高中數(shù)學-必修二-圓與方程-經(jīng)典例題--整理

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上習題精選精講圓標準方程 已知圓心和半徑，即得圓的標準方程；已知圓的標準方程，即得圓心和半徑，進而可解得與圓有關(guān)的任何問題.一、求圓的方程例1 以點為圓心且與直線相切的圓的方程為( )(A) (B)(C) (D)二、位置關(guān)系問題例2 直線與圓沒有公共點，則的取值范圍是( )(A) (B)(C) (D)三、切線問題例3 (06重慶卷理) 過坐標原點且與圓相切的直線方程為( )(A)或 (B)或(C)或 (D)或四、弦長問題例4設(shè)直線與圓相交于兩點，且弦的長為，則 .五、夾角問題例5 從圓外一點向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為( )(A) (B) (C) (D)

2、0六、圓心角問題例6 過點的直線將圓分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線的斜率 .七、最值問題例7 圓上的點到直線 的最大距離與最小距離的差是( )(A) 30 (B) 18 (C) (D)八、綜合問題例8 若圓上至少有三個不同的點到直線的距離為，則直線的傾斜角的取值范圍是( )(A) (B) (C) (D)圓的方程1. 確定圓方程需要有三個互相獨立的條件.圓的方程有兩種形式，要注意各種形式的圓方程的適用范圍.(1) 圓的標準方程：(xa)2(yb)2r2，其中(a，b)是圓心坐標，r是圓的半徑；(2) 圓的一般方程：x2y2DxEyF0 (D2E24F0)，圓心坐標為()，半徑為r2.

3、 直線與圓的位置關(guān)系的判定方法.(1) 法一：直線：AxByC0；圓：x2y2DxEyF0.一元二次方程(2) 法二：直線：AxByC0；圓：(xa)2(yb)2r2，圓心(a，b)到直線的距離為d.3. 兩圓的位置關(guān)系的判定方法.設(shè)兩圓圓心分別為O1、 O2，半徑分別為r1、 r2， O1O2為圓心距，則兩圓位置關(guān)系如下：O1O2r1r2兩圓外離；O1O2r1r2兩圓外切；r1r2O1O2r1r2兩圓相交；O1O2r1r2兩圓內(nèi)切；O1O2r1r2兩圓內(nèi)含.點擊雙基1.方程x2+y22（t+3）x+2（14t2）y+16t4+9=0（tR）表示圓方程，則t的取值范圍是A.1<t<

4、 B.1<t<C.<t<1 D.1<t<22.點P（5a+1，12a）在圓（x1）2+y2=1的內(nèi)部，則a的取值范圍是A.a1 B.aC.a D.a3.已知圓的方程為（xa）2+（yb）2=r2（r>0），下列結(jié)論錯誤的是A.當a2+b2=r2時，圓必過原點B.當a=r時，圓與y軸相切C.當b=r時，圓與x軸相切D.當b<r時，圓與x軸相交典例剖析【例2】 一圓與y軸相切，圓心在直線x3y=0上，且直線y=x截圓所得弦長為2，求此圓的方程.夯實基礎(chǔ)1.方程x2y2DxEyF0（D2E24F0）表示的曲線關(guān)于x+y=0成軸對稱圖形，則A.D+E=0

5、B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=02.（2004年全國，8）在坐標平面內(nèi)，與點A（1，2）距離為1，且與點B（3，1）距離為2的直線共有A.1條 B.2條 C.3條 D.4條3.（2005年黃岡市調(diào)研題）圓x2+y2+x6y+3=0上兩點P、Q關(guān)于直線kxy+4=0對稱，則k=_.4.（2004年全國卷，16）設(shè)P為圓x2+y2=1上的動點，則點P到直線3x4y10=0的 距離的最小值為_.5.（2005年啟東市調(diào)研題）設(shè)O為坐標原點，曲線x2+y2+2x6y+1=0上有兩點P、Q，滿足關(guān)于直線x+my+4=0對稱，又滿足·=0.（1）求m的值；（2）求直線P

