五年級數(shù)學(xué)思維能力提升（奧數(shù)）講義下冊

1、數(shù)學(xué)思維能力提升奧數(shù)五年級下冊*教育教學(xué)研發(fā)中心 編目 錄第1講 定義新運算(一) 6第2講 定義新運算(二) 9第3講 數(shù)的整除性(一) 11第4講 奇偶性一 15第5講 質(zhì)數(shù)與合數(shù)23第6講 分解質(zhì)因數(shù)25第7講 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)一27第8講 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)二29第9講 余數(shù)問題32第10講 孫子問題與逐步約束法34第11講 位置原那么39第12講 最大最小42第13講 多邊形的面積46第14講 用等量代換求面積50第15 用割補(bǔ)法求面積53第16講 列方程解應(yīng)用題56第17講 行程問題一59第18講 行程問題二62第19講 抽屜原理(一)72第20講 抽屜原理(二)74第1

2、講 定義新運算一我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過加、減、乘、除運算，這些運算，即四那么運算是數(shù)學(xué)中最根本的運算，它們的意義、符號及運算律已被同學(xué)們熟知。除此之外，還會有什么別的運算嗎？這兩講我們就來研究這個問題。這些新的運算及其符號，在中、小學(xué)課本中沒有統(tǒng)一的定義及運算符號，但學(xué)習(xí)討論這些新運算，對于開拓思路及今后的學(xué)習(xí)都大有益處。例1 對于任意數(shù)a，b，定義運算“*：a*b=ab-a-b。求12*4的值。分析與解：根據(jù)題目定義的運算要求，直接代入后用四那么運算即可。12*4=124-12-4=48-12-4=32。根據(jù)以上的規(guī)定，求106的值。3，x=2，求x的值。分析與解：按照定義的運算，=2，x=6。由上

3、面三例看出，定義新運算通常是用某些特殊符號表示特定的運算意義。新運算使用的符號應(yīng)防止使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號，如+，-，等，以防止發(fā)生混淆，而表示新運算的運算意義局部，應(yīng)使用通常的四那么運算符號。如例1中，a*b=ab-a-b，新運算符號使用“*，而等號右邊新運算的意義那么用四那么運算來表示。分析與解：按新運算的定義，符號“表示求兩個數(shù)的平均數(shù)。四那么運算中的意義相同，即先進(jìn)行小括號中的運算，再進(jìn)行小括號外面的運算。按通常的規(guī)那么從左至右進(jìn)行運算。分析與解：從的三式來看，運算“表示幾個數(shù)相加，每個加數(shù)各數(shù)位上的數(shù)都是符號前面的那個數(shù)，而符號后面的數(shù)是幾，就表示幾個數(shù)之和，其中第1

4、個數(shù)是1位數(shù)，第2個數(shù)是2位數(shù)，第3個數(shù)是3位數(shù)按此規(guī)定，得35=3+33+333+3333+33333=37035。從例5知，有時新運算的規(guī)定不是很明顯，需要先找規(guī)律，然后才能進(jìn)行運算。例6 對于任意自然數(shù)，定義：n！=12 n。例如 4！=1234。那么1！+2！+3！+100！的個位數(shù)字是幾？分析與解：1！=1，2！=12=2，3！=123=6，4！=1234=24，5！=12345=120，6！=123456=720，由此可推知，從5！開始，以后6！，7！，8！，100！的末位數(shù)字都是0。所以，要求1！+2！+3！+100！的個位數(shù)字，只要把1！至4！的個位數(shù)字相加便可求得：1+2+6

5、+4=13。所求的個位數(shù)字是3。例7 如果m，n表示兩個數(shù)，那么規(guī)定：mn=4n-m+n2。求34612的值。解：34612=346-4+6212=31912=419-3+19212=6512=412-65+122=9.5。練習(xí)11.對于任意的兩個數(shù)a和b，規(guī)定a*b=3a-b3。求8*9的值。2.ab表示a除以3的余數(shù)再乘以b，求134的值。3.ab表示a-ba+b，試計算：53106。4.規(guī)定ab表示a與b的積與a除以b所得的商的和，求82的值。5.假定mn表示m的3倍減去n的2倍，即mn=3m-2n。2x41=7，求x的值。7.對于任意的兩個數(shù)P， Q，規(guī)定 PQ=PQ4。例如：28=2

6、84。x85=10，求x的值。8.定義： ab=ab-3b，ab=4a-b/a。計算：432b。9.： 23=234，45=45678，求4433的值。第2講 定義新運算二例1 ab=a+b-a-b，求92的值。分析與解：這是一道很簡單的題，把a(bǔ)=9，b=2代入新運算式，即可算出結(jié)果。但是，根據(jù)四那么運算的法那么，我們可以先把新運算“化簡，再求結(jié)果。ab=a+b-a-b=a+b-a+b=2b。所以，92=22=4。由例1可知，如果定義的新運算是用四那么混合運算表示，那么在符合四那么混合運算的性質(zhì)、法那么的前提下，不妨先化簡表示式。這樣，可以既減少運算量，又提高運算的準(zhǔn)確度。例2 定義運算：ab

