直線一級(jí)倒立擺機(jī)理建模

1、上海電力學(xué)院課程設(shè)計(jì)報(bào)告課名：自動(dòng)控制原理應(yīng)用實(shí)踐 題目：倒立擺控制裝置 院系：自動(dòng)化工程學(xué)院 專業(yè)：測(cè)控技術(shù)與儀器 班級(jí)：2011151班 姓名：馬玉林 學(xué)號(hào)：20112515 時(shí)間：2014年1月14日 倒立擺系統(tǒng)按擺桿數(shù)量的不同，可分為一級(jí)，二級(jí)，三級(jí)倒立擺等，多級(jí)擺的擺桿之間屬于自有連接（即無(wú)電動(dòng)機(jī)或其他驅(qū)動(dòng)設(shè)備）。對(duì)倒立擺系統(tǒng)的研究能有效的反映控制中的許多典型問(wèn)題：如非線性問(wèn)題、魯棒性問(wèn)題、鎮(zhèn)定問(wèn)題、隨動(dòng)問(wèn)題以及跟蹤問(wèn)題等。通過(guò)對(duì)倒立擺的控制，用來(lái)檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理非線性和不穩(wěn)定性問(wèn)題的能力。倒立擺的控制問(wèn)題就是使擺桿盡快地達(dá)到一個(gè)平衡位置，并且使之沒(méi)有大的振蕩和過(guò)大的

2、角度和速度。當(dāng)擺桿到達(dá)期望的位置后，系統(tǒng)能克服隨機(jī)擾動(dòng)而保持穩(wěn)定的位置。1.1 倒立擺的控制方法倒立擺系統(tǒng)的輸入來(lái)自傳感器的小車與擺桿的實(shí)際位置信號(hào)，與期望值進(jìn)行比較后，通過(guò)控制算法得到控制量，再經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)換驅(qū)動(dòng)直流電機(jī)實(shí)現(xiàn)倒立擺的實(shí)時(shí)控制。直流電機(jī)通過(guò)皮帶帶動(dòng)小車在固定的軌道上運(yùn)動(dòng)，擺桿的一端安裝在小車上，能以此點(diǎn)為軸心使擺桿能在垂直的平面上自由地?cái)[動(dòng)。作用力u平行于鐵軌的方向作用于小車，使桿繞小車上的軸在豎直平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，小車沿著水平鐵軌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)沒(méi)有作用力時(shí)，擺桿處于垂直的穩(wěn)定的平衡位置（豎直向下）。為了使桿子擺動(dòng)或者達(dá)到豎直向上的穩(wěn)定，需要給小車一個(gè)控制力，使其在軌道上被往前或朝后拉動(dòng)。本次

3、設(shè)計(jì)中我們采用其中的牛頓歐拉方法建立直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后通過(guò)開(kāi)環(huán)響應(yīng)分析對(duì)該模型進(jìn)行分析，并利用學(xué)習(xí)的古典控制理論和Matlab /Simulink仿真軟件對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，主要采用根軌跡法，頻域法以及PID（比例-積分-微分）控制器進(jìn)行模擬控制矯正。2 直線倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立直線一級(jí)倒立擺由直線運(yùn)動(dòng)模塊和一級(jí)擺體組件組成，是最常見(jiàn)的倒立擺之一，直線倒立擺是在直線運(yùn)動(dòng)模塊上裝有擺體組件，直線運(yùn)動(dòng)模塊有一個(gè)自由度，小車可以沿導(dǎo)軌水平運(yùn)動(dòng)，在小車上裝載不同的擺體組件。系統(tǒng)建模可以分為兩種：機(jī)理建模和實(shí)驗(yàn)建模。實(shí)驗(yàn)建模就是通過(guò)在研究對(duì)象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號(hào)，

