高中數(shù)學(xué)-必修二-圓與方程-經(jīng)典例題--整理

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上習(xí)題精選精講圓標(biāo)準(zhǔn)方程 已知圓心和半徑，即得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，即得圓心和半徑，進(jìn)而可解得與圓有關(guān)的任何問題.一、求圓的方程例1 以點(diǎn)為圓心且與直線相切的圓的方程為( )(A) (B)(C) (D)二、位置關(guān)系問題例2 直線與圓沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是( )(A) (B)(C) (D)三、切線問題例3 (06重慶卷理) 過坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓相切的直線方程為( )(A)或 (B)或(C)或 (D)或四、弦長(zhǎng)問題例4設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且弦的長(zhǎng)為，則 .五、夾角問題例5 從圓外一點(diǎn)向這個(gè)圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為( )(A) (B) (C) (D)

2、0六、圓心角問題例6 過點(diǎn)的直線將圓分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線的斜率 .七、最值問題例7 圓上的點(diǎn)到直線 的最大距離與最小距離的差是( )(A) 30 (B) 18 (C) (D)八、綜合問題例8 若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則直線的傾斜角的取值范圍是( )(A) (B) (C) (D)圓的方程1. 確定圓方程需要有三個(gè)互相獨(dú)立的條件.圓的方程有兩種形式，要注意各種形式的圓方程的適用范圍.(1) 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2(yb)2r2，其中(a，b)是圓心坐標(biāo)，r是圓的半徑；(2) 圓的一般方程：x2y2DxEyF0 (D2E24F0)，圓心坐標(biāo)為()，半徑為r2.

3、 直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.(1) 法一：直線：AxByC0；圓：x2y2DxEyF0.一元二次方程(2) 法二：直線：AxByC0；圓：(xa)2(yb)2r2，圓心(a，b)到直線的距離為d.3. 兩圓的位置關(guān)系的判定方法.設(shè)兩圓圓心分別為O1、 O2，半徑分別為r1、 r2， O1O2為圓心距，則兩圓位置關(guān)系如下：O1O2r1r2兩圓外離；O1O2r1r2兩圓外切；r1r2O1O2r1r2兩圓相交；O1O2r1r2兩圓內(nèi)切；O1O2r1r2兩圓內(nèi)含.點(diǎn)擊雙基1.方程x2+y22（t+3）x+2（14t2）y+16t4+9=0（tR）表示圓方程，則t的取值范圍是A.1<t<

4、 B.1<t<C.<t<1 D.1<t<22.點(diǎn)P（5a+1，12a）在圓（x1）2+y2=1的內(nèi)部，則a的取值范圍是A.a1 B.aC.a D.a3.已知圓的方程為（xa）2+（yb）2=r2（r>0），下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A.當(dāng)a2+b2=r2時(shí)，圓必過原點(diǎn)B.當(dāng)a=r時(shí)，圓與y軸相切C.當(dāng)b=r時(shí)，圓與x軸相切D.當(dāng)b<r時(shí)，圓與x軸相交典例剖析【例2】 一圓與y軸相切，圓心在直線x3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長(zhǎng)為2，求此圓的方程.夯實(shí)基礎(chǔ)1.方程x2y2DxEyF0（D2E24F0）表示的曲線關(guān)于x+y=0成軸對(duì)稱圖形，則A.D+E=0

5、B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=02.（2004年全國(guó)，8）在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)A（1，2）距離為1，且與點(diǎn)B（3，1）距離為2的直線共有A.1條 B.2條 C.3條 D.4條3.（2005年黃岡市調(diào)研題）圓x2+y2+x6y+3=0上兩點(diǎn)P、Q關(guān)于直線kxy+4=0對(duì)稱，則k=_.4.（2004年全國(guó)卷，16）設(shè)P為圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線3x4y10=0的 距離的最小值為_.5.（2005年啟東市調(diào)研題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線x2+y2+2x6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q，滿足關(guān)于直線x+my+4=0對(duì)稱，又滿足·=0.（1）求m的值；（2）求直線P

