0315張妍等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式

1、中小學(xué) 1 對(duì)1 課外輔導(dǎo)教育學(xué)科教學(xué)案教師:學(xué)生:日期:_ 3.16_: 天 時(shí)段: 10:00-12:00 1教育揚(yáng)州訓(xùn)導(dǎo)部課題數(shù)列的概念及其通項(xiàng)公式學(xué)習(xí)目標(biāo)與考點(diǎn)分析1、 體會(huì)等差數(shù)列是用來(lái)刻畫(huà)一類離散現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，理解等差數(shù)列的概念；2、 掌握“疊加法”求等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能用公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題；分析學(xué)習(xí)重難點(diǎn)重點(diǎn)：數(shù)列及其通項(xiàng)公式的定義；數(shù)列的前 n 項(xiàng)和與通項(xiàng)公式的關(guān)系及其求法；難點(diǎn)：正確運(yùn)用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式；對(duì)用遞推公式求出的數(shù)列的討論； 等差等比數(shù)列的應(yīng)用和性質(zhì)。教學(xué)方法教學(xué)提綱與過(guò)程第一部分:教學(xué)提綱第二部分:教學(xué)過(guò)程學(xué)

2、習(xí)要求1、 體會(huì)等差數(shù)列是用來(lái)刻畫(huà)一類離散現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，理解等差數(shù)列的概念；2、 掌握“疊加法”求等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能用公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題；【自學(xué)評(píng)價(jià)】1. 等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列（arithmetic progression），這個(gè)就叫做 _（common difference），常用字母“d”表示。公差 d 一定是由_，而不能用前項(xiàng)減后項(xiàng)來(lái)求；+對(duì)于數(shù)列 an ,若 an an-1 =d (與n 無(wú)關(guān)的數(shù)或字母)，n2，nN ，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d 為公差2. 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；3.

3、如果 a,A，b 成等差數(shù)列，那么 A 叫做 a 與 b 的；且 A =.中小學(xué) 1 對(duì)1 課外輔導(dǎo)【精典范例】【例 1】根據(jù)等差數(shù)列的概念，（1）1，1，1，1，1，1（2）4，7，10，13，16（3）-3，-2，-1，0，1，2，3【解】下列數(shù)列是否是等差數(shù)列；思考：如果一個(gè)數(shù)列an 的通項(xiàng)公式為 an = kn + b ，其中 k, b 都是，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？【例 2】求出下列等差數(shù)列中的未知項(xiàng)：（），；（），【解】【例 3】（1）求等差數(shù)列 8，5，2的第 20 項(xiàng)？（2） - 401 是不是等差數(shù)列- 5， - 9， - 13，的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)？【解】【追蹤訓(xùn)練

4、一】：下列數(shù)列是否為等差數(shù)列：（），；（），；（），；（），；（），2教育揚(yáng)州訓(xùn)導(dǎo)部中小學(xué) 1 對(duì)1 課外輔導(dǎo)目前男子舉重比賽共有個(gè)級(jí)別，除 108 公斤以外，其余的個(gè)級(jí)別從小到大依次為（：）54，59，64，70，76，83，91，99，108，這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？已知下列數(shù)列是等差數(shù)列，試在括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：（）（ ），；（）， 2 ，（）；（），（ ），（），4已知數(shù)列8, a, 2, b, c, -7 是等差數(shù)列，項(xiàng) a, b, c 的值?！窘狻俊具x修延伸】【例 4】在等差數(shù)列an 中，已知 a5 = 10 ， a12 = 31，求 a20 , an分析： 先根據(jù)兩個(gè)的條件解出兩個(gè)

5、量 a1 和 d，進(jìn)而再寫(xiě)出 an 的表達(dá)式.幾個(gè)的條件就可以解出幾個(gè)未知量，這是方程組的重要應(yīng)用.【解法一】：思考：在此題中，有 a12 = a5 + 7d ，思考，能否不求首項(xiàng) a1 ，而將an 求出？【解法二】：思維點(diǎn)拔：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式涉及到四個(gè)量 a1、an、n、d，用方程的觀點(diǎn)知三求一。列方程組求基本量是解決等差數(shù)列問(wèn)題的常用方法，注意通項(xiàng)公式更一般的形式： an = am + (n - m)d3教育揚(yáng)州訓(xùn)導(dǎo)部中小學(xué) 1 對(duì)1 課外輔導(dǎo)【例 5】若(z - x)2 - 4(x - y)( y - z) = 0 ，則 x, y, z 成等差數(shù)列。【證明】思維點(diǎn)拔：當(dāng)已知 a、b、c

