奇偶分析知識講解

1、奇偶分析我們知道，全體自然數(shù)按被2除的余數(shù)不同可以劃分為奇數(shù)與偶數(shù)兩大類。 被2除余1的屬于一類，被2整除的屬于另一類。前一類中的數(shù)叫做奇數(shù)，后一 類中的數(shù)叫做偶數(shù)。關(guān)于奇偶數(shù)有一些特殊性質(zhì)，比如，奇數(shù)工偶數(shù)，奇數(shù)個奇 數(shù)之和是奇數(shù)等。靈活、巧妙、有意識地利用這些性質(zhì)，加上正確的分析推理， 可以解決許多復雜而有趣的問題。用奇偶數(shù)性質(zhì)解題的方法稱為奇偶分析， 善于 運用奇偶分析，往往有意想不到的效果。例1下表中有15個數(shù)，選出5個數(shù)，使它們的和等于30，你能做到嗎？為什么？13 "5791357913579分析與解：如果一個一個去找、去試、去算，那就太費事了。因為無論你選 擇哪5個數(shù)，

2、它們的和總不等于 30，而且你還不敢馬上斷言這是做不到的。最 簡單的方法是利用奇偶數(shù)的性質(zhì)來解，因為奇數(shù)個奇數(shù)之和仍是奇數(shù)，表中15個數(shù)全是奇數(shù)，所以要想從中找出 5個使它們的和為偶數(shù)，是不可能的。 例2小華買了一本共有96張練習紙的練習本，并依次將它的各面編號（即由第 1面一直編到第192面）。小麗從該練習本中撕下其中 25張紙，并將寫在它們 上面的50個編號相加。試問，小麗所加得的和數(shù)能否為2000?解：不能由于每一張上的兩數(shù)之和都為奇數(shù)，而 25個奇數(shù)之和為奇數(shù)，故不可能為 2000。說明：“相鄰兩個自然數(shù)的和一定是奇數(shù)”，這條性質(zhì)幾乎是顯然的，但在 解題過程中，能有意識地運用它卻不容易

3、做到，這要靠同學們多練習、多總結(jié)。 例3有98個孩子，每人胸前有一個號碼，號碼從 1到98各不相同。試問：能 否將這些孩子排成若干排，使每排中都有一個孩子的號碼數(shù)等于同排中其余孩子 號碼數(shù)的和？并說明理由。解：不能如果可以按要求排成，每排中都有一個孩子的號碼數(shù)等于同排中其余孩子號 碼數(shù)的和，那么每一排中各號碼數(shù)之和都是某一個孩子號碼數(shù)的2倍，是個偶數(shù)所以這98個號碼數(shù)的總和是個偶數(shù)，但是這 98個數(shù)的總和為1+2+98=99X 49,是個奇數(shù)，矛盾！所以不能按要求排成。例4如右圖，把圖中的圓圈任意涂上紅色或藍色。問：有無可能使得在同一條 直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？請說明理由。解：不可能如果每條直

4、線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)， 而五角星有五條邊，奇數(shù)個奇數(shù)之和為 奇數(shù)，那么五條線上的紅圈共有奇數(shù)個（包括重復的）。從另一個角度看，由于 每個圓圈是兩條直線的交點，則每個圓圈都要計算兩次，因此，每個紅圈也都算 了兩次，總個數(shù)應為偶數(shù)，得出矛盾。所以，不可能使得在同一條直線上的紅圈 數(shù)都是奇數(shù)。說明：上述兩題都是從兩個不同的角度去分析處理同一個量， 而引出矛盾的。 例5 一個俱樂部里的成員只有兩種人：一種是老實人，永遠說真話；一種是騙 子，永遠說假話。某天俱樂部的全體成員圍坐成一圈，每個老實人兩旁都是騙子， 每個騙子兩旁都是老實人。外來一位記者問俱樂部的成員張三：“俱樂部里共有 多少成員？ ”張三答：

