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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算一、 高階導(dǎo)數(shù)定義定義(二階導(dǎo)數(shù)) 若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo),則稱在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為在點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù),記作,即,此時(shí)稱在點(diǎn)二階可導(dǎo)。 如果在區(qū)間I上每一點(diǎn)都二階可導(dǎo),則得到一個(gè)定義在I上的二階可導(dǎo)函數(shù),記作,或記作,。函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)一般仍舊是的函數(shù)。如果對它再求導(dǎo)數(shù),如果導(dǎo)數(shù)存在的話,稱之為函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù),記為,或。函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù),記為,或。相應(yīng)地,在的階導(dǎo)數(shù)記為: ,。二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)都稱為高階導(dǎo)數(shù)。1 。 2 , (Leibniz公式)其中,。注 將Leibniz公式與二項(xiàng)式展開作一比較可見:。(這里 ),在形式上二者有相似之處。(6)
2、幾個(gè)初等函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)公式; ;(4),(5)特別的,當(dāng)時(shí),有.(7)參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法則設(shè),均二階可導(dǎo),且,由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù): , .這里一定要注意,在求由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),是中間變量,而符號表示對求二次導(dǎo)數(shù),因此. 例1 (1)已知,求(2)已知,求解:(1), (2),.例2 求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)解:,顯然對任意正整數(shù),有例3 求的階導(dǎo)數(shù)。解 ,.同理可得 。求節(jié)導(dǎo)數(shù),通常的方法是求一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)、三階導(dǎo)數(shù)、四階導(dǎo)數(shù),然后仔細(xì)觀察得出規(guī)律,歸納出階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式,因此,求階導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵在于從各階導(dǎo)數(shù)中尋找共同的規(guī)律。例4 求函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)解:,一般地,對任意正整
3、數(shù)有例5 求次多項(xiàng)式的各階導(dǎo)數(shù).解 這就是說,次多項(xiàng)式的一切高于階的導(dǎo)數(shù)都為0.例6 已知 求.解 兩端對求導(dǎo),得 ,整理得 ,故 ,上式兩端再對求導(dǎo),得=,將 代入上式,得.注意 在對隱函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)時(shí),要將的表達(dá)式代入中,注意,在的最后表達(dá)式中,切不能出現(xiàn).例7 求方程所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)。解 。例8 已知作直線運(yùn)動物體的運(yùn)動方程為,求在時(shí)物體運(yùn)動速度和加速度。解 ,所以有,。二階導(dǎo)數(shù)1.設(shè),其中為二階可導(dǎo)函數(shù),則( ).A、; B、;C、; D、.2、設(shè),其中為可微函數(shù),則( ).A、; B、;C、; D、.3.設(shè),則( ).A、; B、; C、2; D、.4、設(shè),則( ).A、; B、; C、; D、.5.,其中是的函數(shù),則.6.設(shè),則.7、試求由方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù).8、設(shè),求,; 10證明函數(shù)滿足關(guān)系式;11、 已知函數(shù),求12、,求。解: 高階導(dǎo)數(shù)1、設(shè),則( ).A、; B、; C、; D、.2、,則.4設(shè),求。5設(shè),求。6、,求各階導(dǎo)數(shù)。7、設(shè)的階導(dǎo)數(shù).8、設(shè), 求.二階導(dǎo)數(shù)1、C;2、D;5、;6、;7、解: 方程兩邊同時(shí)對求導(dǎo),得 . 8、解: 9、12、解: , , 。= =。高階
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