直線和橢圓相交 求過定點的動弦中點的軌跡方程 Word版含解析數(shù)理化網(wǎng)

1、今天我們研究直線和橢圓相交過定點的動弦中點的軌跡方程。當定點在橢圓上，可以用點差法或相關(guān)點法求軌跡方程。當定點在橢圓外，可以用點差法或韋達定理消參求軌跡方程，此時一定要驗證直線與橢圓相交的條件，并求出變量的取值范圍。先看例題：例：過橢圓上一點P(-8，0)作直線交橢圓于Q點，求PQ中點的軌跡方程。解：設(shè)弦中點M（），Q（），由，可得，又因為Q在橢圓上，所以有，所以中點M軌跡方程為：，所以PQ中點M的軌跡方程為 （）。注意：PQ兩點不會重合，所以M不會取到(-8,0)點。規(guī)律整理：（1）當定點在橢圓上，可用相關(guān)點法，求橢圓上點P作直線交橢圓于Q點，PQ中點的軌跡方程。思路：設(shè)弦中點M（），Q（）

2、，又因為Q在橢圓上，代入橢圓方程整理得軌跡方程。（2）當定點在橢圓外，求過點P作直線交橢圓于A、B，求直線被橢圓截得的弦的中點的軌跡方程。思路：驗證直線與橢圓相交，聯(lián)立方程，整理為一元二次方程，在時，求出x或y的取值范圍。（3）先驗證斜率不存在的情況是否符合題意。再看一個例題，加深印象 例：已知橢圓，過點引橢圓的割線，求割線被橢圓截得的弦的中點的軌跡方程。解：先判斷斜率不存在的情況，即直線x=2，與橢圓無交點。即當不存在時，不滿足題設(shè)要求。則可設(shè)過點的直線方程為，聯(lián)立方程，消去，整理得，因為直線與橢圓相交，所以解得設(shè)弦的兩個端點為、，中點，則由韋達定理知：，反表示為：，由上述求得k2的范圍，則

3、有，解得。由直線方程，兩邊平方得代入有，即求得軌跡方程為：注意：（1）過定點的動弦中點的軌跡方程時，當定點在橢圓外的時候一定要驗證直線與橢圓相交的條件，并求出（或）的取值范圍；（2）驗證斜率不存在的情況是否符合題意?？偨Y(jié)：1.直線與橢圓相交求過定點的動弦中點的軌跡方程時，當定點在橢圓上，可以用點差法或相關(guān)點法求軌跡方程。2.直線與橢圓相交求過定點的動弦中點的軌跡方程時，當定點在橢圓外，可以用點差法或韋達定理消參求軌跡方程，此時一定要驗證直線與橢圓相交的條件，并求出（或）的取值范圍。練習：1.過橢圓上一點P（-8，0）作直線交橢圓于Q點，用點差法求PQ中點的軌跡方程。2.已知橢圓，過點引橢圓的割線，用點差法求求割線被橢圓截得的弦的中點的軌跡方程。3.已知在平面直角坐標系中的一個橢圓,它的中心在原點,左焦點為,且過點D(2,0).(1)求該橢圓的標準方程;(2)設(shè)點,若P是橢圓上的動點,求線段PA的中點M的軌跡方程.答案：1. 解：設(shè)弦PQ中點M（），弦端點P（），Q（），則有，兩式相減得，又因為，所以，所以，而，故?；喛傻?（）。2. 解：設(shè)弦的兩個端點為、，中點，則兩式相減得，整理得，由題意知，所以，又，所以，整理得。過點的直線方