5、“共有45人?！绷硪粋€成員李四說：“張三是老實人?！?請判斷李四是老實人還是騙子？分析與解：根據(jù)俱樂部的全體成員圍坐一圈，每個老實人兩旁都是騙子，每 個騙子兩旁都是老實人的條件，可知俱樂部中的老實人與騙子的人數(shù)相等， 也就 是說俱樂部的全體成員總和是偶數(shù)。而張三說共有 45人是奇數(shù)，這說明張三是 騙子，而李四說張三是老實人，說了假話，所以李四也是騙子。說明：解答此題的關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)條件導出老實人與騙子的人數(shù)相等，這里實質(zhì)上利用了對應的思想。類似的問題是：圍棋盤上有19X19個交叉點，現(xiàn)在放滿了黑子與白子，且黑子與白子相間 地放，并使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉點上放著白子（或黑子）。

6、 問：能否把黑子全移到原來的白子的位置上，而白子也全移到原來黑子的位置 上?提示：仿例6。答：不能。例6某市五年級99名同學參加數(shù)學競賽，競賽題共 30道，評分標準是基礎(chǔ)分 15分，答對一道加5分，不答記1分，答錯一道倒扣1分。問：所有參賽同學 得分總和是奇數(shù)還是偶數(shù)？解：對每個參賽同學來說，每題都答對共可得165分，是奇數(shù)。如答錯一題， 就要從165分中減去6分，不管錯幾道，6的倍數(shù)都是偶數(shù)，165減去偶數(shù)，差 還是奇數(shù)。同樣道理，如有一題不答，就要減去 4分，并且不管有幾道題不答， 4的倍數(shù)都是偶數(shù)，因此，從總分中減去的仍是偶數(shù)，所以每個同學的得分為奇 數(shù)。而奇數(shù)個奇數(shù)之和仍為奇數(shù)，故 9

7、9名同學得分總和一定是奇數(shù)。例7桌上放有77枚正面朝下的硬幣，第1次翻動77枚，第2次翻動其中的76 枚，第3次翻動其中的75枚第77次翻動其中的1枚。按這樣的方法翻動硬 幣，能否使桌上所有的77枚硬幣都正面朝上？說明你的理由。分析：對每一枚硬幣來說，只要翻動奇數(shù)次，就可使原先朝下的一面朝上。 這一事實，對我們解決這個問題起著關(guān)鍵性作用。解：按規(guī)定的翻動，共翻動1+2+77=77X 39次，平均每枚硬幣翻動了 39 次，這是奇數(shù)。因此，對每一枚硬幣來說，都可以使原先朝下的一面翻朝上。注 意到77 X 39=77+(76+1) + (75+2) + + (39+38),根據(jù)規(guī)定，可以設(shè)計如下的翻

8、動方法：第1次翻動77枚，可以將每枚硬幣都翻動一次；第 2次與第77次共翻動 77枚，又可將每枚硬幣都翻動一次；同理，第 3次與第76次，第4次與第75 次第39次與第40次都可將每枚硬幣各翻動一次。這樣每枚硬幣都翻動了 39次，都由正面朝下變?yōu)檎娉?。說明：(1)此題也可從簡單情形入手(如 9枚硬幣的情形)，按規(guī)定的翻 法翻動硬幣，從中獲得啟發(fā)。(2)對有關(guān)正、反，開、關(guān)等實際問題通常可化為用奇偶數(shù)關(guān)系討論。嶇J昭1、什么叫奇數(shù)？什么叫偶數(shù)？2、奇數(shù)土奇數(shù)=()數(shù) 奇數(shù)土偶數(shù)=( )數(shù) 偶數(shù)土偶數(shù)=()數(shù)3、奇數(shù)X奇數(shù)=(1 . 1+2 + 3 + 4 + 2004的結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)?)

