2015年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題詳版答案VIP

1、2015 年入學(xué)統(tǒng)一數(shù)學(xué)（三）試題2015 年入學(xué)統(tǒng)一數(shù)學(xué)（三）試題一、選擇題:1 : 8 小題,每小題 4 分,共 32 分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指(1)設(shè)xn 是數(shù)列,下列命題中不正確的是置上.()(A) 若lim xn = a ,則 lim x2n = lim x2n +1 = an®¥n®¥n®¥若lim x2n = lim x2n +1 = a , 則lim xn = a(B)n®¥n®¥n®¥(C) 若

2、lim xn = a ,則 lim x3n = lim x3n +1 = an®¥n®¥n®¥(D) 若lim x3n = lim x3n +1 = a ,則lim xn = an®¥n®¥n®¥【】(D)】考查數(shù)列極限與子列極限的關(guān)系。數(shù)列收斂，那么它的任何無窮子列均收斂，所以 A 與 C 正確；一個(gè)數(shù)列存在多個(gè)無窮子列并集包含原數(shù)列所有項(xiàng)，且這些子列均收斂于同一個(gè)值，則原數(shù)列是收斂的。B 正確，D 錯(cuò),故選 Df ( x ) 在(-¥, +¥) 內(nèi)連續(xù)

3、,其 2 階導(dǎo)函數(shù) f ¢( x ) 的圖形如右圖所示,則曲線(2) 設(shè)函數(shù)f ( x ) 的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為y =()(A) 0】(C)(B) 1(C) 2(D) 3【】根據(jù)拐點(diǎn)的必要條件，拐點(diǎn)可能是 f ¢(x) 不存在的點(diǎn)或 f ¢(x) = 0 的點(diǎn)處產(chǎn)生。所以【函數(shù) f ¢(x) 符號(hào)發(fā)y =f (x) 有三個(gè)點(diǎn)可能是拐點(diǎn)，根據(jù)拐點(diǎn)的定義，即凹凸性改變的點(diǎn)；生改變的點(diǎn)即為拐點(diǎn)。所以從圖可知，拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2，故選 C.D = ( x, y ) x 2 + y 2 £ 2x, x 2 + y 2 £ 2y ,函數(shù) f ( x, y )

4、 在 D 上連續(xù),則1(3) 設(shè)2015 年入學(xué)統(tǒng)一數(shù)學(xué)（三）試題òò f ( x, y )dxdy =D()pp2cosq2sinqf (r cosq, r sinq)rdr +(r cosq, r sinq)rdròòòò(A)4 dq2 dqfp0004pp2sinq2cosqf (r cosq, r sinq)rdr +(r cosq, r sinq)rdròòòò(B)4 dq2 dqfp00041x(x, y )dy(x, y )dyòò(C) 2dxf1- x2

5、1-02 x- x21òò(D) 2dx【】(B)f0x【】根據(jù)圖可得，在極坐標(biāo)系下該二重要分成兩個(gè)區(qū)域D = ì(r,q) 0 £q£ p, 0 £ r £ 2 sinqý= ì(r,q) p £q£ p, 0 £ r £ 2 cosü Düqýíí12442îþîþpp2sinq2cosqòòDòòòòf (x,

6、y)dxdy = 4 dqf (r cosq, r sinq)rdr + 2 dqf (r cosq, r sinq)rdr所以，選p0004B。(4) 下列級(jí)數(shù)中發(fā)散的是()¥¥n311ån=1ån=1ln(1+)nn(A)(B)n¥(-1)n +1¥n!ån=2【】(C)ån=1(C)(D)ln nnnn +1n +1¥1n3n+1n< 1 ，所以根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法å= lim=【】A 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因?yàn)?limn=1 3n3n3n®¥n®¥

7、3nln(1+ 1 ) :n1n1¥1nln(1+ 1 )n，根據(jù) P 級(jí)數(shù)收斂準(zhǔn)則，知ån=1收斂；B 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因?yàn)槭諗浚?n2¥ån=1(-1)n +1 = å¥ (-1)n¥+ ån=1¥ån=1(-1)n¥ 1，根據(jù)ln n 1ln nån=1C，判別法知收斂，發(fā)散，ln nln nln nn=122015 年入學(xué)統(tǒng)一數(shù)學(xué)（三）試題¥(-1)n +1所以根據(jù)級(jí)數(shù)收斂定義知， ån=1(n +1)!發(fā)散；D 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因?yàn)閘n nön