7、=3a+5ab+kb，其中a，b為任意兩個數(shù)，k為常數(shù)。比方：27=32+527+7k。152=73。問：85與58的值相等嗎？2當(dāng)k取什么值時，對于任何不同的數(shù)a，b，都有ab=ba，即新運算“符合交換律？分析與解：1首先應(yīng)當(dāng)確定新運算中的常數(shù)k。因為52=35+552+k2 =65+2k，所以由 52=73，得65+2k=73，求得k=73-652=4。定義的新運算是：ab=3a+5ab+4b。85=38+585+45=244，58=35+558+48=247。因為244247，所以8558。2要使ab=ba，由新運算的定義，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka

8、=0，3(a-b)-k(a-b)=0，(3-k)(a-b)=0。對于兩個任意數(shù)a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。當(dāng)新運算是ab=3a+5ab+3b時，具有交換律，即ab=ba。例3 對兩個自然數(shù)a和b，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為ab，即ab=a，b-a，b。比方，10和14的最小公倍數(shù)是70，最大公約數(shù)是2，那么1014=70-2=68。1求1221的值；26x=27，求x的值。分析與解：11221=12，21-12，21=84-3=81；2因為定義的新運算“沒有四那么運算表達(dá)式，所以不能直接把數(shù)代入表達(dá)式求x，只能用推理的方法。因為6x=6，x-6，x=27，而6

9、與x的最大公約數(shù)6，x只能是1，2，3，6。所以6與x的最小公倍數(shù)6，x只能是28， 29， 30， 33。這四個數(shù)中只有 30是 6的倍數(shù)，所以 6與x的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別是30和3。因為ab=a，ba，b，所以6x=303，由此求得x=15。例4 a表示順時針旋轉(zhuǎn)90，b表示順時針旋轉(zhuǎn)180，c表示逆時針旋轉(zhuǎn)90，d表示不轉(zhuǎn)。定義運算“表示“接著做。求：ab；bc；ca。分析與解： ab表示先順時針轉(zhuǎn)90，再順時針轉(zhuǎn)180，等于順時針轉(zhuǎn)270，也等于逆時針轉(zhuǎn)90，所以ab=c。bc表示先順時針轉(zhuǎn)180，再逆時針轉(zhuǎn)90，等于順時針轉(zhuǎn)90，所以bc=a。ca表示先逆時針轉(zhuǎn)90，再順時針

10、轉(zhuǎn)90，等于沒轉(zhuǎn)動，所以ca=d。對于a，b，c，d四種運動，可以做一個關(guān)于“的運算表見下表。比方cb，由c所在的行和b所在的列，交叉處a就是cb的結(jié)果。因為運算符合交換律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的結(jié)果。例5 對任意的數(shù)a，b，定義：fa=2a+1， gb=bb。1求f5-g3的值；2求fg2+gf2的值；3fx+1=21，求x的值。解：1 f5-g3=25+1-33=2；2fg2+gf2 =f22+g22+1 =f4+g5=24+1+55=34；3fx+1=2x+1+1=2x+3，由fx+1=21，知2x+3=21，解得x=9。練習(xí)2 2.定義兩種運算“和“如下：ab表示a

11、，b兩數(shù)中較小的數(shù)的3倍，ab表示a，b兩數(shù)中較大的數(shù)的2.5倍。比方：45=43=12，45=52.5=12.5。計算：(0.60.5)+(0.30.8)(1.20.7)-(0.640.2)。4.設(shè)m，n是任意的自然數(shù)，A是常數(shù)，定義運算mn=Am-n4，并且23=0.75。試確定常數(shù)A，并計算：572232。5.用a，b，c表示一個等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內(nèi)所作的旋轉(zhuǎn)運動：a表示順時針旋轉(zhuǎn)240，b表示順時針旋轉(zhuǎn)120，c表示不旋轉(zhuǎn)。運算“表示“接著做。試以a，b，c為運算對象做運算表。6.對任意兩個不同的自然數(shù)a和b，較大的數(shù)除以較小的數(shù)，余數(shù)記為ab。比方73=1，529=4，

12、420=0。1計算：19982000，51919，5195；211x=4，x小于20，求x的值。7.對于任意的自然數(shù)a，b，定義：fa=aa-1，gb=b2+1。1求fg6-gf3的值；2fgx=8，求x的值。第3講 數(shù)的整除性一三、四年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的數(shù)的特征，也學(xué)習(xí)了一些整除的性質(zhì)。這兩講我們系統(tǒng)地復(fù)習(xí)一下數(shù)的整除性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)解答一些問題。數(shù)的整除性質(zhì)主要有：1如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。2如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差都能被這個自然數(shù)整除。3如果一個數(shù)能分別被幾個兩兩互質(zhì)的自然數(shù)整除，

13、那么這個數(shù)能被這幾個兩兩互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。4如果一個質(zhì)數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積，那么這個質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個自然數(shù)中的一個。5幾個數(shù)相乘，如果其中一個因數(shù)能被某數(shù)整除，那么乘積也能被這個數(shù)整除。靈活運用以上整除性質(zhì)，能解決許多有關(guān)整除的問題。例1 在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得七位數(shù)7358能分別被9，25和8整除。分析與解：分別由能被9，25和8整除的數(shù)的特征，很難推斷出這個七位數(shù)。因為9，25，8兩兩互質(zhì)，由整除的性質(zhì)3知，七位數(shù)能被 9258=1800整除，所以七位數(shù)的個位，十位都是0；再由能被9整除的數(shù)的特征，推知首位數(shù)應(yīng)填4。這個七位數(shù)是4735800。例2 由2000個1組成的數(shù)1