6、Q的方程.培養(yǎng)能力7.已知實數(shù)x、y滿足方程x2+y24x+1=0.求（1）的最大值和最小值；（2）yx的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值.8.（文）求過兩點A（1，4）、B（3，2），且圓心在直線y=0上的圓的標準方程.并判斷點M1（2，3），M2（2，4）與圓的位置關(guān)系. “求經(jīng)過兩圓和的交點，并且圓心在直線上的圓的方程?！蓖瑢W們普遍使用下面兩種方法求解：方法：先求出兩已知圓交點，再設(shè)圓心坐標為，根據(jù)，可求出圓心坐標及半徑r，于是可得所求圓方程。方法二：先求出兩已知圓交點，再設(shè)所求圓的方程為：,其圓心為，代入，再將A1,A2兩點坐標代入所設(shè)圓的方程，可得三個關(guān)于D,E,F的三元一次

7、方程組，求出D,E,F的值，這樣便可得所求圓的方程。但是如果我們利用“過兩已知圓交點的圓系”的方法求解，可以更加方便。經(jīng)過兩已知圓的交點的圓系設(shè)圓C1與C2的方程為： C1: C2: .并且兩圓相交于兩點。引進一個參數(shù)，并令：+（）=0 其中-1。引進兩個參數(shù)和，并令：（）+（）=0 其中+0不論參數(shù)取何值，方程與中的x2項和y2項的系數(shù)相等，方程沒有xy項，而且兩已知圓的兩個交點的坐標適合方程與，所以與都是經(jīng)過兩已知圓的交點的圓系，但是與稍有不同： 當=0時，方程的曲線就是圓C1;不論為何值，方程的曲線都不會是圓C2。所以方程表示經(jīng)過兩已知圓的交點的一切圓，包括圓C1在內(nèi)，但不包括圓C2。

8、當=0時，方程的曲線就是圓C2；當=0時，方程的曲線就是圓C1。所以方程表示經(jīng)過兩已知圓的交點的一切圓，包括圓C1和圓C2在內(nèi)。下面應(yīng)用圓系來解本文前面的問題：設(shè)經(jīng)過已知兩圓的交點的圓的方程為： . （-1）則其圓心坐標為 所求圓的圓心在直線上 +4=0， 解得=-7 所求圓的方程為：7即：下面再舉兩例說明圓系的應(yīng)用例1 求經(jīng)過兩已知圓：和的交點且圓心的橫坐標為3的圓的方程。例2 設(shè)圓方程為： 其中4 求證： 不論為何值，所給圓必經(jīng)過兩個定點。 直線與圓的位置關(guān)系二、例題選析例1：求由下列條件所決定圓的圓的切線方程；(1)經(jīng)過點，(2)經(jīng)過點，(3)斜率為例2：已知點在圓的外部，過作圓的切線，

9、切點為，求證。例3：從圓外一點向圓引割線，交該圓于、兩點，求弦的中點軌跡方程。備選例題：例4*：已知對于圓上任意一點，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。專心-專注-專業(yè)軸對稱例1、已知點A(4,1)，B(0,4)，在直線L：y=3x-1上找一點P，求使|PA|-|PB|最大時P的坐標。例2、光線由點C（3，3）出發(fā)射到直線L：y=3x-1上，已知其被直線L反射后經(jīng)過點A(4,1)，求反射光線方程。例3、已知ABC的頂點A的坐標為(1,4)，B、C的平分線的分別方程為和，求BC所在的直線方程。直線和圓1自點（3，3）發(fā)出的光線L射到x軸上，被x軸反射，其反射線所在直線與圓相切，求光線L所在直線方程

