第2章+導(dǎo)數(shù)與微分

1、第2章 導(dǎo)數(shù)與微分教學(xué)目的1理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，理解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的的關(guān)系； 2熟練掌握導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，了解微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會求函數(shù)的微分；3了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求某些簡單函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)；4會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；5會求隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)和微分的概念、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系；2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；4高階導(dǎo)數(shù)；5隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。教學(xué)

2、難點(diǎn)1復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；2分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；3反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 4隱函數(shù)和由參數(shù)方程確定的導(dǎo)數(shù)。§1導(dǎo)數(shù)的概念一、 引例微積分的創(chuàng)立是為了處理17世紀(jì)社會生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)技術(shù)問題，其中非勻速直線運(yùn)動的速度，曲線的切線等都可歸結(jié)為一類特殊的極限導(dǎo)數(shù)。1直線運(yùn)動的速度設(shè)某質(zhì)點(diǎn)沿坐標(biāo)軸上作非勻速運(yùn)動，時(shí)刻t動點(diǎn)的坐標(biāo)為s，s是t的函數(shù)：求動點(diǎn)在時(shí)刻t0的速度。考慮比值是動點(diǎn)在時(shí)間段（或）內(nèi)的平均速度。如果時(shí)間較短，這個(gè)比值近似于動點(diǎn)在時(shí)刻t0的速度。如果時(shí)，平均速度的極限存在就把這個(gè)極限值稱為動點(diǎn)在時(shí)刻t0的（瞬時(shí)）速度，即2切線的斜率如圖所示，曲線在其上一點(diǎn)處的切線是割線當(dāng)動點(diǎn)沿此曲線無限接近

3、于點(diǎn)時(shí)的極限位置。由于割線的斜率為如果當(dāng)時(shí)的極限存在，則此極限就是切線的斜率，即二、導(dǎo)數(shù)的定義 上述兩個(gè)問題，前一個(gè)是運(yùn)動學(xué)的問題，后一個(gè)是幾何學(xué)的問題，但是它們都可以歸結(jié)為同一種類型的極限。定義1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，若極限(1)存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為，注：（1）如果(1)式極限不存在，則稱在點(diǎn)處不可導(dǎo)。特別地，如果時(shí)，習(xí)慣上稱在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為無窮大，寫成。（2）令，則有(2)所以，導(dǎo)數(shù)就是增量之比的極限。這個(gè)增量之比稱為函數(shù)關(guān)于自變量的平均變化率（又稱差商），而導(dǎo)數(shù)則為函數(shù)在處的變化率。（3）如果（）存在，則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)（右導(dǎo)數(shù)

4、），記為（）左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。結(jié)論：函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件是和都存在且相等。（4）如果函數(shù)在區(qū)間I上每一點(diǎn)都可導(dǎo)（區(qū)間端點(diǎn)處僅考慮相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)），就稱函數(shù)在區(qū)間I上可導(dǎo)。這時(shí)，對于任一xÎI，都對應(yīng)著的一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，這樣構(gòu)成的一個(gè)新的函數(shù)叫做函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)。記為，或?qū)Ш瘮?shù)也簡稱為導(dǎo)數(shù)。把（2）式中的換成，有 （3）例1 求（為常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。例2 求的導(dǎo)數(shù)。更一般地，有冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例3 求的導(dǎo)數(shù)。解 由于 因此同理可求得 。例4 求的導(dǎo)數(shù)。解即 特別地，當(dāng)時(shí)三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是曲線在點(diǎn)處的切線斜率（如圖）。因此，曲線在點(diǎn)處的切線方程為法線方程為()例

5、5 求曲線在點(diǎn)處的切線方程與法線方程。四、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則，故是當(dāng)時(shí)的無窮小，因此所以函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)。結(jié)論 若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，則在點(diǎn)連續(xù)。注：可導(dǎo)僅是函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)的充分條件，而不是必要條件。例6 函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但在點(diǎn)處不可導(dǎo)。（圖示）例7 函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，但在點(diǎn)處不可導(dǎo)。（圖示）作業(yè): 習(xí)題2-16;11;14；17.§2 求導(dǎo)法則一、 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算如果函數(shù)和在點(diǎn)可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商（分母為0的點(diǎn)除外）都在點(diǎn)可導(dǎo)，并且（1）；（2）；（3）（驗(yàn)證（2）注：法則（1）、（2）可推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形。如特別地，。例1 設(shè)，求。例2 設(shè),求。例3 設(shè),求。

