擬合優(yōu)度檢驗-文檔資料

1、1第七章 擬合優(yōu)度檢驗2擬合優(yōu)度檢驗的應用n總體分布未知，從樣本數(shù)據(jù)中發(fā)總體分布未知，從樣本數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律（現(xiàn)規(guī)律（總體分布總體分布），再利用擬），再利用擬合優(yōu)度檢驗對合優(yōu)度檢驗對假設(shè)的總體分布假設(shè)的總體分布進進行驗證。行驗證。【引例引例1】某地區(qū)某地區(qū)在在1500到到1931年的年的432年間，共爆發(fā)了年間，共爆發(fā)了299次戰(zhàn)次戰(zhàn)爭，具體數(shù)據(jù)如下（每年爆發(fā)戰(zhàn)爭，具體數(shù)據(jù)如下（每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)可以看作一個隨機變量爭的次數(shù)可以看作一個隨機變量X）：）：戰(zhàn)爭次數(shù)戰(zhàn)爭次數(shù) X01234 22314248154 發(fā)生發(fā)生 X 次戰(zhàn)爭的年數(shù)次戰(zhàn)爭的年數(shù) 根據(jù)我們對泊松分布產(chǎn)生的一般條件的理根據(jù)我們對泊

2、松分布產(chǎn)生的一般條件的理解，可以用一個泊松隨機變量來近似描述解，可以用一個泊松隨機變量來近似描述每每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)。年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)。也就是說，我們可以假也就是說，我們可以假設(shè)每年爆發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)分布設(shè)每年爆發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)分布 X 近似泊松分布。近似泊松分布?，F(xiàn)在的問題是：現(xiàn)在的問題是： 上面的數(shù)據(jù)能否證實上面的數(shù)據(jù)能否證實 X 具有泊松分布的具有泊松分布的假設(shè)是正確的？假設(shè)是正確的？【引例引例2】某鐘表廠對生產(chǎn)的某鐘表廠對生產(chǎn)的鐘進行精確性檢查，抽取鐘進行精確性檢查，抽取100個個鐘作試驗，校準鐘作試驗，校準24小時后進行小時后進行檢查，將每個鐘的誤差（快或檢查，將每個鐘的誤差（快或慢）按秒記錄下

3、來。慢）按秒記錄下來。問該廠生產(chǎn)的鐘的誤差是否服從正態(tài)分布？問該廠生產(chǎn)的鐘的誤差是否服從正態(tài)分布？【引例引例3】某工廠制造了一某工廠制造了一批骰子，聲稱它是均勻的。批骰子，聲稱它是均勻的。 為檢驗骰子是否均勻，要把骰子實地投擲為檢驗骰子是否均勻，要把骰子實地投擲若干次，統(tǒng)計各點出現(xiàn)的頻率與若干次，統(tǒng)計各點出現(xiàn)的頻率與1/6的差距。的差距。問題是：問題是： 得到的數(shù)據(jù)能否說明得到的數(shù)據(jù)能否說明“骰子均勻骰子均勻”的假的假設(shè)是可信的？設(shè)是可信的？K.皮爾遜皮爾遜 解決這類問題的工具是英解決這類問題的工具是英國統(tǒng)計學家國統(tǒng)計學家K.皮爾遜在皮爾遜在1900年發(fā)表的一篇文章中介紹了年發(fā)表的一篇文章中介

4、紹了 2 檢驗法。檢驗法。8擬合優(yōu)度檢驗的工具- 2 檢驗n2 檢驗法檢驗法是在總體是在總體 X 的分布未知時，的分布未知時，根據(jù)來自總體的樣本，檢驗關(guān)于總根據(jù)來自總體的樣本，檢驗關(guān)于總體分布的假設(shè)的一種檢驗方法。體分布的假設(shè)的一種檢驗方法。 H0：總體：總體 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 F(x) 然后根據(jù)樣本的然后根據(jù)樣本的經(jīng)驗分布經(jīng)驗分布和所假設(shè)的和所假設(shè)的理論分布理論分布之間的吻合程度來決定是否接之間的吻合程度來決定是否接受原假設(shè)。受原假設(shè)。 這種檢驗通常稱作這種檢驗通常稱作擬合優(yōu)度檢驗擬合優(yōu)度檢驗，它，它是一種是一種非參數(shù)非參數(shù)檢驗。檢驗。使用使用 2 檢驗法檢驗法對總體分布進行檢驗

