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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上空間向量在立體幾何中的應用【知識梳理】1、已知直線的方向向量分別為,平面的法向量分別為,則(1) ;(2) ;(3)若直線的夾角為,則 ;(4) ;(5) ;(6)若直線與面的成角為,則 ;(7) ;(8) ;(9)若成二面角的平面角為,則 。2、(1)三余弦定理: ;(2)三垂線定理(及逆定理): ;(3)二面角的平面角定義(范圍): ;【小試牛刀】1、A(1,1,-2)、B(1,1,1),則線段AB的長度是( )A.1 B.2 C.3 D.42、向量a(1,2,-2),b(-2,-4,4),則a與b( )A.相交 B.垂直 C.平行 D.以上都不對3.如圖,在平行
2、六面體ABCDA1B1C1D1中,M為AC與BD的交點.若=a,=b,=c,則下列向量中與相等的向量是( )A.a+b+c B.a+b+cC.ab+c D.ab+c4.下列等式中,使點M與點A、B、C一定共面的是A. B.C. D.5.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于1,點E、F分別是AB、AD的中點,則等于A. B. C. D.6.若,與的夾角為,則的值為A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.17.設,則線段的中點到點的距離為A. B. C. D.8.如圖,ABCD-A1B1C1D1為正方體,下面結論錯誤的是A.BD平面CB1D1 B.AC1BDC.AC1平面CB1D
3、1D.異面直線AD與CB1所成的角為60°9.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為A. B. C. D.10.ABC的三個頂點分別是,則AC邊上的高BD長為A.5 B. C.4 D.11.設,且,則 .12.已知向量,且,則=_.13.在直角坐標系中,設A(-2,3),B(3,-2),沿軸把直角坐標平面折成大小為的二面角后,這時,則的大小為 14.如圖,PABCD是正四棱錐,是正方體,其中則到平面PAD的距離為 .15、已知,求值.16如圖所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,CA=CB=1,BCA=90
4、176;,棱AA1=2,M、N分別是A1B1、A1A的中點.(1)求的長;(2)求cos< >的值(3)求證:A1BC1M.17.如圖,在四面體中,點分別是的中點求證:(1)直線面;(2)平面面18.(本小題滿分14分)如圖,已知點P在正方體的對角線上,PDA=60°.(1)求DP與所成角的大?。唬?)求DP與平面所成角的大小.19.(本小題滿分14分)已知一四棱錐PABCD的三視圖如下,E是側(cè)棱PC上的動點(1)求四棱錐PABCD的體積;(2)是否不論點E在何位置,都有BDAE?證明你的結論;(3)若點E為PC的中點,求二面角DAEB的大小參考答案1、C 2、C3.=c
5、+(a+b)=a+b+c,故選A.4.故選D.5.,故選B.6.B 7.B 8.D 9.D10.由于,所以,故選A11.9 12.313.作ACx軸于C,BDx軸于D,則14.以為軸,為軸,為軸建立空間直角坐標系設平面PAD的法向量是,取得,到平面PAD的距離.15、解:由,又即由有:16、如圖,建立空間直角坐標系Oxyz.(1)依題意得B(0,1,0)、N(1,0,1)圖| |=.(2)依題意得A1(1,0,2)、B(0,1,0)、C(0,0,0)、B1(0,1,2)=1,1,2,=0,1,2,·=3,|=,|=cos<,>=.(3)證明:依題意,得C1(0,0,2)、
6、M(,2),=1,1,2,=,0.·=+0=0,A1BC1M.17.證明:(1)E,F分別是的中點,EF是ABD的中位線,EFAD,AD面ACD,EF面ACD,直線EF面ACD;(2)ADBD,EFAD,EFBD,CB=CD,F(xiàn)是的中點,CFBD又EFCF=F, BD面EFC,BD面BCD,面面.18.解:如圖,以為原點,為單位長建立空間直角坐標系則,連結,在平面中,延長交于設,由已知,由,可得ABCDPxyzH解得,所以(1)因為,所以,即與所成的角為(2)平面的一個法向量是因為,所以,可得與平面所成的角為19.解:(1)由該四棱錐的三視圖可知,該四棱錐PABCD的底面是邊長為1的正方形,側(cè)棱PC底面ABCD,且PC=2.(2)不論點E在何位置,都有BDAE證明如下:連結AC,ABCD是正方形,BDACPC底面ABCD 且平面BDPC又BD平面PAC 不論點E在何位置,都有AE平面PAC 不論點E在何位置,都有BDAE(3)解法1:在平面DAE內(nèi)過點D作DGAE于G,連結BGCD=CB,EC=EC,ED=EBAD=AB,EDAEBA,BGEA為二面角DEAB的平面角BCDE,ADBC,ADDE在RADE中=BG在DGB中,由余弦定理得=,二面角DAEB的大小為.解法
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