利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型及解題技巧VIP

1、無利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型及解題技巧利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的常見題型及解題技巧趣題引入趣題引入已知函數(shù)xxxgln)(設(shè)ba 0，證明：2ln)()2(2)()(0abbabgag分析：主要考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的能力。證明：1ln)(xxg，設(shè))2(2)()()(xagxgagxF2lnln)2()(21)2(2)()(xaxxagxgxagxgxF當(dāng)ax 0時0)( xF，當(dāng)ax 時0)( xF，即)(xF在), 0(ax上為減函數(shù)，在),( ax上為增函數(shù)0)()(minaFxF，又ab 0)()(aFbF，即0)2(2)()(bagbgag設(shè)2ln)()2(2)()()(axxagxg

2、agxG)ln(ln2ln2lnln)(xaxxaxxG當(dāng)0 x時，0)(xG，因此)(xG在區(qū)間), 0( 上為減函數(shù)；因為0)(aG，又ab 0)()(aGbG，即02ln)()2(2)()(axxagxgag故2ln)()2(2)()(axxagxgag綜上可知，當(dāng)ba 0時，2ln)()2(2)()(0abbabgag本題在設(shè)輔助函數(shù)時，考慮到不等式涉及的變量是區(qū)間的兩個端點，因此，設(shè)輔助函數(shù)時就把其中一個端點設(shè)為自變量，范例中選用右端點，讀者不妨設(shè)為左端點試一試，就能體會到其中的奧妙了。技巧精髓技巧精髓一、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一

3、個難點，也是近幾年高考的熱點。二、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個可導(dǎo)無函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。1、利用題目所給函數(shù)證明、利用題目所給函數(shù)證明【例例 1】已知函數(shù)xxxf) 1ln()(，求證：當(dāng)1x時，恒有xxx) 1ln(111分析：分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)111) 1ln()(xxxg，從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明?！揪G色通道綠色通道】1111)(xxxxf當(dāng)01x時，0)( xf，即)(xf在)0 , 1(x上為增函數(shù)當(dāng)0 x時，0)( xf，即)(xf在

4、), 0( x上為減函數(shù)故函數(shù)( )f x的單調(diào)遞增區(qū)間為)0 , 1(，單調(diào)遞減區(qū)間), 0( 于是函數(shù)( )f x在), 1(上的最大值為0)0()(max fxf，因此，當(dāng)1x時，0)0()( fxf，即0) 1ln(xxxx ) 1ln(（右面得證） ，現(xiàn)證左面，令111) 1ln()(xxxg，22) 1() 1(111)(xxxxxg則當(dāng)0)(,), 0(; 0)(,)0 , 1(xgxxgx時當(dāng)時，即)(xg在)0 , 1(x上為減函數(shù)，在), 0( x上為增函數(shù)，故函數(shù))(xg在), 1(上的最小值為0)0()(min gxg， 當(dāng)1x時，0)0()( gxg，即0111) 1

5、ln(xx111) 1ln(xx，綜上可知，當(dāng)xxxx) 1ln(111,1有時【警示啟迪警示啟迪】如果( )f a是函數(shù)( )f x在區(qū)間上的最大 （?。?值， 則有( )f x ( )f a（或( )f x ( )f a） ， 那么要證不等式， 只要求函數(shù)的最大值不超過0就可得證2、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明、直接作差構(gòu)造函數(shù)證明【例例 2】已知函數(shù).ln21)(2xxxf求證：在區(qū)間), 1 (上，函數(shù))(xf的圖象在函數(shù)332)(xxg的圖象的下方；分析：分析：函數(shù))(xf的圖象在函數(shù))(xg的圖象的下方)()(xgxf 不等式問題，即3232ln21xxx，只需證明在區(qū)間), 1 (上，恒

6、有3232ln21xxx成立，無設(shè))()()(xfxgxF，), 1 ( x，考慮到061) 1 (F要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋寒?dāng)1x時，) 1 ()(FxF，這只要證明：)(xg在區(qū)間), 1 ( 是增函數(shù)即可?！揪G色通道綠色通道】設(shè))()()(xfxgxF，即xxxxFln2132)(23，則xxxxF12)(2=xxxx) 12)(1(2當(dāng)1x時，)(xF=xxxx) 12)(1(2從而)(xF在), 1 (上為增函數(shù)，061) 1 ()( FxF當(dāng)1x時0)()(xfxg，即)()(xgxf，故在區(qū)間), 1 (上，函數(shù))(xf的圖象在函數(shù)332)(xxg的圖象的下方?！揪締⒌暇締⒌稀勘?/p>

