大一高數(shù)第一章--函數(shù)、極限與連續(xù)

1、X Xo XXo 為點 Xo 的 鄰域，記作 U (Xo,.即 U X。， X X X X。 第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)由于社會和科學發(fā)展的需要，到了17世紀，對物體運動的研究成為自然科學的中心問題與之相適應，數(shù)學在經歷了兩千多年的發(fā)展之后進入了一個被稱為“高等數(shù)學時期”的新時代,這一時代集中的特點是超越了希臘數(shù)學傳統(tǒng)的觀點，認識到“數(shù)”的研究比“形”更重要，以 積極的態(tài)度開展對“無限”的研究，由常量數(shù)學發(fā)展為變量數(shù)學，微積分的創(chuàng)立更是這一時期 最突出的成就之一 微積分研究的基本對象是定義在實數(shù)集上的函數(shù)極限是研究函數(shù)的一種基本方法，而連續(xù)性則是函數(shù)的一種重要屬性因此，本章內容是整個微積分學的基

2、礎本章將簡要地介紹高等數(shù)學的一些基本概念，其中重點介紹極限的概念、性 質和運算性質，以及與極限概念密切相關的，并且在微積分運算中起重要作用的無窮小量的概 念和性質此外，還給出了兩個極其重要的極限隨后，運用極限的概念引入函數(shù)的連續(xù)性概念，它是客觀世界中廣泛存在的連續(xù)變化這一現(xiàn)象的數(shù)學描述第一節(jié)變量與函數(shù)、變量及其變化范圍的常用表示法在自然現(xiàn)象或工程技術中，常常會遇到各種各樣的量有一種量，在考察過程中是不斷變化的，可以取得各種不同的數(shù)值，我們把這一類量叫做變量；另一類量在考察過程中保持不變， 它取同樣的數(shù)值，我們把這一類量叫做常量變量的變化有跳躍性的，如自然數(shù)由小到大變化、數(shù)列的變化等，而更多的則

3、是在某個范圍內變化，即該變量的取值可以是某個范圍內的任何一 個數(shù)變量取值范圍常用區(qū)間來表示 滿足不等式a X b的實數(shù)的全體組成的集合叫做閉區(qū)間， 記為a,b ,即a,b x | a X b；滿足不等式a X b的實數(shù)的全體組成的集合叫做開區(qū)間，記為（a,b）,即(a,b) X |a X b；滿足不等式a X b （或a Xb ）的實數(shù)的全體組成的集合叫做左（右）開右（左）閉區(qū)間，記為a,b(或 a,b )，即a,b x |a X b（或 a,b xa X b），左開右閉區(qū)間與右開左閉區(qū)間統(tǒng)稱為半開半閉區(qū)間，實數(shù)a，b稱為區(qū)間的端點以上這些區(qū)間都稱為有限區(qū)間數(shù)b a稱為區(qū)間的長度此外還有無限區(qū)

4、間：(，)x IX R，,bxXb，(,b)x IXb，a,x IaX，(a,)x IaX，等等這里記號“”與“”分別表示“負無窮大”與“正無窮大鄰域也是常用的一類區(qū)間設Xo是一個給定的實數(shù)，是某一正數(shù)，稱數(shù)集稱點Xo為該鄰域的中心，為該鄰域的半徑(見圖1-1).稱U (Xo, Xo為Xo的去心鄰域,o記作U (Xo, ，即U (Xo, X | o X Xo -Q* Jfiq 應 Jh H圖1-1下面兩個數(shù)集U Xo, X|Xo X Xo ，oU(Xo)，U(Xo)分別表U Xo, X |Xo X Xo ,分別稱為Xo的左鄰域和右鄰域.當不需要指出鄰域的半徑時，我們用o示Xo的某鄰域和Xo的某

5、去心鄰域，U Xo, ，U Xo , 分別表示Xo的某左鄰域和Xo的某右鄰域.二、函數(shù)的概念在高等數(shù)學中除了考察變量的取值范圍之外，我們還要研究在同一個過程中出現(xiàn)的各種彼 此相互依賴的變量，例如質點的移動距離與移動時間.曲線上點的縱坐標與該點的橫坐標，彈簧的恢復力與它的形變，等等.我們關心的是變量與變量之間的相互依賴關系，最常見的一類依賴 關系，稱為函數(shù)關系.定義1設A，B是兩個實數(shù)集，如果有某一法則f ,使得對于每個數(shù) X A ,均有一個確定的數(shù)y B與之對應，則稱f是從A到B內的函數(shù).習慣上，就說y是X的函數(shù)，記作y f X (X A)其中，X稱為自變量，y稱為因變量，f X表示函數(shù)f在X

