必修4三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、三角函數(shù)【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】應(yīng)用k Z90o kg360 k Z180o kg360 k Z270o kg360 k Z o _360 kg360 k Z90o的角90o kg360 k Z小于90o的角：90o一、任意角的概念與弧度制1、將沿x軸正向的射線，圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形稱作角 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為 正角，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為 負(fù)角，不旋轉(zhuǎn)為零角2、同終邊的角可表示為kg360 k Zx軸上角：kg80o k Zy 軸上角：90o kgl80o3、第一象限角：|0 kg360第二象限角：90o kg360第三象限角：|l80o kg360第四象限角：270o kg3604、區(qū)分第一象限角、銳角以及小于第一

2、象限角：10 kg360銳角：090o5、若 為第二象限角，那么 一為第幾象限角?22k 2k 0, 42k2，1,所以一在第一、三象限26、弧度制：弧長等于半徑時(shí)，所對(duì)的圓心角為1弧度的圓心角，記作1rad .7、角度與弧度的轉(zhuǎn)化：1 0.01745180180157.3057 18角度030456090o120135150180360弧度0643223345628、角度與弧度對(duì)應(yīng)表：9、弧長與面積計(jì)算公式弧長：l一 _ 112 、 入,R；面積：S -l R - R2,注意：這里的均為弧度制22二、任意角的三角函數(shù)1、正弦：sin ；余弦cos -；正切tan rr其中x, y為角 終邊上

3、任意點(diǎn)坐標(biāo)，r &y2 .度0o30o45o60o90o120o135o150o180270360o弧度02353264323462sin012亞2出21332巨212010cos1恩2亞212012V22近2101tan0而31出無百1在30無02、三角函數(shù)值對(duì)應(yīng)表:3、三角函數(shù)在各象限中的符號(hào)口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦 .（簡記為“全s t c”）第一象限:sin?0,cos?0,tan?0,.x0,y第四象限:.x.x.x0,y0,y0,ysin?sin?sin?0,cos?0,cos?0,cos?0,tan?0,tan?0,tan?0,0,0,.22/sin cos 14、三

4、角函數(shù)線 設(shè)任意角A(1,0)作單位圓的切線，它與角的終邊或其反向的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O ,始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與 P(x, y),過P作x軸的垂線，垂足為 M ;過點(diǎn) 延長線交于點(diǎn)T./1TM0AxM0Ax(m)P T (w)由四個(gè)圖看出:當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸上時(shí)，有向線段OMx,MPsintanx OMMP AT AT AT .OM OA我們就分別稱有向線段 MP,OM , AT為正弦線、余弦線、5、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式tansintan gcot 1cos2(sincos)12sincos2(sincos)12sincos(sin cos , sincos , sin ?c

5、os ,三式之間可以互相表示 ）6、誘導(dǎo)公式n口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限（所謂奇偶指的是 vnn（ 1）2 sin , n為偶數(shù)nsin（） n 1; cos（一nii 1（1） 2 cos , n為奇數(shù)中整數(shù)n的奇偶性，把 看作銳角）n(1)2 co s , nM禺?dāng)?shù)n 1(1)2 sin ,n為奇數(shù).公式（一）：與 2k , k Zsin（ 2k ） sin ； cos（ .公式（二）：與sin sin ； cos .公式（三）： 與sinsin ； cos .公式（四）：與sinsin ； cos2k ) cos ； tan( 2k ) tancos ； tan tancos ； ta

6、ntancos ； tantan22.公式sin 一 2cos ; cos 2sin.公式（六）：與一2sin cos ; cos - sin 22.3sin 3cos ; cos 一.公式（八）sin33sin cos ; cos 22三、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)個(gè)單位長度，得到函數(shù)1、將函數(shù) y sin x的圖象上所有的點(diǎn)，向左（右）平移y sin x 的圖象；再將函數(shù)y sin x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到一 ，1原來的一倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y sin x的圖象；再將函數(shù)y sin x的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y Asin x 的圖