14、1111能否被41和271這兩個質(zhì)數(shù)整除？分析與解：因為41271=11111，所以由每5個1組成的數(shù)11111能被41和271整除。按“11111把2000個1每五位分成一節(jié)， 20005=400，就有400節(jié)，因為2000個1組成的數(shù)1111能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)1可知，由2000個1組成的數(shù)11111能被41和271整除。例3 現(xiàn)有四個數(shù)：76550，76551，76552，76554。能不能從中找出兩個數(shù)，使它們的乘積能被12整除？分析與解：根據(jù)有關(guān)整除的性質(zhì)，先把12分成兩數(shù)之積：12=121=62=34。要從的四個數(shù)中找出兩個，使其

15、積能被12整除，有以下三種情況：1找出一個數(shù)能被12整除，這個數(shù)與其它三個數(shù)中的任何一個的乘積都能被12整除；2找出一個數(shù)能被6整除，另一個數(shù)能被2整除，那么它們的積就能被12整除；3找出一個數(shù)能被4整除，另一個數(shù)能被3整除，那么它們的積能被12整除。容易判斷，這四個數(shù)都不能被12整除，所以第1種情況不存在。對于第2種情況，四個數(shù)中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶數(shù)，所以可以選76554和76550，76554和76552。對于第3種情況，四個數(shù)中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以選76552和76551，76552和76554。綜合

16、以上分析，去掉相同的，可知兩個數(shù)的乘積能被12整除的有以下三組數(shù)：76550和76554， 76552和76554， 76551和 76552。例4 在所有五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于43且能夠被11整除的數(shù)有哪些？分析與解：從題設(shè)的條件分析，對所求五位數(shù)有兩個要求：各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43；能被11整除。因為能被11整除的五位數(shù)很多，而各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43的五位數(shù)較少，所以應(yīng)選擇為突破口。有兩種情況：1五位數(shù)由一個7和四個9組成；2五位數(shù)由兩個8和三個9組成。上面兩種情況中的五位數(shù)能不能被11整除？9，8，7如何擺放呢？根據(jù)被11整除的數(shù)的特征，如果奇數(shù)位數(shù)字之和是27，偶數(shù)位數(shù)字之和

17、是16，那么差是11，就能被11整除。滿足這些要求的五位數(shù)是： 97999，99979， 98989。例5 能不能將從1到10的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？分析與解：10個數(shù)排成一行的方法很多，逐一試驗顯然行不通。我們采用反證法。假設(shè)題目的要求能實現(xiàn)。那么由題意，從前到后每兩個數(shù)一組共有5組，每組的兩數(shù)之和都能被3整除，推知110的和也應(yīng)能被3整除。實際上，110的和等于55，不能被3整除。這個矛盾說明假設(shè)不成立，所以題目的要求不能實現(xiàn)。練習(xí)31.4205和2813都是29的倍數(shù)，1392和7018是不是29的倍數(shù)？2.如果兩個數(shù)的和是64，這兩個數(shù)的積可以整除4875

18、，那么這兩個數(shù)的差是多少？3.173是個四位數(shù)。數(shù)學(xué)老師說：“我在這個中先后填入3個數(shù)字，所得到的 3個四位數(shù)，依次可以被9，11，6整除。問：數(shù)學(xué)老師先后填入的3個數(shù)字之和是多少？ 班有多少名學(xué)生？6.能不能將從1到9的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？第4講 奇偶性一整數(shù)按照能不能被2整除，可以分為兩類：1能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，2不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如1，3，5，7，9，11，13，15，17，整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個整數(shù)大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因為偶數(shù)能被2整除

19、，所以偶數(shù)可以表示為2n的形式，其中n為整數(shù)；因為奇數(shù)不能被2整除，所以奇數(shù)可以表示為2n+1的形式，其中n為整數(shù)。每一個整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個屬性叫做這個數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質(zhì)：1兩個奇偶性相同的數(shù)的和或差一定是偶數(shù)；兩個奇偶性不同的數(shù)的和或差一定是奇數(shù)。反過來，兩個數(shù)的和或差是偶數(shù)，這兩個數(shù)奇偶性相同；兩個數(shù)的和或差是奇數(shù)，這兩個數(shù)肯定是一奇一偶。2奇數(shù)個奇數(shù)的和或差是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和或差是偶數(shù)。任意多個偶數(shù)的和或差是偶數(shù)。3兩個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)。4假設(shè)干個數(shù)相乘，如果其中有一個因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是奇數(shù)，那么

20、積就是奇數(shù)。反過來，如果假設(shè)干個數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個是偶數(shù)；如果假設(shè)干個數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。5在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。6偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。因為2n2=4n2=4n2，所以2n2能被4整除；因為2n+12=4n2+4n+1=4n2+n+1，所以2n+12除以4余1。7相鄰兩個自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。8如果一個整數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)包括1和這個數(shù)本身，那么這個數(shù)一定是平方數(shù)；如果一個整數(shù)有偶數(shù)個約數(shù)，那么這個數(shù)一定不是平方數(shù)。整數(shù)的奇偶性能解決許多與奇偶

