第五章微分學SECTION32

1、四、隱函數(shù)1. 單變量隱函數(shù)對于由方程F(x,y)=0所確定的隱函數(shù)有下述定理:存在定理 設函數(shù)F(x,y)在點M0(x0,y0)的某一鄰域* 鄰域的概念見第二十一章，這里M0的領域是指包含M0的某一矩形R內定義并且滿足下列條件:(i) F(x,y)及其偏導數(shù)在R內連續(xù),(ii) F(x0,y0)=0,(iii)0,那末在點M0(x0,y0)的某一鄰域;)內有唯一的單值函數(shù)y=f(x)存在,具有下列性質:1°Fx,f(x)0,且f(x0)=y0, 2° 在區(qū)間()內函數(shù)f(x)連續(xù),3° 它在這區(qū)間內有連續(xù)的導數(shù).導數(shù)的計算(0)(0)2. 多變量隱函數(shù)對于由方程

2、F(x,y,z)=0所確定的隱函數(shù)有下述定理:存在定理 設函數(shù)F(x,y,z)在點P0(x0,y0,z0)的某一鄰域R內定義并且滿足下列條件:(i) F(x,y,z)及其偏導數(shù),在R內連續(xù),(ii) F(x0,y0,z0)=0,(iii) (x0,y0,z0) 0,那末在點P0(x0,y0,z0)的某一鄰域;)內有唯一的單值函數(shù)z=h(x,y)存在,具有下列性質:1°Fx,y,h(x,y)0,且h(x0,y0)= z0,2° 函數(shù)h(x,y)連續(xù),3° 它有連續(xù)的偏導數(shù).導數(shù)的計算,(0) 如果需要求所有一,二,各階的偏導數(shù),只要將恒等式F(x,y,z)=0兩邊求

3、一階,二階,三階,.各階的全微分,然后和全微分dz,d2z,的定義形式對比,即得.注意,對于由方程F(x1,xn,y)=0所確定的隱函數(shù)有類似結果.3. 由方程組所確定的隱函數(shù)對由方程組(1)所確定的隱函數(shù)有下述定理:存在定理 設函數(shù)F(x,y,z)及G(x,y,z)在點P0(x0,y0,z0)的某一鄰域R內定義,并且滿足下列條件:(i) F(x,y,z),G(x,y,z)及其所有偏導數(shù)都在R內連續(xù),(ii) F(x0,y0,z0)=0,G(x0,y0,z0)=0, (iii) 行列式J(x,y,z)=在點P0(x0,y0,z0)不等于零:J(x0,y0,z0)0.那末在點P0(x0,y0,z

4、0)的某一鄰域;)內有唯一的一組單值函數(shù)y=f(x),z=g(x)存在,具有下列性質:1° Fx,f(x),g(x)0,Gx,f(x),g(x)0,且f(x0)=y0,g(x0)=z0,2° 在區(qū)間()內函數(shù)f(x),g(x)連續(xù),3° 在這區(qū)間內有連續(xù)導數(shù).導數(shù)的計算 將y和z看作x的隱函數(shù),將方程組(1)對x微分得這是關于及的線性方程組,其行列式J0,由此可以解出及.注意,對于由方程組所確定的隱函數(shù)有類似的結果.五、微分表達式中的變量替換1.單變量函數(shù)設y=f(x),并有一個含有自變量、因變量及其導數(shù)的表達式H=F(x,y,)當作變量替換時,各導數(shù)可按下列方法

5、計算:作自變量變換的情形 設變換公式為x=這時 ,(1)自變量和函數(shù)都作變換的情形 設變換公式為x=,y=式中t為新的自變量,u為新的函數(shù).這時,由復合函數(shù)的微分法則得到,把這些式子代入公式(1),即得結果.2. 多變量函數(shù)作自變量變換的情形 設z=f(x,y),并有一個含有自變量、因變量及其偏導數(shù)的表達式H=F(x,y,z, ,)變換公式為x=,y=式中u和為新的自變量,則偏導數(shù), 由下列方程確定:=+其它高次偏導數(shù)也可仿此求出.自變量和函數(shù)都作變換的情形 設變換公式為x=,y=,z=其中u, 為新的自變量, w=w(u,v)為新的函數(shù),則偏導數(shù), 由下列方程確定:+)+)=+其他高次偏導數(shù)