8、(n +1)n+1n!(n +1)!nnæn1= limn+1 = lim ç=<1 ，所以根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法limn®¥÷n!(n +1)n®¥ è n +1 øen®¥nn¥n!ån=1收斂，所以選 C。nnæ1 öæ1ö1241ç÷ç÷a ÷ , b = ç d ÷ .若集合W = 1, 2 ，則線性方程組 Ax = b 有無(5)設(shè)矩陣

9、A = ç1ç÷ç12 ÷ç2 ÷aèøè dø窮多解的充分必要條件為：()(A) a ÏW, d ÏW(B) a ÏW, d ÎW(C) a ÎW, d ÏW】(D)æ1(D) a ÎW, d ÎW【1241a a21döæ 11101a -1(a -1)(a - 2)1ö÷】( A, b) = ç1÷ ® ç 0d

10、 -1【ç÷ç÷ç1÷ç 0(d -1)(d - 2) ÷2dèøèø ，由 r( A) = r( A, b) < 3 ，故 a = 1或a = 2 ，同時(shí) d = 1或 d = 2 。故選（D）f (3 ) 在正交變換x = Py 下的標(biāo)準(zhǔn)形為 2 y2 + y2 - y2 ， 其中(6) 設(shè)二次型123P = (e1, e2 , e3 ) ，若Q = (e1, -e3 , e2 ) 則 f = (為()3) 在正交變換 x = Qy 下的標(biāo)準(zhǔn)形(A) 2 y2 -

11、y2 + y2(B) 2 y2 + y2 - y2123123(C) 2 y2 - y2 - y2(D) 2 y2 + y2 + y2123123【】(A)】由 x = Py ，故f = xT Ax = yT (PT AP) y = 2 y2 + y2 - y2 .且【12332015 年入學(xué)統(tǒng)一數(shù)學(xué)（三）試題æ 20 ö010PT AP = ç 00 ÷ç÷ç 0-1÷ .èæ 1ø00-10 öQ = P ç 01 ÷ = PCç÷

12、ç 00 ÷èøæ 20 ö0-1 0QT AQ = CT (PT AP)C = ç00 ÷ç÷ç 01 ÷èøf = xT Ax = yT (QT AQ) y = 2 y2 - y2 + y2 。選（A）所以123(7)若 A, B 為任意兩個(gè)隨機(jī),則:()(A) P ( AB ) £ P ( A) P (B )(B) P ( AB ) ³ P ( A)P (B )P ( A) + P (B )2P ( A) + P (B )2P (

13、 AB ) £P ( AB ) ³(C)(D)【】(C)】由于 AB Ì A, AB Ì B ，按概率的基本性質(zhì)，我們有 P( AB) £ P( A) 且 P( AB) £ P(B) ，【P( A) + P(B)從而 P( AB) £，選(C).2 B (m,q),(8) 設(shè)總體 Xn 為來自該總體的簡單隨機(jī)樣本, X 為樣本均é n()2 ù值,則 E å X - Xú =()êiëi=1û(m -1) nq(1-q)(B) m (n -1)q(1-q)

14、(D) mnq(1-q)(A)(C) (m -1)(n -1)q(1-q)【】(B)1nåi【】根據(jù)樣本方差 S =(X - X ) 的性質(zhì) E(S ) = D( X ) ，而 D( X ) = mq(1 -q) ，222n -1i=142015 年入學(xué)統(tǒng)一數(shù)學(xué)（三）試題n從而 Eå( X - X )2 = (n -1)E(S 2 ) = m(n -1)q(1 - q) ，選(B) .ii=1二、填空題：9 : 14 小題,每小題 4 分,共 24 分.請將置上.寫在答題紙指ln(cos x)=.(9) limx2x®0【】 - 1 2】原極限= lim ln(1