21、性有關(guān)的問題。有些問題外表看來似乎與奇偶性一點關(guān)系也沒有，例如染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但只要想方法編上號碼，成為整數(shù)問題，便可利用整數(shù)的奇偶性加以解決。例1下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？1+2+3+4+1997+1998。分析與解：此題當(dāng)然可以先求出算式的和，再來判斷這個和的奇偶性。但如果能不計算，直接分析判斷出和的奇偶性，那么解法將更加簡潔。根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)2，和的奇偶性只與加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)有關(guān)，與加數(shù)中的偶數(shù)無關(guān)。11998中共有999個奇數(shù)，999是奇數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)。所以，此題要求的和是奇數(shù)。例2 能否在下式的中填上“+或“-，使得等式成立？123456789=66。分析與解

22、：等號左端共有9個數(shù)參加加、減運算，其中有5個奇數(shù)，4個偶數(shù)。5個奇數(shù)的和或差仍是奇數(shù)，4個偶數(shù)的和或差仍是偶數(shù)，因為“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，所以題目的要求做不到。例3 任意給出一個五位數(shù)，將組成這個五位數(shù)的5個數(shù)碼的順序任意改變，得到一個新的五位數(shù)。那么，這兩個五位數(shù)的和能不能等于99999？分析與解：假設(shè)這兩個五位數(shù)的和等于99999，那么有下式：其中組成兩個加數(shù)的5個數(shù)碼完全相同。因為兩個個位數(shù)相加，和不會大于 9+9=18，豎式中和的個位數(shù)是9，所以個位相加沒有向上進(jìn)位，即兩個個位數(shù)之和等于9。同理，十位、百位、千位、萬位數(shù)字的和也都等于9。所以組成兩個加數(shù)的10個數(shù)碼之和等于 9+9+9

23、+9+9=45，是奇數(shù)。另一方面，因為組成兩個加數(shù)的5個數(shù)碼完全相同，所以組成兩個加數(shù)的10個數(shù)碼之和，等于組成第一個加數(shù)的5個數(shù)碼之和的2倍，是偶數(shù)。奇數(shù)偶數(shù)，矛盾的產(chǎn)生在于假設(shè)這兩個五位數(shù)的和等于99999，所以假設(shè)不成立，即這兩個數(shù)的和不能等于99999。例4 在一次校友聚會上，久別重逢的老同學(xué)互相頻頻握手。請問：握過奇數(shù)次手的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？請說明理由。分析與解：通常握手是兩人的事。甲、乙兩人握手，對于甲是握手1次，對于乙也是握手1次，兩人握手次數(shù)的和是2。所以一群人握手，不管人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，握手的總次數(shù)一定是偶數(shù)。把聚會的人分成兩類：A類是握手次數(shù)是偶數(shù)的人，B類是握手次數(shù)是

24、奇數(shù)的人。A類中每人握手的次數(shù)都是偶數(shù)，所以A類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。又因為所有人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)，所以B類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。握奇數(shù)次手的那局部人即B類人的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？如果是奇數(shù)，那么因為“奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)，所以得到B類人握手的總次數(shù)是奇數(shù)，與前面得到的結(jié)論矛盾，所以B類人即握過奇數(shù)次手的人數(shù)是偶數(shù)。例5 五2班局部學(xué)生參加鎮(zhèn)里舉辦的數(shù)學(xué)競賽，每張試卷有50道試題。評分標(biāo)準(zhǔn)是：答對一道給3分，不答的題，每道給1分，答錯一道扣1分。試問：這局部學(xué)生得分的總和能不能確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？分析與解：此題要求出這局部學(xué)生的總成績是不可能的，所以應(yīng)從每個人得分的

25、情況入手分析。因為每道題無論答對、不答或答錯，得分或扣分都是奇數(shù)，共有50道題，50個奇數(shù)相加減，結(jié)果是偶數(shù)，所以每個人的得分都是偶數(shù)。因為任意個偶數(shù)之和是偶數(shù)，所以這局部學(xué)生的總分必是偶數(shù)。 練習(xí)41.能否從四個3、三個5、兩個7中選出5個數(shù)，使這5個數(shù)的和等于22？2.任意交換一個三位數(shù)的數(shù)字，得一個新的三位數(shù)，一位同學(xué)將原三位數(shù)與新的三位數(shù)相加，和是999。這位同學(xué)的計算有沒有錯？3.甲、乙兩人做游戲。任意指定七個整數(shù)允許有相同數(shù)，甲將這七個整數(shù)以任意的順序填在以下圖第一行的方格內(nèi)，乙將這七個整數(shù)以任意的順序填在圖中的第二行方格里，然后計算出所有同一列的兩個數(shù)的差大數(shù)減小數(shù)，再將這七個差

26、相乘。游戲規(guī)那么是：假設(shè)積是偶數(shù)，那么甲勝；假設(shè)積是奇數(shù)，那么乙勝。請說明誰將獲勝。4.某班學(xué)生畢業(yè)后相約彼此通信，每兩人間的通信量相等，即甲給乙寫幾封信，乙也要給甲寫幾封信。問：寫了奇數(shù)封信的畢業(yè)生人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？5.A市舉辦五年級小學(xué)生“春暉杯數(shù)學(xué)競賽，競賽題30道，記分方法是：底分15分，每答對一道加5分，不答的題，每道加1分，答錯一道扣1分。如果有333名學(xué)生參賽，那么他們的總得分是奇數(shù)還是偶數(shù)？6.把以下圖中的圓圈任意涂上紅色或藍(lán)色。是否有可能使得在同一條直線上的紅圈數(shù)都是奇數(shù)？試講出理由。7.紅星影院有1999個座位，上、下午各放映一場電影。有兩所學(xué)校各有1999名學(xué)生包場看這