6、同理可得 例4 設(shè),求。同理可得 二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果是的反函數(shù)，則即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。例5 求的導(dǎo)數(shù)，。例6 求的導(dǎo)數(shù)。三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果在點(diǎn)可導(dǎo)，在點(diǎn)可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且或證 由于在點(diǎn)可導(dǎo)，因此存在，于是據(jù)極限與無窮小的關(guān)系有其中是時(shí)的無窮小。上式中，用乘上式兩邊，得當(dāng)時(shí),規(guī)定,這時(shí)因,用除上式兩邊,得于是由于在點(diǎn)可導(dǎo),故在該點(diǎn)連續(xù),于是當(dāng)時(shí),從而可以推得并且 所以 即 定理得證。注：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式亦稱為鏈?zhǔn)椒▌t，對于由多個(gè)函數(shù)復(fù)合而得的復(fù)合函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)公式可反復(fù)應(yīng)用而得。例7 設(shè),求。例8 設(shè)，求。例9 設(shè)，求。例10 設(shè)求。，例11 設(shè)，證明。四、 求

7、導(dǎo)公式基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式列出如下:（1）, （2） ,（3）, （4），（5）, （6），（7）, （8），（9）, （10），（11）， （12），（13）, （14）（15）, （16）。例12 設(shè)，求。例13 設(shè)可導(dǎo)，求。作業(yè): 習(xí)題2-22(2)(10); 8(1)(3)(5)(7);10(1); 11(1)(2)(3)(6)(7)(8).§3 高階導(dǎo)數(shù)定義 若在點(diǎn)可導(dǎo)，則稱在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為在點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)，記為，即同時(shí)稱在點(diǎn)二階可導(dǎo)。·若在區(qū)間上每一點(diǎn)都二階可導(dǎo)，則得到一個(gè)定義在上的函數(shù)，稱為二階導(dǎo)函數(shù)，簡稱為二階導(dǎo)數(shù)，記為，或一般地，可由的階導(dǎo)函數(shù)定義的階導(dǎo)函數(shù)（

8、簡稱為階導(dǎo)數(shù)）。·二階以及二階以上的導(dǎo)數(shù)都稱為高階導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)處的階導(dǎo)數(shù)記為，或相應(yīng)地，階導(dǎo)函數(shù)記為， 或這里亦可寫作為，它是對相繼進(jìn)行次求導(dǎo)運(yùn)算“”的結(jié)果。例1 設(shè)，求。例2 設(shè)，求(0)。例3 求正弦和余弦函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)。例4 設(shè)，求。顯然，如果，有直到階的導(dǎo)數(shù)，則，而，約定， 比較：一般地，由二項(xiàng)式定理，猜想上式可以用數(shù)學(xué)歸納法得到，稱為萊布尼茨公式。例5 設(shè)，求。作業(yè): 習(xí)題2-31(1)(9);8(2)(3); 9(3).§4 隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)前面我們遇到的函數(shù)有一個(gè)共同的特點(diǎn)：因變量由自變量明顯地表示出來，我們稱用這種方式表達(dá)的

9、函數(shù)為顯函數(shù)。有許多函數(shù)的表達(dá)方式卻不是這樣，如方程表示一個(gè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)變量在內(nèi)取值時(shí)，變量有唯一確定的值與之對應(yīng)。這樣的函數(shù)我們稱之為隱函數(shù)。一般地，如果變量和滿足一個(gè)方程，在一定條件下，當(dāng)取某區(qū)間內(nèi)的任一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足這方程的唯一的值存在，那么就說方程在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)。下面我們通過實(shí)例給出直接由方程求它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一種方法。例1求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。解法一（顯化求導(dǎo)）解法二：將代入方程，得兩邊對求導(dǎo)。得所以 ·隱函數(shù)微分法：將代入方程，得恒等式（把看成的函數(shù)）兩邊對求導(dǎo)，然后解出，即是由方程確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例2 求由方程所確定的隱函數(shù)在處的導(dǎo)

10、數(shù)。解 方程兩邊分別對求導(dǎo)，注意是的函數(shù)，所以將代入原方程，得。再將它們代入上式，得例3 求橢圓在點(diǎn)處的切線方程。例4 求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).解 方程兩邊分別對求導(dǎo)，得于是 上式兩邊再對求導(dǎo)，得 ·對數(shù)求導(dǎo)法：先在的兩邊取對數(shù)，然后再求出的導(dǎo)數(shù)。例5 設(shè)，求。例6 設(shè)，求。二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)由參數(shù)方程給出，則在一定的條件下注：（1）條件是指存在反函數(shù)，可導(dǎo)，且。公式推導(dǎo)：函數(shù)可以看成是由函數(shù)，組成的復(fù)合函數(shù)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與反函數(shù)的求導(dǎo)法則，就有（2）如果，二階可導(dǎo)，則例7 求橢圓在相應(yīng)的點(diǎn)處的切線方程。解 當(dāng)時(shí)，橢圓上的相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是：， 曲

