第二章信號檢測與估計理論(3)

1、2.3 隨 機 過 程基本概念介紹u 隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念u 統(tǒng)計特性和數(shù)字特征統(tǒng)計特性和數(shù)字特征u 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程u 高斯隨機過程高斯隨機過程u 隨機過程通過線性系統(tǒng)隨機過程通過線性系統(tǒng)u 窄帶隨機過程窄帶隨機過程u 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲 1 隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念u確定性過程確定性過程p其變化過程可以用一個或幾個時間其變化過程可以用一個或幾個時間t 的確定函數(shù)來描述。的確定函數(shù)來描述。u隨機過程隨機過程p其變化過程不可能用一個或幾個時間其變化過程不可能用一個或幾個時間t的確定函數(shù)來描述。的確定函數(shù)來描述。通信過程是信號和噪聲通過通

2、信系統(tǒng)的過程。而通信系統(tǒng)中通信過程是信號和噪聲通過通信系統(tǒng)的過程。而通信系統(tǒng)中遇到的信號和噪聲總帶有隨機性，從統(tǒng)計數(shù)學(xué)的觀點看，遇到的信號和噪聲總帶有隨機性，從統(tǒng)計數(shù)學(xué)的觀點看，隨隨機信號和噪聲統(tǒng)稱為隨機過程機信號和噪聲統(tǒng)稱為隨機過程1 隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念u隨機過程的定義：設(shè)隨機過程的定義：設(shè) 是隨機試驗。每一次試是隨機試驗。每一次試驗都有一條時間波形（稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)），記作驗都有一條時間波形（稱為樣本函數(shù)或?qū)崿F(xiàn)），記作 ，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體所有可能出現(xiàn)的結(jié)果的總體 就構(gòu)成一隨機過程，記作就構(gòu)成一隨機過程，記作 。u簡言之，無窮多個樣本函數(shù)的總體叫做簡言之，無窮多個

3、樣本函數(shù)的總體叫做隨機過程。隨機過程。u典型代表：擲硬幣、固定時間段內(nèi)電話用戶的呼叫次數(shù)等。典型代表：擲硬幣、固定時間段內(nèi)電話用戶的呼叫次數(shù)等。(1, 2,)kSk )(txi)(,),(),(21txtxtxn)(tx1(t)x2(t)xn(t)ttt樣本空間S1S2Sn(t)tk一個樣本一個隨機變量1 隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念u隨機過程隨機過程(t)具有兩個基本特征：具有兩個基本特征：p (t)是時間是時間t的函數(shù)；的函數(shù)；p在某一觀察時刻在某一觀察時刻t1，樣本的取值，樣本的取值(t1)是一個隨是一個隨機變量。因此，我們又可以把隨機過程看成依機變量。因此，我們又可以把隨機過程

4、看成依賴時間參數(shù)的一族隨機變量。賴時間參數(shù)的一族隨機變量。p可見，隨機過程具有可見，隨機過程具有隨機變量和和時間函數(shù)的特的特點。點。1 隨機過程的基本概念隨機過程的基本概念一維分布函數(shù)：一維分布函數(shù)：)(),(11111xtPtxF一維概率密度函數(shù)：一維概率密度函數(shù)：),(),(1111111txfxtxF二維分布函數(shù)：二維分布函數(shù)：221121211)(,)(),;,(xtxtPttxxF二維概率密度函數(shù)：二維概率密度函數(shù)：),;,(),;,(2121221212122ttxxfxxttxxF隨機過程的隨機過程的統(tǒng)計特性用統(tǒng)計特性用分布函數(shù)、分布函數(shù)、概率密度函概率密度函數(shù)或數(shù)字特數(shù)或數(shù)字特

5、征來描述。征來描述。2 統(tǒng)計特性2 數(shù)字特征分布函數(shù)或概率密度函數(shù)能夠較全面地描述隨機過程的統(tǒng)計特分布函數(shù)或概率密度函數(shù)能夠較全面地描述隨機過程的統(tǒng)計特性性在實際工作中，有時不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，在實際工作中，有時不易或不需求出分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，用隨機過程的數(shù)字特征來描述隨機過程的統(tǒng)計特性，更簡單直用隨機過程的數(shù)字特征來描述隨機過程的統(tǒng)計特性，更簡單直觀。觀。111111),()(dxtxfxtEdxtxfxtEta),()()(1數(shù)學(xué)期望（均值）數(shù)學(xué)期望（均值）方差方差2 數(shù)字特征方差等于均方值與數(shù)學(xué)期望平方之差。它表示隨機過程在時刻方差等于均方值與數(shù)學(xué)期望平方之差。它