27、兩場電影，那么一定有這樣的座位，上、下午在這個座位上坐的是兩所不同學(xué)校的學(xué)生，為什么？ 第5講 質(zhì)數(shù)與合數(shù)自然數(shù)按照能被多少個不同的自然數(shù)整除可以分為三類：第一類：只能被一個自然數(shù)整除的自然數(shù)，這類數(shù)只有一個，就是1。第二類：只能被兩個不同的自然數(shù)整除的自然數(shù)。因為任何自然數(shù)都能被1和它本身整除，所以這類自然數(shù)的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。這類自然數(shù)叫質(zhì)數(shù)或素數(shù)。例如，2，3，5，7，第三類：能被兩個以上的自然數(shù)整除的自然數(shù)。這類自然數(shù)的特征是大于1，除了能被1和它本身整除外，還能被其它一些自然數(shù)整除。這類自然數(shù)叫合數(shù)。例如，4，6，8，9，15，上面的分類方法將自然數(shù)分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)

28、和1，1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。例1 1100這100個自然數(shù)中有哪些是質(zhì)數(shù)？分析與解：先把前100個自然數(shù)寫出來，得下表：1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)。2是質(zhì)數(shù)，留下來，后面凡能被2整除的數(shù)都是合數(shù)，都劃去；3是質(zhì)數(shù)，留下來，后面凡能被3整除的數(shù)都是合數(shù)，都劃去；類似地，把5留下來，后面但凡5的倍數(shù)的數(shù)都劃去；把7留下來，后面但凡7的倍數(shù)的數(shù)都劃去。經(jīng)過以上的篩選，劃去的都是合數(shù)，余下26個數(shù)，除1外，剩下的25個都是質(zhì)數(shù)。這樣，我們便得到了100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97

29、。這些質(zhì)數(shù)同學(xué)們應(yīng)當(dāng)熟記！細(xì)心的同學(xué)可能會注意到，以上只劃到7的倍數(shù)，為什么不繼續(xù)劃去11，13，的倍數(shù)呢？事實上，這些倍數(shù)已包含在已劃去的倍數(shù)中。例如，100以內(nèi)11的倍數(shù)應(yīng)該是11A100其中A為整數(shù)，顯然，A只能取2，3，4，5，6，7，8，9。因為4=22，6=23，8=23，9=32，所以A必是2，3，5，7之一的倍數(shù)。由此推知，11的倍數(shù)已全部包含在2，3，5，7的倍數(shù)中，已在前面劃去了。要判斷一個數(shù)N是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，根據(jù)合數(shù)的定義，只要用從小到大的自然數(shù)2，3，4，5，6，7，8，N-1去除N，其中只要有一個自然數(shù)能整除N，N就是合數(shù)，否那么就是質(zhì)數(shù)。但這樣太麻煩，因為除數(shù)太多。

30、能不能使試除的數(shù)少一點呢？由例1知，只要用從小到大的質(zhì)數(shù)去除N就可以了。例2給出的判別方法，可以使試除的數(shù)進(jìn)一步減少。例2 判斷269，437兩個數(shù)是合數(shù)還是質(zhì)數(shù)。分析與解：對于一個不太大的數(shù)N，要判斷它是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，可以先找出一個大于N且最接近N的平方數(shù)K2，再寫出K以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)。如果這些質(zhì)數(shù)都不能整除N，那么N是質(zhì)數(shù)；如果這些質(zhì)數(shù)中有一個能整除N，那么N是合數(shù)。因為269172=289。17以內(nèi)質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13。根據(jù)能被某些數(shù)整除的數(shù)的特征，個位數(shù)是9，所以269不能被2，5整除；2+6+9=17，所以269不能被3整除。經(jīng)逐一判斷或試除知，這6個質(zhì)數(shù)都不能整除269，

31、所以269是質(zhì)數(shù)。因為437212=441。21以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有2，3，5，7，11，13，17，19。容易判斷437不能被2，3，5，7，11整除，用13，17，19試除437，得到43719=23，所以437是合數(shù)。比照一下幾種判別質(zhì)數(shù)與合數(shù)的方法，可以看出例2的方法的優(yōu)越性。判別269，用2268中所有的數(shù)試除，要除267個數(shù)；用2268中的質(zhì)數(shù)試除，要除41個數(shù)；而用例2的方法，只要除6個數(shù)。例3 判斷數(shù)1111112111111是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？分析與解：按照例2的方法判別這個13位數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，當(dāng)然是很麻煩的事，能不能想出別的方法呢？根據(jù)合數(shù)的意義，如果一個數(shù)能夠?qū)懗蓛蓚€大于1的整數(shù)

32、的乘積，那么這個數(shù)是合數(shù)。根據(jù)整數(shù)的意義，這個13位數(shù)可以寫成：1111112111111=1111111000000+1111111=11111111000000+1=11111111000001。由上式知，111111和1000001都能整除1111112111111，所以1111112111111是合數(shù)。這道例題又給我們提供了一種判別一個數(shù)是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)的方法。例4 判定298+1和298+3是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？分析與解：這道題要判別的數(shù)很大，不能直接用例1、例2的方法。我們在四年級學(xué)過an的個位數(shù)的變化規(guī)律，以及an除以某自然數(shù)的余數(shù)的變化規(guī)律。2n的個位數(shù)隨著n的從小到大，按照2，4，8