5、時，對總體分布進行檢驗時，先提出原假設(shè)先提出原假設(shè):10擬合優(yōu)度檢驗的一般步驟n將總體將總體 X 的取值范圍分成的取值范圍分成 k 個互不重疊個互不重疊的小區(qū)間，記作的小區(qū)間，記作A1, A2, , Ak。 n把落入第把落入第 i 個小區(qū)間個小區(qū)間 Ai 的樣本值的個數(shù)的樣本值的個數(shù)記作記作 fi ，稱為，稱為實測頻數(shù)實測頻數(shù)； 所有實測頻數(shù)所有實測頻數(shù)之和（之和（f1+ f2+ + fk）等于樣本容量）等于樣本容量 n。n根據(jù)所假設(shè)的理論分布，可以算出總體根據(jù)所假設(shè)的理論分布，可以算出總體X 的值落入每個的值落入每個 Ai 的概率的概率 pi，npi就是落就是落入?yún)^(qū)間入?yún)^(qū)間 Ai 的樣本值的

6、的樣本值的理論頻數(shù)理論頻數(shù)。皮爾遜引進如下統(tǒng)計量表示皮爾遜引進如下統(tǒng)計量表示經(jīng)驗分布經(jīng)驗分布與與理論分布理論分布之間的差異之間的差異:在理論分布在理論分布已知的條件下已知的條件下,npi是常量是常量實測頻數(shù)實測頻數(shù)理論頻數(shù)理論頻數(shù)iifnp221()kiiiifnpnpn觀測頻數(shù)觀測頻數(shù)與與理論頻數(shù)理論頻數(shù)比較，判斷二者比較，判斷二者不符合程度是否由于機會所造成。不符合程度是否由于機會所造成。12統(tǒng)計量統(tǒng)計量 的分布是什么的分布是什么?2皮爾遜為什么會選用這個統(tǒng)計量皮爾遜為什么會選用這個統(tǒng)計量?兩個問題：關(guān)于第一個問題，皮爾遜證明了如下關(guān)于第一個問題，皮爾遜證明了如下定理定理: 若原假設(shè)中的理

7、論分布若原假設(shè)中的理論分布 F(x) 已經(jīng)完全給定，已經(jīng)完全給定，那么當那么當 n 時，統(tǒng)計量：時，統(tǒng)計量：221()kiiiifnpnp的分布的分布漸近漸近 (k-1) 個自由度的個自由度的 分布。分布。2 如果理論分布如果理論分布 F(x) 中有中有 r 個未知參數(shù)需用相個未知參數(shù)需用相應的估計量來代替，那么當應的估計量來代替，那么當 n 時，統(tǒng)計時，統(tǒng)計量量 的分布漸近的分布漸近 (k-1-r)個自由度的個自由度的 分布。分布。2214皮爾遜定理的幾點說明n統(tǒng)計量的選擇統(tǒng)計量的選擇n自由度的確定自由度的確定n連續(xù)性矯正連續(xù)性矯正15統(tǒng)計量的選擇n求求 k 個個 OiTi 之和，之和，顯然

8、它們恒等于顯然它們恒等于0n求求 k 個個 (OiTi)2 之和，之和，得不出相對的不符合程度得不出相對的不符合程度nOi9、Ti6，OiTi3；Oi49、Ti46，OiTi3。前者的不符合程度遠大于后者。前者的不符合程度遠大于后者。n求求 k 個個 (OiTi)/Ti2 之和，之和，但仍有問題但仍有問題n如：如：Oi8、Ti5以及以及Oi80、Ti50時時 (OiTi)/Ti 都都等于等于0.6。16統(tǒng)計量的選擇n為了解決上述問題，以為了解決上述問題，以 Ti 為權(quán)求加權(quán)值為權(quán)求加權(quán)值22111kkkiiiiiiiiiiiiOTfnpOTTTTnp21kiiiiiOTTT21kiiiiOTT