6、也可仿此求出.注意,當H內出現(xiàn)的不是個別的偏導數(shù),而是已給階次的全部偏導數(shù),那末求逐次偏導數(shù)時利用全微分比較方便.六、微分學的基本定理(中值定理)洛爾定理 如果(i)函數(shù)f(x)定義在閉區(qū)間a,b上而且是連續(xù)的,(ii)在開區(qū)間(a,b)內存在有限導數(shù),(iii)在區(qū)間的兩端點處函數(shù)值相等: f(a)= f(b).那末在a與b之間至少存在一點c,使=0.即曲線y= f(x)在點(c, f(c)處的切線是水平的(圖5.6).特別,若f(a)= f(b)=0,洛爾定理可簡述如下:在一個函數(shù)的兩個根之間,它的一階導數(shù)至少有一個根.注意,函數(shù)f(x)須在閉區(qū)間a,b上連續(xù),并且在開區(qū)間(a,b)內點點

7、要有導數(shù)存在,這對于定理的結論的正確性是很要緊的.例如函數(shù)f(x)=在區(qū)間0,1上,除去在x=1時有間斷以外滿足定理的一切條件,但在(0,1)內處處都是=1.又例如由等式f(x)=x()及f(x)=()所定義的函數(shù),在這區(qū)間內除去當x=時(雙邊的)導數(shù)不存在以外,它也滿足定理的一切條件,可是導數(shù)在左半?yún)^(qū)間內等于+1,而在右半?yún)^(qū)間內等于.定理的條件(iii)也是很重要的,例如函數(shù)f(x)=x在區(qū)間0,1上,除去條件(iii)以外滿足定理的一切條件,而它的導數(shù)處處是=1.中值定理 如果(i)f(x)定義在閉區(qū)間a,b上而且是連續(xù)的,(ii) 在開區(qū)間(a,b)內存在有限導數(shù),那末在a與b之間至少存

8、在一點c,滿足等式= (a<c<b)(1)圖5.7即曲線y= f(x)在點(c, f(c)處的切線與弦AB平行(圖5.7).這個定理也稱為有限改變量定理或拉格朗日定理.(1)式也常寫成以下幾種形式:f(b)f(x+x)x(x<c<x+x)y= f(x+x)()由中值定理可得定理如果在區(qū)間a,b上的每一點都有=0,那末函數(shù)f(x)在這個區(qū)間上是一個常數(shù).柯西定理 如果(i)函數(shù)f(t)及g(t)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),(ii)在開區(qū)間(a,b)內有有限導數(shù),(iii)在區(qū)間(a,b)內0.那末在a與b之間至少存在一點c,使圖5.8=(a<c<b)這公式稱為柯西公

9、式(圖5.8).柯西定理常稱為微分學的廣義中值定理,因g(t)=x時,這個公式就是公式(1).多變量函數(shù)的中值定理 如果(i)函數(shù)f(x,y)定義在閉區(qū)域上并且連續(xù),(ii)在這區(qū)域內部(即在它的所有內點)有連續(xù)的偏導數(shù),今考察D中的兩點M0(x0,y0)及M1(x0+x,y0+y)假設這兩點能用全部位于D區(qū)域內的直線段M0M1來連接,則下面的公式成立:f(x0,y0)=f(x0+x,y0+y)=(0<<1)由中值定理可得定理若在閉連通區(qū)域D*內連續(xù)的函數(shù)f(x,y),在此區(qū)域內偏導數(shù)都等于零,即=0,則這函數(shù)在區(qū)域D內必為常數(shù).七、泰勒公式與泰勒級數(shù)1. 單變量函數(shù)的泰勒公式泰勒