6、Q的方程.培養(yǎng)能力7.已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y24x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.8.（文）求過兩點(diǎn)A（1，4）、B（3，2），且圓心在直線y=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.并判斷點(diǎn)M1（2，3），M2（2，4）與圓的位置關(guān)系. “求經(jīng)過兩圓和的交點(diǎn)，并且圓心在直線上的圓的方程?！蓖瑢W(xué)們普遍使用下面兩種方法求解：方法：先求出兩已知圓交點(diǎn)，再設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)，可求出圓心坐標(biāo)及半徑r，于是可得所求圓方程。方法二：先求出兩已知圓交點(diǎn)，再設(shè)所求圓的方程為：,其圓心為，代入，再將A1,A2兩點(diǎn)坐標(biāo)代入所設(shè)圓的方程，可得三個(gè)關(guān)于D,E,F的三元一次

7、方程組，求出D,E,F的值，這樣便可得所求圓的方程。但是如果我們利用“過兩已知圓交點(diǎn)的圓系”的方法求解，可以更加方便。經(jīng)過兩已知圓的交點(diǎn)的圓系設(shè)圓C1與C2的方程為： C1: C2: .并且兩圓相交于兩點(diǎn)。引進(jìn)一個(gè)參數(shù)，并令：+（）=0 其中-1。引進(jìn)兩個(gè)參數(shù)和，并令：（）+（）=0 其中+0不論參數(shù)取何值，方程與中的x2項(xiàng)和y2項(xiàng)的系數(shù)相等，方程沒有xy項(xiàng)，而且兩已知圓的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程與，所以與都是經(jīng)過兩已知圓的交點(diǎn)的圓系，但是與稍有不同： 當(dāng)=0時(shí)，方程的曲線就是圓C1;不論為何值，方程的曲線都不會(huì)是圓C2。所以方程表示經(jīng)過兩已知圓的交點(diǎn)的一切圓，包括圓C1在內(nèi)，但不包括圓C2。

8、當(dāng)=0時(shí)，方程的曲線就是圓C2；當(dāng)=0時(shí)，方程的曲線就是圓C1。所以方程表示經(jīng)過兩已知圓的交點(diǎn)的一切圓，包括圓C1和圓C2在內(nèi)。下面應(yīng)用圓系來解本文前面的問題：設(shè)經(jīng)過已知兩圓的交點(diǎn)的圓的方程為： . （-1）則其圓心坐標(biāo)為 所求圓的圓心在直線上 +4=0， 解得=-7 所求圓的方程為：7即：下面再舉兩例說明圓系的應(yīng)用例1 求經(jīng)過兩已知圓：和的交點(diǎn)且圓心的橫坐標(biāo)為3的圓的方程。例2 設(shè)圓方程為： 其中4 求證： 不論為何值，所給圓必經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)。 直線與圓的位置關(guān)系二、例題選析例1：求由下列條件所決定圓的圓的切線方程；(1)經(jīng)過點(diǎn)，(2)經(jīng)過點(diǎn)，(3)斜率為例2：已知點(diǎn)在圓的外部，過作圓的切線，

9、切點(diǎn)為，求證。例3：從圓外一點(diǎn)向圓引割線，交該圓于、兩點(diǎn)，求弦的中點(diǎn)軌跡方程。備選例題：例4*：已知對(duì)于圓上任意一點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。專心-專注-專業(yè)軸對(duì)稱例1、已知點(diǎn)A(4,1)，B(0,4)，在直線L：y=3x-1上找一點(diǎn)P，求使|PA|-|PB|最大時(shí)P的坐標(biāo)。例2、光線由點(diǎn)C（3，3）出發(fā)射到直線L：y=3x-1上，已知其被直線L反射后經(jīng)過點(diǎn)A(4,1)，求反射光線方程。例3、已知ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,4)，B、C的平分線的分別方程為和，求BC所在的直線方程。直線和圓1自點(diǎn)（3，3）發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射線所在直線與圓相切，求光線L所在直線方程

