高中數(shù)學(xué)課題教學(xué)設(shè)計(jì)案例

1、高中數(shù)學(xué)課程 可選內(nèi)容的資源-數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)的案例1升旗中的數(shù)學(xué)問(wèn)題（一）問(wèn)題情景和任務(wù)問(wèn)題情景：在不同地區(qū)，同一天的日出和日落時(shí)間不盡相同；對(duì)一個(gè)地區(qū)而言，日出日落時(shí)間又是隨日期的變化而變化的。北京的天安門廣場(chǎng)上的國(guó)旗每天伴著太陽(yáng)升起、伴著太陽(yáng)降落，下表給出了是天安門廣場(chǎng)2003年部分日期的升、降旗時(shí)刻表：日期升/降時(shí)刻日期升/降時(shí)刻日期升/降時(shí)刻1月 1日7:36/16:595月16日4:59/19:239月20日5:59/18:151月21日7:31/17:206月3日4:47/19:3810月 8日6:17/17:462月10日7:14/17:436月22日4:46/

2、19:4610月26日6:36/17:203月 2日6:47/18:067月 9日4:53/19:4511月13日6:56/17:003月22日6:15/18:277月27日5:07/19:3312月 1日7:16/16:504月9日5:46/18:468月14日5:24/19:1312月20日7:31/16:514月28日5:19/19:059月 2日5:42/18:45任務(wù)1：試根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，分析升、降旗時(shí)間變化的大致規(guī)律；建立坐標(biāo)系，將以上數(shù)據(jù)描在坐標(biāo)系中；任務(wù)2：分別建立日出時(shí)間和日落時(shí)間關(guān)于日期的近似函數(shù)模型；利用你建立的函數(shù)模型，計(jì)算“五一”國(guó)際勞動(dòng)節(jié)、“十一”國(guó)慶節(jié)的升、降

3、旗時(shí)間；任務(wù)3：利用年鑒、互聯(lián)網(wǎng)或其它資料，查閱北京天安門2003年升旗時(shí)間表，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確度，分析誤差原因，考慮如何改進(jìn)自己的模型。任務(wù)4：你所生活地區(qū)（城市、省、鄉(xiāng)村等）某年不同的日期的“日出和日落”的時(shí)間，建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系。（二）實(shí)施建議與說(shuō)明 通過(guò)對(duì)升旗中數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解和討論，進(jìn)一步了解相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的意義和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程，增強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用意識(shí)。理解用函數(shù)擬合數(shù)據(jù)的方法，提高對(duì)數(shù)據(jù)的觀察、分析、處理、從中獲取有益信息的能力。在這個(gè)探求活動(dòng)中，要特別重視觀察、分析、處理數(shù)據(jù)的一般方法、現(xiàn)代技術(shù)的合理使用、數(shù)學(xué)得到的結(jié)果與實(shí)際情況不同的原因分析。1.組成學(xué)習(xí)探究小組，集體討

4、論，互相啟發(fā)，形成可行的探究方案，獨(dú)立思考，完成每個(gè)人的“成果報(bào)告”。2. 任務(wù)1的建議：為了便于在坐標(biāo)系中觀察表中數(shù)據(jù)，選擇適當(dāng)?shù)挠?jì)量單位，如升旗時(shí)刻以10分之為一個(gè)單位，日期可以天為單位，即1月1日為第0天，12月31日為第364天；可借助圖形計(jì)算器或其它工具繪制各點(diǎn)，3.任務(wù)2的建議：利用自己的生活經(jīng)驗(yàn)，或者訪問(wèn)家長(zhǎng)、地理老師等，結(jié)合散點(diǎn)圖，選擇學(xué)過(guò)的適當(dāng)函數(shù)，作為刻畫(huà)該關(guān)系的模型；要應(yīng)注意關(guān)鍵數(shù)據(jù)（如最早升（降）旗時(shí)間和最遲升（降）旗時(shí)間等）在確定擬合函數(shù)參數(shù)中的作用；4任務(wù)3的建議：根據(jù)觀察坐標(biāo)平面上所繪制點(diǎn)的走向趨勢(shì)，可以考慮分段擬合函數(shù)。5“成果報(bào)告”的書(shū)寫建議成果報(bào)告可以下表形

5、式呈現(xiàn)。表1： 探究學(xué)習(xí)成果報(bào)告表 年級(jí) 班 完成時(shí)間 1、 課題組成員、分工、貢獻(xiàn)：成員姓名分工與主要工作或貢獻(xiàn)2、 探究的過(guò)程和結(jié)果：3、 參考文獻(xiàn)：4、 成果的自我評(píng)價(jià)：（請(qǐng)說(shuō)明方法或原理的合理性、特色或創(chuàng)新點(diǎn)、不足之處等）5、拓展（選做）：在解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)和提出的新問(wèn)題，可以延伸或拓廣的內(nèi)容；得到的新結(jié)果或猜想等6體會(huì)：描述在工作中的感受5成果交流：建議以小組為單位，選出代表，在班級(jí)中報(bào)告研究成果，交流研究體會(huì)。6評(píng)價(jià)建議：在評(píng)價(jià)中，采用自評(píng)、互評(píng)、教師評(píng)價(jià)相結(jié)合的形式，善于發(fā)現(xiàn)別人工作中的特色，以下幾個(gè)方面的內(nèi)容可作為重點(diǎn)考慮：（1）求解過(guò)程和結(jié)果：合理、清楚、簡(jiǎn)潔； （2）獨(dú)