7、象。2、函數(shù)y Asin x A 0,0的性質(zhì)：21振幅：A;周期：T ；頻率：f ；相位： x ;初相： T 23、周期函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù)f x ,如果存在一個(gè)非零常數(shù) T ,使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都滿足f x T f x ,那么函數(shù)f x就叫做周期函數(shù)，T叫做該函數(shù)的周期4、(1) y Asin( x）對(duì)稱軸：令 x對(duì)稱中心： x k ,得xkk 一,得 x 一 2k，(,0)(k Z)； y Acos( x）對(duì)稱軸：令 xk 一 k 一對(duì)稱中心： x k 一,得 x 2，（2一,0）（k Z）;2周期公式：2函數(shù)y Asin（ x ）及丫 Acos（ x ）的周期T 尸（A、為常

8、數(shù)，且AW0）.函數(shù)y A tan x的周期T （A、為常數(shù)，且Aw0）.5、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)表格北區(qū)蓼My sin xy cosxy tanx圖 像i y3 X ji T 2 bi yI、3311r V 2；兀，J .o、 ; / Jc0n -、/式定 義 域RRx x k ,k Z 2值 域1,11,1R最 值當(dāng) x 2k - k Z 時(shí)， 2ymax 1 ；當(dāng) x 2k k Z 時(shí)， 2ymin1 -當(dāng)x 2k k Z時(shí)，Ymax 1 ；當(dāng) x 2 kk Z 時(shí)，ymin1 .既無最大值也無最小值周 期 性22奇 偶 性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單 調(diào) 性在 一 2k ,一 2k 22k Z

9、上是增函數(shù)；在2k , - 2k 22k Z上是減函數(shù).在2k ,2k k Z上是增函數(shù)；在 2k ,2kk Z上是減函數(shù).在 k 一 , k22k Z上是增函數(shù).對(duì) 稱 性對(duì)稱中心k ,0 k Z對(duì)稱軸xk k Z2對(duì)稱中心k 一 ,0 k Z 2對(duì)稱軸x k k Z，、 k -對(duì)稱中 ,0 k Z2無對(duì)稱軸. 一一36.五點(diǎn)法作y Asin( x )的間圖，設(shè)t x ，取0、一、2 來求相應(yīng)22x的值以及對(duì)應(yīng)的y值再描點(diǎn)作圖。7. y Asin( x )的的圖像第一種變換：圖象向左(/ 0 )或y=smx向右(夕.0)平移|個(gè)單金 橫坐標(biāo)伸長(0 1)到原來的 縱坐標(biāo)不變y sin(x +

10、 p)1飛倍,、V = sin + (p)縱坐標(biāo)伸長(AX )或縮短(。依1 )到原來的A倍必一小人3橫坐標(biāo)不變第一種變換；* y = ,4sin(血+夕)_ si口靠橫坐標(biāo)伸長(。由或縮短 1)到原來的高 華y-sin arc縱坐標(biāo)不變 圖象向左(尹0 )或向右(W0)平移至個(gè)單位6)* y = sili(tar+0)縱坐標(biāo)伸長(AA1 )或縮矩 0Al )到原來的A倍橫坐標(biāo)不變y = A shi(奴+科)8.函數(shù)的變換：(1)函數(shù)的平移變換 y f (x)(左加右減)y f(x a)(a 0)將 yf (x)圖像沿x軸向左(右)平移a個(gè)單位 y f(x) y f (x) b(b 0)將 y

11、f (x)圖像沿y軸向上(下)平移b個(gè)單位(上加下減)(2)函數(shù)的伸縮變換: y f(x) y1 .、 ，一,倍(w 1縮短，0 w y f(x) yf (wx)( w 0)將 yw 1伸長)Af (x)(A 0)將 yf(x)圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮到原來的f(x)圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的A倍(A 1伸長，0 A 1縮短)(3)函數(shù)的對(duì)稱變換: y f(x)y f ( x)將y f(x)圖像繞y軸翻折180 (整體翻折)(對(duì)三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于 x軸對(duì)稱)y f (x) yf(x)將y f (x)圖像繞x軸翻折180 (整體翻折)(對(duì)三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于y軸對(duì)稱)y f (x)