10、2已知圓C：，是否存在斜率為1的直線L，使以L被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點(diǎn)，3（12分）求過點(diǎn)P（6，4）且被圓截得長(zhǎng)為的弦所在的直線方程4（12分）已知圓C:及直線. （1）證明:不論取什么實(shí)數(shù),直線與圓C恒相交； （2）求直線與圓C所截得的弦長(zhǎng)的最短長(zhǎng)度及此時(shí)直線的方程5（12分）已知圓x2+y2+x6y+m=0和直線x+2y3=0交于P、Q兩點(diǎn)，且以PQ為直徑的圓恰過坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值6.已知圓C：(x+4)2+y2=4和點(diǎn)A(-2，0)，圓D的圓心在y軸上移動(dòng)，且恒與圓C外切，設(shè)圓D與y 軸交于點(diǎn)M、N. MAN是否為定值？若為定值，求出MAN的弧度數(shù)；若不為定值，說明理由.

11、7（14分）已知圓和直線交于P、Q兩點(diǎn)，且OPOQ （O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求該圓的圓心坐標(biāo)及半徑長(zhǎng)8（14分）求圓心在直線上，且過兩圓，交點(diǎn)的圓的方程9(12分) 已知一個(gè)圓截y軸所得的弦為2，被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)的比為3（1）設(shè)圓心為（a，b），求實(shí)數(shù)a，b滿足的關(guān)系式；（2）當(dāng)圓心到直線l：x2y0的距離最小時(shí)，求圓的方程10 已知圓C與圓相外切，并且與直線相切于點(diǎn)，求圓C的方程 11.（1997全國(guó)文，25）已知圓滿足：截y軸所得弦長(zhǎng)為2；被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為31；圓心到直線l：x2y=0的距離為，求該圓的方程.12.（1997全國(guó)理，25）設(shè)圓滿足：（1）截y軸所得弦長(zhǎng)為2；（

12、2）被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為31在滿足條件（1）、（2）的所有圓中，求圓心到直線l：x2y=0的距離最小的圓的方程.13.（2002北京文，16）圓x2y22x2y10上的動(dòng)點(diǎn)Q到直線3x4y80距離的最小值為 經(jīng)過兩已知圓的交點(diǎn)的圓系及應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）第82頁(yè)有這樣一道題：“求經(jīng)過兩圓和的交點(diǎn)，并且圓心在直線上的圓的方程。”同學(xué)們普遍使用下面兩種方法求解：方法：先求出兩已知圓交點(diǎn)，再設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)，可求出圓心坐標(biāo)及半徑r，于是可得所求圓方程。方法二：先求出兩已知圓交點(diǎn)，再設(shè)所求圓的方程為：,其圓心為，代入，再將A1,A2兩點(diǎn)坐標(biāo)代入所設(shè)圓的方程，可得三個(gè)關(guān)于D,E,F的

13、三元一次方程組，求出D,E,F的值，這樣便可得所求圓的方程。但是如果我們利用“過兩已知圓交點(diǎn)的圓系”的方法求解，可以更加方便。弦長(zhǎng)【例題】 已知直線lx+2y-2=0與圓Cx2+y2=2相交于A、B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)AB.    【例1】 求下列各圓的圓心坐標(biāo)和半徑:    （1）x2+y2x=0；（2）x2+y2+2ax=0（a0）；（3）x2+y2+2ay1=0.        2. 求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程    【例2】 已知一個(gè)圓經(jīng)過兩點(diǎn)A（

14、2，3）和B（2，5），且圓心在直線l：x2y30上，求此圓的方程.       3. 求圓的一般方程    【例3】 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，5）、B（2，2）、C（5，5），求其外接圓的方程.   已知兩點(diǎn)P1（4，9）、P2（6，3），求以P1P2為直徑的圓的方程.   在直線與圓的位置關(guān)系中，求過定點(diǎn)的圓的切線方程問題是一類很重要的題型.我們都知道有這樣的結(jié)論：過圓x2y2r2上一點(diǎn)A（x0，y0）的切線方程為xx0yy0r2，

15、那么你知道在運(yùn)用這個(gè)結(jié)論的時(shí)候要注意些什么嗎？【例題】 求過點(diǎn)A（2，1）向圓x2y24所引的切線方程.例題】 求半徑為4，與圓x2y24x2y40相切，且和直線y0相切的圓的方程【例1】 如果曲線C：x2+（y+1）2=1與直線x+y+a=0有公共點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是      【例2】 直線2xy10與圓Ox2+y2+2x-6y-26=0的位置關(guān)系是（     ）.A 相切      B 相交且過圓心C 相離   &

