矩陣的初等變換與線性方程組 山東建筑大學(xué)

1、山東建筑大學(xué)第三章 矩陣的初等變換與線性方程組1. 把下列矩陣化為行最簡形： 解(下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. )(下一步: r2(-4), r3(-3) , r4(-5). )(下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. ) . 2. 利用矩陣的初等變換，求下列方陣的逆： 解, 故逆矩陣為. (2) 解 故逆矩陣為.3. 設(shè), , 求X使AX=B. 解 因?yàn)?, 所以 .4. 求作一個(gè)秩是4的方陣，使它的兩個(gè)行向量.解 用已知向量容易構(gòu)成一個(gè)有4個(gè)非零行的5階下三角矩陣: ,此矩陣的秩為4, 其第2行和第3行是已知向量.5. 求下列矩陣的秩,并求一個(gè)最高

2、階非零子式. 解 (下一步: r1r2. )(下一步: r2-3r1, r3-r1. )(下一步: r3-r2. ), 矩陣的, 是一個(gè)最高階非零子式. 解 (下一步: r1-r2, r2-2r1, r3-7r1. )(下一步: r3-3r2. ), 矩陣的秩是3, 是一個(gè)最高階非零子式.6. 解下列齊次線性方程組： 解 對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換, 有A=, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數(shù)). 解 對系數(shù)矩陣A進(jìn)行初等行變換, 有A=, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數(shù)).7. 寫出一個(gè)以為通解的齊次線性方程組. 解 根據(jù)已知, 可得 , 與此等價(jià)地可以

3、寫成, 或 , 或 , 這就是一個(gè)滿足題目要求的齊次線性方程組.非齊次線性方程組.8 解下列非齊次線性方程組： 解 對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換, 有 B=, 于是,即(k1, k2為任意常數(shù)). 解 對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換, 有 B=, 于是 , 即 (k1, k2為任意常數(shù))9. 當(dāng)l取何值時(shí)有解？并求出它的解. 解. 要使方程組有解, 必須(1-l)(l+2)=0, 即l=1, l=-2. 當(dāng)l=1時(shí), , 方程組解為 或, 即 (k為任意常數(shù)). 當(dāng)l=-2時(shí), , 方程組解為 或, 即 (k為任意常數(shù)).10. 設(shè).問l為何值時(shí), 此方程組有唯一解、無解或有無窮多解? 并在有無窮多解時(shí)求解. 解B=要使方程組有唯一解, 必須R(A)=R(B)=3, 即必須(1-l)(10-l)0,所以當(dāng)l1且l10時(shí), 方程組有唯一解.要使方程組無解, 必須R(A)R(B), 即必須(1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)0,所以當(dāng)l=10時(shí), 方程組無解. 要使方程組有無窮多解, 必須R(A)=R(B)3, 即必須 (1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)