11、線在點(diǎn)的切線斜率為：所以橢圓在點(diǎn)處的切線方程化簡后得 例8 已知拋射體的運(yùn)動軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時(shí)刻的運(yùn)動速度的大小和方向解 速度的水平分量為 鉛直分量為 所以拋射體運(yùn)動速度的大小再求速度的方向，也就是軌跡的切線方向。設(shè)是切線的傾角，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義所以，在拋射體剛射出（即）時(shí)當(dāng)時(shí)這時(shí)，運(yùn)動方向是水平的，即拋物體達(dá)到最高點(diǎn)。例9 求擺線所確定函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)。作業(yè): 習(xí)題2-4 1(1)(4);2; 4(2); 5(2); 7(2); 8(2).§5 函數(shù)的微分一、微分的定義例1 正方形金屬薄片受溫度的影響，它的邊長由的變?yōu)?，相?yīng)地面積的增量為由兩部分組成：第一部分為(即圖中陰

12、影部分的面積)是的線性部分，第二部分是比高階的無窮小。 所以當(dāng)很小時(shí)，誤差是比高階的無窮小。定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)給自變量一個(gè)增量，如果相應(yīng)地函數(shù)增量能表示成其中是與無關(guān)的常數(shù)，則稱函數(shù)在點(diǎn)可微，并稱為在點(diǎn)的微分，記為或即 注：是函數(shù)。結(jié)論 函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，此時(shí)。（證 ）注：（1）如果函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都可微，則稱為上的可微函數(shù)。在上任一點(diǎn)處的微分記為或，即它不僅依賴于，而且也依賴于。例2 求在處，當(dāng)時(shí)的微分。（2）稱為的線性主部。（3）特別當(dāng)時(shí)，有，故自變量的微分就等于自變量的增量。于是函數(shù)的微分常記為所以 導(dǎo)數(shù)也常稱為微商。二、微分的幾何意義對于某一個(gè)，

13、曲線上有一個(gè)確定點(diǎn)與之對應(yīng)，當(dāng)自變量有微小增量時(shí)，就對應(yīng)于曲線上另一點(diǎn)。從圖可知:，過點(diǎn)作曲線的切線，它的傾角為，則，即 。：當(dāng)由變到時(shí)，曲線在點(diǎn)處切線上的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量。當(dāng)很小時(shí)，比小得多。因此在點(diǎn)的鄰近，我們可以用切線來近似代替曲線段。三、初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則1由與基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，可得相應(yīng)的微分公式。2函數(shù)和、差、積、商的微分法則；。3復(fù)合函數(shù)的微分運(yùn)算法則其中。由于，所以上式也可寫作這與以為自變量的函數(shù)的微分在形式上完全相同。這個(gè)性質(zhì)通常稱為一階微分形式的不變性。例3 求（1）；（2）；（3）例4 在下列等式左端的括號中填上適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使等式成立。（1）；（2）。四

14、、微分在近似運(yùn)算中的應(yīng)用當(dāng)，很小時(shí)，有所以 或 如果與都容易計(jì)算，那么可利用上面兩式來近似計(jì)算或。特別取，有 常用近似公式（較?。?（1）； （2）；（3）； （4）；（5）。例5 有一批半徑為的球，為了提高球面的光潔度，要鍍上一層銅，厚度為。估計(jì)每只球需用銅多少（銅的密度是）？例6 （1）計(jì)算的近似值；（2）計(jì)算的近似值。作業(yè): 習(xí)題2-53(4)(7)(8)(9); 4; 8(1).小結(jié)一、本章基本內(nèi)容 （一）基本概念與結(jié)論1導(dǎo)數(shù)的概念（1）。（2）幾何意義：表示曲線在點(diǎn)處切線的斜率。（3）如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，則稱為的二階導(dǎo)數(shù)：，?？深愃贫x階導(dǎo)數(shù)。2微分的概念（1）如果，其中是與無關(guān)的常數(shù)，則稱在點(diǎn)可微，而稱為的微分。微分就是函數(shù)增量的線性近似。（2）幾何意義：給定自變量增量，就是曲線切線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量。3可導(dǎo)、可微與連續(xù)之間的關(guān)系（1）可導(dǎo)可微，此時(shí)。（2）可導(dǎo)連續(xù)，反之不然。在點(diǎn)連續(xù)，但不可導(dǎo)，從幾何上看大致有兩種情況（圖示）：尖點(diǎn)：如在點(diǎn)處；切線垂直于軸：如如在點(diǎn)處。4一階微分形式的不變性不論是自變量還是中間變量，對函數(shù)都有。（二）計(jì)算1四則運(yùn)算法則與鏈?zhǔn)椒▌t；2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。3隱函數(shù)、參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）設(shè)是由確定的隱函數(shù)，求：方程兩