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1、第五課 無(wú)窮級(jí)數(shù)第四節(jié) 冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1.【定義】設(shè) 是定義在區(qū)間上的函數(shù),則 稱為定義在區(qū)間上的(函數(shù)項(xiàng))無(wú)窮級(jí)數(shù).2收斂域(1) 收斂點(diǎn) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 收斂;(2) 收斂域 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的所有收斂點(diǎn)形成的集合;3和函數(shù),.4余項(xiàng), .注: 只有在收斂域上,才有意義;, .二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1 一般冪級(jí)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)冪級(jí)數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)冪級(jí)數(shù)), 其中常數(shù),.2.重要公式:.對(duì)于級(jí)數(shù),作代換可以將一般冪級(jí)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)冪級(jí)數(shù),所以我們只研究標(biāo)準(zhǔn)冪級(jí)數(shù)斂散性的判別方法.3.【阿貝爾定理】(補(bǔ)充)設(shè)的收斂域?yàn)?,則(1)若且, 則對(duì), 收斂且絕對(duì)收斂. (2) 若, 則對(duì),有即級(jí)數(shù)發(fā)散.4收斂半徑的計(jì)算【定
2、理3】對(duì)于, 記(或)(為常數(shù)或),則此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為.常用公式:,.5.收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域1) 收斂半徑滿足(或)(為常數(shù)或)的正數(shù)稱為的收斂半徑.2) 收斂區(qū)間若的收斂半徑為,則斂區(qū).3)收斂域:若的收斂半徑為,且考慮級(jí)數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的斂散性后所得到的區(qū)間稱為級(jí)數(shù)的收斂域.注意:收斂域有四種可能的形式: 4) 規(guī)定 冪級(jí)數(shù)只在處收斂, 定義, 收斂域;獨(dú)點(diǎn)集 冪級(jí)數(shù)對(duì)一切實(shí)數(shù)都收斂, 定義, 收斂域.提問(wèn)(1)求冪級(jí)數(shù)的收斂域.(缺項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂域求法)解由時(shí)級(jí)數(shù)收斂,由由時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.得 當(dāng)時(shí),收斂,當(dāng)時(shí),收斂,所以 收斂域?yàn)?.(2) (90.5) 求級(jí)數(shù)的收斂域.(一般冪級(jí)數(shù)收
3、斂域求法)解,由知,因此當(dāng)即時(shí)級(jí)數(shù)收斂.當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為收斂,當(dāng)時(shí),原級(jí)數(shù)為收斂.所以收斂域?yàn)?(3)(92.3) 級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?答原級(jí)數(shù)可看作,因?yàn)?于是,則原冪級(jí)數(shù)在,即內(nèi)收斂.當(dāng)和時(shí),原級(jí)數(shù)都為發(fā)散,所以收斂域?yàn)?(4)(02.3) 設(shè)冪級(jí)數(shù)與的收斂半徑分別為與,則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為(A)(A) 5;(B) ;(C) ;(D) .答因?yàn)?所以.(5)()的收斂半徑為 .提示:.三、冪級(jí)數(shù)以及和函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)1.設(shè) 的收斂半徑分別為1)加減法: ,. 其中: .2)乘法: ,. 其中: , ,.3)除法: ,.其中: 待定, 而由系列表達(dá)式,確定.此處, , 但.2.【性質(zhì)1】?jī)缂?jí)數(shù)的和函
4、數(shù)在其收斂域上是連續(xù).3.【性質(zhì)2】?jī)缂?jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上的閉子區(qū)間可積,且有逐項(xiàng)積分公式 , .例: , .逐項(xiàng)積分時(shí)在處無(wú)意義.4. 【性質(zhì)3】 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間上可微,且在收斂區(qū)間上 , .說(shuō)明:求導(dǎo)與積分前后兩級(jí)數(shù)的收斂半徑不變.例13(99.3) .因?yàn)?收斂域?yàn)?,令,則有,所以答案為4.例14(00.6) 設(shè)求的和.解由,得,令,則其收斂半徑,在內(nèi),于是,令,則,從而.例15(03.9) 求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)及其極值.解依題意上式兩邊從0到積分,得,由得.令,求得唯一駐點(diǎn),由于可見(jiàn)在處取得極大值,且極大值為.例16(05.9) 求冪級(jí)數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù).解設(shè),則, 由于因
