2011年考研數(shù)學(xué)一真題及參考答案

1、2011 年數(shù)學(xué)試題（）一、選擇題1、 曲線 y = (x -1)(- 4)4 的拐點是（）（A）（1，0）（B）（2，0）（C）（3，0）（D）（4，0）【】C 【考點分析】本題考查拐點的。直接利用拐點的必要條件和第二充分條件即可?！尽坑?y = (x -1)(- 4)4 可知1, 2, 3, 4 分別是yx -1)( x - 2)2 ( x - 3)3 ( x - 4)4 = 0 的一、二、三、四重根，故由導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系可知 y(1) 0 ， y(2) = y(3) = y(4) = 0y(2) 0 ， y (3) = y (4) = 0 ， y (3) 0, y (4) = 0

2、，故（3，0）是一拐點。n2、 設(shè)數(shù)列 an 單調(diào)減少， lim an = 0 ， Sn = ak (n = 1,2LL)，則冪級數(shù) nk =1 a( x -1)n 的收斂域為（） （A） (-1，1（B） -1，1)（C） 0，2)（D）nn=1(0，2【】C 【考點分析】本題考查冪級數(shù)的收斂域。主要涉及到收斂半徑的計算和常數(shù)項級數(shù)收斂性的一些結(jié)論，綜合性較強。n= a (n = 1,2LL)，說明冪級數(shù) a ( x -1)n 的收斂半徑 R 1；【】 Snknk =1n=1a 單調(diào)減少， lim a = 0 ，說明級數(shù) a(-1)n 收斂，可知冪級數(shù) a ( x -1)n 的收斂nnnnn

3、n=1n=1半徑 R 1。因此，冪級數(shù) a ( x -1)n 的收斂半徑 R = 1 ，收斂區(qū)間為(0, 2) 。又由于 x = 0 時冪級數(shù)nn=1收斂， x = 2 時冪級數(shù)發(fā)散?？芍諗坑驗?, 2) 。連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 f (x) 0 ， f (0) = 0 ，則函數(shù) z = f (x) ln f ( y)3、 設(shè) 函數(shù) f (x) 具有在點(0,0)處取得極小值的一個充分條件是（ ）（A） f (0) 1，f (0) 0(B) f (0) 1，f (0) 0(C) f (0) 0(D) f (0) 1，f (0) 0 ， f (0) ln f (0) f (0) 0所以有 f (0) 1

4、，f (0) 0ppp4、設(shè) I =ln sin xdx, J =ln cot xdx, K =ln cos xdx ，則 I , J , K 的大小關(guān)系是()444000（A） I J K【】 B（B） I K J（C） J I K（D） K J I【考點分析】本題考查定的性質(zhì)，直接將比較定的大小轉(zhuǎn)化為比較對應(yīng)的被積函數(shù)的大小即可?！?x (0, p ) 時， 0 sin42 cos x cot x ，因此lnsinln cos x ln cot x【2p4pp4ln sin xdx ln cos xdx 1時，方程 k arctan x - x = 0 有兩個實根【考點分析】：本題考查方程

5、組根的討論，主要用到函數(shù)單調(diào)性以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。解題時，首先通過求導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再在每個單調(diào)區(qū)間上檢驗是否滿足零點存在定理的條件。- x22【】：令 f (x) = k arctan x - x ，則 f (0) = 0 ， f (，當(dāng) k 1時， f (x) 0 ， f (x) 在(-, +) 單調(diào)遞減，故此時 f (x) 的圖像與 x 軸（1）與只有一個交點，也即方程 k arctan x - x = 0 只有一個實根k = 1時，在(-, 0) 和(0, +) 上f (x) 1時，- k -1 x 0 ， f (x) 在(- k -1, k -1) 上單調(diào)（3）增加，

6、又 f (0) = 0 知， f (x) 在(- k -1, k -1) 上只有一個實根，又 f (x) (-, - k -1)f (x) 0 ， f (x) 在(-, - k -1) 或( k -1, +) 都單調(diào)減，又或( k -1, +)f (- k -1) 0, limf (x) = - ，所以 f (x) 在x-x+(-, - k -1) 與 x 軸無交點，在( k -1, +) 上與 x 軸有一個交點綜上所述： k 1時，方程 k arctan x - x = 0 只有一個實根k 1時，方程 k arctan x - x = 0 有兩個實根1 ln(1+ 1 ) 0 。x +1先證