9、數(shù) 奇數(shù)X偶數(shù)=( )數(shù)偶數(shù)X偶數(shù)=()數(shù)2. 65個連續(xù)自然數(shù)相加，和是奇數(shù)還是偶數(shù)？3 .次宴會上，客人們相互握手，每兩人之間都握一次手，問握手總次數(shù)是奇 數(shù)還是偶數(shù)？4 .老師拿出10張卡片，上面分別寫著2、4、6、8、10、12、14、16、18、20十個數(shù)，要求大家很快地從中找出 3張卡片，使3張卡片上數(shù)字的和是23,你 能做到嗎？為什么？5.有3只杯子全部口朝下蓋在桌上，每次翻動其中兩只，能不能經(jīng)過若干次翻動后，使杯口全部朝上？6 “六一”節(jié)這天，海安實小五年級學生參加智力競賽，競賽題共20道。評分標準是：基礎(chǔ)分15分，答對一道加5分，不答加1分，答錯一道倒扣1分。 如果有101名

10、同學參加競賽，則所有參賽同學所得分數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？7免子繁殖率很高，按月繁殖的只數(shù)可以排成一串數(shù)列，它的規(guī)律是：頭兩個 數(shù)都是1，從第三個數(shù)開始，每一個數(shù)都是前兩個數(shù)的和，也就是 1、1、2、3、 5、8 13、21、，這叫兔子數(shù)列，想一想，這串數(shù)的前 30個數(shù)中有多少個 奇數(shù)？2. ()選擇第一部分必做題中間一個數(shù)是 a，其余兩個數(shù)是（）和（）奇數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)=()奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)+偶數(shù)+偶數(shù)二()奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)X偶數(shù)偶數(shù)二()奇數(shù)偶數(shù)偶數(shù)X偶數(shù)偶數(shù)二()奇數(shù)偶數(shù) m為整數(shù)，2計1是（奇數(shù)偶數(shù)）;6m 3是（）；8m6 是（）。 從1開始算起24個連續(xù)偶數(shù)的和是（），24個連續(xù)奇數(shù)的和是（）一定

11、是奇數(shù)一定是偶數(shù)可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)3. （） 一本作業(yè)本120張紙，依次將它的每一張編號。（從第一頁一直編到 第240頁）從這本作業(yè)本上撕下20張，并將每一張的頁碼相加，加得的和 可能是1997嗎？4. （） 一個數(shù)分別與另外兩個相鄰偶數(shù)相乘，所得的兩個積相差150，這個數(shù)是多少?5. ()有一列數(shù)：1、3、4、7、11、18、29這列數(shù)排列的規(guī)律是第三個數(shù)開始，每個數(shù)都是前兩個數(shù)的和，問在前 50 個數(shù)中，有多少個奇數(shù)？6. 有5個杯子全部口朝上放在桌上，每次翻動其中四個，能不能經(jīng)過若干次翻 動后，使杯口全部朝下？7. ()有10只杯子全部口朝下放在盤子里，你能否每次翻動 4只杯子，經(jīng)

12、過若干次翻動后將杯子全部翻成口朝上？第二部分 選做題8. ()車棚里有自行車和三輪車，如果車子數(shù)和輪子數(shù)都是奇數(shù)， 那么自行車和三輪車的輛數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？9. ()某班同學參加數(shù)學競賽，每張試卷上有試題 50道。評分方法是：答對一道給 3 分，不答給 1 分，答錯倒扣 1 分。請說明該班同學得分的總和一定是 偶數(shù)？10（ ）禮堂里有 10 盞電燈，每盞燈由一根燈繩控制，拉一下亮，再拉一 下熄。 10 個學生依次進入禮堂，第 1個學生把 1的倍數(shù)的燈繩拉一下，燈全亮 了，第二個學生把2的倍數(shù)的燈繩拉一下，第3個把3的倍數(shù)的燈繩拉一下 第 10 個學生把 10 的倍數(shù)的燈繩拉一下。最后，禮堂里哪些燈是亮的？11（ ）少年宮藝術(shù)班共有 25 名同學，教室座位恰好排成 5 行，每行 5 個 座位，把每一個座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的鄰位。問：讓這 25 個學生都離開原座位坐到原座位的鄰位，是否可行？12（ ）在黑板上寫（ 2， 4， 6）3 個數(shù)，把其中的任一個封掉后，改寫成 其余兩數(shù)的和減 1，得（ 2