9、17自由度的確定變量之間存在著一個制約關(guān)系：變量之間存在著一個制約關(guān)系：1()0kiiifnp故統(tǒng)計量故統(tǒng)計量 漸近漸近 (k-1) 個自由度的個自由度的 分布。分布。22221()kiiiifnpnp 在在 F(x) 尚未完全給定尚未完全給定的情況下，每個未知的情況下，每個未知參數(shù)用相應的估計量代替，就相當于增加一個參數(shù)用相應的估計量代替，就相當于增加一個制約條件，因此，自由度也隨之減少一個。制約條件，因此，自由度也隨之減少一個。若有若有 r 個未知參數(shù)需用相應的估計量來代替，個未知參數(shù)需用相應的估計量來代替，自由度就減少自由度就減少 r 個。個。故統(tǒng)計量故統(tǒng)計量 漸近漸近 (k-1-r)

10、個自由度的個自由度的 分布。分布。22 如果根據(jù)所給的樣本值如果根據(jù)所給的樣本值 X1,X2, ,Xn算得統(tǒng)算得統(tǒng)計量計量 的實測值落入拒絕域，則拒絕原假設(shè)，的實測值落入拒絕域，則拒絕原假設(shè)，否則就認為差異不顯著而接受原假設(shè)。否則就認為差異不顯著而接受原假設(shè)。得拒絕域得拒絕域:(不需估計參數(shù)不需估計參數(shù))(估計估計 r 個參數(shù)個參數(shù))根據(jù)根據(jù)皮爾遜皮爾遜定理，對給定的顯著性水平定理，對給定的顯著性水平 ，查查 分布表可得臨界值分布表可得臨界值 ，使得，使得2222()P2221,k221,kr 20連續(xù)性矯正n當當df1時應做連續(xù)時應做連續(xù)性矯正，矯正方法如性矯正，矯正方法如下：下：21 皮爾

11、遜定理是在皮爾遜定理是在 n 無限增大時推導出來無限增大時推導出來的，因而在使用時要注意的，因而在使用時要注意 n 要足夠大要足夠大，以，以及及 npi 不太小不太小這兩個條件。這兩個條件。 根據(jù)根據(jù)計算實踐計算實踐，要求，要求 n 不小于不小于50，以及，以及npi 都不小于都不小于 5。否則應適當合并區(qū)間，使。否則應適當合并區(qū)間，使 npi 滿足這個要求滿足這個要求 。皮爾遜定理小結(jié)皮爾遜定理小結(jié) 奧地利生物學家孟德爾進行了長達奧地利生物學家孟德爾進行了長達八年之久的豌豆雜交試驗，并根據(jù)試八年之久的豌豆雜交試驗，并根據(jù)試驗結(jié)果，運用他的數(shù)理知識，發(fā)現(xiàn)了驗結(jié)果，運用他的數(shù)理知識，發(fā)現(xiàn)了分離規(guī)

12、律分離規(guī)律。孟德爾孟德爾 以遺傳學上的一項偉大發(fā)現(xiàn)為例，說明統(tǒng)計以遺傳學上的一項偉大發(fā)現(xiàn)為例，說明統(tǒng)計方法在研究自然界和人類社會的規(guī)律性時，是方法在研究自然界和人類社會的規(guī)律性時，是起著積極的、主動的作用。起著積極的、主動的作用?！纠?】子二代子二代子一代子一代黃色純系黃色純系綠色純系綠色純系他的一組觀察結(jié)果為：他的一組觀察結(jié)果為：黃黃70，綠，綠27近似為近似為2.59:1，與理論值相近。，與理論值相近。 根據(jù)他的理論，子二代中，黃、綠之比根據(jù)他的理論，子二代中，黃、綠之比 近似為近似為3:1，這里，這里，n=70+27=97，k=2,檢驗孟德爾的檢驗孟德爾的3:1理論理論:提出假設(shè)提出假

13、設(shè)H0: O-T=0 (p1=3/4，p2=1/4)理論頻數(shù)為：理論頻數(shù)為： np1=72.75，np2=24.25實測頻數(shù)為實測頻數(shù)為70（黃黃），），27（綠綠）。）。自由度為自由度為2-1=1未落入拒絕域。未落入拒絕域。故認為試驗結(jié)果符合孟德爾的故認為試驗結(jié)果符合孟德爾的3:1理論。理論。2221iiiifnpnp按按 =0.05，自由度為，自由度為1，查表得，查表得21,0.053.8412由于統(tǒng)計量由于統(tǒng)計量=0.41583.84122(7072.75)(2724.25)0.415872.7524.25【引例引例1】某地區(qū)某地區(qū)在在1500到到1931年的年的432年間，共爆發(fā)了年間

