B樣條曲線和曲面

1、B樣條曲線和曲面樣條曲線和曲面 B樣條曲線樣條曲線 給定給定n+1個控制點個控制點P0，P1，Pn，它們，它們所確定的所確定的k階階B樣條曲線是：樣條曲線是： n n0 0i ii iP P(u)(u)k ki,i,N NP(u)P(u)其中其中N Ni i，k k( (u u) )遞歸定義如下：遞歸定義如下： 這里這里u u0 0，u u1 1，u un n+ +k k，是一個，是一個非遞減非遞減的的序列，稱為節(jié)點，序列，稱為節(jié)點，( (u u0 0，u u1 1，u un n+ +k k) )稱為稱為節(jié)點向量。定義中可能出現(xiàn)節(jié)點向量。定義中可能出現(xiàn) ，這時約定，這時約定為為0 0。 n n

2、i i1 1, ,0 0k k( (u u) ), ,1 1k k1 1, ,i iN N1 1i iu uk ki iu uu uk ki iu u( (u u) )1 1k ki i, ,N Ni iu u1 1k ki iu ui iu uu u( (u u) )k ki i, ,N N其其它它0 0, ,1 1k kn ni i, ,0 01 1i iu uu ui iu u1 1，( (u u) )i i, ,1 1N N0 00 0 選取，選取，n n=2=2，k k=1=1，控制頂點是，控制頂點是P P0 0，P P1 1，P P2 2，這樣應選擇參數(shù)節(jié)點，這樣應選擇參數(shù)節(jié)點n

3、n+ +k k+1=4+1=4個，設節(jié)個，設節(jié)點向量是點向量是( (u u0 0，u u1 1，u u2 2，u u3 3) )，按式定義，可，按式定義，可寫出三個基函數(shù)：寫出三個基函數(shù)： 3 3u uu u2 2u u1 1, ,2 2u uu u1 1u u0 0, ,1 1u uu u0 0u u0 0, ,( (u u) )2 2, ,1 1N N3 3u uu u2 2u u0 0, ,2 2u uu u1 1u u1 1, ,1 1u uu u0 0u u0 0, ,( (u u) )1 1, ,1 1N N3 3u uu u2 2u u0 0, ,2 2u uu u1 1u u0

4、 0, ,1 1u uu u0 0u u1 1, ,( (u u) )0 0, ,1 1N N由公式可知所定義的由公式可知所定義的B B樣條曲線是樣條曲線是 3 3u uu u2 2u u, ,2 2P P2 2u uu u1 1u u, ,1 1P P1 1u uu u0 0u u, ,0 0P P2 2(u)P(u)P2,12,1N N1 1(u)P(u)P1,11,1N N0 0(u)P(u)P0,10,1N NP(u)P(u) 選取選取n n=3=3，k k=2=2，于是有四個控制頂點，于是有四個控制頂點P P0 0，P P1 1，P P2 2，P P3 3，應有參數(shù)節(jié)點，應有參數(shù)節(jié)點

5、n n+ +k k+1=6+1=6個，設節(jié)點向量個，設節(jié)點向量是是(0(0，0 0，1 1，2 2，3 3，3)3)，試畫出所確定的，試畫出所確定的2 2階階B B樣條曲線。樣條曲線。 取取u u=0.5=0.5，由于，由于0.50.50,1=u1,u2，因此因此N N1,11,1(0.5)=1(0.5)=1，而其它的，而其它的N Ni i,1,1(0.5)=0(0.5)=0，i i11。往下。往下公式做遞歸計算。公式做遞歸計算。0 0. .5 50 01 12 20 0. .5 52 21 10 01 10 00 0. .5 5( (0 0. .5 5) )1 1, ,2 2N N0 0.

