直接間接證明與數(shù)學歸納法

1、姓名學生姓名填寫時間學科數(shù)學年級教材版本人教版階段第（ ）周 觀察期： 維護期：課題名稱直接、間接證明與數(shù)學歸納法課時計劃第（ ）課時共（ ）課時上課時間教學目標分析法和綜合法在證明方法中都占有重要地位，是解決數(shù)學問題的重要思想方法。當所證命題的結論與所給條件間聯(lián)系不明確，常常采用分析法證明；當所證的命題與相應定義、定理、公理有直接聯(lián)系時，常常采用綜合法證明.在解決問題時，常常把分析法和綜合法結合起來使用。 教學重點反證法解題的實質是否定結論導出矛盾，從而說明原結論正確。在否定結論時，其反面要找對、找全.教學難點它適合證明“存在性問題、唯一性問題”，帶有“至少有一個”或“至多有一個”等字樣的數(shù)

2、學問題.教學過程直接證明與間接證明知識要點梳理直接證明1、綜合法（1）定義：一般地，從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、已知的定義及定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法.（2）綜合法的的基本思路：執(zhí)因索果綜合法又叫“順推證法”或“由因導果法”.它是從已知條件和某些學過的定義、公理、公式、定理等出發(fā)，通過推導得出結論.（3）綜合法的思維框圖：用表示已知條件，為定義、定理、公理等，表示所要證明的結論，則綜合法可用框圖表示為：（已知） （逐步推導結論成立的必要條件） （結論）2、分析法（1）定義：一般地，從需要證明的命題出發(fā)，分析使這個命題成立的充分條件，逐

3、步尋找使命題成立的充分條件，直至所尋求的充分條件顯然成立（已知條件、定理、定義、公理等），或由已知證明成立，從而確定所證的命題成立的一種證明方法，叫做分析法.（2）分析法的基本思路：執(zhí)果索因分析法又叫“逆推證法”或“執(zhí)果索因法”.它是從要證明的結論出發(fā)，分析使之成立的條件，即尋求使每一步成立的充分條件，直到最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.（3）分析法的思維框圖：用表示已知條件和已有的定義、公理、公式、定理等，所要證明的結論，則用分析法證明可用框圖表示為：（結論） （逐步尋找使結論成立的充分條件） （已知）（4）分析法的格式：要證，只需證，只

4、需證，因為成立，所以原不等式得證。間接證明反證法（1）定義：一般地，首先假設要證明的命題結論不正確，即結論的反面成立，然后利用公理，已知的定義、定理，命題的條件逐步分析，得到和命題的條件或公理、定理、定義及明顯成立的事實等矛盾的結論，以此說明假設的結論不成立，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.（2）反證法的特點：反證法是間接證明的一種基本方法.它是先假設要證的命題不成立，即結論的反面成立，在已知條件和“假設”這個新條件下，通過邏輯推理，得出與定義、公理、定理、已知條件、臨時假設等相矛盾的結論，從而判定結論的反面不能成立，即證明了命題的結論一定是正確的.（3）反證法的基本思路：“假

5、設矛盾肯定” 分清命題的條件和結論 做出與命題結論相矛盾的假設 由假設出發(fā)，結合已知條件，應用演繹推理方法，推出矛盾的結果 斷定產(chǎn)生矛盾結果的原因，在于開始所做的假定不真，于是原結論成立，從而間接地證明原命 題為真（4）用反證法證明命題“若則”，它的全部過程和邏輯根據(jù)可以表示為：（5）反證法的優(yōu)點：對原結論否定的假定的提出，相當于增加了一個已知條件.數(shù)學歸納法1. 證明一個與正整數(shù)有關的命題關鍵步驟如下：（1） 證明當取第一個值時結論正確；（2） 假設當（，） 時結論正確, 證明當1時結論也正確完成這兩個步驟后, 就可以斷定命題對從開始的所有正整數(shù)都正確這種證明方法叫做數(shù)學歸納法2. 數(shù)學歸納

