Chapter12能量原理與變分法

1、1- -1 彈塑性力學(xué)的研究對象和任務(wù)彈塑性力學(xué)的研究對象和任務(wù)1- -2 基本假定基本假定1- -3 彈性與塑性彈性與塑性12.1 彈性體的形變勢能 1.問題的提出： （1）從前面已討論的問題可以看出：求解偏微分方程的某種 邊值問題。 空間問題：泛定方程含有15個未知量，15個偏微分方程 平面問題：泛定方程含有8個未知量，8個偏微分方程 給定邊界條件，求解這兩組方程在一般情況下是極其困難的 有時是不可能的 （2）考慮到求解偏微分方程的困難，另一個途徑則是通過積 分的形式來試圖解決問題，這就是變分法的基本思想。體現(xiàn)在 彈塑性力學(xué)中，就稱之為能量法。即通過能量的概念將求解的 偏微分方程問題轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

2、求解泛函數(shù)的極值問題。（3）能量法是和彈性體的形變勢能密切相關(guān)的，因此在研究變分法之前先說明彈性體的形變勢能與應(yīng)力，應(yīng)變，位移之間的關(guān)系，并導(dǎo)出相應(yīng)的計算公式（4）要注意各能量原理的應(yīng)用范圍2.形變過程的熱力學(xué)本質(zhì)：（1）變形特點：物體變形過程，其本質(zhì)是一個熱力學(xué)過程。 等溫過程： 絕熱過程：（2）熱力學(xué)第一定律：QAUK其中 K為t時間間隔內(nèi)物體變形的動能變化 U 為t時間間隔內(nèi)物體變形的內(nèi)能變化 A為t時間間隔內(nèi)物體變形時外力功的變化 Q為t時間間隔內(nèi)物體變形時熱能的變化 設(shè)物體的體積為V，表面積為S,受外力Fi,面力為Ti，變形時其位移為Ui,，應(yīng)變?yōu)閕j，應(yīng)力為,ij則物體的動能 Vi

3、idVuuK21其中tuuii為速度viidVuuk iiiiiiiiiuuttuutuuuuu )21(2外力功的變化SiiViidsuTdVuFA由外力邊界條件jijilT并利用高斯積分公式則面積分dsludsuldsuTjiijsijijsii)(VjiijVjijijVjiijsiidvudvudvudsuT,)(注意到ijijijjiijijijuuuuu)(21)(21,其中ij為應(yīng)變張量 ij為剛性位移轉(zhuǎn)動張量 從而有vijijvijijsiidvdvudsuT,vijijivjijidvdvuFA)(,QdvdvuuFQKAUVvijijiiijij)(, QdvUvijijV

4、ijijdVU對子絕熱過程，有在平衡狀態(tài)下，k=0 有VijijdVAU即：在平衡狀態(tài)下，外力所做的功等于物體中應(yīng)變能有變化， 或者說：外力新做有功,全部轉(zhuǎn)化為物體的應(yīng)變能記單位體積的應(yīng)變能增量ijijU0即VdVUU0ijijijdU00ijijijdU00ijijijdU0*0應(yīng)變余能顯然有ijijdUU*00 xx記單位體積 的應(yīng)變能函數(shù)3.應(yīng)變能與應(yīng)變余能： 定義（單位體積）應(yīng)變能： 在線彈性狀態(tài)下，應(yīng)變比能（單位體積的應(yīng)變能）和應(yīng)變比余能）分別為：ijiju210ijiju21*0 xx4.應(yīng)變能的表達(dá)式：(1)應(yīng)變比能 （即單位體積的應(yīng)變能，也叫變形比能或形變勢 能密度）ijijd

5、u0在線彈性狀態(tài)下)(210zxzxyzyzxyxyzyyxxzzzzu利用廣義Hooke定律ijijijEvEv1或ijijije2期中zyxijzyxije代入得)(1 ( 2)(2)(212222220zxyzxyxzzyyxzyxzzzvvEu)(21)(21)1 ( 222222220zxyzxyzyxevvvEu或*以應(yīng)變分量表示應(yīng)變比能2220111121zxyzxyzzyyxxCCCGvvEvvEvvEU)(1 ( 2)(1 (2122222220zxyzxyzyxCCCvvVEU)(21)(21)1 ( 222222220zxyzxyzyxevvvEu)(1 ( 2)(1 (