6、表示隨機過程在時刻t對于均值對于均值a(t)的偏的偏離程度。離程度。均值和方差是對均值和方差是對隨機變量求積分隨機變量求積分或求和或求和均值均值和方差和方差是時是時間的函數(shù)間的函數(shù)22()()()D XE XEX2 數(shù)字特征相關(guān)函數(shù)衡量隨機過程在任意兩個時刻獲得的隨機變量之間的關(guān)聯(lián)程度時，常用協(xié)方衡量隨機過程在任意兩個時刻獲得的隨機變量之間的關(guān)聯(lián)程度時，常用協(xié)方差函數(shù)差函數(shù)B(t1, t2)和相關(guān)函數(shù)和相關(guān)函數(shù)R(t1, t2)來表示。來表示。協(xié)方差函數(shù)同一隨機過程同一隨機過程,不同時間間關(guān)系不同時間間關(guān)系自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)不同隨機過程不同隨機過程,不同時間間關(guān)系不同時間間關(guān)系互協(xié)方差函

7、數(shù)互協(xié)方差函數(shù) 2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR)()(),(),(212121tatattRttB)()(),(2121ttEttR相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)同一隨機過程同一隨機過程,不同時間間關(guān)系不同時間間關(guān)系自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)不同隨機過程不同隨機過程,不同時間間關(guān)系不同時間間關(guān)系互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)2 數(shù)字特征 過程是慢變化，過程是慢變化， 過程是快變化，它們大致有相過程是快變化，它們大致有相同的均值、方差，但是在不同時刻的取值，對于同的均值、方差，但是在不同時刻的取值，對于 來說，相關(guān)性強；對于來說，相關(guān)性強；對于 來說，相關(guān)性弱。來說，相關(guān)

8、性弱。 2 數(shù)字特征)(t)(t)(t相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù))(t)(t)(t相關(guān)器的概念相關(guān)器的概念自相關(guān)器自相關(guān)器隨機信號隨機信號x x（）的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)RxRx（）由此可繪出測量、計算自相關(guān)函數(shù)的電路或裝置由此可繪出測量、計算自相關(guān)函數(shù)的電路或裝置01( )( ) ()lim( ) ()TxTRx t x tx t x tdtT積分器積分器延時延時X(t-)X(t-)Rx()Rx()X(t)X(t)自相關(guān)器的電路原理圖自相關(guān)器的電路原理圖例：設(shè)例：設(shè)s（t）為隨機相位正弦信號，）為隨機相位正弦信號，n（t）為低頻限帶噪聲，則信號和噪聲的相）為低頻限帶噪聲，則信號和噪聲的相關(guān)函數(shù)分別為

9、關(guān)函數(shù)分別為由圖知，當由圖知，當較大時，較大時，Rs（ ） Rn（ ）,因此只要因此只要足夠大，就可以從噪足夠大，就可以從噪聲中提取信號。聲中提取信號。20cos( )2msUR0sin(2)( )2nBRN BB 自相關(guān)器優(yōu)點：自相關(guān)器優(yōu)點：（1）方法簡單）方法簡單（2）實現(xiàn)起來容易）實現(xiàn)起來容易缺點：缺點：（1）它不可能完全消除噪聲的影響，除非時間足夠長。）它不可能完全消除噪聲的影響，除非時間足夠長。（2）時間必須很長，即）時間必須很長，即，用有限的時間代替不理想。，用有限的時間代替不理想?；ハ嚓P(guān)器互相關(guān)器互相關(guān)器的優(yōu)點：互相關(guān)器的優(yōu)點：提取信號效果優(yōu)于自相關(guān)器，提取信號能量越強，對噪聲抑

10、制越徹提取信號效果優(yōu)于自相關(guān)器，提取信號能量越強，對噪聲抑制越徹底。底。Rxy()積分器延時y(t-)X(t)互相關(guān)器的電路原理圖y(t)2 數(shù)字特征獨立概念相關(guān)概念22 E XYE X E YD XYD X D YE aXbYaE XbE YD aXbYa D Xb D Y() ( )()( )xyE XE XE YE YD X D Y0 xyX和Y不相關(guān)1xyX和Y線性相關(guān)( , )( )( )( , )( )( )XYXYF x yFx Fyf x yfxfy【例】【例】 已知已知X和和Y是相互獨立的兩個隨機變量，它們均值和方是相互獨立的兩個隨機變量，它們均值和方差分別為差分別為2和和6