6、處的函數(shù)值.數(shù)集A稱為函數(shù)f的 定義域，記為D f ；數(shù)集f (A) y |y f (x),x A B稱為函數(shù)f的值域，記作R f .從上述概念可知，通常函數(shù)是指對應法則 f ,但習慣上用“y f X , X A ”表示函數(shù)， 此時應理解為“由對應關系y f X所確定的函數(shù)f ” .確定一個函數(shù)有兩個基本要素，即定義域和對應法則.如果沒有特別規(guī)定，我們約定：定義域表示使函數(shù)有意義的范圍，即自變量的取 值范圍.在實際問題中，定義域可根據(jù)函數(shù)的實際意義來確定.例如，在時間t的函數(shù)ft中，t通常取非負實數(shù).在理論研究中，若函數(shù)關系由數(shù)學公式給出，函數(shù)的定義域就是使數(shù)學表達式有 意義的自變量X的所有可

7、以取得的值構成的數(shù)集.對應法則是函數(shù)的具體表現(xiàn)，它表示兩個變量 之間的一種對應關系.例如，氣溫曲線給出了氣溫與時間的對應關系，三角函數(shù)表列出了角度與 三角函數(shù)值的對應關系.因此，氣溫曲線和三角函數(shù)表表示的都是函數(shù)關系.這種用曲線和列表給出函數(shù)的方法，分別稱為圖示法和列表法.但在理論研究中，所遇到的函數(shù)多數(shù)由數(shù)學公式給出， 稱為公式法 例如，初等數(shù)學中所學過的幕函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù) 都是用公式法表示的函數(shù).從幾何上看，在平面直角坐標系中，點集(x,y)y f X ,x D f 稱為函數(shù)y f X的圖像(如圖1-2所示)函數(shù)y f x的圖像通常是一條曲線，y f稱為這條曲

8、線的方程這樣，函數(shù)的一些特性常?？山柚趲缀沃庇^來發(fā)現(xiàn)；相反，一些幾何問 題，有時也可借助于函數(shù)來作理論探討現(xiàn)在我們舉一個具體函數(shù)的例子圖1-2例1求函數(shù)y X7 r1的定義域JX 1解要使數(shù)學式子有意義，X必須滿足4 X20,X 10 ,即由此有1 X2 ,因此函數(shù)的定義域為1 ,2.X 2, x1.有時一個函數(shù)在其定義域的不同子集上要用不同的表達式來表示對應法則，稱這種函數(shù)為 分段函數(shù).下面給出一些今后常用的分段函數(shù) .絕對值函數(shù).X ,X 0,X ,X 0.的定義域例3D符號函數(shù)),值域R f 0,),如圖1-所示.I5-I圖1-4X1,x0,值域R f 1 ,0,1,如圖1-4所示.例

9、4最大取整函數(shù)y X ,其中X表示不超過X的最大整數(shù).例如，21，02 1 , 3等等函數(shù)y X的定義域Df (,),值域Rf 整數(shù) .一般地,y X n， n Xn在函數(shù)的定義中，對每個D f ,對應的函數(shù)值y總是唯一的，這樣定義的函數(shù)稱為單值函數(shù)若給定一個對應法則 g ,對每個XDg ,總有確定的y值與之對應，但這個 y不總 是唯一的，我們稱這種法則 g確定了一個多值函數(shù)例如，設變量X與y之間的對應法則由方程2 2 2 2X y 25給出，顯然，對每個X 5,5，由方程X y 25可確定出對應的y值，當X 5 或5時，對應y O 個值；當X ( 5,5)時，對應的y有兩個值所以這個方程確定

10、了一個多 值函數(shù)對于多值函數(shù)，往往只要附加一些條件，就可以將它化為單值函數(shù)，這樣得到的單值函數(shù)稱為多值函數(shù)的單值分支例如，由方程X2 y225給出的對應法則中，附加“ y 0”的條件，即以X2 y2 25且y 0 作為對應法則，就可以得到一個單值分支 y g1 x 25 X2 ； 附加“ y 0”的條件，即以“ X2 y2 25且y 0”作為對應法則，就可以得到一個單值分支y g2() V25 X2 在有些實際問題中，函數(shù)的自變量與因變量是通過另外一些變量才建立起它們之間的對應 關系的，如高度為一定值的圓柱體的體積與其底面圓半徑r的關系，就是通過另外一個變量其底面圓面積S建立起來的對應關系這就