14、，共爆發(fā)了299次戰(zhàn)次戰(zhàn)爭，具體數(shù)據(jù)如下（每年爆發(fā)戰(zhàn)爭，具體數(shù)據(jù)如下（每年爆發(fā)戰(zhàn)爭的次數(shù)可以看作一個隨機變量爭的次數(shù)可以看作一個隨機變量X）：）：戰(zhàn)爭次數(shù)戰(zhàn)爭次數(shù) X01234 22314248154 發(fā)生發(fā)生 X 次戰(zhàn)爭的年數(shù)次戰(zhàn)爭的年數(shù)【例例2】引例引例1，檢驗每年爆發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)分，檢驗每年爆發(fā)戰(zhàn)爭次數(shù)分布是否服從泊松分布。布是否服從泊松分布。 按參數(shù)按參數(shù) 為為0.69的泊松分布，計算事件的泊松分布，計算事件X=i 的概率的概率pi ，pi的估計是：的估計是：H0：O-T=0 （X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布）的泊松分布）根據(jù)觀察結(jié)果，得參數(shù)根據(jù)觀察結(jié)果，得參數(shù) 的極大似然估計為：的

15、極大似然估計為：0.69X0.690.69 / !,0,1,2,3,4iipei i解：解：將有關(guān)計算結(jié)果列表如下將有關(guān)計算結(jié)果列表如下:2. 因因H0所假設(shè)的理論分布中有一個所假設(shè)的理論分布中有一個未知參數(shù)未知參數(shù) ，故自由度為故自由度為4-1-1=2。1. 將將npi 5的組予以合并，即將發(fā)生的組予以合并，即將發(fā)生3次及次及4次戰(zhàn)爭次戰(zhàn)爭的組歸并為一組。的組歸并為一組。按按 =0.05，自由度為，自由度為4-1-1=2，查表得：，查表得：22,0.055.991統(tǒng)計量統(tǒng)計量:22.435.991未落入拒絕域。未落入拒絕域。 故認為每年發(fā)生戰(zhàn)爭的次數(shù)故認為每年發(fā)生戰(zhàn)爭的次數(shù) X 服從參數(shù)服從

16、參數(shù)為為 0.69的泊松分布。的泊松分布。30 2 檢驗的另一應用-獨立性檢驗獨立性檢驗n是指研究是指研究兩個或兩個以上兩個或兩個以上的的計數(shù)資料計數(shù)資料（或?qū)傩再Y料）之間是否相互獨立的（或?qū)傩再Y料）之間是否相互獨立的假設(shè)檢驗，先假設(shè)所觀測的各屬性之假設(shè)檢驗，先假設(shè)所觀測的各屬性之間沒有關(guān)聯(lián)，然后檢驗這種無關(guān)聯(lián)的間沒有關(guān)聯(lián)，然后檢驗這種無關(guān)聯(lián)的假設(shè)是否成立。假設(shè)是否成立。n方法方法1：列聯(lián)表：列聯(lián)表 2 檢驗檢驗【例例】下表給出不同給藥方式與給藥效果下表給出不同給藥方式與給藥效果，問給藥方式與給藥效果是否有關(guān)聯(lián)。問給藥方式與給藥效果是否有關(guān)聯(lián)。22211kkiiiiiiiiOTfnpTnp檢驗

17、統(tǒng)計量：檢驗統(tǒng)計量：【例例】下表給出不同給藥方式與給藥效果下表給出不同給藥方式與給藥效果，求證：給藥方式與給藥效果有無關(guān)聯(lián)。求證：給藥方式與給藥效果有無關(guān)聯(lián)。若事件若事件 A 和事件和事件 B 是相互獨立的，則是相互獨立的，則P(AB)=P(A)P(B)33列聯(lián)表 2 檢驗一般步驟n提出零假設(shè)：假設(shè)實測數(shù)提出零假設(shè)：假設(shè)實測數(shù)與與理論數(shù)無差異。即理論數(shù)無差異。即H0：OT0。n計算理論數(shù)：若事件計算理論數(shù)：若事件 A 和事件和事件 B 是相互獨立是相互獨立的的，則則 P(AB)=P(A)P(B)。n例如：例如：在給藥方式和效果之間是相互獨立的前提下在給藥方式和效果之間是相互獨立的前提下，計算口

