，證明用梯形公式計(jì)算積分所得到的數(shù)值計(jì)算公式結(jié)果比準(zhǔn)確值大。、假設(shè)對函數(shù)在步長為的等距點(diǎn)上造表，且，證明：在表中任意相鄰兩點(diǎn)做線性插值，誤差不超過。模擬十七一、

37、 單項(xiàng)選擇題（每小題2分，共10分）1、=0.69314718，精確到103的近似值是（ ）。A 0.693 B 0.6931 C 0.69 D 0.7002、用二分法求解非線性方程的正根，在初始區(qū)間是0，2的情況下，若要求誤差小于0.05，那么需要二分（ ）次即可滿足要求。A B C D、線性多步法的形式是下列（ ）成立時(shí)，該公式是顯公式。A B C D、已知n=3時(shí)，科特斯系數(shù)，那么（ ）。 、插值型求積公式需要達(dá)到（ ）次代數(shù)精度才是高斯公式。 二、 填空題（每小題4分，共20分）1、設(shè)，則 。2、在使用松弛法（SOR）解線性代數(shù)方程組時(shí)，若松弛因子滿足，則迭代法一定 (收斂或發(fā)散) 。

38、3、解常微分方程初值問題的顯尤拉方法的局部截?cái)嗾`差為 。4、是n階方陣，那么矩陣的行范數(shù)的表達(dá)式是 ，列范數(shù)表達(dá)式是 。、已知，那么的二次插值多項(xiàng)式是 。三、計(jì)算題（每小題10分，共50分）1、已知函數(shù)的觀察數(shù)據(jù)為20455131試構(gòu)造的拉格朗日多項(xiàng)式，并計(jì)算。2、設(shè)，節(jié)點(diǎn)互異，求差商（均差）之值，這里3、數(shù)值積分公式是否為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少？4、設(shè)線性方程組為（1） 求系數(shù)矩陣的條件數(shù)；（2） 若右段向量有擾動(dòng)，試估計(jì)解的相對誤差。、討論線性方程組的高斯賽德爾迭代法的收斂性。四、證明題（每小題10分，共20分）1、 證明 初等下三角陣的逆矩陣為、設(shè)，證明：是（次數(shù)不超過n的全體多項(xiàng)式構(gòu)成集合）中的一組基函數(shù)，并且中的任一多項(xiàng) 式都可由這組基函數(shù)線性表出，