11、，試求，試求 的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)。的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)。11( )cossinZ tXw tYw t111111 ( )cossincos sin2(cossin)E Z tE XwtYwtE XwtE Ywtwtwt1122112211 ( )cossincos sin6(cossin)6D Z tD XwtYwtD XwtD Ywtwtwt121 11 11 21 221 11 21 11 21 11 21 21 121211211211 ( ),( )(cossin)(cossin)()coscossinsin(cossincossin)()cos() sin()10cos()

12、4sin(R Z tZ tE XwtYwtXwtYwtE XwtwtwtwtE XYwtwtwtwtE Xw ttE X E Yw ttw ttw t21)t2 數(shù)字特征平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程 是指它的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化。是指它的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化。),;,(),;,(21212121hththtxxxftttxxxfnnnnnn則稱則稱 是嚴平穩(wěn)隨機過程或狹義平穩(wěn)隨機過程。是嚴平穩(wěn)隨機過程或狹義平穩(wěn)隨機過程。)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxf)(t3 平穩(wěn)隨機過程如果如果任意非零值任意非零值21tt一維概率密度函數(shù)一維概率密

13、度函數(shù)二維概率密度函數(shù)二維概率密度函數(shù)均值均值adxxfxtE1111)()(自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)12111221212( , )( ) ()( ,; )( )R t tEttx x fx xdx dxR )(),(11RttR3 平穩(wěn)隨機過程設(shè)有一個二階矩隨機過程設(shè)有一個二階矩隨機過程 ，它的均值為常數(shù)，它的均值為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)僅是自相關(guān)函數(shù)僅是的函數(shù)，則稱它為寬平穩(wěn)隨機過程的函數(shù)，則稱它為寬平穩(wěn)隨機過程或廣義平穩(wěn)隨機過程?；驈V義平穩(wěn)隨機過程。通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機過程。通信系統(tǒng)中所遇到的信號及噪聲，大多數(shù)可視為平穩(wěn)的隨機過程。)(t3 平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)平穩(wěn)隨

14、機隨機過程過程均值為常數(shù)均值為常數(shù)自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔有關(guān)只與時間間隔有關(guān)與時間起點無關(guān)與時間起點無關(guān)如何判別隨機過程是平穩(wěn)的？x(t)是平穩(wěn)隨機過程是平穩(wěn)隨機過程 的任意一個實現(xiàn)，它的的任意一個實現(xiàn)，它的 時間均值時間均值 和和 時間相關(guān)函數(shù)時間相關(guān)函數(shù) 分別為分別為2/2/)(1lim)(TTTdttxTtxa2/2/)()(1lim)()()(TTTdttxtxTtxtxR)(t如果平穩(wěn)隨機過程依概率1使下式成立： aa )()(RR 則稱該平穩(wěn)隨機過程具有則稱該平穩(wěn)隨機過程具有各態(tài)歷經(jīng)性。各態(tài)歷經(jīng)性。所謂各態(tài)歷經(jīng)的意思是只要觀測時間足夠長所謂各態(tài)歷經(jīng)的意思是只要觀測時間足夠

15、長,隨機過程的每個樣本函數(shù)都能夠隨機過程的每個樣本函數(shù)都能夠”經(jīng)歷經(jīng)歷”各種可能的狀態(tài)。即按各種可能的狀態(tài)。即按“時間平均時間平均”來代替來代替“統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均” 。各態(tài)歷經(jīng)性 “各態(tài)歷經(jīng)各態(tài)歷經(jīng)”的含義：的含義：隨機過程中的任一實現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機過程的所有隨機過程中的任一實現(xiàn)都經(jīng)歷了隨機過程的所有可能狀態(tài)。因此，可能狀態(tài)。因此， 我們無需（實際中也不可能）獲得大量用來計算統(tǒng)計平均我們無需（實際中也不可能）獲得大量用來計算統(tǒng)計平均的樣本函數(shù)，而只需從任意一個隨機過程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)的樣本函數(shù)，而只需從任意一個隨機過程的樣本函數(shù)中就可獲得它的所有的數(shù)字特征，從而使字特征，從而使“