15、+ cos x -1) = lim cos x -1 = - 1【x2x22x®0x®02xò(10)設(shè)函數(shù) f (x) 連續(xù)，j【】 2(x) =xf (t)dt, 若jj¢(1) = 1,(1) = 5, 則 f (1) = .02x【】因?yàn)?f (x) 連續(xù)，所以j(x) 可導(dǎo)，所以j¢ò(x) =f (t)dt + 2x f (x )22；01j(1) = 1ò，所以j(1) =f (t)dt = 1因?yàn)?1j¢ò(1) = 5j¢(1) =f (t)dt + 2 f (1) = 5又因

16、為，所以0故 f (1) = 2(11)若函數(shù) z = z(x, y) 由方程ex+2 y +3z + xyz = 1 確定，則dz【】 - 1 dx - 2 dy=.(0,0)33】當(dāng) x = 0 ， y = 0 時(shí)帶入ex+2 y +3z + xyz = 1，得 z = 0 。【對ex+2 y +3z + xyz = 1求微分，得d (ex+2 y +3z + xyz) = ex+2 y +3zd (x + 2 y + 3z) + d (xyz)= ex+2 y +3z (dx + 2dy + 3dz) + yzdx + xzdy + xydz= 0把 x = 0 ， y = 0 ， z

17、= 0 代入上式，得 dx + 2dy + 3dz = 0= - 1 dx - 2 dy所以 dz(0,0)3352015 年入學(xué)統(tǒng)一數(shù)學(xué)（三）試題(12) 設(shè)函數(shù) y = y(x) 是微分方程 y ¢ + y¢ - 2y = 0 的解， 且在 x = 0 處取得極值 3 ， 則y(x) =.【】 y(x) = e-2 x + 2ex【】 y ¢ + y¢ - 2 y = 0 的特征方程為l2 + l- 2 = 0 ，特征根為l= -2 ， l= 1，所以該齊次-2 x微分方程的通解為 y(x) = C e+ C e ，因?yàn)榭蓪?dǎo)，所以 x = 0 為駐點(diǎn)

18、，即xy(x)12y(0) = 3 ， y¢(0) = 0 ，所以C1 = 1 ， C2 = 2 ，故 y(x) = e-2 x + 2ex(13)設(shè) 3 階矩陣 A 的特征值為 2, -2,1 ， B = A2 - A + E , 其中 E 為 3 階矩陣，則行列式=.】 21】 A 的所有特征值為2, -2,1. B 的所有特征值為3, 7,1.B【所以| B |= 3´ 7 ´1 = 21。(14)設(shè)二維隨量( X ,Y ) 服從正態(tài)分布 N (1, 0;1,1; 0) ，則 PXY -Y < 0 =.12【】由題， X N (1,1),Y N (0,

19、1) ，而且 X、Y 相互【，從而PXY - Y < 0 = P( X -1)Y < 0 = PX -1 > 0,Y < 0 + PX -1 < 0,Y > 01´ 1 + 1´ 1 = 1 .= PX > 1PY < 0 + PX < 1PY > 0 =22222三、解答題：1523 小題,共 94 分.請將解答寫在答題紙指置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分 10 分)設(shè)函數(shù) f (x) = x + a ln(1+ x) + bx sin x, g(x) = c = kx 3 .若

20、f (x) 與 g(x) 在 x ® 0 時(shí)是等價(jià)無窮小，求 a, b, k 的值.62015 年入學(xué)統(tǒng)一數(shù)學(xué)（三）試題-1-13】 a = -1,b =, k =2】法一：【因?yàn)閘n(1 +3) ， sin3) ，那么，(1+ a)x + (b - a)x 2 + a x3 + o(x3)f (x) = lim x + a ln(1 + x) + bx sin x = lim231 = lim，kx 3®0ìï1+ a = 0ìï a = -1ïïïaï1可得： íb - 2 = 0

21、 ，所以， íb = - 2 ïïïîïïk = - 1a3k= 1ïî3法二：解：由題，得a1+1+f (x) = lim x + a ln(1+ x) + bx sin x1 = lim= limkx33kx2g(x)x®0x®0x®0a1+由分母lim 3kx2 = 0 ，得lim(1+) = lim(1+ a) = 0 ，求得 c；x®0x®0x®011+1-f (x)于是1 = lim= lim3kx2g(x)x®0x