16、#160;  D 相交不過圓心求圓的切線方程的幾種方法在高中數(shù)學(xué)人教版第二冊(cè)第七章圓的方程一節(jié)中有一例題：求過已知圓上一點(diǎn)的切線方程，除了用斜率和向量的方法之外還有幾種方法，現(xiàn)將這些方法歸納整理，以供參考。例：已知圓的方程是x2 + y2 = r2，求經(jīng)過圓上一點(diǎn)M(x0，y0)的切線的方程。解法一：利用斜率求解圖1解法二：利用向量求解 （這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于不用考慮直線的斜率存不存在）圖2解法三：利用幾何特征求解 解法四：用待定系數(shù)法求解1、 利用點(diǎn)到直線的距離求解2、 利用直線與圓的位置關(guān)系求解： 這是圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的切線方程的求法，若圓心不在原點(diǎn)，也可以用這些方法求解。同樣一

17、道題，思路不同，方法不同，難易程度不同。顯然在以上的幾種解法中，用向量法和幾何特征求解相對(duì)來說簡(jiǎn)單一些。實(shí)際上在圓這一章，很多時(shí)候用幾何特征求解圓的方程和直線方程是教簡(jiǎn)單的方法，同學(xué)們下來可以嘗試。圓的方程的經(jīng)典問題聚焦1 直線和直線的位置關(guān)系問題1（北京 ）若三點(diǎn)A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab0)共線,則的值等于 .2（上海） 已知兩條直線若，則_. 1（江蘇）圓的切線方程中有一個(gè)是（A）xy0（B）xy0（C）x0（D）y02（湖南）若圓上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線:的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是 ( ) A. B. C. D.3（江西） 已知圓M：（xcosq）2（y

18、sinq）21，直線l：ykx，下面四個(gè)命題：A對(duì)任意實(shí)數(shù)k與q，直線l和圓M相切；B對(duì)任意實(shí)數(shù)k與q，直線l和圓M有公共點(diǎn)；C 對(duì)任意實(shí)數(shù)q，必存在實(shí)數(shù)k，使得直線l與和圓M相切D對(duì)任意實(shí)數(shù)k，必存在實(shí)數(shù)q，使得直線l與和圓M相切其中真命題的代號(hào)是_（寫出所有真命題的代號(hào)）3 圓的第二定義的應(yīng)用（四川）已知兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于 （A） （B） （C） （D）4 直線和圓有關(guān)的信息遷移問題1（上海） 如圖，平面中兩條直線和相交于點(diǎn)，對(duì)于平面上任意一點(diǎn),若分別是到直線和的距離，則稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)是點(diǎn)的“距離坐標(biāo)”，根據(jù)上述定義，“距離坐標(biāo)”是（1，2）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)

19、是_.2（重慶）如圖所示，單位圓中弧AB的長(zhǎng)為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的倍，則函數(shù)y=f(x)的圖象是 D【實(shí)戰(zhàn)演練】1（全國(guó)2）過點(diǎn)的直線將圓分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直線的斜率2（湖北 ）已知直線與圓相切，則的值為 。3（重慶） 以點(diǎn)（2，1）為圓心且與直線相切的圓的方程為( )（A） （B）（C） （D）4設(shè)直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且弦的長(zhǎng)為，則_ 5.（陜西）設(shè)直線過點(diǎn)(0,a),其斜率為1, 且與圓x2+y2=2相切,則a 的值為( ) A.± B.±2 B.±2 D.±4 6（湖南文）圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是A36 B. 18 C. D. 直線和圓的方程一、選擇題（每題3分，共54分）1在直角坐標(biāo)系中，直線的傾斜角是（）ABCD2若圓C與圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則圓C的方程是（ ）ABCD3直線同時(shí)要經(jīng)過第一第二第四象限，則應(yīng)滿足（ ）ABCD4已知直線，直線過點(diǎn)，且到的夾角為，則直線的方程是（）ABCD5不等式表示