6、到的思考和發(fā)現(xiàn)；（3）提出有價(jià)值的求解設(shè)計(jì)和有見(jiàn)地的新問(wèn)題；（4）發(fā)揮組員的特長(zhǎng)，合作學(xué)習(xí)的效果；（5）合理使用技術(shù)；（6）查閱文獻(xiàn)，獲取信息的能力。（三）教學(xué)參考信息第七屆數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用初賽試題題目：在不同地區(qū)，同一天的日出和日落時(shí)間不盡相同；對(duì)一個(gè)地區(qū)而言，日出日落時(shí)間有時(shí)雖日期的變化而變化的。北京的天安門廣場(chǎng)上的國(guó)旗每天伴著太陽(yáng)升起，伴著太陽(yáng)降落。表1是天安門廣場(chǎng)2003年部分日期的升旗時(shí)刻，表2是天安門廣場(chǎng)2004年2月部分日期的升旗時(shí)刻。請(qǐng)回答下面的問(wèn)題：（1）建立坐標(biāo)系，將表1數(shù)據(jù)描在坐標(biāo)系中；（2）根據(jù)已給數(shù)據(jù)建立數(shù)學(xué)模型，估算2004年“五一”國(guó)際勞動(dòng)節(jié)的升旗時(shí)間；（3）如果你打

7、算在“五一”觀看升旗，選擇什么時(shí)間到達(dá)觀看點(diǎn)？表1日期升旗時(shí)刻日期升旗時(shí)刻日期升旗時(shí)刻日期升旗時(shí)刻1月1日7：364月9日5：467月9日4：5310月8日6：171月21日7：314月28日5：197月27日5：0710月26日6：362月10日7：145月16日4：598月14日5：2411月13日6：563月2日6：476月3日4：479月2日5：4212月1日7：163月22日6：156月22日4：469月20日5：5912月20日7：31表2日期升旗時(shí)刻日期升旗時(shí)刻日期升旗時(shí)刻2月1日7：232月11日7：132月21日7：002月3日7：222月13日7：112月23日6：582月

8、5日7：202月15日7：082月25日6：552月7日7：172月17日7：062月27日6：522月9日7：152月19日7：032月29日6：49解：（1）將數(shù)據(jù)描在坐標(biāo)系中，如圖1-23（2）天體運(yùn)動(dòng)具有很強(qiáng)的周期性，所以日出日落時(shí)間成周期變化。觀察題內(nèi)兩表，2003年2月10日升旗時(shí)間是7：14，2004年2月9日是7：15，2月11日是7：13，可以認(rèn)為，在這幾天，兩年的升旗時(shí)間是相同的；2003年3月2日升旗時(shí)間是6：47，2004年2月27日是6：52，2月29日是6：49，再過(guò)兩天就是3月2日，顯見(jiàn)，在這幾天，兩年的升旗時(shí)間也是相同的。于是可以進(jìn)一步認(rèn)為，2003年和2004

9、年同期的升旗時(shí)間基本上是相同的。在觀察2003年的圖像，整體來(lái)看與余弦函數(shù)相象。但就局部來(lái)看，從2月末到5月中旬，這些點(diǎn)基本上是共直線的（5月1日正在這個(gè)范圍內(nèi)），從7月中旬到12月初也如此。因此，以線性函數(shù)為模型，用已知數(shù)值擬合出函數(shù)，估算五一節(jié)的升旗時(shí)間。圖123不妨設(shè)函數(shù)模型為y=ax+b x3 , 5.5取4月28日的5：19和5月16日的4：59，因?yàn)樯鞎r(shí)間是早上，所以5月16日就記作 ，5月1日就記作5，于是有：得 y=-0.5709x+8.114對(duì)于 x=5，有 y=-0.57095+8.114=5.265.26月為5：15所以，2004年“五一”國(guó)際勞動(dòng)節(jié)的升旗時(shí)間約為5：1

10、5。（3）因?yàn)?：15是個(gè)近似值，且是估值，為了確保不誤事，所以，2004年“五一”觀看升旗，就應(yīng)該在4：59（2003年5月16日的升旗時(shí)刻）至5：15這段時(shí)間到達(dá)。2 正方體截面的形狀（一）問(wèn)題情景與任務(wù)用一個(gè)平面去截正方體，截面的形狀是什么樣的？1給出分類的原則（例如：按截面圖形的邊數(shù)分類）。按照你的分類原則，能得到多少類不同的截面？設(shè)計(jì)一種方案，找到截得這些形狀截面的方法，并在正方體中畫(huà)出示意圖。2 如果截面是三角形，你認(rèn)為可以截出幾類不同的三角形？3 如果截面是四邊形，你認(rèn)為可以截出幾類不同的四邊形？4*. 證明上面的結(jié)果。5*. 截面多邊形的邊數(shù)最多有幾條？請(qǐng)說(shuō)明理由。6*. 截面

11、可能是正多邊形嗎？可能有幾種？畫(huà)出示意圖。 7*. 如果截面是三角形，其面積最大是多少？畫(huà)出示意圖。8*. 你還能提出哪些相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題？（二）實(shí)施建議與說(shuō)明該課題學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)的意圖1. 按課標(biāo)要求，在高中階段至少要有一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)和數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，而活動(dòng)的開(kāi)展是要有一個(gè)漸近的過(guò)程的，學(xué)生需要一個(gè)逐步適應(yīng)、了解和認(rèn)識(shí)自主探究、學(xué)習(xí)的過(guò)程，所以在本模塊設(shè)計(jì)該課題，是為實(shí)施更為完整的數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)做準(zhǔn)備。2. 該課題涉及內(nèi)容：點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及直觀圖畫(huà)法。涵蓋了立體幾何中的相當(dāng)多的概念、定理，本課題學(xué)習(xí)的過(guò)程是對(duì)立體幾何知識(shí)的一次全面的綜合應(yīng)用的過(guò)程。3. 該課題的學(xué)習(xí)很好的體現(xiàn)了立體幾何