16、統(tǒng)計平均統(tǒng)計平均”化為化為“時間平均時間平均”，使實際測量和計算的問題大，使實際測量和計算的問題大為簡化。為簡化。 具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機過程必定是平穩(wěn)隨機過程，但平穩(wěn)隨機過程不具有各態(tài)歷經(jīng)性的隨機過程必定是平穩(wěn)隨機過程，但平穩(wěn)隨機過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足一定是各態(tài)歷經(jīng)的。在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號和噪聲，一般均能滿足各態(tài)歷經(jīng)條件。各態(tài)歷經(jīng)條件。各態(tài)歷經(jīng)性判斷各態(tài)歷經(jīng)性首先判斷是否滿足寬平穩(wěn)條件判斷各態(tài)歷經(jīng)性首先判斷是否滿足寬平穩(wěn)條件例：例：設(shè)有一個隨機相位余弦波設(shè)有一個隨機相位余弦波0( )cos()X tAt 其中其中A A 和和 0 0 均

17、為常數(shù)，均為常數(shù)， 是在是在(0, 2(0, 2 ) )內(nèi)均勻分布的隨機變內(nèi)均勻分布的隨機變量。試討論量。試討論X X(t)(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。解解: : (1) (1) 先求先求X X(t)(t)的統(tǒng)計平均值。數(shù)學(xué)期望的統(tǒng)計平均值。數(shù)學(xué)期望20020002200001( )( )cos()2(coscossinsin)2coscossinsin20a tE X tAtdAttdAtdtd 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)12120 10 220210212220210210202120( ,)( )( )cos()cos()cos()cos()2 21cos()cos()2 2

18、22cos()02cos( )( )2R t tE X tX tE AtAtAEttttAAttttdAttAR 由由a(t) 和和R( ) 可見可見X(t)是一個廣義隨機過程。是一個廣義隨機過程。(2) 求求X(t)的時間平均值。的時間平均值。/20/21( )limcos()0TTTa tAtdtT/200/22/2/2000/2/2201( )limcos()cos()limcoscos(22 )2cos2TTTTTTTTRAtAtdtTAdttdtTA 比較比較X(t)的統(tǒng)計平均值和時間平均值，有的統(tǒng)計平均值和時間平均值，有( )( ),( )( )a ta tRR 故故X(t)是各態(tài)

19、歷經(jīng)的。是各態(tài)歷經(jīng)的。q 平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)隨機過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) 設(shè)設(shè)X(t) 為實平穩(wěn)隨機過程，則為實平穩(wěn)隨機過程，則它的自相關(guān)函數(shù)它的自相關(guān)函數(shù) 具有下列主要性質(zhì)：具有下列主要性質(zhì)：(1) R(0) = EX2(t) =S稱為稱為X(t) 的平均功率的平均功率 (2) R() = E2X(t)稱為稱為X(t) 的直流功率的直流功率 (3) R( ) =R( ) R是是 的偶函數(shù)的偶函數(shù) (4) |R( )| R(0) R(0) 是是R( ) 的上界的上界 (5) R(0) R() = 2 方差，稱為方差，稱為X(t)的交流功率的交流功率 12( )( )( )RE X t

20、X t隨機過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的隨機過程的頻譜特性是用它的功率譜密度來表述的。對于任意的確定功率信號對于任意的確定功率信號f(t)，它的功率譜密度為，它的功率譜密度為TFPTTf2)(lim)(我們可以把我們可以把f(t)看成是平穩(wěn)隨機過程看成是平穩(wěn)隨機過程(t)中的任一實現(xiàn)，因而中的任一實現(xiàn)，因而每每一實現(xiàn)一實現(xiàn)的功率譜密度也可用上式來表示。的功率譜密度也可用上式來表示。由于由于(t)是無窮多個實現(xiàn)的集合，哪一個實現(xiàn)出現(xiàn)是不能預(yù)知的，是無窮多個實現(xiàn)的集合，哪一個實現(xiàn)出現(xiàn)是不能預(yù)知的，因此，某一實現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的功率譜密度。因此，某一實現(xiàn)的功率譜密度不能作為過程的

21、功率譜密度。過程過程的功率譜密度應(yīng)看做是任一實現(xiàn)的的功率譜密度應(yīng)看做是任一實現(xiàn)的功率譜的統(tǒng)計平均功率譜的統(tǒng)計平均，即，即 平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度( )的f tFT功率信號功率信號f(t)及其截短函數(shù)及其截短函數(shù)f (t)Otf T(t)tOT2T2平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度TFEPEPTTf2)(lim)()(的平均功率的平均功率S則可表示成則可表示成dTFEdPSTT2)(lim21)(21)(t平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度功率譜的統(tǒng)功率譜的統(tǒng)計平均計平均2/2/2/2/2/2/2/2/2/2/2()/2/2( )1( )( )1( )( )1()(1) ( )(,)TTTj tj tTTTTT