11、得到復合函數(shù)的概念定義2 設函數(shù)y f u的定義域為D f ,函數(shù)U g X在D上有定義，且g D D f 則由下式確定的函數(shù)y f g X ，X D稱為由函數(shù)y f U與函數(shù)U g X構成的復合函數(shù)，記作y f g X f g X ， X D，它的定義域為D ,變量U稱為中間變量這里值得注意的是，D不一定是函數(shù)UgX的定義域D g ,但D Dg.D是D g中 所有使得g X D f的實數(shù)X的全體的集合例如，y f u u, UgX 1 X2 顯然， U的定義域為，而D f (0, )因此，D= 1,1 ,而此時R(f g) 0,1 兩個函數(shù)的復合也可推廣到多個函數(shù)復合的情形例如，y XU a

12、 ”ogaX a 0且a 1可看成由指數(shù)函數(shù) y aU與Uog X復合而成又形如y U(X)V(X) av(X)IOgaU(X) U X 0 a 0且a 1的函數(shù)稱為幕指函數(shù)，它可看成由y aw與W V(X)IOgaU(X)復合而成.而ysinx2可看成由y . U , U Sinv , V 2復合而成.例 5 設 f(x) X 1 ,求 fffx X 1f U，U fX,則ff fXUXXX1U1 X12x12WX2x1XX1W1 X13x1 ,3XXX1,113x 1，23.解令y f w , W合而成的復合函數(shù)，因為W f Uy f W所以f f f是通過兩個中間變量 W和U復定義3設給

13、定函數(shù)yX ，其值域為R f 如果對于R f中的每一個y值，都有只從關系式y(tǒng) f X中唯一確定的X值與之對應，則得到一個定義在 R f上的以y為自變量，X為 因變量的函數(shù)，稱為函數(shù) y f X的反函數(shù)，記為X f 1 y .從幾何上看，函數(shù)y f X與其反函數(shù)X f 1 y有同一圖像但人們習慣上用X表示自變 量，y表示因變量，因此反函數(shù) Xfy常改寫成y f X 今后，我們稱 y f X為y f X的反函數(shù).此時，由于對應關系 f 1未變，只是自變量與因變量交換了記號，因此反 函數(shù)y1X與直接函數(shù)y2例如函數(shù)1 -6 所示.值得注意的是，并不是所有函數(shù)都存在反函數(shù),域為，但0， 對每一個y 0

14、, ,有兩個 是y的函數(shù)，從而y X2不存在反函數(shù).事實上, 的一一映射，則f才存在反函數(shù)f 1 .X值即XIy X.y 和 X2由逆映射存在定理知,的定義域為. y與之對應，若f是從D f,值因此X不例6設函數(shù)f(x1)XX1 ,求 fX 1解函數(shù)y f X1可看成由y f U ，U可看成由1y f U ，UX 1復合而成.因為XU 1f UX 1U即yU-,從而，Uy1 1，U 1 1，U1 yX 1 .X1復合而成.所求的反函數(shù)y f 1 X 1U 0，所以f 1 1y f u 1 u，因此f 1 X 111, X 0.1 (X 1)X三、函數(shù)的幾種特性1.函數(shù)的有界性設函數(shù)f X在數(shù)集

15、D上有定義，若存在某個常數(shù) L ,使得對任一 X D有f X L （或 f X L），則稱函數(shù)f X在D上有上界（或有下界），常數(shù)L稱為f X在D上的一個上界（或下界）； 否則，稱f X在D上無上界（或無下界）若函數(shù)f X在D上既有上界又有下界，則稱 f X在D上有界；否則，稱f X在D上無 界若f X在其定義域D（f）上有界，則稱f X為有界函數(shù)容易看出，函數(shù)f X在D上有界 的充要條件是：存在常數(shù) M：0 ,使得對任一 X D ,都有f X M .例如，函數(shù)y Sinx在其定義域，內是有界的，因為對任一X ， 都有1SinX 1 ,函數(shù)y 在0,1內無上界，但有下界.X從幾何上看，有界函數(shù)