12、初步一章的基本要求：有助于認(rèn)識(shí)空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想像能力、推理論證能力、運(yùn)用圖形語(yǔ)言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力。4. 在本章末安排該課題學(xué)習(xí)，一方面給學(xué)生提供一個(gè)施展所學(xué)的舞臺(tái)；另一方面，也達(dá)到了借此課題的研究促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)的應(yīng)用和反思，加深對(duì)空間圖形的認(rèn)識(shí)和理解。此外，該課題的學(xué)習(xí)有助于發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的過(guò)程，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)研究中直觀和嚴(yán)謹(jǐn)、感性猜測(cè)和理性推理的關(guān)系，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮自己的想像力和創(chuàng)造力。課題學(xué)習(xí)的實(shí)施建議采用形式：形式一（能有效節(jié)省課時(shí)，但要求學(xué)生已初步具備一些自主探索、學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)和能力）：首先分組（2-3人）進(jìn)行課下討論研究，適學(xué)生情況，可建議學(xué)

13、生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作進(jìn)行研究，最后形成小組的學(xué)習(xí)報(bào)告。然后，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)報(bào)告完成情況，在課上讓部分小組報(bào)告他們所得到的結(jié)果，闡述理由。并回答教師或其他學(xué)生提出的問(wèn)題，共同研究討論。形式二（需要較多課時(shí)，適合于沒(méi)有自主探究、學(xué)習(xí)的習(xí)慣和經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生，有利于他們初步認(rèn)識(shí)、了解自主學(xué)習(xí)的開(kāi)展）： 讓學(xué)生課前準(zhǔn)備幾個(gè)正方體模型，課堂上教師引導(dǎo)學(xué)生探索、討論、發(fā)現(xiàn)?？梢宰寣W(xué)生前后桌四人一組，對(duì)引導(dǎo)問(wèn)題逐一研究討論，分組報(bào)告研究結(jié)果，闡述理由，并接受教師和學(xué)生的質(zhì)疑。 對(duì)課上未能很好解決的問(wèn)題，或是由此而引發(fā)的新的問(wèn)題，可以布置給學(xué)生課下去探索、研究，并完成研究報(bào)告。根據(jù)情況，可以適當(dāng)安排時(shí)間讓學(xué)生報(bào)告。教學(xué)實(shí)

14、施中要注意的幾個(gè)問(wèn)題：1無(wú)論是課下指導(dǎo)，還是課上教學(xué)實(shí)施過(guò)程之中，教師都要注意引導(dǎo)學(xué)生從直觀、感性的猜測(cè)，到嚴(yán)密、理性的思考和推理論證上來(lái)，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到兩者在數(shù)學(xué)研究中的關(guān)系；注意引導(dǎo)學(xué)生積極地發(fā)現(xiàn)、吸納他人的長(zhǎng)處和優(yōu)點(diǎn)，使學(xué)生學(xué)會(huì)欣賞別人，并從中吸取友誼經(jīng)驗(yàn)；注意幫助學(xué)生清楚、一致地表述自己的觀點(diǎn)；注意幫助學(xué)生對(duì)自己的思維活動(dòng)進(jìn)行反思、調(diào)節(jié)自己的思維活動(dòng)。2采用形式一時(shí)，教師應(yīng)注意及時(shí)了解學(xué)生研究的進(jìn)展情況，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生自主研究、學(xué)習(xí)的指導(dǎo)；對(duì)沒(méi)能在課上進(jìn)行報(bào)告的小組，要進(jìn)行及時(shí)鼓勵(lì)性評(píng)價(jià)，積極肯定其長(zhǎng)處，并指出不足之處，做到關(guān)注每一個(gè)學(xué)生。目的是讓所有學(xué)生從中受益。3采用形式二時(shí)，教師除了

15、要關(guān)注1.中要點(diǎn)外，要特別注意是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行主動(dòng)研究、學(xué)習(xí)，而不是取而代之，自己給學(xué)生講解。此外，在布置的課下任務(wù)中，可以適當(dāng)拓寬一些，不必僅局限于該課題學(xué)習(xí)內(nèi)容本身。如：（）通過(guò)對(duì)正方體棱上點(diǎn)確定的截面的作圖方法的了解，利用幾何畫(huà)板制作課件，通過(guò)課件進(jìn)行研究。（）研究滿足某些特定條件的截面形狀及性質(zhì)：與棱平行的截面；與體對(duì)角線垂直的截面；等分正方體的截面等。（）一個(gè)裝有定量液體（不滿）的封閉中空的正方體隨著位置的某種規(guī)則（如：以一棱為軸旋轉(zhuǎn)）變化，液體與正方體各接觸面的面積有怎樣的性質(zhì)，各接觸面之間有怎樣的關(guān)系？處于何位置時(shí)接觸面最??？何位置時(shí)液面面積最小？（）研究其它幾何體截面形狀。4幫助