4、激勵(lì)研究對(duì)象并通過(guò)傳感器檢測(cè)其可觀測(cè)的輸出，應(yīng)用數(shù)學(xué)手段建立起系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系。這里面包括輸入信號(hào)的設(shè)計(jì)選取，輸出信號(hào)的精確檢測(cè)，數(shù)學(xué)算法的研究等等內(nèi)容。鑒于小車倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在一定的困難。因此，本文通過(guò)機(jī)理建模方法建立小車倒立擺的實(shí)際數(shù)學(xué)模型，可根據(jù)微分方程求解傳遞函數(shù)。2.1 微分方程的推導(dǎo)（牛頓力學(xué)方法）微分方程的推導(dǎo)在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示。做以下假設(shè)：M小車質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車摩擦系數(shù)I 擺桿慣量F加在小車上的力x小車位置F擺桿與垂直向上方向的夾角q擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置

5、為豎直向下）圖2-1 直線一級(jí)倒立擺模型系統(tǒng)中小車和擺桿的受力分析圖是圖2。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：在實(shí)際倒立擺系統(tǒng)中檢測(cè)和執(zhí)行裝置的正負(fù)方向已經(jīng)完全確定，因而矢量方向定義如圖2所示，圖示方向?yàn)槭噶空较?。圖2-2 小車及擺桿受力分析分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程：(2-1)由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式：(2-2)即： (2-3)把這個(gè)等式代入式(1)中，就得到小車運(yùn)動(dòng)方程（第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程）：(2-4)為了推出擺桿的運(yùn)動(dòng)方程（第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程），對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： (2-5)(2-6)力矩平衡方

6、程如下： (2-7)注意：方程中力矩的方向，由于(6)和（3）代入(7)，約去P和N，得到擺桿運(yùn)動(dòng)方程（第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程）：(2-8)設(shè)（是擺桿與垂直向上方向之間的夾角），假設(shè)與1（單位是弧度）相比很小，即，則可以進(jìn)行線性化近似處理：用來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下：進(jìn)行拉氏變換，得：（2-9）由于輸出為角度，求解方程組的第一個(gè)方程，可以得到：，即：（2-10）（10）式稱為擺桿角度與小車位移的傳遞函數(shù)如令，則有：（2-11）（11）式稱為擺桿角度與小車加速度間的傳遞函數(shù)，由于伺服電機(jī)的速度控制易于實(shí)現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)中常采用此式。把（10）式代入（9）式的第二個(gè)方程中，得到：（2-12

7、）其中，（12）式稱為擺桿角度與外加作用力間的傳遞函數(shù)2.2 實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)M：小車質(zhì)量1.096kgm：擺桿質(zhì)量0.109kgb：小車摩擦系數(shù)0.1N/secl：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度0.25mI：擺桿慣量0.0034kgm2代入模型參數(shù)得3 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的時(shí)域分析3.1 擺桿角度為輸出響應(yīng)的時(shí)域分析本系統(tǒng)采用以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，擺桿角度為輸出響應(yīng)，此時(shí)的傳遞函數(shù)為當(dāng)輸入為小車加速度時(shí)擺桿角度的單位階躍響應(yīng)在matlab中建立m文件oloop1.m 內(nèi)容如下：m=0.02725;n=0.0102125 0 -0.26705;t=0:0.1:20;step(m,n,t)axis(

8、0 4 0 100)圖3-1 擺桿角度的單位階躍響應(yīng)曲線圖當(dāng)輸入為小車加速度時(shí)擺桿角度的單位脈沖響應(yīng)在matlab中建立m文件命名為oloop2.m 內(nèi)容如下：m=0.02725;n=0.0102125 0 -0.26705;t=0:0.1:20;impulse(m,n,t)axis(0 4 0 100)圖3-2 擺桿角度的單位脈沖響應(yīng)曲線圖3.2 小車位置為輸出響應(yīng)的時(shí)域分析采用以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，小車位置為響應(yīng)，則此時(shí)的傳遞函數(shù)為 (3-3)圖3-3 小車位置的單位脈沖響應(yīng)曲線圖圖 3-4 小車位置的單位階躍響應(yīng)曲線圖由于以上時(shí)域分析中所有的傳遞函數(shù)的響應(yīng)圖都是發(fā)散的，所以系統(tǒng)不