10、局部公式 如果函數(shù)f(x)滿足條件:(i)在點a的某鄰域內有定義,(ii)在此鄰域內有一直到階的導數(shù),(iii)在點a處有n階導數(shù),那末f(x)在點a的鄰域內可表成以下各種形式:1° f(a+h)= f(a)+ * 若區(qū)域的任意兩點可以用一“折線”來連接，而該折線的一切點都在這區(qū)域中，這區(qū)域就稱為連通區(qū)域. = (當h0)2° f(x)= f(a)+ = (當xa)特別,當a=0時,有馬克勞林公式f(x)= f(0)+ = (當x0)泰勒公式 如果函數(shù)f(x)滿足條件:(i)在閉區(qū)間a,b上有定義,(ii)在此閉區(qū)間上有一直到n階的連續(xù)導數(shù),(iii)當a<x<

11、b時有有限導數(shù),那末f(x)在閉區(qū)間a,b上可表成以下各種形式:1°f(a+h)= (a<a+h<b)式中Rn(h)=(0<<1) (拉格朗日型余項)或Rn(h)=(0<<1)(柯西型余項)2° f(x)= ()式中Rn(x)= (a<<b) (拉格朗日型余項)或Rn(x)= (0<<1) (柯西型余項)特別,當a=0時,有馬克勞林公式f(x)=()式中Rn(x)= (a<<b) (拉格朗日型余項)或Rn(x)= (0<<1) (柯西型余項)泰勒級數(shù) 在帶余項的泰勒公式2°中,如果

12、把展開式進行到()的任意高的乘冪,則有f(x)=f(a)+不論它是否收斂,以及它的和是否等于f(x),都稱它為函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù).()的乘冪的系數(shù)f(a),稱為泰勒系數(shù).馬克勞林級數(shù) 在帶余項的馬克勞林公式中,如果展開式進行到x的任意高的乘冪,則有f(x)=f(0)+不論它是否收斂,以及它的和是否等于f(x),都稱它為函數(shù)f(x)的馬克勞林級數(shù).x的乘冪的系數(shù)f(0),稱為馬克勞林系數(shù).多項式的泰勒公式(秦九韶法)見第三章,§2,一.2. 多變量函數(shù)的泰勒公式泰勒公式 假定在某一點(x0,y0)的鄰域D內二元函數(shù)f(x,y)有直到n+1階為止的一切連續(xù)偏導數(shù).分別給x及y以改變量

13、h及k,使連結點(x0,y0)及(x0+h,y0+k)的直線段不越出D外,那末f(x,y)在D內可表成形式:1°f(x0+h,y0+k)= (0<<1)式中符號的意義如下:把,看作一個數(shù)(而不是看作微分運算的符號),并根據(jù)二項公式展開,得到=20特別,當x0=0,y0=0時,得到馬克勞林公式f(x,y)=對二元以上的多變量函數(shù)有類似的公式.泰勒級數(shù) 在上面泰勒公式2°中,如果把展開式進行到()和()的任意高的乘冪,則有f(x,y)=不論它是否收斂,以及它的和是否等于f(x,y),都稱它為f(x,y)的泰勒級數(shù).馬克勞林級數(shù) 在上面馬克勞林公式中,如果把展開式進行

14、到x,y的任意高的乘冪,則有f(x,y)= f(0,0)+不論它是否收斂,以及它的和是否等于f(x,y),都稱它為f(x,y)的馬克勞林級數(shù).八、冪級數(shù)1單變量的冪級數(shù)定義 下列形式的級數(shù)（1）（式中a0,a1,都是實常數(shù)）稱為x的冪級數(shù).更一般地，級數(shù)(式中a是一個實常數(shù))也稱為冪級數(shù).絕對收斂 如果級數(shù)（1）當x=時收斂，那末對于滿足|x|<|的任何x的值，級數(shù)（1）都絕對收斂.收斂半徑與收斂區(qū)間 對于任何一個冪級數(shù)，都有一個數(shù)R(0R<+),使得當|x|<R時，級數(shù)絕對收斂，當|x|>R時，級數(shù)發(fā)散.這個數(shù)R稱為給定級數(shù)的收斂半徑，區(qū)間(R,R)稱為它的收斂區(qū)間，