12、 y f (x)將y f (x)圖像在y軸右側(cè)保留，并把右側(cè)圖像繞y軸翻折到左側(cè)(偶函數(shù)局部翻折) y f (x) yf(x)保留y f (x)在x軸上方圖像,x軸下方圖像繞x軸翻折上去(局部翻動(dòng))四、三角恒等變換1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式:(1)sin(sin cossin cos(2)sin(sin cossin cos(3)cos(cos cossinsin(4)cos(cos cossinsin(5)tan(tantan1 tan tantan tantantan tan(6)tan(tan tan1 tan tantan tantantan tan(7) a sinbcos

13、 = a2 b2 sin()(其中，輔助角所在象限由點(diǎn)(a,b)所在的象限決定,sinb,cos,a2 b2,a、,a2 b2該法也叫合一變形).1 tantan(4)1 tan1 tantan(42.二倍角公式(1) sin 2a2sinacosa(2)cos2a2. 2/cos a sin a 1八.2八22sin a 2cos atan 2a(3)2 tan a-2tan a3.降哥公式:cos2 a(1)4.升哥公式cos2 a(2)sin2 a1 cos2a(1) 1 cos22 cos (2) 1 cos2sin 222(3) 1 sin(sin cos)2222(4) 1 sin

14、2 cossin2sin cos225.半角公式（符號(hào)的選擇由所在的象限確定）2 a sin(1)21 cosa(2)a cos21 cosatan a 21 cosa1 cosasin a1 cosa6.萬能公式：（1）sin2tan 21 cosasin a(2) cos,2tan 一 23451 tan2 一21 tan2 2（3）tan2 tan 21 tan2 一27.三角變換：三角變換是運(yùn)算化簡過程中運(yùn)用較多的變換,提高三角變換能力，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式,（1）掌握運(yùn)算、化簡的方法技能。角的變換：角之間的和差、倍半、互補(bǔ)、互余等關(guān)系對(duì)角變換，還可作添加、(2)刪除角的恒

15、等變形函數(shù)名稱變換：三角變形中常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。采用公式:asin bcosa2 b2sin( )其中 cos,sin b2b*a2 b2 ,比y如：sin x 3cosx,12 (3)2(sin x-cos x)1 .3、2(sin x cos x)222(sinxcos cosxsin) 2sin(x ) 333（3）注意“湊角”運(yùn)用:例如：已知) ,sin(、3/)二，sin(、12 ，、二）二，則 cos（-） 4134(4)常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算、求值、證明中有時(shí)候需將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，特別是常數(shù)“1”可轉(zhuǎn)化為“ sin2cos2 ”(5)哥的變換：對(duì)次數(shù)較高的三角函

16、數(shù)式一般采用降哥處理，有時(shí)需要升哥例如：Ji cosa常用升塞化為有理式。(6)公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用、逆用及變形。(7)結(jié)構(gòu)變化：在三角變換中常常對(duì)條件、結(jié)論的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，或重新分組，或移項(xiàng)，或變乘為除，或求差等等。在形式上有時(shí)需要和差與積的互化、分解因式、配方等。(8)消元法：如果所要證明的式子中不含已知條件中的某些變量，可用此法(9)思路變換：如果一種思路無法再走下去，試著改變自己的思路，通過分析比較去選擇更合適、簡捷的方法去解題目。(10)利用方程思想解三角函數(shù)。如對(duì)于以下三個(gè)式子：sin a cosa , sinacosasin a cosa,已知其中一個(gè)式子的值，其余二式均可求出，且必要時(shí)可以換元。8 .函數(shù)的最值(幾種常見的函數(shù)及其最值的求法)：y a sin x b (或acosx b)型：利用三角函數(shù)的值域，須注意對(duì)字母的討論y a sin x bcosx型：引進(jìn)輔助角化成 y Ja2 b2sin(x )再利用有界性y a sin2 x bsin x c型：配方后求二次函數(shù)的最值，應(yīng)注意 sin x 1