22、Tj tj tTTTTjttTTTjTFEEt edtt edtTTEt edtt edtTR tt edt dtTRedtt kttT 2( )limlim( )(1) ( )( )TTjTjFPERedTTTTRed 平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度u確知的非周期功率信號的自相關(guān)函數(shù)與其譜密度是一對確知的非周期功率信號的自相關(guān)函數(shù)與其譜密度是一對 傅氏變換關(guān)系傅氏變換關(guān)系 。 對于平穩(wěn)隨機過程，也有類似的關(guān)系，即維納對于平穩(wěn)隨機過程，也有類似的關(guān)系，即維納辛欽定理辛欽定理deRPj)()(dePRj)(21)()()(PR平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度)()(21)0(2tEdPRR(0)表示隨機過程的

23、平均功率表示隨機過程的平均功率0)(P)()(PP非負性非負性偶函數(shù)偶函數(shù)平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度例例 某隨機相位余弦波某隨機相位余弦波 ，其中，其中A和和 均為常數(shù)，均為常數(shù)，是在是在(0, )內(nèi)均勻分布的隨內(nèi)均勻分布的隨機變量。機變量。 求求 的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度.)cos()(tAtcc2)(t平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度解：解： 先考察先考察(t)是否是否廣義平穩(wěn)廣義平穩(wěn) 的數(shù)學(xué)期望為的數(shù)學(xué)期望為021)cos()()(20dtAtEtac的自相關(guān)函數(shù)為的自相關(guān)函數(shù)為)()(cos2)()(),(1222121RttAttEttRc)(t)(t根據(jù)根據(jù))()(c

24、osccc以及以及)()(PR是廣義平穩(wěn)。是廣義平穩(wěn)。)(t)()(2)(2ccAP則功率譜密度為則功率譜密度為2)()0(2AdPRS平均功率為平均功率為平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度4高斯隨機過程高斯隨機過程 若隨機過程若隨機過程(t)的任意的任意n維（維（n=1, 2, ）分布都是正）分布都是正態(tài)分布，則稱它為高斯隨機過程或正態(tài)過程。態(tài)分布，則稱它為高斯隨機過程或正態(tài)過程。 12121/2/212111(,; ,)(2 )1exp2nnnnnnnjjkkjkjkjkfx xxt ttBxaxaBB 22)()(kkkkkatEtEa1111,(,; ,)(, )()nnnnnfxx ttf x

25、 tf x t如果各隨機變量兩兩之間互不相關(guān)，則上式中，對所有如果各隨機變量兩兩之間互不相關(guān)，則上式中，對所有統(tǒng)計獨立統(tǒng)計獨立4高斯隨機過程高斯隨機過程 由式可以看出由式可以看出, 高斯過程的高斯過程的n維分布完全由維分布完全由n個隨機變量的數(shù)個隨機變量的數(shù)學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。因此，學(xué)期望、方差和兩兩之間的歸一化協(xié)方差函數(shù)所決定。因此，對于高斯過程，只要研究它的數(shù)字特征就可以了。對于高斯過程，只要研究它的數(shù)字特征就可以了。如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它的均值、方差與時間無關(guān)，如果高斯過程是廣義平穩(wěn)的，則它的均值、方差與時間無關(guān)，協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起

26、點無關(guān)，由性質(zhì)協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關(guān)，而與時間起點無關(guān)，由性質(zhì)1知，它的知，它的n維分布與時間起點無關(guān)。所以，廣義平穩(wěn)的高斯維分布與時間起點無關(guān)。所以，廣義平穩(wěn)的高斯過程也是狹義平穩(wěn)的。過程也是狹義平穩(wěn)的。高斯過程經(jīng)過線性變換（或線性系統(tǒng)）后仍是高斯過程高斯過程經(jīng)過線性變換（或線性系統(tǒng)）后仍是高斯過程。高斯隨機過程重要性質(zhì)高斯隨機過程重要性質(zhì) 222)(exp21)(axxff(x)具有如下特性 (1) f(x)對稱于x=a這條直線。 (2)21)()(aadxxfdxxf1)(dxxf正態(tài)分布的概率密度正態(tài)分布的概率密度一維高斯隨機過程一維高斯隨機過程 f (x)12Oax（3）a表示分