15、而在區(qū)間的兩個端點x=R和x=R，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.收斂半徑R可按柯西-阿達瑪公式或公式R=計算(若極限存在).阿貝爾定理 若冪級數(shù)S(x)=( |x|<R)在收斂區(qū)間的端點x=R處收斂，則S(R)=內閉一致收斂 若級數(shù)（1）的收斂半徑等于R，則對任意滿足0<<R的，級數(shù)（1）在區(qū)間，上一致收斂.連續(xù) 冪級數(shù)的和在收斂區(qū)間內的每一點處都連續(xù).逐項積分 在級數(shù)（1）的收斂區(qū)間內的任何一點x，都有式中S(x)表示級數(shù)（1）的和.逐項微分 冪級數(shù)（1）的和S(x)在這個級數(shù)的收斂區(qū)間內的任一點上都可微.逐項微分級數(shù)（1）得到的級數(shù)與（1）具有同樣的收斂半徑，并且這個級數(shù)的和就

16、等于.高階導數(shù) 若級數(shù)（1）有收斂半徑R，則它的和S(x)在區(qū)間(,R)內的任何一點都有任意階導數(shù)，并且函數(shù)（n=1,）就是逐項微分級數(shù)（1）n次所得到的那個級數(shù)（它的收斂半徑也同樣是R）的和=（<x<R）2多變量的冪級數(shù)雙變量的冪級數(shù) 按變量x,y的正整數(shù)冪次排列的形如（2）的重級數(shù)稱為雙變量x,y的冪級數(shù).多變量冪級數(shù)的收斂范圍的研究有很多地方與單變量的不同，但仍有定理若在x=x0,y=y0時級數(shù)（2）收斂，則當|x|<|x0|,|y|<|y0|時，級數(shù)也收斂.收斂范圍 如果M是兩個變數(shù)x,y的區(qū)域，在其中各點上冪級數(shù)（2）都收斂，而在其外各點上冪級數(shù)（2）發(fā)散，在

17、邊界點上可能發(fā)散，也可能收斂.那末區(qū)域M稱為冪級數(shù)（2）的收斂范圍.雙變量的冪級數(shù)的收斂范圍并不一定是|x|<R1，|y|<R2的形式，例如1°級數(shù)的收斂范圍是|x|<1，|y|<1.2° 級數(shù)處處收斂.3° 級數(shù)=1+x+xy+x2y+x3y+x2y2+(=(1+x+)1+xy+=)的收斂范圍是|x|<1，|xy|<1.以上結果容易推廣到多變量的冪級數(shù)中去.3函數(shù)的冪級數(shù)展開式冪級數(shù)的唯一性定理 如果函數(shù)f(x)(或f(x,y)在x=0(或x=0,y=0)可以展開成冪級數(shù)f(x)=或那末這個冪級數(shù)就是它的馬克勞林級數(shù).冪級數(shù)的

18、存在性定理1° 若函數(shù)f(x)在x=0具有任意階導數(shù)，且當xR時式中Rn(x)是馬克勞林公式的余項，則函數(shù)f(x)在區(qū)間xR上可以展開成冪級數(shù).實際上可以證明，存在由函數(shù)f(x)產(chǎn)生的馬克勞林級數(shù)，它雖然收斂，但它的和卻不等于f(x).2° 若函數(shù)f(x,y)在點(0,0)具有任意階偏導數(shù)，且當(x,y)是xy平面上某一區(qū)域M上的點時式中Rn(x,y)是馬克勞林公式的余項，則函數(shù)f(x,y)在區(qū)域M上可以展開成冪級數(shù).上述理論容易推廣到二元以上的多變量函數(shù)的情形.九、實數(shù)域上函數(shù)的冪級數(shù)展開式表 函 數(shù)冪 級 數(shù) 展 開 式收 斂 域二項式(m>0) 函 數(shù)(當m為正整數(shù)時