10、2已知圓C：，是否存在斜率為1的直線L，使以L被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點，3（12分）求過點P（6，4）且被圓截得長為的弦所在的直線方程4（12分）已知圓C:及直線. （1）證明:不論取什么實數(shù),直線與圓C恒相交； （2）求直線與圓C所截得的弦長的最短長度及此時直線的方程5（12分）已知圓x2+y2+x6y+m=0和直線x+2y3=0交于P、Q兩點，且以PQ為直徑的圓恰過坐標原點，求實數(shù)m的值6.已知圓C：(x+4)2+y2=4和點A(-2，0)，圓D的圓心在y軸上移動，且恒與圓C外切，設(shè)圓D與y 軸交于點M、N. MAN是否為定值？若為定值，求出MAN的弧度數(shù)；若不為定值，說明理由.

11、7（14分）已知圓和直線交于P、Q兩點，且OPOQ （O為坐標原點），求該圓的圓心坐標及半徑長8（14分）求圓心在直線上，且過兩圓，交點的圓的方程9(12分) 已知一個圓截y軸所得的弦為2，被x軸分成的兩段弧長的比為3（1）設(shè)圓心為（a，b），求實數(shù)a，b滿足的關(guān)系式；（2）當圓心到直線l：x2y0的距離最小時，求圓的方程10 已知圓C與圓相外切，并且與直線相切于點，求圓C的方程 11.（1997全國文，25）已知圓滿足：截y軸所得弦長為2；被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為31；圓心到直線l：x2y=0的距離為，求該圓的方程.12.（1997全國理，25）設(shè)圓滿足：（1）截y軸所得弦長為2；（

12、2）被x軸分成兩段圓弧，其弧長的比為31在滿足條件（1）、（2）的所有圓中，求圓心到直線l：x2y=0的距離最小的圓的方程.13.（2002北京文，16）圓x2y22x2y10上的動點Q到直線3x4y80距離的最小值為 經(jīng)過兩已知圓的交點的圓系及應(yīng)用在高中數(shù)學第二冊（上）第82頁有這樣一道題：“求經(jīng)過兩圓和的交點，并且圓心在直線上的圓的方程?！蓖瑢W們普遍使用下面兩種方法求解：方法：先求出兩已知圓交點，再設(shè)圓心坐標為，根據(jù)，可求出圓心坐標及半徑r，于是可得所求圓方程。方法二：先求出兩已知圓交點，再設(shè)所求圓的方程為：,其圓心為，代入，再將A1,A2兩點坐標代入所設(shè)圓的方程，可得三個關(guān)于D,E,F的

13、三元一次方程組，求出D,E,F的值，這樣便可得所求圓的方程。但是如果我們利用“過兩已知圓交點的圓系”的方法求解，可以更加方便。弦長【例題】 已知直線lx+2y-2=0與圓Cx2+y2=2相交于A、B兩點，求弦長AB.    【例1】 求下列各圓的圓心坐標和半徑:    （1）x2+y2x=0；（2）x2+y2+2ax=0（a0）；（3）x2+y2+2ay1=0.        2. 求圓的標準方程    【例2】 已知一個圓經(jīng)過兩點A（

14、2，3）和B（2，5），且圓心在直線l：x2y30上，求此圓的方程.       3. 求圓的一般方程    【例3】 ABC的三個頂點坐標分別為A（1，5）、B（2，2）、C（5，5），求其外接圓的方程.   已知兩點P1（4，9）、P2（6，3），求以P1P2為直徑的圓的方程.   在直線與圓的位置關(guān)系中，求過定點的圓的切線方程問題是一類很重要的題型.我們都知道有這樣的結(jié)論：過圓x2y2r2上一點A（x0，y0）的切線方程為xx0yy0r2，

15、那么你知道在運用這個結(jié)論的時候要注意些什么嗎？【例題】 求過點A（2，1）向圓x2y24所引的切線方程.例題】 求半徑為4，與圓x2y24x2y40相切，且和直線y0相切的圓的方程【例1】 如果曲線C：x2+（y+1）2=1與直線x+y+a=0有公共點，那么實數(shù)a的取值范圍是      【例2】 直線2xy10與圓Ox2+y2+2x-6y-26=0的位置關(guān)系是（     ）.A 相切      B 相交且過圓心C 相離   &