16、、指導(dǎo)學(xué)生完成課題學(xué)習(xí)報(bào)告特別是以下幾個(gè)方面：課題學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)的新問(wèn)題，可拓展的或與其相關(guān)的問(wèn)題；課題研究的自我評(píng)價(jià)，包括探究方法或原理的合理性、特色或創(chuàng)新點(diǎn)、不足之處等；課題學(xué)習(xí)的反思和體會(huì)，包括他人的哪些工作、研究方法是值得你學(xué)習(xí)借鑒的，某種特別的感受等。（三）教學(xué)參考信息1 課題學(xué)習(xí)報(bào)告的結(jié)構(gòu)形式：“正方體截面形狀問(wèn)題”課題學(xué)習(xí)報(bào)告 年級(jí) 班 完成時(shí)間 課題名稱：研究的簡(jiǎn)要過(guò)程和方法，相關(guān)信息及參考文獻(xiàn)的來(lái)源和出處等初步結(jié)論（寫明所得結(jié)論的性質(zhì)，如由實(shí)驗(yàn)觀察得到、猜想、已證、能證、待證、已構(gòu)造出、已找到實(shí)例等等）發(fā)現(xiàn)的新問(wèn)題、可拓展的、相關(guān)的問(wèn)題初步結(jié)論（寫明所得結(jié)論的性質(zhì)，如由實(shí)驗(yàn)觀察得

17、到、猜想、已證、能證、待證、已構(gòu)造出、已找到實(shí)例等等）課題探究的自我評(píng)價(jià)課題學(xué)習(xí)的反思和體會(huì)若上表填寫時(shí)地域不夠，可以自己增加副頁(yè)， 也可以自己設(shè)計(jì)一個(gè)研究報(bào)告的報(bào)表。babcc圖1-212課題研究的部分結(jié)論（1）多邊形的種類：三角形，四邊形，五邊形，六邊形。（2）截面三角形只能是銳角三角形（可以是等腰，等邊）.如圖1-21，由預(yù)先定理，所以邊a所對(duì)角為銳角，同理可得其余角也為銳角?；蛴蓤D可知邊a所對(duì)頂點(diǎn)在以a為直徑的圓外，所以該角為銳角，同理其余角也為銳角。（3）因?yàn)檎襟w的六個(gè)面中，有三對(duì)平行面，截面多邊形的邊是平面與正方體的面的交線，所以截面多邊形最多是六邊形，其中四邊形截面至少與一組平

18、行面相交，所以四邊形中至少有一對(duì)邊平行。截面多邊形可以是正方形，矩形，菱形，平行四邊形，等腰梯形，其它梯形。五邊形截面至少與兩組平行面相交，所以有兩組平行邊，所以必然有兩內(nèi)角相等。六邊形截面一定與三組平行面都相交，所以必有三組平行邊，所以有三組相等內(nèi)角。（4）截面多邊形可以是正三角形，正四邊形和正六邊形。建議教師提出下列相關(guān)引申的問(wèn)題： 滿足特定條件的截面多邊形形狀：*與正方體一棱垂直的平面，截得的截面多邊形只能是正方形；*與正方體的一條棱平行的平面，截出的截面多邊形只能有正方形，矩形；*與正方體的以體對(duì)角線垂直的平面，截得的截面多邊形只能有正三角形，各內(nèi)角相等的六邊形；過(guò)正方體中心的平面，截

19、得的截面都是中心對(duì)稱的多邊形，具體的只能有正方形，矩形，菱形，平行四邊形，對(duì)邊相等的六邊形；*與正方體的一面對(duì)角線平行的平面，截得的截面多邊形只能是等邊三角形，等腰三角形，等腰梯形，正方形，矩形，菱形，可拆分成一個(gè)等腰三角形和等腰梯形的五邊形，可拆分成兩個(gè)等腰梯形的六邊形。截面一定不會(huì)是以下幾種多邊形。*不可能是直角三角形和鈍角三角形。（證略）*不可能是直角梯形。圖1-22證明：如圖1-22，若，又由正方體性質(zhì)可得，所以，所以，所以，所以，所以，與是梯形矛盾。*不可能是正五邊形。證明：因?yàn)檎襟w有三對(duì)平行面，五條邊是截面與正方體六個(gè)面中的五個(gè)面的交線，其中至少有兩組平行面，由“一平面與平行平面

20、的兩交線互相平行”知，至少有兩組平行邊，所以顯然不可能是正五邊形。3.正方體水槽中的問(wèn)題側(cè)面：(1)側(cè)面多邊形的種類：三角形，四邊形，五邊形(2)側(cè)面多邊形性質(zhì)：三角形只能是直角三角形；四邊形是直角梯形或矩形；五邊形必有且僅有相鄰三內(nèi)角為直角(3)正方體位置與側(cè)面形狀的關(guān)系正方體一面著地時(shí)：側(cè)面多邊形為矩形。僅一條棱著地時(shí)：a含該棱或與該棱平行的一組側(cè)面為矩形，另一組側(cè)面為全等直角三角形或直角梯形或五邊形b若水體積不變，形狀為直角三角形或直角梯形或五邊形的側(cè)面面積不隨傾斜度的變化而變化（即使形狀由梯形變到五邊形也不變）c若水體積不變，且一組側(cè)面為直角梯形時(shí)，另一組側(cè)面面積之和為定值，定值等于直