6、.5 51 10 01 10 0. .5 51 10 00 00 00 00 0. .5 5( (0 0. .5 5) )0 0, ,2 2N N N N2,22,2(0.5)(0.5)和和N N3,23,2(0.5)(0.5)，不必計算，不必計算，因為計算它們需要的因為計算它們需要的i i2 2時的時的N Ni i,1,1(0.5)=0(0.5)=0，所以知，所以知N N2,22,2(0.5)=(0.5)=N N3,23,2(0.5)=0(0.5)=0。這樣代入公式。這樣代入公式計算計算P(0.5)P(0.5)，有：，有：) )1 1P P0 0( (P P0 0. .5 53 3P P(

7、(0 0. .5 5) )3 3, ,2 2N N2 2P P( (0 0. .5 5) )2 2, ,2 2N N1 1P P( (0 0. .5 5) )1 1, ,2 2N N0 0P P( (0 0. .5 5) )0 0, ,2 2N NP P( (0 0. .5 5) ) 再取再取u u其它一些值進行計算，結(jié)果如表所示。其它一些值進行計算，結(jié)果如表所示。 u00.511.522.53N0,2(u)10.500000N1,2(u)00.510.5000N2,2(u)0000.510.50N3,2(u)000000.51P(u)P00.5(P0+ P1)P10.5(P1+ P2)P20

8、.5(P2+ P3)P3 選取選取n n=3=3，k k=4=4，平面上四個控制頂點，平面上四個控制頂點P P0 0，P P1 1，P P2 2，P P3 3的坐標依次是的坐標依次是(1(1，1)1)，(2(2，3),(43),(4，3)3)，(3(3，1)1)，這時應取參數(shù)節(jié)點，這時應取參數(shù)節(jié)點n n+ +k k+1=8+1=8個，設選取節(jié)點個，設選取節(jié)點向量為向量為(0(0，0 0，0 0，0 0，1 1，1 1，1 1，1)1)，畫出所確定，畫出所確定的的4 4階階B B樣條曲線。樣條曲線。 計算計算N N1,41,4(0.5) (0.5) ，其中，其中0.50.500，1=1=u u3

9、 3，u u4 4 N N3,13,1(0.5)=1(0.5)=1，而對，而對i i33，N Ni i,1,1(0.5)=0(0.5)=0。 0.3750.3750.50.50 01 10.50.51 10.250.250 01 10 00.50.5(0.5)(0.5)1,41,4N N0.50.50.50.50 01 10.50.51 10.50.50 01 10 00.50.5(0.5)(0.5)2,32,3N N0.250.250.50.50 01 10.50.51 10 00 01 10 00.50.5(0.5)(0.5)1,31,3N N0.50.50 00 01 10.50.51

10、11 10 01 10 00.50.5(0.5)(0.5)3,23,2N N0.50.51 10 01 10.50.51 10 00 00 00 00.50.5(0.5)(0.5)2,22,2N N用類似的過程可計算求出：用類似的過程可計算求出： 0.1250.125(0.5)(0.5)3,43,4N N0.3750.375(0.5)(0.5)2,42,4N N0.1250.125(0.5)(0.5)0,40,4N N曲線上對應參數(shù)曲線上對應參數(shù)u u=0.5=0.5的點是：的點是： ( (2 2. .7 75 5, ,2 2. .5 5) )3 3P P( (0 0. .5 5) )3 3,

11、 ,4 4N N2 2P P( (0 0. .5 5) )2 2, ,4 4N N1 1P P( (0 0. .5 5) )1 1, ,4 4N N0 0P P( (0 0. .5 5) )0 0, ,4 4N NP P( (0 0. .5 5) ) 可以證明更一般的結(jié)論，即，可以證明更一般的結(jié)論，即，n n+1+1個控制點個控制點P P0 0，P P1 1，P Pn n所確定的最高階的所確定的最高階的B B樣條曲線是樣條曲線是k k= =n n+1+1階的，這時由階的，這時由節(jié)點向量節(jié)點向量(0(0，0 0，0 0，1 1，1 1，1)1)所確定的所確定的B B樣條曲線，與該樣條曲線，與該n

