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1、4.3.2 4.3.2 空間兩點(diǎn)間的距離公式空間兩點(diǎn)間的距離公式 問題提出問題提出 1. 1. 在平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間在平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式是什么?的距離公式是什么? 2. 2. 在空間直角坐標(biāo)系中,若已在空間直角坐標(biāo)系中,若已知兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),則這兩點(diǎn)之間的知兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),則這兩點(diǎn)之間的距離是惟一確定的,我們希望有一距離是惟一確定的,我們希望有一個(gè)求兩點(diǎn)間距離的計(jì)算公式,對(duì)此,個(gè)求兩點(diǎn)間距離的計(jì)算公式,對(duì)此,我們從理論上進(jìn)行探究我們從理論上進(jìn)行探究. .知識(shí)探究(一)知識(shí)探究(一):與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離公式與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離公式 思考思考1:1:在空間直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系

2、中,坐標(biāo)軸上的點(diǎn)軸上的點(diǎn)A A(x x,0 0,0 0),),B B(0 0,y y,0 0),),C C(0 0,0 0,z z),與坐標(biāo)原點(diǎn)),與坐標(biāo)原點(diǎn)O O的距離分別是什么?的距離分別是什么?xyzOA AB BC C|OA|=|x|OA|=|x|OB|=|y|OB|=|y|OC|=|z|OC|=|z|思考思考2:2:在空間直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中,坐標(biāo)平面上的點(diǎn)平面上的點(diǎn)A A(x x,y y,0 0),),B B(0 0,y y,z z),),C C(x x,0 0,z z),與坐標(biāo)原點(diǎn)),與坐標(biāo)原點(diǎn)O O的距離分別是什么?的距離分別是什么?xyzOA A22|O Ax

3、y=+22|,O Byz=+22|O Cxz=+B BC C思考思考3:3:在空間直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中,設(shè)點(diǎn) P P(x x,y y,z z)在)在xOyxOy平面上的射影為平面上的射影為M M,則點(diǎn),則點(diǎn)M M的坐標(biāo)是什么?的坐標(biāo)是什么?|PM|,|OM|PM|,|OM|的值分別是什么?的值分別是什么?xyzOPMM(x,y,0)M(x,y,0)|PM|=|z|PM|=|z|22|O Mxy=+思考思考4:4:基于上述分析,你能得到點(diǎn)基于上述分析,你能得到點(diǎn) P P(x x,y y,z z)與坐標(biāo)原點(diǎn))與坐標(biāo)原點(diǎn)O O的距離公的距離公式嗎?式嗎?xyzOPM222|O Pxy

4、z=+思考思考5:5:在空間直角坐標(biāo)系中,方程在空間直角坐標(biāo)系中,方程 x x2 2+y+y2 2+z+z2 2=r=r2 2(r r0 0為常數(shù))表示什么為常數(shù))表示什么圖形是什么?圖形是什么? O Ox xy yz zP P知識(shí)探究(二)知識(shí)探究(二):空間兩點(diǎn)間的距離公式空間兩點(diǎn)間的距離公式 在空間中,設(shè)點(diǎn)在空間中,設(shè)點(diǎn)P P1 1(x x1 1,y y1 1,z z1 1),),P P2 2(x x2 2,y y2 2,z z2 2)在)在xOyxOy平面上的射影平面上的射影分別為分別為M M、N.N.xyzOP2MP1N思考思考1:1:點(diǎn)點(diǎn)M M、N N之間的距離如何?之間的距離如何

5、?221212|()()M Nxxyy=-+-思考思考2:2:若直線若直線P P1 1P P2 2垂直于垂直于xOyxOy平面,平面,則點(diǎn)則點(diǎn)P P1 1、P P2 2之間的距離如何?之間的距離如何?xyzOP2P1|P|P1 1P P2 2|=|z|=|z1 1-z-z2 2| |思考思考3:3:若直線若直線P P1 1P P2 2平行于平行于xOyxOy平面,平面,則點(diǎn)則點(diǎn)P P1 1、P P2 2之間的距離如何?之間的距離如何?MNxyzOP2P122121212| |()()P PM Nxxyy=-+-思考思考4:4:若直線若直線P P1 1P P2 2 是是xOyxOy平面的一條平面

6、的一條斜線,則點(diǎn)斜線,則點(diǎn)P P1 1、P P2 2的距離如何計(jì)算?的距離如何計(jì)算?MNxyzOP2P1A A思考思考5:5:在上述圖形背景下,點(diǎn)在上述圖形背景下,點(diǎn)P P1 1(x x1 1,y y1 1,z z1 1)與)與P P2 2(x x2 2,y y2 2,z z2 2)之間的距離是)之間的距離是它對(duì)任意兩點(diǎn)它對(duì)任意兩點(diǎn)P P1 1、P P2 2都成立嗎?都成立嗎?22212121212|()()()P Pxxyyzz=-+-+- 例例1 1 在空間中,已知點(diǎn)在空間中,已知點(diǎn)A(1, 0, A(1, 0, -1)-1),B (4, 3, -1)B (4, 3, -1),求,求A A、B B兩點(diǎn)之兩點(diǎn)之間的距離間的距離. .理論遷移理論遷移 例例2 2 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn) A(-4, 1, 7)A(-4, 1, 7)和和B(3, 5, -2)B(3, 5, -2),點(diǎn),點(diǎn)P P在在z z軸上,若軸上,若|PA|=|PB|PA|=|PB|,求點(diǎn),求點(diǎn)P P的坐標(biāo)的坐標(biāo). . 例例3 3 如圖,點(diǎn)如圖,點(diǎn)P P、Q Q分別在棱長(zhǎng)分別在棱長(zhǎng)為為1 1的正方體的對(duì)角線的正方體的對(duì)角線ABAB和棱和棱CDCD上運(yùn)上運(yùn)動(dòng),求動(dòng),求P P、

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