27、布中心，表示分布中心， 表示表示集中程度集中程度, 圖形將隨著圖形將隨著 的的減小而變高和變窄。當減小而變高和變窄。當 時，稱為標準正態(tài)分布的時，稱為標準正態(tài)分布的密度函數(shù)。密度函數(shù)。1, 0a（3）a表示分布中心，表示分布中心， 表示表示集中程度集中程度, 圖形將隨著圖形將隨著 的的減小而變高和變窄。當減小而變高和變窄。當 時，稱為標準正態(tài)分布的時，稱為標準正態(tài)分布的密度函數(shù)。密度函數(shù)。1, 0a1, 0a（3）a表示分布中心，表示分布中心， 表示表示集中程度集中程度, 圖形將隨著圖形將隨著 的的減小而變高和變窄。當減小而變高和變窄。當 時，稱為標準正態(tài)分布的時，稱為標準正態(tài)分布的密度函數(shù)。

28、密度函數(shù)。1, 0a誤差函數(shù)和互補誤差函數(shù)誤差函數(shù)和互補誤差函數(shù)xtdtexerf022)(dtexerfxerfcxt22)(1)(引入：互補誤差函數(shù)引入：互補誤差函數(shù))()(, 1)(, 0)0(xerfxerferferf)(2)(, 0)(, 1)0(xerfcxerfcerfcerfc引入：誤差函數(shù)引入：誤差函數(shù)它是自變量的遞增函數(shù)：它是自變量的遞增函數(shù)： 它是自變量的遞減函數(shù)：它是自變量的遞減函數(shù)： 5 隨機過程通過線性系統(tǒng)只考慮平穩(wěn)過程通過線性時不變系統(tǒng)的情況。只考慮平穩(wěn)過程通過線性時不變系統(tǒng)的情況。隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析，完全是建立在確知信隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析，完全是

29、建立在確知信號通過線性系統(tǒng)的分析原理的基礎(chǔ)之上的。號通過線性系統(tǒng)的分析原理的基礎(chǔ)之上的。我們知道，線性系統(tǒng)的響應(yīng)我們知道，線性系統(tǒng)的響應(yīng)v vo o(t)(t)等于輸入信號等于輸入信號v vi i(t)(t)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)與系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)h(t)的卷積，即的卷積，即dthvthtvtvii)()()()()(0),()(),()(),()(00HthVtvVtvii若若則有則有)()()(0iVHV若線性系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的，則若線性系統(tǒng)是物理可實現(xiàn)的，則dthvtvti)()()(0或或dtvhtvi)()()(00 如果把如果把vi(t)看作是輸入隨機過程的一個樣本，看作是

30、輸入隨機過程的一個樣本，則則vo(t)可看作是輸出隨機過程的一個樣本。顯然，輸可看作是輸出隨機過程的一個樣本。顯然，輸入過程入過程i(t)的每個樣本與輸出過程的每個樣本與輸出過程o(t)的相應(yīng)樣本之的相應(yīng)樣本之間都滿足上式的關(guān)系。間都滿足上式的關(guān)系。 這樣，就整個過程而言，便有這樣，就整個過程而言，便有dthti)()()(005 隨機過程通過線性系統(tǒng)假定輸入假定輸入i(t)是平穩(wěn)隨機過程，是平穩(wěn)隨機過程， 則可以分析系統(tǒng)的輸則可以分析系統(tǒng)的輸出過程出過程o(t)的統(tǒng)計特性。的統(tǒng)計特性。5 隨機過程通過線性系統(tǒng)000000( )( )()( )( )()()( )( )()( )iiiiith

31、tdEtEhtdEtEtahEtdahd 1. 輸出過程輸出過程o(t)的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望000( )( )(0)( )( )(0)j tHh t edtHh t dtEta H 由此可見由此可見, 輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望與直流傳遞函數(shù)期望與直流傳遞函數(shù)H(0)的乘積，且與的乘積，且與t無關(guān)。無關(guān)。 011010111001100( ,)( )()( )()( )()( ) ( )()()iiiiR t tEttEhtdhtdhhEttd d 可見可見, o(t)的自相關(guān)函數(shù)只依賴時間間隔的自相關(guān)函數(shù)只依賴時間間隔而與時間而與時間起點起點