16、#160;  D 相交不過圓心求圓的切線方程的幾種方法在高中數(shù)學人教版第二冊第七章圓的方程一節(jié)中有一例題：求過已知圓上一點的切線方程，除了用斜率和向量的方法之外還有幾種方法，現(xiàn)將這些方法歸納整理，以供參考。例：已知圓的方程是x2 + y2 = r2，求經(jīng)過圓上一點M(x0，y0)的切線的方程。解法一：利用斜率求解圖1解法二：利用向量求解 （這種方法的優(yōu)點在于不用考慮直線的斜率存不存在）圖2解法三：利用幾何特征求解 解法四：用待定系數(shù)法求解1、 利用點到直線的距離求解2、 利用直線與圓的位置關(guān)系求解： 這是圓心在坐標原點的圓的切線方程的求法，若圓心不在原點，也可以用這些方法求解。同樣一

17、道題，思路不同，方法不同，難易程度不同。顯然在以上的幾種解法中，用向量法和幾何特征求解相對來說簡單一些。實際上在圓這一章，很多時候用幾何特征求解圓的方程和直線方程是教簡單的方法，同學們下來可以嘗試。圓的方程的經(jīng)典問題聚焦1 直線和直線的位置關(guān)系問題1（北京 ）若三點A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab0)共線,則的值等于 .2（上海） 已知兩條直線若，則_. 1（江蘇）圓的切線方程中有一個是（A）xy0（B）xy0（C）x0（D）y02（湖南）若圓上至少有三個不同點到直線:的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是 ( ) A. B. C. D.3（江西） 已知圓M：（xcosq）2（y

18、sinq）21，直線l：ykx，下面四個命題：A對任意實數(shù)k與q，直線l和圓M相切；B對任意實數(shù)k與q，直線l和圓M有公共點；C 對任意實數(shù)q，必存在實數(shù)k，使得直線l與和圓M相切D對任意實數(shù)k，必存在實數(shù)q，使得直線l與和圓M相切其中真命題的代號是_（寫出所有真命題的代號）3 圓的第二定義的應(yīng)用（四川）已知兩定點，如果動點滿足，則點的軌跡所包圍的圖形的面積等于 （A） （B） （C） （D）4 直線和圓有關(guān)的信息遷移問題1（上海） 如圖，平面中兩條直線和相交于點，對于平面上任意一點,若分別是到直線和的距離，則稱有序非負實數(shù)對是點的“距離坐標”，根據(jù)上述定義，“距離坐標”是（1，2）的點的個數(shù)

19、是_.2（重慶）如圖所示，單位圓中弧AB的長為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的倍，則函數(shù)y=f(x)的圖象是 D【實戰(zhàn)演練】1（全國2）過點的直線將圓分成兩段弧，當劣弧所對的圓心角最小時，直線的斜率2（湖北 ）已知直線與圓相切，則的值為 。3（重慶） 以點（2，1）為圓心且與直線相切的圓的方程為( )（A） （B）（C） （D）4設(shè)直線與圓相交于、兩點，且弦的長為，則_ 5.（陜西）設(shè)直線過點(0,a),其斜率為1, 且與圓x2+y2=2相切,則a 的值為( ) A.± B.±2 B.±2 D.±4 6（湖南文）圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是A36 B. 18 C. D. 直線和圓的方程一、選擇題（每題3分，共54分）1在直角坐標系中，直線的傾斜角是（）ABCD2若圓C與圓關(guān)于原點對稱，則圓C的方程是（ ）ABCD3直線同時要經(jīng)過第一第二第四象限，則應(yīng)滿足（ ）ABCD4已知直線，直線過點，且到的夾角為，則直線的方程是（）ABCD5不等式表示