18、服（事件，計算口服（事件B）有效（事件）有效（事件A）的）的概率概率 P(BA)P(B)P(A) = (98/193) (122/193)。其。其理論數(shù)理論數(shù)T1(98/193)(122/193) 193 = (98)(122)/193 。n每個理論值用每個理論值用Tij表示，表示，Tij=(i行總數(shù)行總數(shù))(j列總數(shù)列總數(shù))/總數(shù)。總數(shù)。34列聯(lián)表 2 檢驗一般步驟n計算計算 2 值：若值：若 2 2，則拒絕，則拒絕H0。n確定確定 df：因為每一行的各理論數(shù)受該行總數(shù)：因為每一行的各理論數(shù)受該行總數(shù)約束，每一列的各理論數(shù)受該列總數(shù)約束，約束，每一列的各理論數(shù)受該列總數(shù)約束，所以所以 df(

19、r-1)(c-1)。n給出結(jié)論。給出結(jié)論。2. 計算理論數(shù)：計算理論數(shù)：1. 零假設(shè)零假設(shè)H0：OT0Tij=(i行總數(shù)行總數(shù))(j列總數(shù)列總數(shù))/總數(shù)總數(shù)3. 計算計算 2 值值4. 確定確定dfdf(r-1)(c-1) (2-1)(2-1) 1取取 =0.05，220.051.3915. 給出結(jié)論：給出結(jié)論： 接受接受H0，不同給藥方式的治療效果沒有顯著，不同給藥方式的治療效果沒有顯著不同。不同。注意：本例的注意：本例的 df =1應當矯正，矯正后的應當矯正，矯正后的 2 值更值更小，不會影響結(jié)論，可以不再矯正。小，不會影響結(jié)論，可以不再矯正。38rc 列聯(lián)表列聯(lián)表 2 檢驗nrc列聯(lián)表是

20、列聯(lián)表是 22 表的擴展；反之，表的擴展；反之， 22 表也可以看成是表也可以看成是 rc列聯(lián)表的一個列聯(lián)表的一個特例。特例。nrc 列聯(lián)表理論數(shù)的計算與列聯(lián)表理論數(shù)的計算與22列聯(lián)表列聯(lián)表相同：相同：nTij=(i行總數(shù)行總數(shù))(j列總數(shù)列總數(shù))/總數(shù)?？倲?shù)。ndf=(r-1)(c-1)?！纠繖z查魚的飼養(yǎng)方式與魚的等級是否有檢查魚的飼養(yǎng)方式與魚的等級是否有關(guān)，設(shè)計了如下試驗：按不同方式分為三種關(guān)，設(shè)計了如下試驗：按不同方式分為三種網(wǎng)箱飼養(yǎng)類型：網(wǎng)箱飼養(yǎng)類型：A、B、C，統(tǒng)計不同飼養(yǎng)方，統(tǒng)計不同飼養(yǎng)方式下魚的等級情況，得如下數(shù)據(jù)，試分析。式下魚的等級情況，得如下數(shù)據(jù)，試分析。 等級等級飼養(yǎng)

21、方式飼養(yǎng)方式總數(shù)總數(shù)ABC甲甲22181656乙乙18161448丙丙11131438丁丁8111029總數(shù)總數(shù)595854171等級等級飼養(yǎng)方式飼養(yǎng)方式總數(shù)總數(shù)ABC甲甲22（19.32） 18（18.99） 16（17.68）56乙乙18（16.56） 16（16.28） 14（15.16）48丙丙11（13.11） 13（12.89） 14（12.0）38丁丁8（10.01） 11（9.84） 10（9.16）29總數(shù)總數(shù)5958541712. 計算理論數(shù)：計算理論數(shù)：1. 零假設(shè)零假設(shè)H0：OT0Tij=(i行總數(shù)行總數(shù))(j列總數(shù)列總數(shù))/總數(shù)總數(shù)22221221()(22 19.3