6、法作為一種證明方法，其基本思想是遞推(遞歸)思想，使用要點可概括為：兩個步驟一結論，遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉；規(guī)律方法指導1.用反證法證明數(shù)學命題的一般步驟：反設假設命題的結論不成立，即假定原命題的反面為真；歸謬從反設和已知條件出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結果；存真由矛盾結果，斷定反設不真，從而肯定原結論成立.經(jīng)典例題透析類型一：綜合法1如圖，設在四面體中，是的中點.求證：垂直于所在的平面. 解析：連、因為是斜邊上的中線， 所以又因為,而是、的公共邊，所以于是,而，因此，由此可知垂直于所在的平面.【變式1】求證：.由此可聯(lián)想到公式，轉化成能直接利用對數(shù)的運算性

7、質進行化簡的形式. ， 左邊 ， .類型二：分析法2求證：法一：分析法要證成立，只需證明，兩邊平方得，所以只需證明，兩邊平方得，即，恒成立，原不等式得證.法二：綜合法，.【變式1】求證：【答案】、均為正數(shù) 要證成立，只需證明， 兩邊展開得即， 所以只需證明即， 恒成立， 成立.類型三：反證法3設二次函數(shù)中的、均為奇數(shù)，求證：方程無整數(shù)根.證明：假設方程有整數(shù)根，則成立，所以.因為為奇數(shù)，所以也為奇數(shù)，且與都必須為奇數(shù).因為已知、為奇數(shù)，又為奇數(shù)，所以為偶數(shù)，這與為奇數(shù)矛盾，所以假設不成立，原命題成立.【變式1】若都為實數(shù)，且，求證：中至少有一個大于0.【答案】假設都不大于0，則， 所以 又 .

8、 因為， 所以， 所以，這與矛盾， 所以假設不成立，原命題成立.類型四：數(shù)學歸納法例1用數(shù)學歸納法證明()變式訓練1.用數(shù)學歸納法證明：135（2n1）點評：利用數(shù)學歸納法證明和正整數(shù)相關的命題時，要注意三句話：遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉。例2已知數(shù)列根據(jù)計算結果，猜想的表達式，并用數(shù)學歸納法進行證明。 基礎達標練習：1若命題A(n)(nN*)在nk(kN*)時命題成立，則有nk1時命題成立現(xiàn)知命題對nn0(n0N*)時命題成立，則有()A命題對所有正整數(shù)都成立B命題對小于n0的正整數(shù)不成立，對大于或等于n0的正整數(shù)都成立C命題對小于n0的正整數(shù)成立與否不能確定，對大于或等

9、于n0的正整數(shù)都成立D以上說法都不正確2在應用數(shù)學歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n3)條時，第一步驗證n等于()A1B2 C3 D03用數(shù)學歸納法證明>.假設nk時，不等式成立，則當nk1時，應推證的目標不等式是_1要證明可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是（ ）A綜合法 B分析法 C反證法 D歸納法2設,則的大小關系是( )A B C D3已知函數(shù)，則 是大小關系為（ ）A BCD4至少有一個負實根的充要條件是（ ）A B C D或5如果都是正數(shù)，且，求證：6已知都是正數(shù)，且，求證：7用反證法證明：如果，那么能力提升：1用數(shù)學歸納法證明1<n(nN*，n>1)時，第一步

10、應驗證不等式()A1<2B1<2 C1<3 D1<32(2011江西)觀察下列各式：553125,5615625,5778125，則52011的末四位數(shù)字為()A3125 B5625 C0625 D81253利用數(shù)學歸納法證明<1(nN*，且n2)時，第二步由k到k1時不等式左端的變化是()A增加了這一項 B增加了和兩項C增加了和兩項，同時減少了這一項 D以上都不對4用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xnyn能被xy整除”的第二步是()A假使n2k1時正確，再推n2k3正確 B假使n2k1時正確，再推n2k1正確C假使nk時正確，再推nk1正確 D假使nk(k1)，再推nk2時正確(以上kN*)5分析下述證明242nn2n1(nN*)的過程中的錯誤：_.證明：假設當nk(kN*)時等式成立，即242kk2k1，那么242k2(k1)k2k12(k1)(k1)2(k1)1，即當nk1時等式也成立因此對于任何nN*等式都成立6用數(shù)學歸納法證明：當n2，nN*時，(1)(1)(1)(1).7求證：>(n2，nN