6、 221)(1 ( 2)(2)(2122222222222220zxyzxyzyxzxyzxyxzzyyxzyxvvEvvEu*以變分量表示應(yīng)變比能)()(221)()2()2()2(2122222222220zxyzxyzyxzxyzxyzzyyxxeeeeu)(21)(21)1 ( 222222220zxyzxyzyxEvvvEu（2）變形能U0 a.U是位置坐標(biāo)的函數(shù)： 在一般的情況下，彈性體受力并不均勻，各應(yīng)力分量ij和應(yīng)變 分量 ij 一般都是位置坐標(biāo)的函數(shù)，因而比能 一般也是位置坐標(biāo)的函數(shù)),(zyxijij),(zyxijij),(00zyxuu dxdydzzuxwywzvxv

7、yuzwyvxuzwyvxuvvvEu)(21)(21)(21)()()()(21)1 ( 2222222（3）彈性體的比能U0對任一應(yīng)力分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)變分量。彈性體的比能U0對任一應(yīng)變分量的改變率，就等于相應(yīng)的應(yīng)力分量考察xzyxzyxxvEvEu)(1)(22 2106.整個彈性體的變形能U：dxdydzevvvdxdydzvvEdxdydzdxdydzuuzxyzxyzyxzxyzvxyxzzyyxzyxzxzxyzyzxyxyzzyyvxxv)(21)(21)1 ( 21)(1 ( 2)(2)(21)(2122222222222220 xyxyxyxyxyGEvvEu1)

8、1 (22)1 (2210 xxxxeevvvEu2)2221()1 (20 xyxyxyxyxyGvEu)1 (20其中)21)(1 (vvve)1 (2vEG一般地，由虛應(yīng)變比能：ijiju0考慮)(00ijuu的全微分：ijijuu00故有ijiju0又由虛應(yīng)變比余能：ijiju*0考慮)(*0*0ijuu的變分ijijuu*0*0故有ijiju*0在彈性范圍內(nèi)*00uu 11.2位移變分方程：虛位移原理 1.位移變分虛位移設(shè)有任一彈性體，在一定的外力作用 下處于平衡狀態(tài)u,v,w為彈性體中實際產(chǎn)生的位移分量kwj vi uu位移u,v,w 滿足（1）有關(guān)的基本方程：用位移表示的平衡方程

9、 （2）有關(guān)的邊界條件：位移邊界條件 用位移表示的外力邊界條件 假想u,v,w發(fā)生了位移邊界條件新容許的微小變化，即所謂的位移變分或位移u, v, wuuu記為kwjvvi uu或uukwjviuuuuuvvvwww*微分與變分：坐標(biāo)x,函數(shù)u微分：x+dx u+du 函數(shù)U(x)變分：x u+u 泛函：I(u)由虛位移（或位移變分）引起的能量改變： 根據(jù)熱力學(xué)第一定律，在沒有溫度改變，即無熱能，動能改變時，依據(jù)能量守恒定律，形變能的改變也就等于外力所做的功。 因此，由虛位移（或位移變分）引起的能量改變也應(yīng)符合這一規(guī)律。外力在虛位移上所做的虛功：體力的虛功=dvuFdxdydzwZvYuXiv

10、i)(由虛位移引起的能量改變虛應(yīng)變能：面力的虛功=siisdsuTdswZvYuX)(dvdxdydzuvijijvzxzxyzyzxyxyzzyyxx)(虛功：siiviidsuTdvuFA*注意到：彈性變形產(chǎn)生時，形變能增加，外力勢能減小 形變能減少，外力勢能增加2.虛歲位移原理：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)給予物體微小虛位移時外力的總虛應(yīng)變能，即有：wu或tsiiviivijijdsuTdvuFdv虛位移原理的位移變分方程證明（1）必要性：由平衡方程0,ijijF給一虛位移ui,滿足邊界條件:在Su上，iiuu 0iu在 ST 上，jijilT其中 S=Su+ST, S為整個邊界

11、 Su為給定位移的邊界 ST為給定外力的邊界考察svjiijjiijvvjiijjiijvvijijiidvludsludvudvudvudvuF,)(由于在Su上0iu在ST上ijijTl 故ssiijiijTdsuTdslu考慮到i,j的變化，應(yīng)有ijjijiijuu,又jiij故有ijijijjiijijjijiijjiijuuuuu)(21)(21,*（或注意到ijijijjiijijijwuuuuu)(21)(21,則平衡時無剛性位移0ijw或應(yīng)力在剛性位移上不做功從而有ijijjiiju,）于是得到vvsiiiiijijTdsuTdvuFdv(2)充分性：由wu即vviiijijdvuFdv 簡支梁支均布載荷作用設(shè)撓度曲線xexcwnnenmmmmnnneedxcmxmexmncxnexnEIdxwwEIdxwEIu0121201111121111112虛變性能：虛功emmmeedxcxeqxwdxqqwdxw000虛位移原理給出：dxxlqxdxcxmexmxnexnnmEIemnnmmenn0120121111, 2 , 1m 只取一項：m=1,n=1, 有eedxxeqxdxcEI0