9、穩(wěn)定，需要校正。四根軌跡設(shè)計(jì)4.1 原系統(tǒng)的根軌跡分析本系統(tǒng)采用以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，擺桿角度為輸出響應(yīng)，2、在matlab中輸入以下程序求出傳函clcclearA=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;B=0;1;0;3;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;Sys=ss(A,B,C,D);sy=tf(Sys)結(jié)果為 1 #1: - S2 3 #2: - s2 - 8.882e-016 s - 29.4 則可知G1（s）=1/s2; 取近似值G2(s)=3/(s2-29.4)3、繪制原根軌跡圖num=1;den=1 0 0;rlocus(num,

10、den) 圖四：小車位移根軌跡圖num=3;den=1 0 -29.4;rlocus(num,den) 圖五：擺桿角度的根軌跡圖4、繪制系統(tǒng)伯德圖：num=3; den=1 0 -29.4;ss=tf(num,den); bode(ss) 圖六：擺桿角度的bode圖num=1; den=1 0 0;ss=tf(num,den);bode(ss) 圖七：小車位移的bode圖可以看出，系統(tǒng)無(wú)零點(diǎn)，有兩個(gè)極點(diǎn)，并且有一個(gè)極點(diǎn)為正。畫出系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡如圖，可以看出閉環(huán)傳遞函數(shù)的一個(gè)極點(diǎn)位于右半平面，并且有一條根軌跡起始于該極點(diǎn)，并沿著實(shí)軸向左跑到位于原點(diǎn)的零點(diǎn)處，這意味著無(wú)論增益如何變化，這

11、條根軌跡總是位于右半平面，即系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。4.2 串聯(lián)超前校正裝置設(shè)計(jì)對(duì)此系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器，使得校正后系統(tǒng)的要求如下：調(diào)整時(shí)間： ts=2s最大超調(diào)量： p=60%確定閉環(huán)期望極點(diǎn)的位置sigma=0.6;zeta=(log(1/sigma)2)/(pi)2+(log(1/sigma)2)0.5結(jié)果為zeta = 0.1605由于原系統(tǒng)存在兩個(gè)零點(diǎn)處極點(diǎn)，等幅振蕩，故取期望阻尼系數(shù)滿足zeta=0.6，另外，系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程時(shí)間與系統(tǒng)阻尼比和無(wú)阻尼自然頻率的關(guān)系，可選omiga=5。輸入：zeta=0.6;omiga=5;d=1 2*zeta*omiga omiga*omiga;roots(d)

12、結(jié)果為ans = -3.0000 + 4.0000i -3.0000 - 4.0000i4.2.2 超前校正傳遞函數(shù)設(shè)計(jì)未校正系統(tǒng)的根軌跡在實(shí)軸和虛軸上，不通過(guò)閉環(huán)期望極點(diǎn)，因此需要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行超前校正，設(shè)控制器為：4.2.3 校正參數(shù)計(jì)算輸入：n0=1;d0=1 0 0;s1=-3+4j;fai0=180-angle(polyval(n0,s1)/polyval(d0,s1)*180/pi結(jié)果為：fai0 = 73.7398將超前校正網(wǎng)絡(luò)的零點(diǎn)配置在期望主導(dǎo)極點(diǎn)的正下方，取z=3。再考慮從超前校正裝置的極點(diǎn)位置，由相角條件可知，期望極點(diǎn)與校正裝置極點(diǎn)的相角應(yīng)滿足：fai0+fai1=90，所以

13、fai1=16.2602。過(guò)s1，做角度為16.26度的直線，計(jì)算該直線的實(shí)軸的交點(diǎn)：s1=-3+4j;fai1=16.26;p=abs(real(s1)+(abs(imag(s1)/tan(fai1*pi/180)結(jié)果為p = 16.7145則超前校正為Gc1(s)=K1(s+3)/(s+16.7145)校正后的系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K1(s+3)/(s2*(s+16.7145)4.2.5 matlab環(huán)境下串聯(lián)超前校正后的根軌跡圖num=1 3;den=1 16.7145 0 0;rlocus(num,den)圖4-2 串聯(lián)超前校正后系統(tǒng)的根軌跡圖由圖可知，系統(tǒng)的三條根軌跡都有位于