33、，6每4個一組循環(huán)出現(xiàn)，984=242，所以298的個位數(shù)是4，298+1的個位數(shù)是5，能被5整除，說明298+1是合數(shù)。298+3是奇數(shù)，不能被2整除； 298不能被3整除，所以298+3也不能被3整除；298+1能被5整除，298+3比298+1大2，所以298+3不能被5整除。再判斷298+3能否被7整除。首先看看2n7的余數(shù)的變化規(guī)律：因為983的余數(shù)是2，從上表可知298除以7的余數(shù)是4，298+3除以7的余數(shù)是4+3=7，7能被7整除，即298+3能被7整除，所以298+3是合數(shù)。例5 A是質(zhì)數(shù)，A+10和A+14也是質(zhì)數(shù)，求質(zhì)數(shù)A。分析與解：從最小的質(zhì)數(shù)開始試算。A=2時，A+1

34、0=12，12是合數(shù)不是質(zhì)數(shù)，所以A2。A=3時，A+10=13，是質(zhì)數(shù)；A+14=17也是質(zhì)數(shù)，所以A等于3是所求的質(zhì)數(shù)。A除了等于3外，還可以是別的質(zhì)數(shù)嗎？因為質(zhì)數(shù)有無窮多個，所以不可能一一去試，必須采用其它方法。A，A+1，A+2除以3的余數(shù)各不相同，而A+1與A+10除以3的余數(shù)相同，A+2與A+14除以3的余數(shù)相同，所以A，A+10，A+14除以3的余數(shù)各不相同。因為任何自然數(shù)除以3只有整除、余1、余2三種情況，所以在A，A+10，A+14中必有一個能被3整除。能被3整除的質(zhì)數(shù)只有3，因為A+10，A+14都大于3，所以A=3。也就是說，此題唯一的解是A=3。 練習(xí)51.現(xiàn)有1，3，

35、5，7四個數(shù)字。1用它們可以組成哪些兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)數(shù)字可以重復(fù)使用？2用它們可以組成哪些各位數(shù)字不相同的三位質(zhì)數(shù)？2.a，b，c都是質(zhì)數(shù)，abc，且ab+c=88，求a，b，c。3.A是一個質(zhì)數(shù)，而且A+6，A+8，A+12，A+14都是質(zhì)數(shù)。試求出所有滿足要求的質(zhì)數(shù)A。5.試說明：兩個以上的連續(xù)自然數(shù)之和必是合數(shù)。6.判斷266+388是不是質(zhì)數(shù)。7.把一個一位數(shù)的質(zhì)數(shù)a寫在另一個兩位數(shù)的質(zhì)數(shù)b后邊，得到一個三位數(shù)，這個三位數(shù)是a的87倍，求a和b。第6講 分解質(zhì)因數(shù)自然數(shù)中任何一個合數(shù)都可以表示成假設(shè)干個質(zhì)因數(shù)乘積的形式，如果不考慮因數(shù)的順序，那么這個表示形式是唯一的。把合數(shù)表示為質(zhì)因數(shù)乘積

36、的形式叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如，60=2235， 1998=23337。例1 一個正方體的體積是13824厘米3，它的外表積是多少？分析與解：正方體的體積是“棱長棱長棱長，現(xiàn)在正方體的體積是13824厘米3，假設(shè)能把13824寫成三個相同的數(shù)相乘，那么可求出棱長。為此，我們先將13824分解質(zhì)因數(shù)：把這些因數(shù)分成三組，使每組因數(shù)之積相等，得13824=233233233，于是，得到棱長是233=24厘米。所求外表積是24246=3456厘米2。例2 學(xué)區(qū)舉行團(tuán)體操表演，有1430名學(xué)生參加，分成人數(shù)相等的假設(shè)干隊，要求每隊人數(shù)在100至200之間，共有幾種分法？分析與解：按題意，每隊人數(shù)隊數(shù)=14

37、30，每隊人數(shù)在100至200之間，所以問題相當(dāng)于求1430有多少個在100至200之間的約數(shù)。為此，先把1430分解質(zhì)因數(shù)，得1430251113。從這四個質(zhì)數(shù)中選假設(shè)干個，使其乘積在100到200之間，這是每隊人數(shù)，其余的質(zhì)因數(shù)之積便是隊數(shù)。2511=110，13；2513=130，11；1113=143，25=10。所以共有三種分法，即分成13隊，每隊110人；分成11隊，每隊130人；分成10隊，每隊143人。例3 12340能否被90909整除？分析與解：首先將90909分解質(zhì)因數(shù)，得 90909=3371337。 因為33=27，7，13，37都在140中，所以12340能被909

38、09整除。例4 求72有多少個不同的約數(shù)。分析與解：將72分解質(zhì)因數(shù)得到72=2332。根據(jù)72的約數(shù)含有2和3的個數(shù)，可將72的約數(shù)列表如下：上表中，第三、四行的數(shù)字分別是第二行對應(yīng)數(shù)字乘以3和32，第三、四、五列的數(shù)字分別是第二列對應(yīng)數(shù)字乘以2，22和23。比照72=2332，72的任何一個約數(shù)至多有兩個不同質(zhì)因數(shù)：2和3。因為72有3個質(zhì)因數(shù)2，所以在某一個約數(shù)的質(zhì)因數(shù)中，2可能不出現(xiàn)或出現(xiàn)1次、出現(xiàn)2次、出現(xiàn)3次，這就有4種情況；同理，因為72有兩個質(zhì)因數(shù)3，所以3可能不出現(xiàn)或出現(xiàn)1次、出現(xiàn)2次，共有3種情況。根據(jù)乘法原理，72的不同約數(shù)共有43=12個。從例4可以歸納出求自然數(shù)N的所