21、角梯形面積的兩倍，或者說(shuō)此時(shí)各側(cè)面面積之和不變。d若水體積不變且一組側(cè)面為直角三角形時(shí)，另一組側(cè)面面積的積為定值僅有一頂點(diǎn)著地時(shí)a若過(guò)著地頂點(diǎn)的體對(duì)角線與地面垂直時(shí)，水側(cè)面多邊形僅有兩種：等腰直角三角形和五邊形；b若僅三個(gè)側(cè)面時(shí)，則三側(cè)面都是直角三角形，且三個(gè)三角形的面積之積為定值（水體積不變條件下）。 水面與側(cè)面關(guān)系:正方體中水面面積的平方等于水側(cè)面的三組相對(duì)面面積差的平方和（包括退化情形）。相似拓展問(wèn)題：正四面體的截面形狀有三角形（銳角或直角），四邊形；四邊形截面只可以是正方形，矩形，等腰梯形，無(wú)平行邊的四邊形。當(dāng)截面與一對(duì)棱平行時(shí)，四邊形截面面積的最大值問(wèn)題設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為a，截面一邊長(zhǎng)

22、為m，則由比例關(guān)系可得另一邊為am，所以截面面積m(am)，此時(shí)截面為正方形。與不在同一平面內(nèi)的四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的截面有7個(gè)。分類：*三個(gè)頂點(diǎn)在截面的同一側(cè)，另一頂點(diǎn)在平面另一側(cè)時(shí)有4個(gè)平面；*截面兩側(cè)各兩個(gè)頂點(diǎn)時(shí)有3個(gè)平面。3打包問(wèn)題 （一）問(wèn)題情景和任務(wù)問(wèn)題情景：有些商品是若干件被裝在一起按包銷售的，例如一包火柴中裝有10盒火柴、一大包紙巾中裝有10小包紙巾、一條香煙中裝有10包香煙等。不同商品的打包形式常常不同，請(qǐng)同學(xué)們收集一些這樣的商品，先看其外觀，再打開(kāi)包裝看內(nèi)部的擺放形式。哪一種包裝形式更能節(jié)省外包裝材料呢？為了討論方便，我們先來(lái)定義一種“規(guī)則打包”法，這是指包內(nèi)的物體都是長(zhǎng)方體，

23、打包時(shí)要求包內(nèi)的相鄰兩物必須以全等的兩個(gè)側(cè)面來(lái)對(duì)接，打包后的結(jié)果仍是一個(gè)長(zhǎng)方體。這樣，我們就可以更數(shù)學(xué)化地提問(wèn)：火柴等長(zhǎng)方體的物品，按“規(guī)則打包”的方法將10包打成一個(gè)大包，表面積何時(shí)最小？任務(wù)1：請(qǐng)先就10包紙巾來(lái)討論一下按“規(guī)則打包”的形式將10包紙巾打成一個(gè)長(zhǎng)方體的大包，怎樣打包可使表面積最?。咳蝿?wù)2：請(qǐng)根據(jù)得到的結(jié)果，分別給出將以下10件以下物品打包后，具有最小表面積的打包形式： （1）一盒火柴：長(zhǎng)46mm 寬36mm 高16mm （2） 一本書(shū)：長(zhǎng)183mm 寬129mm 高20mm任務(wù)3：解決下面的問(wèn)題：（1） 不給出待打包的“基本長(zhǎng)方體”的長(zhǎng)（a）、寬（b）、高（c）的具體尺寸，

24、而只給abc，你能知道按“規(guī)則打包”的形式將10個(gè)“基本長(zhǎng)方體”打成一個(gè)長(zhǎng)方體的大包，怎樣打包可使表面積最??？ （2） 數(shù)學(xué)上得到的10包紙巾表面積最小的打包形式和紙巾實(shí)際的打包形式一致嗎？為什么？圖1-1（3） 將包紙巾按“規(guī)則打包”的形式打成一包，表面積不同的打包方式有幾種？其中表面積最小的打包方式是怎樣的？ （5*）將上題中的包改成12包或包，結(jié)果怎樣？有沒(méi)有一個(gè)更一般的處理這類問(wèn)題程序？（6*）你能設(shè)計(jì)一個(gè)其他類型的打包問(wèn)題嗎？由打包問(wèn)題你還能聯(lián)想到那些相關(guān)的問(wèn)題？你有解決這些問(wèn)題的想法或方案嗎？（二）實(shí)施建議和說(shuō)明1可以組成學(xué)習(xí)探究小組，集體討論，互相啟發(fā)，分工合作，形成具體可行的探

25、究方案，再形成每一個(gè)人的“成果報(bào)告”。圖1-22對(duì)完成任務(wù)1的建議：（1）初步觀察：先把10包紙巾擺成圖1-1的樣子，再改擺成圖1-2的樣子，哪一種擺法表面積?。浚?）測(cè)量基本數(shù)據(jù)：一包紙巾的外形尺寸是多少？ （3）分組討論求解的方案：建議先試著擺出幾種打包方案，對(duì)每一種打包方案由具體數(shù)據(jù)算出面積，再?gòu)闹刑舫鲎钚〉?。這樣，按規(guī)則打包的規(guī)定，10包紙巾打成一包，到底有幾種不同的擺放方式，就是問(wèn)題的難點(diǎn)和關(guān)鍵所在。不妨動(dòng)手?jǐn)[一擺、畫(huà)一畫(huà)。3對(duì)完成任務(wù)3的建議：對(duì)應(yīng)于每一種擺放形式，如果用a、b、c分別表示一個(gè)“基本長(zhǎng)方體”的長(zhǎng)、寬、高，其中abc，可以得到表面積表達(dá)式，用代數(shù)的方法比較大小。4“成