12、 n+1+1個控個控制點所確定的制點所確定的BezierBezier曲線相同。曲線相同。 在參數(shù)節(jié)點的眾多選取方法中，最多使用在參數(shù)節(jié)點的眾多選取方法中，最多使用的是選擇參數(shù)的是選擇參數(shù)u u的每一的每一區(qū)間為等長區(qū)間為等長的情況，這的情況，這時所得到的時所得到的B B樣條函數(shù)稱為是等距的，或樣條函數(shù)稱為是等距的，或均勻均勻的。以下我們轉(zhuǎn)入討論等距的的。以下我們轉(zhuǎn)入討論等距的B B樣條曲線?？紭訔l曲線?？紤]使用較多的情況，可假定慮使用較多的情況，可假定u ui i= =i i, ,i i=0=0，1 1，n n+ +k k，再引入再引入t tj j= =u u- -u ui i+ +j j，因

13、為這可以使得，因為這可以使得 u ui i+ +j ju uu ui i+ +j j+1+1與與00t tj j11是一致的。是一致的。 遞歸式，經(jīng)過計算，可以寫出：遞歸式，經(jīng)過計算，可以寫出： 其它其它0，0，i iu uu u0 0t t1,1,0 0t t0 01,1,其它其它0，0，1 1i iu uu ui iu u1,1,(u)(u)i,1i,1N N其其它它0 0，1 1i iu uu u1 1t t1 1, ,1 1t t0 0, ,1 1t t1 1i iu uu u0 0t t1 1, ,0 0t t0 0, ,0 0t t其其它它0 0，2 2i iu uu u1 1i

14、iu uu u, ,2 2i iu u1 1i iu uu ui iu u, ,i iu uu u( (u u) )1 1, ,1 1i iN N1 1i iu u2 2i iu uu u2 2i iu u( (u u) )i i, ,1 1N Ni iu u1 1i iu ui iu uu u( (u u) )i i, ,2 2N N其其它它0 0，3 3i iu uu u2 2i iu u, ,2 2u u) )3 3i i( (u u2 21 12 2i iu uu u1 1i iu u) ), ,1 1i iu uu u) )( (u u3 3i i( (u u2 21 1u u) )

15、2 2i i) )( (u ui iu u( (u u2 21 11 1i iu uu ui iu u, ,2 2) )i iu u( (u u2 21 1( (u u) )1 1, ,2 2i iN N1 1i iu u3 3i iu uu u3 3i iu u( (u u) )i i, ,2 2N Ni iu u2 2i iu ui iu uu u( (u u) )i i, ,3 3N N其其它它0 0, ,2 2i iu uu u2 2t t1 1, ,2 2t t0 0，2 2) )2 2t t( (1 12 21 11 1i iu uu u1 1t t1 1, ,1 1t t0 01

16、 1) ), ,1 12 2t t2 21 12 2t t( (2 21 1i iu uu u0 0t t1 1, ,0 0t t0 0, ,2 20 0t t2 21 1其其它它0 0，4 4i iu uu u3 3i iu u3 3u u) )4 4i i( (u u6 61 13 3i iu uu u2 2i iu u) ) , ,2 2i iu u( (u u2 2u u) )4 4i i( (u uu u) )3 3i iu u) )( (u u4 4i i) )( (u u1 1i iu u( (u u2 2u u) )3 3i i) )( (u ui iu u ( (u u6 6

17、1 12 2i iu uu u1 1i iu u , ,2 2) )1 1i iu uu u) )( (u u4 4i i( (u u) )1 1i iu uu u) )( (u u3 3i i) )( (u ui iu u( (u uu u) )2 2i i( (u u2 2) )i iu u ( (u u6 61 11 1i iu uu ui iu u, ,3 3) )i iu u( (u u6 61 1( (u u) )1 1, ,3 3i iN N1 1i iu u4 4i iu uu u4 4i iu u( (u u) )i i, ,3 3N Ni iu u3 3i iu ui iu