22、2)(18 18.99)(109.16).2.09319.3218.999.16iiiiOTT22221221()(22 19.32)(18 18.99)(109.16).2.09319.3218.999.16iiiiOTT22221221()(22 19.32)(18 18.99)(109.16).2.09319.3218.999.16iiiiOTT3.計算計算2值值等級等級飼養(yǎng)方式飼養(yǎng)方式總數(shù)總數(shù)ABC甲甲22（19.32） 18（18.99） 16（17.68）56乙乙18（16.56） 16（16.28） 14（15.16）48丙丙11（13.11） 13（12.89） 14（12.0

23、）38丁丁8（10.01） 11（9.84） 10（9.16）29總數(shù)總數(shù)5958541714. 計算計算df：df=(r-1)(c-1) =(4-1)(3-1) =643226,0.052.09312.59 接受原假設(shè)，即商品魚的規(guī)格與飼接受原假設(shè)，即商品魚的規(guī)格與飼養(yǎng)方式無關(guān)。養(yǎng)方式無關(guān)。5. 結(jié)論結(jié)論44rc 列聯(lián)表列聯(lián)表 2 檢驗的局限性與吻合度檢驗一樣，理論數(shù)不得小于與吻合度檢驗一樣，理論數(shù)不得小于5。4522 列聯(lián)表的精確檢驗法列聯(lián)表的精確檢驗法aba + bcdc + da + c b + dN044325369134235369224145369314055369表1表2表3表

24、445369044325369表145369根據(jù)組合公式， 9分解為4和5，共：49C 9分解為3和6，共：39C9在行間分解為4和5，在列間分解為3和6，共：43999!9!()()4!5! 3!6!CC根據(jù)組合公式， 9分解為0，4，3和2，共：043299529!0!4!3!2!CCCC0443253699!()()4!5! 3!6!CC043299529!0!4!3!2!CCCC出現(xiàn)表1的概率是：0432995243994!5!369 0 4 3 2CCCCCC！ ！ ！ ！ ！ ！044325369134235369224145369314055369表1表

25、2表3表40432995243994!5!369 0 4 3 2CCCCCC！ ！ ！ ！ ！ ！2214975443994!5!369 2 214CCCCCC！ ！ ！ ！ ！ ！3105965543994!5!369 310 5CCCCCC！ ！ ！ ！ ！ ！各列聯(lián)表的概率：各列聯(lián)表的概率：1322985343994!5!36913 2 2CCCCCC！ ！ ！ ！ ！ ！4!5!3!6!9!1!3!2!3!求任一列聯(lián)表概率的通式：求任一列聯(lián)表概率的通式：aba + bcdc + da + c b + dN()!()!()!()! ! ! ! !abcdacbdPN a b c d注意：

26、注意：原假設(shè)是處理間不存在差異；原假設(shè)是處理間不存在差異；如果如果 P ，接受原假設(shè)；，接受原假設(shè)；如果如果 P ，接受備擇假設(shè)。，接受備擇假設(shè)。飼料未增重/只增重/只總數(shù)A415B066總數(shù)4711【例例1】用兩種飼料用兩種飼料 A 和和 B 飼養(yǎng)小白鼠，一周后測飼養(yǎng)小白鼠，一周后測小白鼠增重情況（如下表）。問用小白鼠增重情況（如下表）。問用不同飼料不同飼料飼養(yǎng)的飼養(yǎng)的小白鼠體重是否小白鼠體重是否存在差異存在差異？飼料未增重/只增重/只總數(shù)A415B066總數(shù)4711解：解：1. 原假設(shè)原假設(shè)H0：兩種飼料的飼養(yǎng)效果相同：兩種飼料的飼養(yǎng)效果相同2. 計算計算 P 值值()!()!()!()! ! ! ! !abcdacbdPN a b c d5!6!4!7!0.01511!4!1!0!6!飼料未增重/只增重/只總數(shù)A415B066總數(shù)4711解：解：3. 結(jié)論結(jié)論雙側(cè)檢驗，雙側(cè)檢驗，P 值與值與 /2比較比較P =0.015 0.025