39、有不同約數(shù)的個數(shù)的方法：一個大于1的自然數(shù)N的約數(shù)個數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)加1的連乘積。例如，2352=24372，因為2352的質(zhì)因數(shù)分解式中有4個2，1個3，2個7，所以2352的不同約數(shù)有4+11+12+1=30個；又如，9450=233527，所以9450的不同的約數(shù)有1+13+12+11+1=48個。例5 試求不大于50的所有約數(shù)個數(shù)為6的自然數(shù)。分析與解：這是求一個數(shù)的約數(shù)個數(shù)的逆問題，因此解題方法正好與例4相反。因為這個數(shù)有六個約數(shù)，6=5+1=2+11+1，所以，當(dāng)這個數(shù)只有一個質(zhì)因數(shù)a時，這個數(shù)是a5；當(dāng)這個數(shù)有兩個質(zhì)因數(shù)a和b時，這個數(shù)是a2b。因為這個

40、數(shù)不大于50，所以對于a5，只有a=2，即25=32；對于a2b，經(jīng)試算得到，223=12，225=20，227=28，2211=44，322=18，325=45，522=50。所以滿足題意的數(shù)有八個：32，12，20，28，44，18，45，50。練習(xí)61.一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209分米2，如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，那么這個長方體的體積是多少立方分米？2.爺孫兩人今年的年齡的乘積是693，4年前他們的年齡都是質(zhì)數(shù)。爺孫兩人今年的年齡各是多少歲？3.某車間有216個零件，如果平均分成假設(shè)干份，分的份數(shù)在5至20之間，那么有多少種分法？4.小英參加小學(xué)數(shù)學(xué)競賽，她說：“我得的

41、成績和我的歲數(shù)以及我得的名次乘起來是3916，總分值是100分。能否知道小英的年齡、考試成績及名次？5.舉例答復(fù)下面各問題：1兩個質(zhì)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)嗎？2兩個質(zhì)數(shù)的積能是質(zhì)數(shù)嗎？3兩個合數(shù)的和仍是合數(shù)嗎？4兩個合數(shù)的差大數(shù)減小數(shù)仍是合數(shù)嗎？5一個質(zhì)數(shù)與一個合數(shù)的和是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)？6.求不大于100的約數(shù)最多的自然數(shù)。7.同學(xué)們?nèi)ド浼?guī)定每射一箭得到的環(huán)數(shù)或者是“0脫靶或者是不超過10的自然數(shù)。甲、乙兩同學(xué)各射5箭，每人得到的總環(huán)數(shù)之積剛好都是1764，但是甲的總環(huán)數(shù)比乙少4環(huán)。求甲、乙各自的總環(huán)數(shù)。第7講 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)一如果一個自然數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么稱a為b的倍數(shù)，b為a的約

42、數(shù)。如果一個自然數(shù)同時是假設(shè)干個自然數(shù)的約數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這假設(shè)干個自然數(shù)的公約數(shù)。在所有公約數(shù)中最大的一個公約數(shù)，稱為這假設(shè)干個自然數(shù)的最大公約數(shù)。自然數(shù)a1，a2，an的最大公約數(shù)通常用符號a1，a2，an表示，例如，8，12=4，6，9，15=3。如果一個自然數(shù)同時是假設(shè)干個自然數(shù)的倍數(shù)，那么稱這個自然數(shù)是這假設(shè)干個自然數(shù)的公倍數(shù)。在所有公倍數(shù)中最小的一個公倍數(shù)，稱為這假設(shè)干個自然數(shù)的最小公倍數(shù)。自然數(shù)a1，a2，an的最小公倍數(shù)通常用符號a1，a2，an表示，例如8，12=24，6，9，15=90。常用的求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法是分解質(zhì)因數(shù)法和短除法。例1 用60元錢可以買

43、一級茶葉144克，或買二級茶葉180克，或買三級茶葉240克。現(xiàn)將這三種茶葉分別按整克數(shù)裝袋，要求每袋的價格都相等，那么每袋的價格最低是多少元錢？分析與解：因為144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉都是60元，分裝后每袋的價格相等，所以144克一級茶葉、180克二級茶葉、240克三級茶葉，分裝的袋數(shù)應(yīng)相同，即分裝的袋數(shù)應(yīng)是144，180，240的公約數(shù)。題目要求每袋的價格盡量低，所以分裝的袋數(shù)應(yīng)盡量多，應(yīng)是144，180，240的最大公約數(shù)。所以144，180，240=223=12，即每60元的茶葉分裝成12袋，每袋的價格最低是6012=5元。為節(jié)約篇幅，除必要時外，在求最大公約

44、數(shù)和最小公倍數(shù)時，將不再寫出短除式。例2 用自然數(shù)a去除498，450，414，得到相同的余數(shù)，a最大是多少？分析與解：因為498，450，414除以a所得的余數(shù)相同，所以它們兩兩之差的公約數(shù)應(yīng)能被a整除。498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求數(shù)是48，36，84=12。例3 現(xiàn)有三個自然數(shù)，它們的和是1111，這樣的三個自然數(shù)的公約數(shù)中，最大的可以是多少？分析與解：只知道三個自然數(shù)的和，不知道三個自然數(shù)具體是幾，似乎無法求最大公約數(shù)。只能從唯一的條件“它們的和是1111”入手分析。三個數(shù)的和是1111，它們的公約數(shù)一定是1111的約數(shù)。因為1111=10111