7、題首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個函數(shù)（可以移項，使右邊為零，將移項后的左式設(shè)為函數(shù)） ，并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設(shè))()()(xgxfxF做一做，深刻體會其中的思想方法。3、換元后作差構(gòu)造函數(shù)證明、換元后作差構(gòu)造函數(shù)證明【例例 3】證明：對任意的正整數(shù) n，不等式3211) 11ln(nnn都成立.分析分析：本題是山東卷的第（II）問，從所證結(jié)構(gòu)出發(fā)，只需令xn1，則問題轉(zhuǎn) 化 為 ： 當(dāng)0 x時 ， 恒 有32) 1ln(xxx成 立 ， 現(xiàn) 構(gòu) 造 函 數(shù)) 1ln()(23xxxxh，求導(dǎo)即可達(dá)到證明?！揪G色通道綠色通道】令) 1ln(

8、)(23xxxxh，則1) 1(31123)(232xxxxxxxh在), 0( x上恒正， 所以函數(shù))(xh在), 0( 上單調(diào)遞增， ), 0( x時，恒有，0)0()( hxh即0) 1ln(23xxx，32) 1ln(xxx對任意正整數(shù) n，取3211) 11ln(), 0(1nnnnx，則有【警示啟迪警示啟迪】我們知道，當(dāng)( )F x在 , a b上單調(diào)遞增，則xa時，有( )F x( )F a如果( )f a( )a，要證明當(dāng)xa時，( )f x ( )x，那么，只要令( )F x( )f x( )x， 就可以利用( )F x的單調(diào)增性來推導(dǎo) 也就是說， 在( )F x無可導(dǎo)的前提

9、下，只要證明( )Fx 即可4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明【例例 4】若函數(shù) y=)(xf在 R 上可導(dǎo)且滿足不等式 x)(xf )(xf恒成立，且常數(shù) a，b 滿足 ab，求證： a)(afb)(bf【綠色通道綠色通道】由已知 x)(xf +)(xf0 構(gòu)造函數(shù))()(xxfxF，則)(xFx)(xf +)(xf0， 從而)(xF在 R 上為增函數(shù)。ba )()(bFaF即 a)(afb)(bf【警示啟迪警示啟迪】由條件移項后)()(xfxf x，容易想到是一個積的導(dǎo)數(shù)，從而可以構(gòu)造函數(shù))()(xxfxF， 求導(dǎo)即可完成證明。 若題目中的條件改為)()(xfxf

10、x，則移項后)()(xfxf x，要想到是一個商的導(dǎo)數(shù)的分子，平時解題多注意總結(jié)?！舅季S挑戰(zhàn)思維挑戰(zhàn)】1、設(shè)xaxxxfaln2ln1)(, 02求證：當(dāng)1x時，恒有1ln2ln2xaxx，2、已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù),ln3)(,221)(22bxaxgaxxxf其中 a0，且aaabln32522， 求證：)()(xgxf3、已知函數(shù)xxxxf1)1ln()(，求證：對任意的正數(shù)a、b，恒有.1lnlnabba4、（2007 年，陜西卷）)(xf是定義在（0，+）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足)()(xfxf x 0 ， 對 任 意 正 數(shù)a 、 b ， 若ab ， 則 必 有（）（A）af

11、(b)bf (a)（B）bf (a)af (b)（C）af (a)f (b)（D）bf (b)f (a)【答案咨詢答案咨詢】1、提示：提示：xaxxxf2ln21)(，當(dāng)1x，0a時，不難證明1ln2xx0)( xf，即)(xf在), 0( 內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)1x時，0) 1 ()( fxf，當(dāng)1x時，恒有1ln2ln2xaxx無2、提示提示：設(shè)bxaaxxxfxgxFln3221)()()(22則xaaxxF232)(=xaxax)3)()0( x0a， 當(dāng)ax 時，0)( xF，故)(xF在), 0(a上為減函數(shù)， 在),(a上為增函數(shù)， 于是函數(shù))(xF在), 0( 上的最小值是0)()()(agafaF，故當(dāng)0 x時，有0)()(xgxf，即)()(xgxf3、提示：提示：函數(shù))(xf的定義域為), 1(，22)1 ()1 (111)(xxxxxf當(dāng)01x時，0)( xf，即)(xf在)0 , 1(x上為減函數(shù)當(dāng)0 x時，0)( xf，即)(xf在), 0( x上為增函數(shù)因此在)(,0