概率論極限定理

1、平德一一.定義定義: a.X a,X 1,X Plim 0, , a ,r.v.) 2, 1,(nX 1.Pnnnnn 記記作作依依概概率率收收斂斂于于則則稱稱序序列列有有若若對對于于數(shù)數(shù)是是一一個個常常序序列列是是設(shè)設(shè) a性質(zhì)性質(zhì): b). g(a,)Y ,g(X ,b) (a, y) g(x, b,Y a,X PnnPnPn則則連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)在在又又設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)1. 1. 大數(shù)定律大數(shù)定律 平德).(1|11|lim ,0,11 , .211n11或或大大數(shù)數(shù)法法則則服服從從大大數(shù)數(shù)定定律律則則稱稱序序列列恒恒有有即即對對任任意意的的若若設(shè)設(shè)是是隨隨機(jī)機(jī)變變量量序序列列定定義義nniin

2、iiniiPniinXEXnXnPEXnXnX 平德 切比雪夫大數(shù)定律切比雪夫大數(shù)定律：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X1, X2, , Xn, ,相互獨(dú)立或兩兩不相關(guān)相互獨(dú)立或兩兩不相關(guān), 期望與方差都存在期望與方差都存在, 并且方差有公共的上界并且方差有公共的上界.則序列則序列Xn服從大數(shù)定律服從大數(shù)定律 切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況：切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況：設(shè)設(shè)r.v.X1, X2, , Xn, 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 且具有相同的數(shù)學(xué)期且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差望和方差:,i ,DXEXii212 則序列則序列Xn服從大數(shù)定律服從大數(shù)定律二二. . 大數(shù)定律大數(shù)定律 平德.pnn , 0 pnn

3、 Plim 1 pnn Plim 0,PAAnAn 即即或或有有對對于于設(shè)設(shè)nA是是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù), p是事件是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率, 則則2. 2. 伯努利定理伯努利定理: :平德3. 辛欽定理辛欽定理: : 設(shè)設(shè) r.v. X1, X2, , Xn, 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 服從同一分布服從同一分布, 且具且具數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 1. Xn1 Plim 0, ), 2, , 1k( ,)X(En1kknk 有有則對則對平德 PniinXnn,X,X,X.v .r122112時時，則則指指數(shù)數(shù)分分布布，且且相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的

4、均均服服從從參參數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)例例（03年）年）平德服服從從中中心心極極限限定定理理。則則稱稱即即：標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布函函數(shù)數(shù)的的分分布布函函數(shù)數(shù)序序列列收收斂斂于于若若令令都都存存在在，與與定定義義：設(shè)設(shè)XexYPlimY,n,DXEXXY,iDXEX,X,X,X.v . rntxnnnniiniiniiniin2111212212121 2. 中心極限定理中心極限定理 平德服服從從中中心心極極限限定定理理。則則隨隨機(jī)機(jī)變變量量序序列列數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望和和方方差差都都存存在在同同一一分分布布相相互互獨(dú)獨(dú)立立且且服服從從設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量理理獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布的的中中心心極極定定),.

5、(,. 121nnXdiiXXX平德11111111 niiniiniiniiniiniiniiniiDXEXbDXEXXDXEXaPbXaP)()(1111 niiniiniiniiDXEXaDXEXb平德2. 2. 德莫佛德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理: : dt.e21x)p1(npnpPlim x, p), n,(b) 2, , 1n(.v . r 2t-x-nnn2 恒恒有有對對于于服服從從參參數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)平德1npqnpbnpqnpXnpqnpaPbaPniin )()(npqnpanpqnpb 平德3. 李雅普諾夫定理李雅普諾夫定理: 則則隨隨機(jī)機(jī)變變量量時時使使得得當(dāng)當(dāng)若若存