26、果報(bào)告”的書(shū)寫建議成果報(bào)告可以用下表的形式呈現(xiàn)。表1：“打包問(wèn)題”探究學(xué)習(xí)成果報(bào)告表 年級(jí) 班 完成時(shí)間 1、課題組成員、分工、貢獻(xiàn)：成員姓名分工與主要工作或貢獻(xiàn)2、探究的過(guò)程和結(jié)果：3、參考文獻(xiàn)：4、成果的自我評(píng)價(jià)：（請(qǐng)說(shuō)明方法或原理的合理性、特色或創(chuàng)新點(diǎn)、不足之處等）5、拓展（選做）：在解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)和提出的新問(wèn)題，可以延伸或拓廣的內(nèi)容；得到的新結(jié)果或猜想等6體會(huì)：描述在工作中的感受5成果交流：建議以小組為單位，選出代表，在班級(jí)中報(bào)告研究成果，交流研究體會(huì)。6評(píng)價(jià)建議：采用自評(píng)、互評(píng)、教師評(píng)價(jià)相結(jié)合的形式，要善于發(fā)現(xiàn)別人工作中的特色，可主要考慮以下幾個(gè)方面：（1）求解過(guò)程和結(jié)果：合理

27、、清楚、簡(jiǎn)潔、正確； （2）獨(dú)到的思考和發(fā)現(xiàn)；（3）提出有價(jià)值的求解設(shè)計(jì)和有見(jiàn)地的新問(wèn)題；（4）發(fā)揮組員的特長(zhǎng)，合作學(xué)習(xí)的效果。（三）教學(xué)參考信息 打包問(wèn)題的教學(xué)實(shí)況與說(shuō)明背景：這是一個(gè)在小學(xué)高年級(jí)、初中、高中課堂上做過(guò)多次的數(shù)學(xué)建模討論課。比如以香煙盒的打包問(wèn)題為背景，讓學(xué)生體驗(yàn)面積極值問(wèn)題的求解過(guò)程，對(duì)象可以是高一或高二的學(xué)生。事實(shí)上這個(gè)問(wèn)題涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)可多（如后面的擴(kuò)充部分）可少（如只通過(guò)計(jì)算解決十包煙的打包問(wèn)題），經(jīng)過(guò)適當(dāng)改造，也可以用于初中甚至小學(xué)高年級(jí)學(xué)生，若加上后面引申的問(wèn)題，則可作成數(shù)學(xué)課外興趣小組的活動(dòng)素材，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)研究性學(xué)習(xí)的方式解決問(wèn)題。一、課堂實(shí)錄與說(shuō)明教師在全班

28、展示事先準(zhǔn)備的一包（內(nèi)裝盒）火柴和一條香煙，可先看其外觀，再打開(kāi)包裝看內(nèi)部的擺放形式，然后教師向?qū)W生敘述下列問(wèn)題：一般地，市場(chǎng)上一包火柴內(nèi)裝盒火柴；一條香煙內(nèi)裝包香煙。它們打包作外包裝的形式一樣嗎？哪一種包裝形式更能節(jié)省外包裝材料呢？為了討論方便，我們先來(lái)定義一種“規(guī)則打包”法，這是指打包時(shí)要求包內(nèi)的相鄰兩物必須以全等的兩個(gè)側(cè)面來(lái)對(duì)接。打包后的結(jié)果仍是一個(gè)長(zhǎng)方體。我們可以更數(shù)學(xué)地提問(wèn)：火柴、香煙或其它長(zhǎng)方體的物品，按“規(guī)則打包”的形式將包打成一個(gè)大包，怎樣打包可使表面積最?。繛榱斯?jié)省時(shí)間，請(qǐng)大家先就包香煙來(lái)討論一下求解的方案。圖1-3圖1-4 【說(shuō)明】為了使低年級(jí)的學(xué)生對(duì)問(wèn)題的意義更清楚，教師

29、應(yīng)注意問(wèn)題描述的直觀性。比如“規(guī)則打包”的實(shí)物演示，非“規(guī)則打包”的實(shí)物演示。為了使學(xué)生對(duì)“表面積最小”有所理解，教師可以先把包香煙擺成圖13的樣子，再改擺成圖14的樣子，問(wèn)學(xué)生哪一種擺法表面積小，再問(wèn)表面積最小的擺法是什么，學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解就清楚了。學(xué)生A：老師，您能告訴我們一包香煙盒的外形尺寸嗎？教師：可以，香煙盒的外形尺寸是a=88mm，b=58mm，c=22mm。 討論五分種以后，教師在教室中巡視發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生的草稿紙上都有了對(duì)幾種擺放形式的表面積計(jì)算結(jié)果。教師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你們討論的解題方案是什么？學(xué)生B：先試著擺出幾種打包方案，對(duì)每一種打包方案由具體數(shù)據(jù)算出面積，再?gòu)闹刑舫鲎钚〉模鼘?duì)

30、應(yīng)的打包方案就是我們所要的。教師：小B同學(xué)的想法很好，請(qǐng)問(wèn)你已經(jīng)找到了幾種打包方案？學(xué)生C：種。教師：你覺(jué)得找全了嗎？學(xué)生C：不清楚，好象還有。教師：其它同學(xué)找到幾種打包方案？學(xué)生眾人：種、種、種、教師：到底有幾種呢？我們看到如果我們按照小B同學(xué)的路子走，第一個(gè)要解決的問(wèn)題就是，按規(guī)則打包的規(guī)定，包香煙打成一包，到底有幾種不同的擺放方式。這才是問(wèn)題的難點(diǎn)和關(guān)鍵所在。好，讓我們一起先來(lái)攻破這個(gè)難點(diǎn)，誰(shuí)想好了所有可能的打包形式，可以在黑板上畫(huà)出打包擺放的示意圖。五分鐘以后，教師請(qǐng)三位同學(xué)在黑板上畫(huà)他們?cè)O(shè)計(jì)的種不同的打包方案?！菊f(shuō)明】畫(huà)出打包方案的立體擺放的示意圖，對(duì)初中的學(xué)生是一個(gè)難點(diǎn)?？梢愿某捎?/p>

