空間向量與空間角課時(shí)作業(yè)解析

1、課時(shí)作業(yè)25空間向量與空間角時(shí)間：45分鐘分值：100分一、選擇題(每小題6分，共36分)1設(shè)直線l與平面相交，且l的方向向量為a，的法向量為n，若a，n，則l與所成的角為()A.B.C. D.圖1解析：如圖1所示，直線l與平面所成的角.答案：C2三棱錐ABCD中，平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1，n2，若n1，n2，則二面角ABDC的大小為()A. B.C.或 D.或圖2解析：如圖2所示，當(dāng)二面角ABDC為銳角時(shí)，它就等于n1，n2；當(dāng)二面角ABDC為鈍角時(shí)，它應(yīng)等于n1，n2.答案：C3已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E是AA1中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成

2、角的余弦值為()A. B.C. D.圖3解析：以DA、DC、DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖3，設(shè)ABa，則ADa，AA12a.B(a，a,0)，C(0，a,0)，D1(0,0,2a)，E(a,0，a)，(0，a，a)，(0，a,2a)，cos，.答案：C4已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為()A. B.C. D.圖4解析：設(shè)BC的中點(diǎn)為O，連接AO，A1O，則由題意知A1O平面ABC，AOBC，以AO，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)側(cè)棱

3、長為2a，則OA1a，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0，a)所以cos，cos，.答案：D5在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為AB、C1D1的中點(diǎn)，則A1B1與平面A1EF夾角的正弦值為()A. B.C. D.圖5解析：建系如圖5，設(shè)正方體棱長為1，則A1(1,0,1)，E(1，0)，F(xiàn)(0，1)，B1(1,1,1)(0,1,0)，(0，1)，(1，0)設(shè)平面A1EF的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，則，即.令y2，則.n(1,2,1)，cosn，.設(shè)A1B1與平面A1EF的夾角為，則sincosn，即所求線面角的正弦值為.答案：B圖66如圖6所示，已知點(diǎn)P為菱形

4、ABCD外一點(diǎn)，且PA面ABCD，PAADAC，點(diǎn)F為PC中點(diǎn)，則二面角CBFD的正切值為()A. B.C. D.圖7解析：如圖7，連結(jié)AC，ACBDO，連結(jié)OF，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OF所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)PAADAC1，則BD，B，F(xiàn)，C，D，結(jié)合圖形可知，且為面BOF的一個(gè)法向量，由，可求得面BCF的一個(gè)法向量n(1，)cosn，sinn，tann，.答案：D二、填空題(每小題8分，共24分)7在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為AB、CC1的中點(diǎn)，則異面直線EF與A1C1所成角的大小是_圖8解析：以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系(如圖8所示)

5、，設(shè)B(2,0,0)，則E(1,0,0)，F(xiàn)(2,2,1)，C1(2,2,2)，A1(0,0,2)，(1,2,1)，(2,2,0)，cos，30.答案：30圖98如圖9所示，P是二面角AB棱上一點(diǎn)，分別在，內(nèi)引射線PM，PN，若BPMBPN45，MPN60，則二面角AB大小為_圖10解析：如圖10，過M在內(nèi)作MFAB，過F在內(nèi)作FNAB交PN于點(diǎn)N，連結(jié)MN.MPBNPB45，PMFPNF.設(shè)PM1，則：MFNF，PMPN1，又MPN60，MNPMPN1，MN2MF2NF2，MFN90.答案：909將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角，給出下列四個(gè)結(jié)論：ACBD；AB、CD所成角為60；A

6、DC為等邊三角形；AB與平面BCD所成角為60.其中真命題是_(請(qǐng)將你認(rèn)為是真命題的序號(hào)都填上)解析：如圖11將正方形取BD中點(diǎn)O，連結(jié)AO、CO，易知BD垂直于平面AOC，故BDAC；如圖11建立空間坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為a，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，故(a，a,0)，C(0,0，a)，D(0，a,0)，故(0，a，a)，由兩向量夾角公式得：cos，故兩異面直線所成的角為；圖11在直角三角形AOC中，由AOCOa解得：ACAOa，故三角形ADC為等邊三角形易知ABO即為直線AB與平面BCD所成的角，可求得：ABO45，故錯(cuò)答案：三、解答題(共40分)圖1210(10分)如圖12在

7、長方體ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，點(diǎn)E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn)(1)若異面直線AD1與EC所成角為60，試確定此時(shí)動(dòng)點(diǎn)E的位置；(2)求三棱錐CDED1的體積解：(1)以DA所在直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD1所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)E(1，t,0)(0t2)，則A(1,0,0)，D(0,0,0)，D1(0,0,1)，C(0,2,0)，(1,0，1)，(1，t2,0)，根據(jù)數(shù)量積的定義及已知得：10(t2)0cos60，t1，E的位置是AB中點(diǎn)(2)VCDED1VD1DEC211.圖1311(15分)(2011課標(biāo)全國高考)如圖13，四棱錐PABCD中，底面

8、ABCD為平行四邊形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.(1)證明：PABD；(2)若PDAD，求二面角APBC的余弦值解：(1)證明：因?yàn)镈AB60，AB2AD，由余弦定理得BDAD.從而BD2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.所以BD平面PAD.故PABD.(2)如圖14，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)AD的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則A(1,0,0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0,0,1)圖14(1，0)，(0，1)，(1,0,0)設(shè)平面PAB的法向量為n(x，y，z)，則即因此可取n(，1，)設(shè)平面PBC的法向量為m，則可

9、取m(0，1，)cosm，n.故二面角APBC的余弦值為.圖1512(15分)已知四棱錐PABCD的底面ABCD是正方形，且PD底面ABCD，其中PDADa.(1)求二面角APBD的大?。?2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)E，使PC平面ADE.若存在，試確定E點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)方法一：連接AC，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，圖16ACBD，ACPD，BDPDD，AC平面PBD，過O點(diǎn)在平面PBD內(nèi)作OFPB于點(diǎn)F，AOPB且OFAOO，PB平面AOF，AF平面AOF，AFPB.則OFA是二面角APBD的平面角由已知得ABPA，PAa，ABa，PBa，AFa，sinOFA，OFA60，二面角APBD的大小為60.方法二：建立如圖17所示的空間直角坐標(biāo)系，PDADa且ABCD為正方形，圖17D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，P(0,0，a)，(0,0，a)，(a，a,0)，(a,0，a)，(0，a,0)，設(shè)平面PAB的法向量為m(xm，ym，zm)，則，即，令xm1，則m(1,0,1)設(shè)平面PBD的法向量n(xn，yn，zn)，則，即，令xn1，則n(1，1,0)，令m，n的夾角為，則cos，60，顯然二面角APBD的平面角為銳角，