D823_高斯公式_斯托克斯公式_空間曲線與路徑無(wú)關(guān)的條件

1、1. 1. 通過(guò)閉曲面的流量通過(guò)閉曲面的流量8.2.3 8.2.3 高斯公式高斯公式 斯托克斯公式斯托克斯公式 空間曲線積分與路徑空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件無(wú)關(guān)的條件若 為方向向外的閉曲面, ddd dd ddPyzQzxR xy aS當(dāng) 0 時(shí),說(shuō)明流入 的流體質(zhì)量少于 當(dāng) 0 時(shí), 說(shuō)明流入 的流體質(zhì)量多于流出的,表明則單位時(shí)間通過(guò) 的流量為 當(dāng) = 0 時(shí), 說(shuō)明流入與流出 的流體質(zhì)量相等 . n流出的,表明 內(nèi)有“源”（或泉）; 內(nèi)有“匯”（或洞） ;n定理定理1 1.設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲面閉曲面上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),zyxzRyQxPddd yxRxzQzy

2、Pdddddd zyxzRddd yxRdd 下面先證:函數(shù) P, Q, R 在所圍成,的方向取外側(cè)外側(cè),則有 2.2.高斯高斯(Gauss)(Gauss)公式公式231zyxyxDO) ,(yxRyxyxRdd) ,(, ),(:11yxzz 證明證明: 設(shè)yxDyxyxzyxzyxz),(, ),(),(),(:21,321zzRyxzyxzd),(),(21yxD),(2yxz),(1yxzyxRdd yxD2 zyxzRdddyxdd1 3yxRdd稱為XY -型區(qū)域 , ),(:22yxzz 則yxyxRdd) ,(yxDyxD),(2yxzyxyxRdd) ,(),(1yxz所以z

3、yxzRdddyxRdd 若 不是 XY型區(qū)域 , 則可引進(jìn)輔助面將其分割成若干個(gè) XY型區(qū)域,故上式仍成立 .正反兩側(cè)面積分正負(fù)抵消,在輔助面類似可證 zyxyQdddyxRxzQzyPd dddddzyxzRyQxPdddxzQdd zyxxPdddzyPdd 三式相加, 即得所證 Gauss 公式：例例1. 用Gauss 公式計(jì)算zyxzyyxyxdd)(dd)(其中 為柱面122 yx閉域 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè). 解解: 這里利用Gauss 公式, 得原式 =zyxzyddd)(zrrzrddd)sin(用柱坐標(biāo))zzrrrd)sin(dd30102029x3oz1y,)(xzyP,

4、0QyxR及平面 z = 0 , z = 3 所圍空間思考思考: 若 改為內(nèi)側(cè), 結(jié)果有何變化? 若 為圓柱側(cè)面(取外側(cè)) , 如何計(jì)算? 例例2. 計(jì)算計(jì)算 dxdyzxdzdxyzdydzxy)()()(222的上側(cè)的上側(cè)是曲面是曲面其中其中)21(222 zyxz 解解1,1:220 yxz 記記取下側(cè)取下側(cè)oxyzz = 1所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域0: 由由Gauss 公式得公式得zxRyzQxyP 222, 0)()()(222dxdyzxdzdxyzdydzxy dvdv3)111()(0取外側(cè)取外側(cè) dv3 20102123dzdd23 0)()()(222 dxdyzxdz

5、dxyzdydzxy而而 0)(2 dxdyzx Ddxdyx)1(243 494323 故故原原式式取下側(cè)取下側(cè)例例3. 利用Gauss 公式計(jì)算積分SzyxId)coscoscos(222其中 為錐面222zyxhozyx解解: 作輔助面,:1hz ,:),(222hyxDyxyx取上側(cè)1(I1Szyxd)coscoscos)(2220,21上在介于 z = 0 及 z = h 之間部分的下側(cè). 1,記h1所圍區(qū)域?yàn)?則 zyxzyxddd)(2yxhyxDdd2zyxzyxIddd)(2利用重心公式, 注意0 yxzyxzddd24hyxhyxDdd2421hhz022zzd4hhozy