18、 uu u( (u u) )i i, ,4 4N N其其它它0 0, ,3 3i iu uu u3 3t t1 1, ,3 3t t0 0，3 3) )3 3t t( (1 16 61 12 2i iu uu u2 2t t1 1, ,2 2t t0 04 4) )2 22 26 6t t3 32 2( (3 3t t6 61 11 1i iu uu u1 1t t1 1, ,1 1t t0 01 1) ), ,1 13 3t t2 21 13 3t t3 31 13 3t t( (6 61 1i iu uu u0 0t t1 1, ,0 0t t0 0, ,3 30 0t t6 61 1如果

19、固定在如果固定在u ui i+3+3u uu ui i+4+4區(qū)間，可以寫出：區(qū)間，可以寫出： 3 33 3t t6 61 1(u)(u)3,43,4i iN N1)1)3 33t3t2 23 33t3t3 33 33t3t( (6 61 1(u)(u)2,42,4i iN N4)4)2 23 36t6t3 33 3(3t(3t6 61 1(u)(u)1,41,4i iN N3 31)1)3 3t t( (6 61 1(u)(u)i,4i,4N N 上述結(jié)果對任意的上述結(jié)果對任意的0 0i in-3成立，令成立，令i i=0=0，可寫出四個，可寫出四個B B樣條函數(shù)：樣條函數(shù)：3 3u u6

20、61 1(u)(u)3,43,4N N1)1)3u3u2 23u3u3 33u3u( (6 61 1(u)(u)2,42,4N N4)4)2 26u6u3 3(3u(3u6 61 1(u)(u)1,41,4N N3 3u)u)(1(16 61 1(u)(u)0,40,4N N 由節(jié)點向量由節(jié)點向量(0,1,2,3,4)(0,1,2,3,4)所確所確定的均勻定的均勻B B樣條基函數(shù)樣條基函數(shù)N Ni i,4,4( (u u) )曲線曲線（i i=0,1,2,3=0,1,2,3）。圖所示的）。圖所示的B B樣條樣條基函數(shù)基函數(shù)N Ni i,4,4( (u u) )由四條三次多項式由四條三次多項式曲

21、線片拼接而成。當節(jié)點在區(qū)間曲線片拼接而成。當節(jié)點在區(qū)間 u ui i, ,u ui i+ +k k 上上B B樣條曲線基函數(shù)樣條曲線基函數(shù)N Ni i, ,k k( (u u) )大于大于0 0，而在其它區(qū)間上則為，而在其它區(qū)間上則為0 0，并且并且N Ni i, ,k k( (u u) )在節(jié)點（在節(jié)點（u ui i, , u ui i+1+1, u ui i+ +k k）處是連續(xù)的）處是連續(xù)的 設給出設給出n n+1+1個控制點個控制點 P0,P1，Pn,則所確定的則所確定的4 4階階3 3次等距次等距B B樣條曲線是：樣條曲線是：3 3n n, ,0,1,0,1,i i1,1,u u0

22、0 3 30 0j j(u)(u)i iQ QP(u)P(u)j ji ij,4j,4P P(u)(u)N N1 1u u0 0, ,3 3i iP P2 2i iP P1 1i iP Pi iP P0 01 14 41 10 03 30 03 30 03 36 63 31 13 33 31 111u u2 2u u3 3uu6 61 13 3i iP P2 2i iP P1 1i iP Pi iP P(u)(u)3,43,4N N(u)(u)2,42,4N N(u)(u)1,41,4N N(u)(u)0,40,4NN(u)(u)i iQ Q曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì) 1 1u u0 0, ,P P

23、P PP PP P0 00 01 11 12 23 30 04 43 31 12 21 111u uuu2 21 1(u)(u)Q Q3 3i i2 2i i1 1i ii i2 2i i1 1u u0 0, ,P PP PP PP P0 01 11 13 32 23 31 11 11 1 u u( (u u) )Q Q3 3i i2 2i i1 1i ii ii i 3 3i i2 2i i1 1i ii i2 2i i1 1i ii ii i1 1i i3 3i ii ii i2 2i ii i3 3i i2 2i i1 1i ii i2 2i i1 1i ii ii iP P2P2PP