31、實(shí)物作各種擺放方案的演示，讓其它學(xué)生記錄擺放的種數(shù)。說(shuō)明只有種不同的打包方案對(duì)初中學(xué)生也是一個(gè)難點(diǎn)，下面是一個(gè)把作圖和說(shuō)明結(jié)合起來(lái)的方案。一個(gè)長(zhǎng)方體煙盒有三個(gè)大小不同的面，把它們分別標(biāo)記為X、Y、Z，如圖1-5。在不混淆的情況下，可將這三個(gè)面的面積仍記為X、Y、Z，?，F(xiàn)在我們把10寫成3個(gè)因數(shù)的積，如1××，它可以表示X、Y、Z方向上可以對(duì)接的煙盒的個(gè)數(shù)，于是：×1×，對(duì)應(yīng)圖1-6，它表示X方向上接10盒，而Y、Z方向上只是一盒；同理：1××，對(duì)應(yīng)圖1-7； 1××，對(duì)應(yīng)圖1-8。ZXY 圖1-5 圖1-6圖1-7

32、 圖18 圖1 - 9圖1 10 （對(duì)應(yīng)10 = 2×5×1） 圖1- 11 （對(duì)應(yīng) 10 = 2 × 1 × 5）“10”的另一種分解10 = 1××型的打包方式中，“”的方式就有三種，如圖1-9。 圖1-12（對(duì)應(yīng) 10 = 5×2×1） 圖1-13 （對(duì)應(yīng) 10 = 1×2×5） 圖1- 14 （ 對(duì)應(yīng)10 = 1×5×2） 圖1- 15 （對(duì)應(yīng) 10 = 5×1×2）對(duì)于其中的每一種，“乘”的方式還有兩種，故總計(jì)有六種打包方式，見(jiàn)上圖(圖1-10至

33、圖1-15)以上分析過(guò)程，教師可以稍做啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生自己找出所有不同的打包方式。 當(dāng)黑板上已出現(xiàn)了種打包擺放示意圖后，教師問(wèn)學(xué)生現(xiàn)在可以做什么？ 學(xué)生眾答：可以分別計(jì)算面積。其中5104mm，1936mm，1276mm。幾分鐘后，學(xué)生對(duì)上面的每一種擺放的方法，分別算出它們的表面積。結(jié)果如下：×型： ； ； ； ×型：； ； ； ； ； 。 由計(jì)算發(fā)現(xiàn)：十包香煙表面積最小的打包方法是：第六種（如圖2-10）所示，它對(duì)應(yīng)的最小表面積是：65296。 教師引導(dǎo)進(jìn)一步的討論。 教師：看起來(lái)我們的問(wèn)題已經(jīng)解決，但我還有幾個(gè)問(wèn)題想不明白，一個(gè)是不給出、的具體尺寸而只給，你能知道哪一種打

34、包形式表面積最小嗎？還有一個(gè)問(wèn)題是：是不是包長(zhǎng)方體的物體打成一包，第六種打包形式一定是表面積最小的呢？再一個(gè)問(wèn)題是，既然對(duì)香煙來(lái)說(shuō)第六種打包形式的表面積最小，可為什么外面買的香煙都不是這樣打包，而是用如（見(jiàn)圖131）圖所示的形式打包的呢？請(qǐng)你們幫助我把這幾個(gè)問(wèn)題想明白，告訴我好嗎？ 【說(shuō)明】教師不是以“總是正確的指導(dǎo)者”的面目出現(xiàn)，而是表現(xiàn)出自己“也想不明白”。這樣的問(wèn)題引入方式更有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)思考的積極性，培養(yǎng)不迷信“權(quán)威”的進(jìn)取精神和創(chuàng)造意識(shí)。 學(xué)生熱烈討論后提出多種想法： 學(xué)生D：我們可以寫出各種打包形式下的種表面積的代數(shù)式，如上面式前半部分，不用計(jì)算出具體數(shù)字的結(jié)果，我們就可以看出

35、大小。 教師：怎么看？我怎么看不出來(lái)？ 學(xué)生D：因?yàn)椋缘恼禂?shù)越小面積就越小。 學(xué)生E：面積大的面被對(duì)接的越多，面積被抵銷的也越多，打包后的表面積就越小。 教師：想得很好，請(qǐng)你給大家說(shuō)說(shuō)，式和式不看計(jì)算的結(jié)果，哪個(gè)面積??？為什么？ 學(xué)生E：因?yàn)?0（）。 教師：式和式呢？ 學(xué)生E：式不，象是式，一下子說(shuō)不清。 學(xué)生F：要分情況討論，1010（）；當(dāng)時(shí)，式對(duì)應(yīng)的面積小；當(dāng)時(shí)，式對(duì)應(yīng)的面積小。 教師：想得漂亮，誰(shuí)能把上面討論的結(jié)果再歸納得更完整一些？ 學(xué)生G：個(gè)一樣的長(zhǎng)方體的規(guī)則打包問(wèn)題的最小表面積的打包方法可以這樣確定，根據(jù)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高，確定a，b，c 的代表對(duì)象，使得abc。這樣，當(dāng)