7、明ln(1+x, x 0 ：f (x) 在0, +) 上單調(diào)遞增。令 f= x - ln(1+ x) 。由于 f 0, x 0 ，可知又由于 f (0) = 0 ，因此當(dāng) x 0 時， f (x) f (0) = 0 。也即ln(1+x, x 0 。 0 ：再證明x +1令 g(x+111 0, x 0 ，可知 g ( x) 在0, +) 上。由于 g(1+ x)2單調(diào)遞增。由于 g (0) = 0 ，因此當(dāng) x 0 時，g(x) g(0) = 0 。也即x +1 0 。 0 。再令由于，即可得到所需證明的不等式。因此，我們證明了x +11n +1 ln(1+ 1 ) 可知：數(shù)列a 單調(diào)遞1n

8、 +1- ln(1+ 1 ) ，由不等式n（2）a- a =n+1nnn減。又由不等式ln(1+ 1 ) ln(1+1) + ln(1+ 1) +. + ln(1+ 1) - ln n = ln(n +1) - ln n 0 。n2n2n因此數(shù)列an 是有界的。故由單調(diào)有界收斂定理可知：數(shù)列an收斂。連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 f (1, y) = 0, f (x,1) = 0 ，19、（本題滿分 11 分）已知函數(shù) f (x, y) 具有Df (x, y)dxdy = a ， 其 中 D = (x, y) | 0 x 1, 0 y 1 ， 計 算 二 重I = xyfxy(x, y)dxdyD】： a【

9、考點分析】：本題考查二重的計算。計算中主要利用分部法將需要計算的式化為已知的式，出題形式較為新穎，有一定的難度。 xyfxy(x, y)dxdy 轉(zhuǎn)化為累次【】：將二重可得D11xyf(x, y)dxdy =dyxyfxy (x, y)dxxy00D1首先考慮xyfxy(x, y)dx ，注意這是是把變量 y 看做常數(shù)的，故有011111- yf (x, y)dx = yf (1, y) -yfy(x, y)dxxyf(x, y)dx = yxdfy(x, y) = xyfy(x, y)xyyy00000由 f (1, y) = f (x,1) = 0f (1, y) = f (x,1) =

10、0 。yx11xyf(x, y)dx = -yfy(x, y)dx 。故xy001111Dxyf(x, y)dxdy =dyxyfxy (x, y)dx = - dyyfy(x, y)dxxy00001111次序可得： -dyyf (x, y)dx = -dxyfy(x, y)dy對該交換y00001yfy(x, y)dy ，注意這里是把變量 x 看做常數(shù)的，故有再考慮0111110yf (x, y)dy =ydf (x, y) = yf (x, y)- f (x, y)dy = -f (x, y)dyy0000因此1111xyf(x, y)dxdy = -dxyfy(x, y)dy = dx

11、f (x, y)dy = f (x, y)dxdy = axy0000DD= (1, 0,1)T ,a = (0,1,1)T ,a = (1,3,5)T 不能由20、（本題滿分 11 分）a123= (1, a,1)T , b = (1, 2,3)T , b()b= 1,3,5線性表出。求a ；將 b , b , b 由a ,a ,aT123123123線性表出。21205)10】： a = 5 ； (bb ) = (abaa4【123123-1- 2【考點分析】：本題考查向量的線性表出，需要用到秩以及線性方程組的相關(guān)概念，解題時注意把線性表出與線性方程組的解結(jié)合起來?！浚?由于a1,a 2

12、,a3 不能由 b1, b2 , b3 表示【= a - 5 = 0 ，a = 5可知本題等價于求三階矩陣C 使得(b1, b2 , b3 ) = (a1,a2 ,a3 )C(a ,) (-1b , b , b可知C,12312215計算可得C = 410 2 -10-2 21205)10因此(bb ) = (abaa4123123-1- 2 11 -11 21、（本題滿分 11 分） A 為三階實矩陣， R( A) = 2 ，且 A 00 = 0 0 -11 11 （1）求 A 的特征值與特征向量（2）求 A 1 -1 0 】：（1） A 的特征值分別為 1，-1，0，對應(yīng)的特征向量分別為

