一、直線與平面的位置關(guān)系

1、12一、直線與平面的位置關(guān)系一、直線與平面的位置關(guān)系3456直線與平面平行的證明直線與平面平行的證明789直線與平面平行的性質(zhì)應(yīng)用直線與平面平行的性質(zhì)應(yīng)用 1011證明兩個(gè)平面平行證明兩個(gè)平面平行 12131415一一.空間圖形的垂直關(guān)系空間圖形的垂直關(guān)系：直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直。二二.直線與直線垂直直線與直線垂直定義：兩條直線所成的角為90o，則稱兩直線垂直，包括兩類：相交垂直與異面垂直。三直線與平面垂直三直線與平面垂直1.定義：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直, 那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直。這條直線叫做平面的垂線，這個(gè)平面叫做直線的垂面。1617四四.

2、二面角二面角: 定義定義:從一條直線從一條直線AB出發(fā)的兩個(gè)半平面出發(fā)的兩個(gè)半平面( 和和 )所組成的圖所組成的圖形叫做二面角形叫做二面角.記作二面角記作二面角 -AB- ,AB叫做二面角的棱叫做二面角的棱,兩個(gè)半兩個(gè)半平面平面( 和和 )叫做二面角的面叫做二面角的面.二面角的平面角二面角的平面角:在二面角的棱在二面角的棱AB上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)O,過過O分別在分別在二面角的兩個(gè)面二面角的兩個(gè)面 , 內(nèi)作與棱垂直的射線內(nèi)作與棱垂直的射線OM,ON,我們把我們把MON叫做二面角叫做二面角 -AB- 的平面角的平面角,用它來度量二面角的大小用它來度量二面角的大小.平面角是直角的二面角叫做直二面角平

3、面角是直角的二面角叫做直二面角.五五. 兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)1定義定義兩個(gè)平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個(gè)平面互相垂直1819 證明直線與直線垂直證明直線與直線垂直 20直線與平面垂直的證明直線與平面垂直的證明 212223平面與平面垂直的證明平面與平面垂直的證明 2425262728, a b/ , /aa bbab與a b與1.定義；已知兩條異面直線,經(jīng)過空間任一點(diǎn)O，作直線把所成的銳角（或直角）叫做異面直線所成的角（或夾角）。一一.異面直線所成的角異面直線所成的角 292.異面直線所成的角的范圍是：(0,2 二二.異面直線的距離的定義異面直線的

4、距離的定義：和兩條異面直線都垂直相交都垂直相交的直線叫異面直線的公垂線。兩條異面直線的公垂線有且只有一條。兩垂足間的距離稱為異面直線的距離。異面直線的距離。30異面直線所成的角和距離異面直線所成的角和距離 313233二直線和平面所成角二直線和平面所成角（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角。的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角。（2）直線和平面所成角范圍：）直線和平面所成角范圍： 0 90范圍： ，34例例1.如圖：正方體如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）A1C1與面與面ABCD

5、所成的角所成的角（2） A1C1與面與面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1與面與面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1與面與面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB0o35例例1.如圖：正方體如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）A1C1與面與面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1與面與面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1與面與面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1與面與面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB90o36例例1.如圖：正方體如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）A1C1與面與

6、面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1與面與面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1與面與面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1與面與面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCB45o37例例1.如圖：正方體如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，求求:（1）A1C1與面與面ABCD所成的角所成的角（2） A1C1與面與面BB1D1D所成的角所成的角（3） A1C1與面與面BB1C1C所成的角所成的角（4）A1C1與面與面ABC1D1所成的角所成的角A1D1C1B1ADCBE30o38求線面角、二面角的的大小求線面角、二面角的的大小 3940414243 從一條

7、直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成 的圖形叫做二面角。的圖形叫做二面角。二面角二面角 二面角的大小用它的平面角來度量二面角的大小用它的平面角來度量；（1）定義法：）定義法： 根據(jù)定義作出二面角的平面角根據(jù)定義作出二面角的平面角；AB求二面角常用方法有：求二面角常用方法有：（2） 用三垂線定理或其逆定理用三垂線定理或其逆定理；APBa（3）垂面法）垂面法： 作二面角棱的垂面，則垂面作二面角棱的垂面，則垂面和二面角的兩個(gè)面的交線所成的角即是該二和二面角的兩個(gè)面的交線所成的角即是該二面角的平面角。面角的平面角。PABO44二面角求法二面角求法例例1 在正方體在正方體AC1中，