6、 成等差數(shù)列時(shí)，通常采用 2b=a+c 作為解決問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn).【追蹤訓(xùn)練二】：1. 數(shù)列an的通項(xiàng)公式 an2n5，則此數(shù)列（A. 是公差為 2 的等差數(shù)列B. 是公差為 5 的等差數(shù)列）C.是首5 的等差數(shù)列D.是公差為 n 的等差數(shù)列2.等差數(shù)列an中，a2=5,d=3，則 a1 為（ ）A.9B.8C.7D.43.已知等差數(shù)列an的前 3 項(xiàng)依次為 a1,a+1,2a+3，則此數(shù)列的通項(xiàng) an 為（）A.2n5C.2n1B.2n3D.2n+14.在等差數(shù)列an中，若 a3=50,a5=30，則 a7=.5.在1 和 8 之間兩個(gè)數(shù) a,b，使這四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，則 a=,b=.16.已知

7、數(shù)列an中 a3=2,a7=1，又?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列，則 a11 等于（ ）an + 11273A.0B.C.D.1學(xué)習(xí)要求3、 體會(huì)等差數(shù)列是用來(lái)刻畫(huà)一類離散現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，理解等差數(shù)列的概念；4教育揚(yáng)州訓(xùn)導(dǎo)部中小學(xué) 1 對(duì)1 課外輔導(dǎo)4、 掌握“疊加法”求等差數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并能用公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題；【自學(xué)評(píng)價(jià)】1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：普通式： an = a1 + (n -1)d ；推廣式：；變式： a1 = an - (n -1)d ；d = an - a1 ； d = an - am；n -1n - m注：等差數(shù)列通項(xiàng)公式的特征：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為關(guān)于項(xiàng)

8、數(shù) n 的次數(shù)不高于一次的多項(xiàng)式函數(shù)即an=An+B(若an為列時(shí),A=0).2等差數(shù)列的單調(diào)性：由等差數(shù)列的定義知 an+1an=d,當(dāng) d0 時(shí)，an+1an 即an為遞增數(shù)列；當(dāng) d=0 時(shí)，an+1an 即an為列；當(dāng) d0 時(shí)，an+1an 即an為遞減數(shù)列. 注：等差數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列.【精典范例】【例 1】第一屆現(xiàn)代奧運(yùn)會(huì)于 1986 年在希臘雅典舉行，此后每年舉行一次奧運(yùn)會(huì)如因故不能舉行，屆數(shù)照算（）試寫(xiě)出由舉行奧運(yùn)會(huì)的年份的數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）2008 年北京奧運(yùn)會(huì)是第幾屆？2050 年舉行奧運(yùn)會(huì)嗎？【解】【例 2】在等差數(shù)列a中，已知 a，a，求 a【解】【例 3】某滑輪組由直

9、徑成等差數(shù)列的個(gè)滑輪組成已知最小和最大的滑輪的直徑分別為和 ，求中間四個(gè)滑輪的直徑【解】5教育揚(yáng)州訓(xùn)導(dǎo)部中小學(xué) 1 對(duì)1 課外輔導(dǎo)【追蹤訓(xùn)練一】：1已知an是等差數(shù)列，a7+a13=20，則 a9+a10+a11=（）A.36B.30C.24D.182.等差數(shù)列an 中， a2與a6 的等差中7 ，則 an =.5 ， a3與a7 的等差中諾（）在年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出在年、年、年人們都可以看到這顆彗星，即彗星每隔年出現(xiàn)一次（）從發(fā)現(xiàn)那次算起，彗星第次出現(xiàn)是在哪一年？（）你認(rèn)為這顆彗星在年會(huì)出現(xiàn)嗎？為什么？【解】統(tǒng)一鞋號(hào)中，成年男鞋有種尺碼，其中最小的尺碼是，各相鄰兩個(gè)尺碼都相差，其中最大

10、的尺碼是多少？一個(gè)等差數(shù)列的第項(xiàng)等于第項(xiàng)與第項(xiàng)的和，且公差是，試求首項(xiàng)和第項(xiàng)【選修延伸】【例 4】等差數(shù)列an中，a1=23，公差 d 為整數(shù)，若 a60,a70.（1） 求公差d 的值;（2） 求通項(xiàng)an.【解】6教育揚(yáng)州訓(xùn)導(dǎo)部中小學(xué) 1 對(duì)1 課外輔導(dǎo)7教育揚(yáng)州訓(xùn)導(dǎo)部【例 5】甲、連續(xù) 6 年對(duì)某縣農(nóng)村養(yǎng)雞業(yè)規(guī)模，提供兩個(gè)不同的信息圖甲表明: 從第 1 年每個(gè)養(yǎng)雞場(chǎng)出產(chǎn) 1 萬(wàn)只雞上升到第 6 年平均每個(gè)雞場(chǎng)出產(chǎn) 2 萬(wàn)只雞乙表明:由第 1 年養(yǎng)雞場(chǎng)個(gè)數(shù) 30 個(gè)減少到第 6 年 10 個(gè) 請(qǐng)您根據(jù)提供的信息說(shuō)明：第 2 年養(yǎng)雞場(chǎng)的個(gè)數(shù)及全縣出產(chǎn)雞的總只數(shù)；到第 6 年這個(gè)縣的養(yǎng)雞業(yè)比第