13、0 ， 0 ， 1 【 1 1 0 0001（2） A = 00100【考點分析】：實對稱矩陣的特征值與特征向量，解題時注意應(yīng)用實對稱矩陣的特殊性質(zhì)。-1-1 1 1 【】：（1） A 0 = - 0 A 0 = 0 1 1 1 1 1-1 可知：1，-1 均為 A 的特征值， x = 0 與x =0 分別為它們的特征向量 121 1 r( A) = 2 ，可知 0 也是 A 的特征值而 0 的特征向量與x1 ， x 2 正交 x1 設(shè)x3 = x2 為 0 的特征向量 x 3 0 x1 + x3 = 0得x3 = k 1有- x + x = 013 0 A 的特征值分別為 1，-1，0 1

14、-1 0 對應(yīng)的特征向量分別為 0 ， 0 ， 1 1 1 0 （2） A = RLR -11-10110其中L = -1 ， R= 0100 11 100-1-1 01-1 011故 A = 01 01-11 0 0 101 1202 - 1011011 1= 01- 1- 2210100010100= 0010022. （本題滿分 11 分）P ( X 2 = Y 2 ) = 1求：（1） ( X ,Y ) 的分布；（2） Z = XY 的分布；（3） rXY .【】：（1）（2）（3） rXY= 0【考點分析】：本題考查二維離散型分布的分布律及相關(guān)數(shù)字特征的計算。其中，最主要的是第一問分

15、布的計算?！尽浚海?）由于 P ( X 2 = Y 2 ) = 1，因此 P ( X 2 Y 2 ) = 0 。故 P ( X = 0,Y = 1) = 0 ，因此P ( X = 1,Y = 1) = P ( X = 1,Y = 1) + P ( X = 0,Y = 1) = P (Y = 1) = 1/ 3Z-101P1/31/31/3XY01-101/301/30101/3Y-101P1/31/31/3X01P1/32/3再由 P ( X = 1,Y = 0) = 0 可知P ( X = 0,Y = 0) = P ( X = 1,Y = 0) + P ( X = 0,Y = 0) = P

16、(Y = 0) = 1/ 3同樣，由 P ( X = 0,Y = -1) = 0 可知P ( X = 0,Y = -1) = P ( X = 1,Y = -1) + P ( X = 0,Y = -1) = P (Y = -1) = 1/ 3這樣，我們就可以寫出( X ,Y ) 的分布如下：（2） Z = XY 可能的取值有-1， 0 ，1其中 P(Z = -1) = P( X = 1,Y = -1) = 1 / 3 ， P(Z = 1) = P( X = 1,Y = 1) = 1 / 3 ，= 0) = 1 / 3 。則有 P(Z 因此， Z = XY 的分布律為（3） EX = 2 / 3

17、， EY = 0 ， EXY = 0, cov( X ,Y ) = EXY - EXEY = 0cov( X ,Y )故 rXY= 0DXDY, x 為來自正態(tài)總體 N(m ,s 2 ) 的簡單隨機樣本，其中 m,23、（本題滿分 11 分）設(shè)2n00已知， s 2 0 未知， x 和 S 2 分別表示樣本均值和樣本方差，（1）求參數(shù)s 2 的最大似然估計s 2（2）計算 E(s 2 ) 和 D(s 2 )n( X - m2s 4)2】：（1）s =s ) = s , D(s ) =2 i0n222E(【（2）ni=1【考點分析】：本題考查參數(shù)估計和隨量數(shù)字特征的計算，有一定的難度。在求s 2

18、 的最大似然估計時，最重要的是要將s 2 看作一個整體。在求s 2 的數(shù)學(xué)期望和方差時，則需要Z-101P1/31/31/3YX-101001/ 3011/ 301/ 3綜合應(yīng)用數(shù)字特征的各種運算性質(zhì)和公式，難度較大?！尽浚海?）似然函數(shù))2 nn(x - m )2 (x - m11L (),s=exp - =-2i02i02expn2s2s2psn2p 2s n i=1i=1n(x - mn(x - m)2)2nnn1則ln L = -ln 2p - n ln s -= -ln 2p -ln s 2 -i02 i022ss2222i=1i=1n(x - m ln L)2n1= -+ i02(s 2 ) i=1s2s222n ln L(x - m)2= 0 可得 s 2 的 最 大 似 然 估 計 值 s =2 i0n令， 最 大 似 然 估 計 量s2i=1n( X - m)2s =2 i0ni=1（2）由隨量數(shù)字特征的計算公式可得)2 n( X - mn1ns ) = E=E( X - m ) = E( X - m ) = DX = s2222E( i0ni0101i=1i=1)2 n( X - m