6、xh1yozx定理定理2. 設(shè)光滑曲面 的邊界 是分段光滑曲線, yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd (斯托克斯公式斯托克斯公式)個(gè)空間域內(nèi)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù), 的側(cè)與 的正向符合右手法則, RQP,在包含 在內(nèi)的一證證:情形情形1 與平行 z 軸的直線只交于 一點(diǎn), 設(shè)其方程為yxDyxyxfz),(, ),(:n為確定起見, 不妨設(shè) 取上側(cè) (如圖).yxDC則有3.3.斯托克斯斯托克斯( Stokes ) ( Stokes ) 公式公式 則xPdCxyxzyxPd),(,(利用格林公式) yxyxzyxPyyxDdd),(,(yxyzzPyPyxDddSf

7、zPyPydcos,cos2211yxff ,cos221yxyfffcoscosyfyozxnyxDC因此SzPyPxPdcoscoscosdSyPzPdcoscosyxyPxzzPdddd同理可證yQdzyzQyxxQddddxRdxzxRzyyRdddd三式相加, 即得斯托克斯公式 ;情形情形2 曲面 與平行 z 軸的直線交點(diǎn)多于一個(gè), 則可通過(guò)作輔助線面把 分成與z 軸只交于一點(diǎn)的幾部分,在每一部分上應(yīng)用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿輔助曲線方向相反的兩個(gè)曲線積分相加剛好抵消,所以對(duì)這類曲面斯托克斯公式仍成立. 注意注意: 如果 是 xoy 面上的一塊平面區(qū)域, 則斯托克斯公式就是

8、格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.證畢為便于記憶, 斯托克斯公式還可寫作:RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd 或用第一類曲面積分表示:SRQPzyxdcoscoscoszRyQxPddd yxzyxxzzyzyxddddddzxy111o例例4. 利用斯托克斯公式計(jì)算積分zyyxxzddd其中為平面 x+ y+ z = 1 被三坐標(biāo)面所截三角形的整個(gè)解解: 記三角形域?yàn)? 取上側(cè), 則邊界, 方向如圖所示. zyyxxzdddyxxzzydddddd利用對(duì)稱性yxDyxdd323yxD例例5. 為柱面與平面 y = z 的交線,從 z 軸正向看為順時(shí)針, 計(jì)算.dd

9、d2zxzyxyxyIoz2yx解解: 設(shè)為平面 z = y 上被 所圍橢圓域 , 且取下側(cè),0cos利用斯托克斯公式得SIdSzyd)(210則其法線方向余弦,21cos21coscoscoscoszyxzxyxy2yyx222zRyQxPudddd定理定理3. 設(shè) G 是空間一維單連通域, 內(nèi)在函數(shù)GRQP,具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),則下列四個(gè)條件相互等價(jià): (1) 對(duì)G內(nèi)任一分段光滑閉曲線 , 有0dddzRyQxP(2) 對(duì)G內(nèi)任一分段光滑曲線 , zRyQxPddd與路徑無(wú)關(guān)(3) 在G內(nèi)存在某一函數(shù) u, 使(4) 在G內(nèi)處處有zPxRyRzQxQyP,4.4.空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條

10、件空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件zyxyxzxzyd)(d)(d)(與路徑無(wú)關(guān), 并求函數(shù)zyxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),(),()0 , 0 , 0(解解: 令yxRxzQzyP,1xQyP,1yRzQRP1xz 積分與路徑無(wú)關(guān),),(zyxuzyxxy)( yxyd0zyxzd)(0zxyzxyxzyo),(zyx)0 ,(yx)0 , 0 ,(xxxd00因此例例7. 驗(yàn)證曲線積分內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 高斯公式及其應(yīng)用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd應(yīng)用:(1) 計(jì)算曲面積分 (非閉曲面時(shí)注意添加輔助面的技巧)(2) 推出閉曲面積分為零的充

11、要條件: 0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxP2. 斯托克斯公式斯托克斯公式zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscos思考與練習(xí)思考與練習(xí),:2222取外側(cè)設(shè)Rzyx所圍立體,222zyxr判斷下列演算是否正確?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324 R(2)yxrzxzryzyrxdddddd333333vrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxdddddd33331Rvzyxd)(3222 為1.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI2. 設(shè) 為曲面21,222zyxz取上側(cè), 求 解解: 作取下側(cè)的輔助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10drr221drz202dcos103drr.41zoxy211用柱坐標(biāo)用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)用極坐標(biāo)00cosrn00rn*3. 設(shè) 是一光滑閉曲面,所圍立體 的體 是 外法線向量與點(diǎn) (