45、，它的約數(shù)只能是1，11，101和1111，由于三個自然數(shù)的和是1111，所以三個自然數(shù)都小于1111，1111不可能是三個自然數(shù)的公約數(shù)，而101是可能的，比方取三個數(shù)為101，101和909。所以所求數(shù)是101。例4 在一個3024的方格紙上畫一條對角線見下頁上圖，這條對角線除兩個端點外，共經(jīng)過多少個格點橫線與豎線的交叉點？分析與解：30，24=6，說明如果將方格紙橫、豎都分成6份，即分成66個相同的矩形，那么每個矩形是由306246=54個小方格組成。在66的簡化圖中，對角線也是它所經(jīng)過的每一個矩形的對角線，所以經(jīng)過5個格點見左以下圖。在對角線所經(jīng)過的每一個矩形的54個小方格中，對角線不

46、經(jīng)過任何格點見右以下圖。所以，對角線共經(jīng)過格點30，24-1=5個。例5 甲、乙、丙三人繞操場競走，他們走一圈分別需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同時從起點出發(fā)，最少需多長時間才能再次在起點相會？分析與解：甲、乙、丙走一圈分別需60秒、75秒和90秒，因為要在起點相會，即三人都要走整圈數(shù)，所以需要的時間應(yīng)是60，75，90的公倍數(shù)。所求時間為60，75，90=900秒=15分。例6 爺爺對小明說：“我現(xiàn)在的年齡是你的7倍，過幾年是你的6倍，再過假設(shè)干年就分別是你的5倍、4倍、3倍、2倍。你知道爺爺和小明現(xiàn)在的年齡嗎？分析與解：爺爺和小明的年齡隨著時間的推移都在變化，但他們的年齡差是保持不

47、變的。爺爺?shù)哪挲g現(xiàn)在是小明的7倍，說明他們的年齡差是6的倍數(shù)；同理，他們的年齡差也是5，4，3，2，1的倍數(shù)。由此推知，他們的年齡差是6，5，4，3，2的公倍數(shù)。6，5，4，3，2=60，爺爺和小明的年齡差是60的整數(shù)倍。考慮到年齡的實際情況，爺爺與小明的年齡差應(yīng)是60歲。所以現(xiàn)在小明的年齡=607-1=10歲，爺爺?shù)哪挲g=107=70歲。 練習(xí)71.有三根鋼管，分別長200厘米、240厘米、360厘米?，F(xiàn)要把這三根鋼管截成盡可能長而且相等的小段，一共能截成多少段？2.兩個小于150的數(shù)的積是2028，它們的最大公約數(shù)是13，求這兩個數(shù)。3.用19這九個數(shù)碼可以組成362880個沒有重復(fù)數(shù)字的

48、九位數(shù)，求這些數(shù)的最大公約數(shù)？4.大雪后的一天，亮亮和爸爸從同一點出發(fā)沿同一方向分別步測一個圓形花圃的周長。亮亮每步長54厘米，爸爸每步長72厘米，由于兩個人的腳印有重合，所以雪地上只留下60個腳印。問：這個花圃的周長是多少米？5.有一堆桔子，按每4個一堆分少1個，按每5個一堆分也少1個，按每6個一堆分還是少1個。這堆桔子至少有多少個？6.某公共汽車站有三條線路的公共汽車。第一條線路每隔5分鐘發(fā)車一次，第二、三條線路每隔6分鐘和8分鐘發(fā)車一次。9點時三條線路同時發(fā)車，下一次同時發(fā)車是什么時間？7.四個連續(xù)奇數(shù)的最小公倍數(shù)是6435，求這四個數(shù)。 第8講 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)二這一講主要講最大

49、公約數(shù)與最小公倍數(shù)的關(guān)系，并對最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的概念加以推廣。在求18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)時，由短除法可知，18，12=23=6，18，12=2332=36。如果把18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)相乘，那么18，1218，12=232332=233232=1812。也就是說，18與12的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于18與12的乘積。當(dāng)把18，12換成其它自然數(shù)時，依然有類似的結(jié)論。從而得出一個重要結(jié)論：兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積，等于這兩個自然數(shù)的乘積。即，a，ba，b=ab。例1 兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是72。其中一個自然數(shù)是18，求另一

50、個自然數(shù)。解：由上面的結(jié)論，另一個自然數(shù)是67218=24。例2 兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)是7，最小公倍數(shù)是210。這兩個自然數(shù)的和是77，求這兩個自然數(shù)。分析與解：如果將兩個自然數(shù)都除以7，那么原題變?yōu)椋骸皟蓚€自然數(shù)的最大公約數(shù)是1，最小公倍數(shù)是30。這兩個自然數(shù)的和是11，求這兩個自然數(shù)。改變以后的兩個數(shù)的乘積是130=30，和是11。30=130=215=310=56，由上式知，兩個因數(shù)的和是11的只有56，且5與6互質(zhì)。因此改變后的兩個數(shù)是5和6，故原來的兩個自然數(shù)是75=35和76=42。例3 a與b，a與c的最大公約數(shù)分別是12和15，a，b，c的最小公倍數(shù)是120，求a，b，c。分析與解：因為12，15都是