32、t1無關(guān)。由以上輸出過程的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函無關(guān)。由以上輸出過程的數(shù)學(xué)期望和自相關(guān)函數(shù)證明，數(shù)證明，若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出若線性系統(tǒng)的輸入過程是平穩(wěn)的，那么輸出過程也是平穩(wěn)的。過程也是平穩(wěn)的。2. 輸出過程輸出過程o(t)的自相關(guān)函數(shù)的自相關(guān)函數(shù) )()()(11iiiRttE011000( ,)( ) ( )()( )iR t thhRd dR 5 隨機過程通過線性系統(tǒng)3. 輸出過程輸出過程o(t)的功率譜密度的功率譜密度deddRhhdeRPjij 0000)()()()()(可見，系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度系統(tǒng)輸出功率譜密度是輸入功率譜密度Pi()與與系統(tǒng)功率傳輸

33、函數(shù)系統(tǒng)功率傳輸函數(shù)|H()|2的乘積。的乘積。5 隨機過程通過線性系統(tǒng))()()()()()(20iiPHPHHPdeRdehdehPjwijj000)()()()()(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats6 窄帶隨機過程隨機過程通過以隨機過程通過以fc為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出，即為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出，即是窄帶隨機過程。所謂窄帶系統(tǒng)，是指其通帶寬度是窄帶隨機過程。所謂窄帶系統(tǒng)，是指其通帶寬度ffc，且，且fc遠離零頻率的系統(tǒng)。遠離零頻率的系統(tǒng)。實際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系實際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系統(tǒng)的信號或噪聲必是窄帶的，如果這時

34、的信號或噪聲統(tǒng)的信號或噪聲必是窄帶的，如果這時的信號或噪聲又是隨機的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機過程?？杀硎緸椋河质请S機的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機過程。可表示為：0)(,)(cos)()(tatttatctttttcsccsin)(cos)()(窄帶過程的頻譜和波形示意 fcOS( f )fffcf(a)tOS( f )緩慢變化的包絡(luò) a(t)頻率近似為 fc(b)6 窄帶隨機過程 a(t)及(t)分別是(t)的隨機包絡(luò)和隨機相位，c(t)及s(t)分別稱為(t)的同相分量和正交分量，它們也是隨機過程，顯然它們的變化相對于載波cosct的變化要緩慢得多。 (t)的統(tǒng)計特性可由a(t)，(t)或c(t),s

35、(t)的統(tǒng)計特性確定。反之，如果已知(t)的統(tǒng)計特性則可確定a(t),(t)以及c(t)，s(t)的統(tǒng)計特性。 6 窄帶隨機過程1 同相和正交分量的統(tǒng)計特性同相和正交分量的統(tǒng)計特性 設(shè)窄帶過程設(shè)窄帶過程(t)是平穩(wěn)高斯窄帶過程，是平穩(wěn)高斯窄帶過程，且且 均值為零，方差為均值為零，方差為 。 可以證明它的同相分量可以證明它的同相分量c(t)和正交分量和正交分量s(t)也也是零均值的平穩(wěn)高斯過程，而且與是零均值的平穩(wěn)高斯過程，而且與(t)具有相同的方具有相同的方差。差。 20)(0)(0)(tEtEtEsc2222sc此外，在同一時刻上得到的此外，在同一時刻上得到的c和和s是互不相關(guān)的或是互不相關(guān)

36、的或統(tǒng)計獨立的。統(tǒng)計獨立的。 6 窄帶隨機過程2 包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性22222exp21)()(),(cscscfff一個均值為零，方差為一個均值為零，方差為 的窄帶平穩(wěn)高斯過程的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，其包絡(luò)其包絡(luò)a(t)的一維分布是瑞利分布，相位的一維分布是瑞利分布，相位(t)的一的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，a(t)與與(t)是統(tǒng)計獨立的是統(tǒng)計獨立的，即有下式成立：(,)()()f af af 20,2exp)(222aaaaf20,21)(f6 窄帶隨機過程瑞利分布瑞利分布7 正弦波加窄帶高斯噪聲信號經(jīng)過信道傳輸后