14、左半平面的部分，選取適當(dāng)?shù)?K 就可以穩(wěn)定系統(tǒng)。K1=89.4系統(tǒng)校驗(yàn)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)nopen=89.4 268.2;dopen=1 16.7145 89.4 268.2;ss=tf(nopen,dopen);step(ss)串聯(lián)超前校正后系統(tǒng)的單位階越響應(yīng)由圖可知ts<2s,sigma<60%;滿足要求4.3、對(duì)于G2(s)確定期望主導(dǎo)極點(diǎn)sigma=0.6;zeta=(log(1/sigma)2)/(pi)2+(log(1/sigma)2)0.5結(jié)果為zeta = 0.1605取期望阻尼系數(shù)滿足zeta=0.5，另外，系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程時(shí)間與系統(tǒng)阻尼比和無(wú)阻尼自然頻率的關(guān)系，可選omi

15、ga=4。輸入：zeta=0.5;omiga=4;d=1 2*zeta*omiga omiga*omiga;roots(d)結(jié)果為ans = -2.0000 + 3.4641i -2.0000 - 3.4641i 繪制原根軌跡圖num=3;den=1 0 -29.4;rlocus(num,den)擺桿角度原根軌跡原系統(tǒng)根軌跡位于s平面的實(shí)軸。不通過(guò)期望主導(dǎo)極點(diǎn)，選擇超前校正。計(jì)算超前校正產(chǎn)生的超前相角輸入: n0=3;d0=1 0 -29.4;s1= -2.0000 + 3.4641i; fai0=180-angle(polyval(n0,s1)/polyval(d0,s1)*180/pi結(jié)果

16、為：fai0 = 20.3293 將超前校正網(wǎng)絡(luò)的零點(diǎn)配置在期望主導(dǎo)極點(diǎn)的正下方，取z=2。再考慮從超前校正裝置的極點(diǎn)位置，由相角條件可知，期望極點(diǎn)與校正裝置極點(diǎn)的相角應(yīng)滿足：fai0+fai1=90，所以fai1=69.6707。過(guò)s1，做角度為69.67度的直線，計(jì)算該直線的實(shí)軸的交點(diǎn)：輸入：s1=-2+3.4641j;fai1=69.67;p=abs(real(s1)+(abs(imag(s1)/tan(fai1*pi/180)結(jié)果為：p = 3.2835則超前校正為Gc2(s)=K2(s+2)/(s+3.2835)校正后的系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=K2(s+2)/( (s2 -29

17、.4)*(s+3.2835)繪制根軌跡圖nopen=1 2;dopen=conv(1 0 -29.4,1 3.2835);rlocus(nopen,dopen)擺趕角度原根軌跡圖由圖可知K2=43.2系統(tǒng)校驗(yàn)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)nopen=43.2 86.4;dopen=1 3.2835 13.8 -10.1349;ss=tf(nopen,dopen);step(ss)擺趕角度原單位原單位階越響應(yīng)由圖可知ts<2s,sigma<60%;滿足要求。五頻域設(shè)計(jì)方案：原系統(tǒng)被控對(duì)象傳遞函數(shù)：該系統(tǒng)伯德圖（右圖）：num=3;den=1 0 -29.4;ss=tf(num,den);bode(ss)擺趕角度原伯德圖由圖可知，=180度 PM不存在系統(tǒng)要求為PM>，GM>10dB5.1、若使用超前矯正：=50-0+10= =13.925.2、求wG（j）=1/w2=3+29.4=40.59 w=6.375.3、求參數(shù)TT=1/(w*sqrt(a)=0.099 Gc(s)=Kc*(1+0.3693s)/(1+0.099s)= 3*Kc*(1+0.3693s)/(1+0.099s)(s2-29.4)取Kc=100用MATLAB進(jìn)行仿真：num=110.79 300;den=conv(1 29.4,0.099 1);ss=tf(num,den);rltool(ss)得伯德