5、此又由于所以故例17(06.10) 求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).解由于,當(dāng)時(shí)原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,當(dāng)時(shí)原級(jí)數(shù)發(fā)散,所以原級(jí)數(shù)的收斂半徑為,且易知當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)都收斂,故收斂域?yàn)?記,則 ,.由于,所以,從而,且冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?例18(04.9)設(shè)級(jí)數(shù)的和函數(shù)為,求(I)所滿足的一階微分方程; (II)的表達(dá)式.解(I)由,易知,且冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域?yàn)?在上逐項(xiàng)求導(dǎo)得,所以是初值問(wèn)題的解.(II)方程的通解為,由初始條件,知.故是上述初值問(wèn)題的解,所以.例19 (02.7) (1)驗(yàn)證函數(shù)滿足微分方程;(2) 利用(1)的結(jié)果求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).解(1) 冪級(jí)數(shù)的收斂域是,在上逐項(xiàng)求導(dǎo),得所以.(2)對(duì)應(yīng)的齊次
6、微分方程為的其特征方程為,其特征根為,所以齊次微分方程的通解為.設(shè)非齊次方程的特解為,將代入方程可得,則,于是原方程通解為.由解之得,所以冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).例20(08.10) 設(shè)銀行存款年利率為,并依年復(fù)利計(jì)算,某基金會(huì)希望通過(guò)存款萬(wàn)元,實(shí)現(xiàn)第一年提取萬(wàn)元,第二年提取萬(wàn)元,第年提取萬(wàn)元,并能按此規(guī)律一直提取下去,問(wèn)至少應(yīng)為多少萬(wàn)元?【此題為已知將來(lái)值求現(xiàn)值的問(wèn)題】解 若第年提取萬(wàn)元,則相應(yīng)現(xiàn)在應(yīng)存入萬(wàn)元,于是 ,將代入,得(萬(wàn)元).第五節(jié) 泰勒級(jí)數(shù)及其應(yīng)用一、泰勒級(jí)數(shù)【定理】(Taylor中值Th):設(shè)在內(nèi)具有直到n+1階導(dǎo)數(shù), 則在內(nèi),其中為拉格朗日型余項(xiàng).【定理】(TaylorTh):設(shè)在
7、內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 則在內(nèi).其中為的拉格朗日型余項(xiàng).結(jié)論:函數(shù)在點(diǎn)有泰勒展式在有任意階導(dǎo)數(shù)且.注意:1)函數(shù)在一點(diǎn)處可以展開(kāi)為T(mén)aylor級(jí)數(shù)時(shí),其展式是唯一的. 因?yàn)?泰勒系數(shù)()是唯一的. 2)為在點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù),等式在時(shí)成立,稱為函數(shù)的Taylor展式.5泰勒級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù)設(shè)在點(diǎn)具有任意階導(dǎo)數(shù),則稱(1) 為在點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù),(2) 稱為的麥克勞林級(jí)數(shù),結(jié)論:當(dāng)級(jí)數(shù)收斂于時(shí),即時(shí)有泰勒展式.二、函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)1直接法(麥克勞林級(jí)數(shù)法)步驟:(1) 求; (2) 求;(3) 寫(xiě)出的麥克勞林級(jí)數(shù)并求出級(jí)數(shù)的收斂半徑;(4) 討論或,(5) 在收斂區(qū)間上有 , .重要公式:(1), .(2) 收斂域?yàn)?.(3).(4).(5).2間接法根據(jù)函數(shù)的泰勒展式的唯一性,利用常見(jiàn)展開(kāi)式,通過(guò)變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積分等方法,求函數(shù)的泰勒展開(kāi)式.例26 按要求將下列函數(shù)展成冪級(jí)數(shù)(1) 將展開(kāi)成的冪級(jí)數(shù).(注意收斂區(qū)間的間接求法)解:已知, . 那么, . (2)解因?yàn)?所以有,并由得的收斂域?yàn)?(3)解 因?yàn)?所以有.(4)解 由,有又由得其收斂區(qū)間為.收斂域?yàn)?.注意:對(duì)于不需要通過(guò)積分與求導(dǎo)就可以的得到的級(jí)數(shù),其收斂域可以直接由原收斂域間接求出,但對(duì)于要積分或求導(dǎo)才能得到的級(jí)數(shù),端點(diǎn)要單獨(dú)考察一下斂散性.(5) ()將函
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