36、然就有。根據(jù)前面的討論，式中最小，（教師補(bǔ)充：這只要作差，判斷它們的正負(fù)號(hào)，就可以知道這個(gè)結(jié)論是正確的）。同理式中式最小，最后再比較式和式就可以知道當(dāng)時(shí)，式對(duì)應(yīng)的面積小，此時(shí)應(yīng)按照?qǐng)D2-10的方式表面積最??；當(dāng)時(shí)，式對(duì)應(yīng)的面積小。此時(shí)應(yīng)按照?qǐng)D2-4的形式打包。 學(xué)生H：老師，他的結(jié)論已經(jīng)回答了您說(shuō)的第二個(gè)問(wèn)題，式所對(duì)應(yīng)的打包形式不一定總是表面積最小的，當(dāng)ca時(shí)就不對(duì)。 學(xué)生I：我覺(jué)得您提的第三個(gè)問(wèn)題應(yīng)該這樣考慮，表面積最小的打包方式不一定是美觀和實(shí)用的，外面買的香煙的打的包比較長(zhǎng)，我想主要是為了顧客好拿。學(xué)生J：長(zhǎng)條的煙拿著“有派”，。學(xué)生K：往大箱子里放比較方便。教師補(bǔ)充：我想打包的表面積最

37、小和最省包裝材料并不十分一致，因?yàn)橥獍b的兩端都有粘貼部分，這些地方的面積就有重疊。另外，作外包裝的盒子時(shí)，是從一張更大的紙上下的料，因此這時(shí)“節(jié)約”所考慮的問(wèn)題不是打包的表面積小，而是下料后的殘料盡可能的小。【說(shuō)明】將問(wèn)題的條件一般化，使結(jié)果有更好的適應(yīng)性；數(shù)學(xué)建模的結(jié)果不一定和實(shí)際情況很吻合，分析其中的原因等都是教師在建模教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生思考發(fā)揮學(xué)生創(chuàng)造性的“用武之地”。給學(xué)生提問(wèn)題留出時(shí)間和機(jī)會(huì)教師：大家的想法都很有道理，看起來(lái)只要我們認(rèn)真去思考，還會(huì)有新的問(wèn)題和發(fā)現(xiàn)。從這個(gè)問(wèn)題的解決過(guò)程看，同學(xué)們還有什么問(wèn)題，還有什么你自己的發(fā)現(xiàn)？學(xué)生M：老師，我覺(jué)得打包后的立方體越接近于一個(gè)正方體，它

38、的表面積就越小。(教師插話：為什么？)學(xué)生：我也只是“覺(jué)得”從這兒想是不是能很快解決打包問(wèn)題。道理還沒(méi)有想好。【說(shuō)明】多好的數(shù)學(xué)直覺(jué)！若是高中學(xué)生，就可以引導(dǎo)他們從這條路走下去，借助于不等式知識(shí)建立另一種解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。教師：你的想法非常好，也許你會(huì)找到一條解決問(wèn)題的捷徑，但首先要把“覺(jué)得”變成數(shù)學(xué)的事實(shí)，我給你提一個(gè)建議，課后找一些同學(xué)一起進(jìn)一步研究討論，也許需要看一點(diǎn)有關(guān)不等式的參考書(shū)，希望你們能把這“新路”走通，說(shuō)不定還有更多的發(fā)現(xiàn)呢。學(xué)生：我想的另一個(gè)問(wèn)題是，從香煙盒的外形數(shù)據(jù)來(lái)看×，如果我把兩 圖 1-16盒香煙移到下圖的位置，有沒(méi)有可能使表面積變?。?教師：對(duì)小同學(xué)提

39、的問(wèn)題，其它同學(xué)有什么看法？ 學(xué)生P：我覺(jué)得表面積沒(méi)有變化，只是多了兩個(gè)面積、少了個(gè)面積，而，所以表面積的不變。 教師：回答的很好，其實(shí)小同學(xué)的問(wèn)題給我們的另一個(gè)啟示是，不必“規(guī)則”打包，只保證打包后的結(jié)果是一個(gè)長(zhǎng)方體，怎樣打包可使表面積最??？這是一類新的更復(fù)雜的打包問(wèn)題，我想這是大家課后討論研究的很好素材，希望看到大家的研究成果。6思維訓(xùn)練教師：下面我們從思維層面來(lái)做幾分鐘提問(wèn)題的練習(xí)，請(qǐng)同學(xué)們看屏幕：大家可以相互議論一下，有想法的同學(xué)可以站起來(lái)說(shuō)屏幕出現(xiàn)以下提示語(yǔ)：你能設(shè)計(jì)一個(gè)新的打包問(wèn)題嗎？由打包問(wèn)題你還能聯(lián)想到那些相關(guān)的問(wèn)題？ 你有解決這些問(wèn)題的初步想法或方案嗎？ 學(xué)生們熱烈討論，不少同學(xué)搶著發(fā)言，主要內(nèi)容有：-可以提出火柴打包、書(shū)籍打包面積表最小的問(wèn)題；-把長(zhǎng)方體改成，圓柱就是一個(gè)“飲料罐的打包問(wèn)題”，有幾個(gè)同學(xué)認(rèn)為解決這個(gè)問(wèn)題可以化歸成“規(guī)則打包”問(wèn)題，因?yàn)橹灰讶鹊娘嬃瞎薜耐饨娱L(zhǎng)方體作為研究對(duì)象就可以了，更多的同學(xué)不同意這種觀點(diǎn)，認(rèn)為圓柱有特殊性，圓柱之間的空隙是可以被更有效地利用的。-可以更一般地提出容積一定，表面積最小的極值問(wèn)題，有學(xué)生猜想越接近于“球”的形狀結(jié)果越好，有同學(xué)提出可以物理的表面張力