22、4;0= lim x + b(1+ x) sin x + b3kx（2 1+ x）x®0= lim x + b(1+ x) sin x + b3kx2x®0= lim 1+ b sin x + b(1+ x) cos x + b(1+ x) cos x + bx cos x - b6kxx®0由分母lim 6kx = 0 ，得x®0lim1+ b sin x + 2b(1+ x) cos x + bx cos x - b= lim(1+ 2b cos x) = 0， 求得x®0x®072015 年入學(xué)統(tǒng)一數(shù)學(xué)（三）試題b = - 1

23、；2進(jìn)一步，b 值代入原式1- 1 sin- 1(1+ x) sin xf (x)221 = lim= limg(x)6kxx®0x®0- 1 cos+ 1(1+ x) cos x) sinsin22= lim6kx®0- 1= 26k，求得k = - 1 .3(16)(本題滿分 10 分)計(jì)算二重òò x(x + y)dxdy ，其中 D = (x, y) x 2 + y 2 £ 2, y ³ x 2.Dp2】-【45】 òò x(x + y)dxdy = òò x2dxdy【DD2

24、- x21òòx2= 2dx2x dy01ò= 22 )dx0p2 x= 2 sin t251= 2òòx22 - x2 dx -=22 sin t2 cos tdt -224500pp2p 22 u =2tòò= 2sin 2tdt -=sin udu -=-.2242554500(17)(本題滿分 10 分)為了實(shí)現(xiàn)利潤的最大化，廠商需要對某商品確定其定價(jià)模型，設(shè)Q 為該商品的需求量， P 為價(jià)格，MC 為邊際成本，h為需求彈性(h> 0) .MC(I)證明定價(jià)模型為 P =；11-h82015 年入學(xué)統(tǒng)一數(shù)學(xué)（三

25、）試題2 ，需求函數(shù)為Q = 40 - P ，試由（I）中的定價(jià)模(II) 若該商品的成本函數(shù)為C(型確定此商品的價(jià)格.】(I)略(II) P = 30 .】(I)由于利潤函數(shù) L(Q) = R(Q) - C(Q) = PQ - C(Q) ,兩邊對Q 求導(dǎo)，得【dLdQ= P + Q dP - C ¢(Q) = P + Q dP - MC .dQdQdLP dQdP1 P當(dāng)且僅當(dāng)= 0 時(shí)，利潤 L(Q) 最大，又由于h= -×,所以= -×,dQQ dPdMC故當(dāng) P =時(shí)，利潤最大.11-h= 2(40 - P) ,則h= - PdQ =P(II)由于 MC

26、= C¢(代入(I)中的定價(jià)模型，Q dP40 - P2(40 - P)P = 30 .得 P =40 - P ,從而1-P(18)(本題滿分 10 分)設(shè)函數(shù) f (x) 在定義域 I 上的導(dǎo)數(shù)大于零， 若對任意的 x0 Î I ， 曲線 y = f (x) 在點(diǎn)(x0 , f (x0 ) 處的切線與直線 x = x0 及 x 軸所圍成區(qū)域的面積恒為 4，且 f (0) = 2 ，求 f (x) 表達(dá)式.8f ( x) =【】4 - xf ( x0 )ö, 0) ，切線與 x 軸的交點(diǎn)為æ x】曲線的切線方程為 y - f ( x ) = f 

27、2;(-【çf ¢( x )÷000èø01 f 2 ( x )故面積為： S =0= 4 .f ¢( x0 )2f ( x) 滿足的方程為 f 2 ( x) = 8 f ¢( x) ,此為可分離變量的微分方程,故f ( x) = -8 ，又由于 f (0) = 2 ，帶入可得C = -4 ，從而 f ( x) =8x + C(19)(本題滿分 10 分)4 - x92015 年入學(xué)統(tǒng)一數(shù)學(xué)（三）試題（I）設(shè)函數(shù)u(x), v(x) 可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明u(x)v(x)¢ = u¢(x)v(x) + u

28、(x)v¢(x);（II）設(shè)函數(shù)u1 (x), u2 (x),L, un (x) 可導(dǎo)， f (x) = u1(x)u2 (x)Lun (x) ，寫出 f (x) 的求導(dǎo)公式.】 f ¢(x) = u1(x)u2 (x)Lun (x)¢【= u ¢(x)u (x)Lu (x) + u (x)u ¢(x)Lu (x) +L+ u (x)u (x)Lu ¢(x)12n12n12n】（I） u(x)v(x)¢ = lim u(x + h)v(x + h) - u(x)v(x)【hh®0= lim u(x + h)v(x