24、P(1)(1)Q QP P2P2PP P(0)(0)Q Q) )P P(P(P2 21 1(1)(1)Q Q) )P P(P(P2 21 1(0)(0)Q Q) )P P4P4P(P(P6 61 1(1)(1)Q Q) )P P4P4P(P(P6 61 1(0)(0)Q Q 1 1i iP P) )2 2i iP Pi i( (P P2 21 13 31 11 1i iP P( (0 0) )i iQ Q 1 1i i2 2i ii ii iP P) )P P( (P P2 21 12 2( (0 0) )Q Q) )i iP P2 2i i( (P P2 21 1( (0 0) )i iQ

25、Q P Pi i，P Pi i+1+1，P Pi i+2+2，P Pi i+3+3確定的一段曲線的確定的一段曲線的起點的位置向量、切線向量及二階導向量，起點的位置向量、切線向量及二階導向量，事實上都事實上都只與只與PPi iP Pi i+1+1P Pi i+2+2有關有關，而終點處各，而終點處各量只與量只與PPi i+1+1P Pi i+2+2P Pi i+3+3，有關。如果考慮接下，有關。如果考慮接下去的一段曲線，即去的一段曲線，即P Pi i+1+1，P Pi i+2+2，P Pi i+3+3，P Pi i+4+4確定確定的一段，在其起點，上述各量就只與的一段，在其起點，上述各量就只與P

26、Pi i+1+1P Pi i+2+2P Pi i+3+3有關，并恰好是前一段曲線終點有關，并恰好是前一段曲線終點處的上述各量，自然是對應相等的。這就證處的上述各量，自然是對應相等的。這就證明了明了曲線在拚接處是連續(xù)的，一階和二階導曲線在拚接處是連續(xù)的，一階和二階導數(shù)也是連續(xù)的數(shù)也是連續(xù)的。因此知道。因此知道4 4階階3 3次等距次等距B B樣條樣條曲線：雖然曲線：雖然分段確定，但各段拚接處有直到分段確定，但各段拚接處有直到二階導數(shù)的連續(xù)性，整條曲線是光滑的。二階導數(shù)的連續(xù)性，整條曲線是光滑的。 4 4階階3 3次等距次等距B B樣條曲線具有凸包性，這通過樣條曲線具有凸包性，這通過驗證驗證00N

27、 Nj j,4,4( (u u)1)1，00j j33及及 3 30 0j jj j, ,4 41 1( (u u) )N N 用用B B樣條曲線可構(gòu)造樣條曲線可構(gòu)造直線段直線段、尖尖點、切線點、切線等特殊情況。對于等特殊情況。對于4 4階階3 3次次B B樣條曲線樣條曲線P(P(u u) )若要在其中得到一條若要在其中得到一條直線段，只要直線段，只要控制點控制點P Pi i，P Pi i+1+1，P Pi i+2+2，P Pi i+3+3四點位于一條直線上四點位于一條直線上，此時，此時P(P(u u) )對應的對應的u ui i+3+3u uu ui i+4+4的曲線即為一段的曲線即為一段直

28、線，且和直線，且和P Pi i，P Pi i+1+1，P Pi i+2+2，P Pi i+3+3所在所在的直線重合。為了使的直線重合。為了使P(P(u u) )能過能過P Pi i點，點，只要只要P Pi i，P Pi i+1+1，P Pi i+2+2三點重合三點重合，此時，此時P(P(u u) )過過P Pi i點（尖點）。點（尖點）。 B B樣條曲面樣條曲面 3 30 0i i3 30 0j jj jl li i, ,k kP P( (w w) )j j, ,4 4N N( (u u) )i i, ,4 4N Nw w) )( (u u, ,k kl lQ Q 0 0u u11，00w w11，00k kKK，00l lLL每一個曲面片每一