11、1 年是擴(kuò)大了還是縮小了？請(qǐng)說(shuō)明理由；哪一年的規(guī)模最大？請(qǐng)說(shuō)明理由【解】【追蹤訓(xùn)練二】：1.首24 的等差數(shù)列，從第 10開(kāi)始為正數(shù)，則公差 d 的取值范圍是 （）888A.dB.d3 C.d3 D.d33332.在等差數(shù)列an中，若 a3+a4+a5+a6+a7=450，則 a2+a8 等于（）A.45B.75C.180D.3003. 如果等差數(shù)列an的第 55，第 105，那么此數(shù)列的第一個(gè)負(fù)數(shù)項(xiàng)是第項(xiàng).4. 已知等差數(shù)列的第 1023，第 2522，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為.25. 已知數(shù)列an滿足 an+12=an +4，且 a1=1,an0，求 an.中小學(xué) 1 對(duì)1 課外輔導(dǎo)a - a

12、21 的值.6.若 xy，兩個(gè)數(shù)列：x，a1，a2，a3，y 和 x，b1，b2，b3，b4，y 都是等差數(shù)列，求b4 - b2學(xué)習(xí)要求1. 體會(huì)等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系；2. 初步通過(guò)數(shù)列的下標(biāo)研究數(shù)列。【自學(xué)評(píng)價(jià)】1an 是等差數(shù)列.2已知an 是等差數(shù)列，若 m + n = p + q ，則.【精典范例】【例 1】已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求首項(xiàng)和公差，并畫(huà)出圖象?！窘狻縜1 = 1, d = 2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于的一次式，從圖象上看，表示這個(gè)數(shù)列的各點(diǎn)（，）均在直線上。中，是否有 a = an-1 + an+1 （）？【例 2】（）在等差數(shù)列n2a = an-1 + an+1 ，

13、那么數(shù)列（）在數(shù)列中，如果對(duì)于任意的正整數(shù)（），一定n2是等差數(shù)列嗎？【解】8教育揚(yáng)州訓(xùn)導(dǎo)部中小學(xué) 1 對(duì)1 課外輔導(dǎo)【例 3】如圖，三個(gè)正方形的邊，的長(zhǎng)組成等差數(shù)列，且21，這三個(gè)正方形的面積之和是 179（）求，的長(zhǎng)；（）以，的長(zhǎng)為等差數(shù)列的前三項(xiàng)，以第【解】邊長(zhǎng)的正方形的面積是多少？【追蹤訓(xùn)練一】：1已知等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為 a = 1 - 1 n ，求它的首項(xiàng)和公差，并畫(huà)出它的圖象n22.已知，是公差為的等差數(shù)列（），也成等差數(shù)列嗎？如果是，公差是多少？（），也成等差數(shù)列嗎？如果是，公差是多少？已知等差數(shù)列的首，公差為（）將數(shù)列中的每一項(xiàng)都乘以，所得的新數(shù)列仍是等差數(shù)列嗎？如果是，公差

14、是多少？（）由數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)按原來(lái)的順序組成新數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是多少？4某貨運(yùn)公司的一種計(jì)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：以內(nèi)，那么需支付多少元運(yùn)費(fèi)？元，以后每收.元如果某批物資9教育揚(yáng)州訓(xùn)導(dǎo)部中小學(xué) 1 對(duì)1 課外輔導(dǎo)10教育揚(yáng)州訓(xùn)導(dǎo)部【選修延伸】【例 4】在等差數(shù)列中，已知，（），求【解】【例 5】如圖（）是一個(gè)三角形，分別連結(jié)這個(gè)三角形三邊的中點(diǎn)，將原三角形剖分成個(gè)三角形（如圖（），再分別連結(jié)圖（）中間的角形三邊的中點(diǎn)，又可將原三角形剖分成個(gè)三角形（如圖（）依此類推，第個(gè)圖中原三角形被剖分為個(gè)三角形（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）第 100 個(gè)圖中原三角形被剖分為多少個(gè)三角形？【解】【追蹤訓(xùn)練二】：21. 若an是等差數(shù)列，a3,a10 是方程 x -3x-5=0 的兩根，則 a5+a8=.2. 若關(guān)于 x 的方程 x2 - x + a = 0 和 x2 - x + b = 0 (a b) 的四個(gè)根組成首1 的等差數(shù)列，則 a + b =4（）3111331A.B