29、+ h) - u(x + h)v(x) + u(x + h)v(x) - u(x)v(x)hh®0= lim u(x + h) v(x + h) - v(x) + lim u(x + h) - u(x) v(x)hhh®0h®0= u(x)v¢(x) + u¢(x)v(x)（II）由題意得f ¢(x) = u1(x)u2 (x)Lun (x)¢= u ¢(x)u (x)Lu (x) + u (x)u ¢(x)Lu (x) +L+ u (x)u (x)Lu ¢(x)12n12n12n(20) (本

30、題滿分 11 分)æ a10 ö設(shè)矩陣 A = ç 1a-1÷ ，且 A3 = O .ç÷ç 0a ÷1è(I) 求 a 的值；ø(II)若矩陣 X 滿足 X - XA2 - AX + AXA2 = E ，其中 E 為 3 階矩陣，求 X .-2 öæ 3111】 a = 0, X = ç 1-1÷【ç÷ç 2-1÷èø【】a1a1001a10(I) A3 = O ÞA = 0 

31、2; 1-1 = 1- a2-1 = a3 = 0 Þ a = 0-a0aa(II)由題意知102015 年入學(xué)統(tǒng)一數(shù)學(xué)（三）試題X - XA2 - AX + AXA2 = E Þ X (E - A2 )- AX (E - A2 )= EÞ ( E - A) X (E - A2 ) = E Þ X = (E - A )-1 (E - A2 )-1 =E - AE -()-1()éù2AëûÞ X = (E - A2 - A)-1-1 1-1æ01 öE - A2 - A = ç

32、;-11 ÷ ，ç÷ç -12 ÷è1M11M02M0øæ-10 öæ-1-1-1-1M0 1 M12 M0-1 000 ö00101ç -110 ÷ ® ç0 ÷0ç÷ç÷ç -1-11 ÷ç -11 ÷èø-1 0-1èø-1 0-1-1 1-2-1 10-1M 0-1M-1 1 M 0-1 100M30M11M2

33、-1M 0-1M-1-1M-2æ 10 öæ 10 ö® ç 00 ÷ ® ç 00 ÷ç÷ç÷ç 01 ÷ç 01 ÷èæ 1øèø-1öæ 1-2 ö0M20M11M20110101® ç 0-1÷ ® ç 01-1÷ç÷ç÷ç

34、; 0-1÷ç 01-1÷èøèø-2 öæ 31 X = ç 11-1÷ç÷ç 21-1÷èø(21) (本題滿分 11分)-3ö-2b3æ02æ 10 ö設(shè)矩陣 A = ç -13-3÷ 相似于矩陣 B = ç 00 ÷ .ç÷ç÷ça ÷ç 01 ÷-21

35、2;øèø(I) 求 a, b 的值；（II）求可逆矩陣 P ，使 P -1 AP 為對角矩陣.-3-1öæ 2】 a = 4,b = 5, P = ç10-1÷【ç÷ç 01 ÷1èø】(1) A B Þ tr( A) = tr(B) Þ 3 + a = 1 + b +1【112015 年入學(xué)統(tǒng)一數(shù)學(xué)（三）試題2-3-2b30100001=Þ -13-3 =AB-21aìa - b = -1Þ ìa =

36、4í2a - b = 3íb = 5îî-3öæ 10 öæ -1-3öæ0202 A = ç-÷ = ç÷ + ç- ÷ = E + C-ç÷ç÷ç÷ç3 ÷ç 01 ÷ç3 ÷-201èæ -1øèøèø-3öæ -1

37、6;22-2C = ç -1-3÷ = ç -1÷ (13 )-2ç÷ç÷ç3 ÷ç 1 ÷1èøèøC 的特征值l1 = l2 = 0,l3 = 4l= 0 時(shí)(0E - C)x = 0 的基礎(chǔ)解系為x = (2,1, 0)T ;x = (-3, 0,1)T12l= 5 時(shí)(4E - C)x = 0 的基礎(chǔ)解系為x = (-1, -1,1)T3A 的特征值lA = 1+ lC :1,1, 5-3-1öæ 2令 P = (x,x ,x) = ç10-1