8、中，E為為BC中點(diǎn)，（中點(diǎn)，（1）求面）求面B1BCC1與面與面AB1C所成的二面角的正弦值；（所成的二面角的正弦值；（2）求二面角求二面角EB1D1C1的正切值。的正切值。AB1C1DA1BCD1FAB1C1DA1BCD1EGH（1）（2）632245CP例例2、如圖，、如圖，ABC在平面在平面上的射影為正上的射影為正AB1 C1，若若BB1= ，CC1=AB1=1，求面求面ABC與面與面AB1C1所成所成銳二面角的大小。銳二面角的大小。21B1AC1B 112146距距離離到到棱棱的的長(zhǎng)長(zhǎng)求求且且為為垂垂足足已已知知內(nèi)內(nèi)有有一一點(diǎn)點(diǎn)二二面面角角在在例例aP)2(AB)1(,5PB,3PA,

9、B,A,PB,PA,Pa6030 EPABa6003547例例4 已知已知RtABC頂點(diǎn)頂點(diǎn)A不在不在內(nèi)，斜邊內(nèi)，斜邊BC在在內(nèi)，內(nèi)，AB、AC分別與平面分別與平面成成300、450角，求角，求ABC所在所在平面與平面與所成所成角。角。EA1BCA引申：若引申：若ABC為為一般一般，設(shè)面，設(shè)面ABC與底面與底面所成所成角為角為，則，則COS =原形射影SS30045048練習(xí)：練習(xí)： 如圖，如圖，G、E、F分別是正方體分別是正方體AC1中中CD、BC、CC1中點(diǎn)，求二面角中點(diǎn)，求二面角FGEC的余弦值。的余弦值。A1BCDAB1C1D1FEGGECABCDGEF 上的射影為上的射影為在平面在平

10、面設(shè)棱長(zhǎng)為設(shè)棱長(zhǎng)為2a3349例例 5 如圖如圖，已知已知A、B是是120 的二面角的二面角 l 棱棱l上的兩點(diǎn)上的兩點(diǎn)，線段線段AC，BD分別分別在面在面， 內(nèi)內(nèi)，且且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求線段求線段CD的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。ADBClO19OAC 120 AO=BD=1, AC=27120cos2222 ACAOAOACCO四邊形四邊形ABDO為矩形為矩形, DO=AB=350例例 5 如圖如圖，已知已知A、B是是120 的二面角的二面角 l 棱棱l上的兩點(diǎn)上的兩點(diǎn)，線段線段AC，BD分別分別在面在面， 內(nèi)內(nèi)，且且ACl，BDl ，AC=2，BD=1，AB=3，求線段求線

11、段CD的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。ADBCl BDl AOBD，四邊形四邊形ABDO為矩形為矩形, DO l ， AO=BD ACl ， AOl ， l 平面平面CAO AOl CODO O437222 DOCOCD在在Rt COD中，中，DO=AB=319E解：在平面解：在平面 內(nèi)，過內(nèi)，過A作作AOl ，使使AO=BD, 連結(jié)連結(jié)CO、DO, 則則OAC就是就是二面角二面角 l 的平面角，即的平面角，即 OAC 120 ，71202222 COSACAOAOACCO BD=1 AO=1，在在OAC中，中，AC=2，51小結(jié)二面角的平面角的求法：小結(jié)二面角的平面角的求法：（1）定義法）定義法（2）三垂線定理

12、法）三垂線定理法（3）射影法）射影法（4）垂面法）垂面法原形射影SSCOS=52已知直二面角已知直二面角 l ，A,B線線段段AB=2a，AB與與 成成45的角，與的角，與 成成30角，過角，過A、B兩點(diǎn)分別作棱兩點(diǎn)分別作棱l的垂線的垂線AC、BD，求面求面ABD與面與面ABC所成角的大小。所成角的大小。ACBDHF解法一：解法一：如圖如圖,由已知可得平面由已知可得平面ABC 平面平面 ,作作DH BC于于H，則，則DH 平面平面ABC，作，作DF AB于于F，連，連HF，則據(jù)三垂線定理的逆定理則據(jù)三垂線定理的逆定理知知 DFH為所求二面角的平面角。為所求二面角的平面角。例例5 5：,36,3

13、3,aDHaHFaDF于是在于是在 DFH中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得33cosDFH所以所以33arccosDFH即面即面ABD與面與面ABC所成的二面角為所成的二面角為33arccos又知又知 BAD=45, ABC=30 ，可解得可解得53用這個(gè)關(guān)系式求可銳二面角的平面角用這個(gè)關(guān)系式求可銳二面角的平面角。（4）射影法）射影法：如圖所示，如圖所示， AD 平面平面M，設(shè)設(shè) AHD= 是二面角是二面角A-BC-D的平面角，由的平面角，由 cos =AD/AH可得，可得， ABC與它在過其底邊與它在過其底邊BC的平面的平面M上的射影上的射影 DBC以及兩者所成以及兩者所成的二的二面角面角 之間的關(guān)系：之間的關(guān)系：ABCDBCSSc