37、總會受到噪聲的干擾，為了減少噪聲的影信號經(jīng)過信道傳輸后總會受到噪聲的干擾，為了減少噪聲的影響，通常在接收機前端設(shè)置一個帶通濾波器，以濾除信號頻帶響，通常在接收機前端設(shè)置一個帶通濾波器，以濾除信號頻帶以外的噪聲。以外的噪聲。因此，帶通濾波器的輸出是信號與窄帶噪聲的混合波形。因此，帶通濾波器的輸出是信號與窄帶噪聲的混合波形。最常見的是正弦波加窄帶高斯噪聲的合成波，這是通信系統(tǒng)中最常見的是正弦波加窄帶高斯噪聲的合成波，這是通信系統(tǒng)中常會遇到的一種情況，所以有必要了解合成信號的包絡(luò)和相位常會遇到的一種情況，所以有必要了解合成信號的包絡(luò)和相位的統(tǒng)計特性。的統(tǒng)計特性。)()cos()(tntAtrcttn

38、ttntncsccsin)(cos)()(22)(, 0)(ntnEtnE正弦波有用信號正弦波有用信號窄帶高斯噪聲窄帶高斯噪聲)(cos)(sin)(cos)()(tttzttzttztrccscc)(cos)(tnAtzcc)(sin)(tnAtzss0, )()()(22ztztztzsc20,)()(arctan)(tztztcs合成信號合成信號r(t)的包絡(luò)和相位為的包絡(luò)和相位為222,sin)(,cos)(nscscAtzEAtzE正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)概率密度函數(shù)為正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)概率密度函數(shù)為0,)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnn廣義瑞利分布，廣

39、義瑞利分布，萊斯（萊斯（Rice）密度函數(shù)）密度函數(shù)7正弦波加窄帶高斯噪聲上式存在兩種極限情況：上式存在兩種極限情況： 當信號很小，當信號很小，A0，即信噪比，即信噪比 時，時，x值很小，有值很小，有I0(x)=1，這時合成波，這時合成波r(t)中只中只存在窄帶高斯噪聲，即由萊斯分布退化為瑞利分存在窄帶高斯噪聲，即由萊斯分布退化為瑞利分布。布。當信噪比當信噪比r很大時，有很大時，有I0(x) ，這時在，這時在zA附近，附近， f(z)近似于高斯分布。近似于高斯分布。22/20nAr /2xex 由此可見，信號加噪聲的合成波包絡(luò)分布與信噪比有由此可見，信號加噪聲的合成波包絡(luò)分布與信噪比有關(guān)。小信

40、噪比時，它接近于瑞利分布；大信噪比時，關(guān)。小信噪比時，它接近于瑞利分布；大信噪比時，它接近于高斯分布；在一般情況下它是萊斯分布。它接近于高斯分布；在一般情況下它是萊斯分布。7 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯過程的包絡(luò)與相位分布 n f (z)0.50.40.30.20.1r 0nAz(a) 0r 0f ( )(b)0r 1r 1f()也與信噪比有關(guān)。小信噪比時，也與信噪比有關(guān)。小信噪比時，f()接近于均勻接近于均勻分布，它反映這時窄帶高斯噪聲為主的情況；大信噪分布，它反映這時窄帶高斯噪聲為主的情況；大信噪比時，比時，f()主要集中在有用信號相位附近。主要集中在有用信號相位附近。7正弦波加

41、窄帶高斯噪聲2)(0nP這種噪聲被稱為這種噪聲被稱為白噪聲白噪聲，它是一個理想的寬帶隨機過，它是一個理想的寬帶隨機過程。式中程。式中n n0 0為一常數(shù)，單位是瓦為一常數(shù)，單位是瓦/ /赫。顯然，白噪聲赫。顯然，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)可借助于下式求得，即的自相關(guān)函數(shù)可借助于下式求得，即)(2)(0nR信號在信道中傳輸時，常會遇到這樣一類噪聲，它的信號在信道中傳輸時，常會遇到這樣一類噪聲，它的功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內(nèi)，即功率譜密度均勻分布在整個頻率范圍內(nèi)，即這說明，白噪聲只有在這說明，白噪聲只有在=0=0時才相關(guān)，而它在任意兩時才相關(guān)，而它在任意兩個時刻上的隨機變量都是互不相關(guān)的。個時刻上的隨機變量都是互不相關(guān)的。高斯白噪聲高斯白噪聲P()0f0n02n02R白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)高斯白噪聲高斯白噪聲 如果如果白噪聲白噪聲又是又是高斯分布高斯分布的，我們就稱之為高斯的，我們就稱之為高斯白噪聲。白噪聲。 高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的取值之間，高斯白噪聲在任意兩個不同時刻上的取值之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計獨立的。不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計獨立的。 應(yīng)當指出，我們所定義的這種理想化的白噪聲在應(yīng)當指出，我們所定義的