6、存在在記記差差具具有有數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望和和方方相相互互獨(dú)獨(dú)立立設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 , 0-X EB1 ,n 0, ,B 2, 1,k, 0)X(D,)X(E: ,) 2, 1,(nXn1k2kk2nn1k2k2n2kkkkn .dt2te21 xBXPlim )x(Flim x)x(FB)X)X(D)X(EXZx2nn1kkn1kknnnnnn1kkn1kkn1kkn1kkn1kkn 滿滿足足任任意意的的對對的的分分布布函函數(shù)數(shù)平德例：對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一例：對于一個學(xué)生而言，來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機(jī)變量，設(shè)一個學(xué)生無家長、個隨機(jī)變量，設(shè)一個學(xué)生無家長、1名家

7、長、名家長、2名家長來名家長來參加會議的概率分別為參加會議的概率分別為0.05， 0.8，0.15。若學(xué)校共有。若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會議的家長數(shù)相互獨(dú)立，且服從名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會議的家長數(shù)相互獨(dú)立，且服從同一分布。求：同一分布。求：(1)參加會議的家長數(shù)超過參加會議的家長數(shù)超過450的概率；的概率；(2)有一名家長來參加會議的學(xué)生人數(shù)不多于有一名家長來參加會議的學(xué)生人數(shù)不多于340的概率。的概率。平德例例1. 設(shè)考研輔導(dǎo)班聽課的學(xué)生人數(shù)設(shè)考研輔導(dǎo)班聽課的學(xué)生人數(shù)X是服從參數(shù)為是服從參數(shù)為200的的泊松隨機(jī)變量，負(fù)責(zé)這門課的教授決定，如果報名人數(shù)泊松隨機(jī)變量，負(fù)責(zé)這門課的教授

8、決定，如果報名人數(shù)不少于不少于200人，就分成兩個班授課，否則在一個班授課。人，就分成兩個班授課，否則在一個班授課。試求該教授分兩個班授課的概率。試求該教授分兩個班授課的概率。平德例例2. 在一家保險公司里有在一家保險公司里有10000人參加保險人參加保險, 每人每年付每人每年付12元保費(fèi)元保費(fèi), 在一年內(nèi)一個人死亡的概率為在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.006, 死亡者其死亡者其家屬可向保險公司領(lǐng)得家屬可向保險公司領(lǐng)得1000元賠償費(fèi)元賠償費(fèi). 求：求：(1) 保險公司沒有利潤的概率為多大？保險公司沒有利潤的概率為多大？(2) 保險公司一年的利潤不少于保險公司一年的利潤不少于60000元的概率

9、為多大？元的概率為多大？例例3. 設(shè)某車間有設(shè)某車間有200臺車床臺車床, 每臺車床開工率為每臺車床開工率為0.6, 假定假定每臺車床開工與否相互獨(dú)立每臺車床開工與否相互獨(dú)立. 若每臺車床開工時耗若每臺車床開工時耗電電1kw, 問要以問要以99.9%以的概率保證這個車間不致因供電不以的概率保證這個車間不致因供電不足而影響生產(chǎn)，需供應(yīng)多少電足而影響生產(chǎn)，需供應(yīng)多少電量量？平德練習(xí)練習(xí):1. 抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，如果發(fā)現(xiàn)次品多于抽樣檢查產(chǎn)品質(zhì)量時，如果發(fā)現(xiàn)次品多于10個，則認(rèn)為個，則認(rèn)為這批產(chǎn)品不能接受，問應(yīng)檢查多少個產(chǎn)品，可使次品率為這批產(chǎn)品不能接受，問應(yīng)檢查多少個產(chǎn)品，可使次品率為10%的一批產(chǎn)品不能被接受的概率達(dá)到的一批產(chǎn)品不能被接受的概率達(dá)到0.9? ()2. 一個復(fù)雜的系統(tǒng)，由一個復(fù)雜的系統(tǒng)，由n個相互獨(dú)立起作用的部件組成，個相互獨(dú)立起作用的部件組成，每個部件的可靠度為每個部件的可靠度為0.9，且必須至少有，且必須至少有80%的部件工作的部件工作才能使整個系統(tǒng)工作，問才能使整個系統(tǒng)工作，問n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠度為度為0.95? 3. 設(shè)