16、的圖像界于直線y M之間.2.函數(shù)的單調性設函數(shù)f X在數(shù)集D上有定義，若對 DXl中的任意兩數(shù)x1,x2 （x1 x2）,恒有或 f X1的若上述不等式中的不等號為嚴格不等號,x2 ，X2則稱函數(shù)f X在D上是單調增加（或單調減少）WWWwwwwwwww則稱為嚴格單調增加（或嚴格單調減少）的在定義域上單調增加或單調減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調函數(shù)；嚴格單調增加或嚴格單調減少的函數(shù)統(tǒng)稱為嚴格單調函數(shù)如圖1-7所示.例如，函數(shù)f圖1-內是嚴格單調增加的；函數(shù)X CoSX 在（0, 內是嚴格單調減少的.從幾何上看，若y f X是嚴格單調函數(shù)，則任意一條平行于 交于一點，因此y f X有反函數(shù).X軸的直線與

17、它的圖像最多3.函數(shù)的奇偶性設函數(shù)f X的定義域D f關于原點對稱(即若的X D f ,都有f X 或 f X則稱f X是D f上的奇函數(shù)(或偶函數(shù)).,D f ,則必有 X D f.若對任意1例X7討論函數(shù)f X InX2的奇偶性函數(shù)f的定義域是對稱區(qū)間，因為所以,In X 11 X2In X 1 X2， 上的奇函數(shù)4.函數(shù)的周期性In1X * 1 X2設函數(shù)f X的定義域為D f ,若存在一個不為零的常數(shù)T ,使得對任意X(X T) D(f),且f (X T)f(X),則稱f X為周期函數(shù)，其中使上式成立的常數(shù)f X的周期，通常，函數(shù)的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正數(shù) 果存

18、在的話)例如，函數(shù)f (X) Sinx的周期為2; f Xtanx的周期是.并不是所有函數(shù)都有最小正周期，例如，狄利克雷(DiriChIet )函數(shù)D f ,有T稱為T T (如D(X)1, X為有理數(shù),0, X為無理數(shù).任意正有理數(shù)都是它的周期，但此函數(shù)沒有最小正周期四、函數(shù)應用舉例下面通過幾個具體的問題，說明如何建立函數(shù)關系式例8火車站收取行李費的規(guī)定如下： 當行李不超過50千克時，按基本運費計算如從上海 到某地每千克以0.15元計算基本運費，當超過 50千克時，超重部分按每千克 0.25元收費試求 上海到該地的行李費 y （元）與重量X （千克）之間的函數(shù)關系式，并畫出函數(shù)的圖像解當OX

19、 50時，所以函數(shù)關系式為：y 0.15x ;當 X 50 時，y 0.15 50 0.25(X 50).0.15 X,0X 50;y 7.5 0.25(X 50), X 50.這是一個分段函數(shù)，其圖像如圖1 9所示.圖1-9例9某人每天上午到培訓基地 A學習，下午到超市B工作，晚飯后再到酒店 C服務，早、 晚飯在宿舍吃，中午帶飯在學習或工作的地方吃 .A, B, C位于一條平直的馬路一側，且酒店在基地與超市之間，基地與酒店相距3km ,酒店與超市相距 5km ,問該打工者在這條馬路的A與B之間何處找一宿舍（設隨處可找到），才能使每天往返的路程最短.解 如圖1-10所示，設所找宿舍 D距基地A

20、為X （km）,用f （x）表示每天往返的路程函 數(shù).3 km5 kmIt:KJV kmD (D/ITkm圖 1-10當D位于A與C之間，即0X 3時，易知f XX 8 (8 x)2 3 X 22 2x ,當D位于C與B之間，即3X 8時，則f XX 8 (8 X) 2(x3)10 2x.所以f (X)2 2x ,0 X 3;10 2x ,3 X 8.這是一個分段函數(shù)，如圖1-11所示，在0,3上，f X是單調減少，在 3,8上，f X是單調增加.從圖像可知，在X 3處，函數(shù)值最小.這說明，打工者在酒店 C處找宿舍，每天走的 路程最短.圖 1-11五、基本初等函數(shù)初等數(shù)學里已詳細介紹了幕函數(shù)、

21、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)，以上我 們統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)它們是研究各種函數(shù)的基礎為了讀者學習的方便，下面我們再對這幾類 函數(shù)作一簡單介紹1.幕函數(shù)函數(shù)冪函數(shù)y X0時，稱為幕函數(shù).的定義域隨的不同而異，但無論為何值，函數(shù)在0,內總是有定義的其圖像過點（0,0）及點1,1 ,圖1-12列出X 在0，上是單調增加的，2時幕函數(shù)在第一象限的圖像0時,y X 在0,上是單調減少的, 2時幕函數(shù)在第一象限的圖像 其圖像通過點1,11,圖1-13列出了 -，2.指數(shù)函數(shù)函數(shù)Xy a （a是常數(shù)且a 0, a 1）指數(shù)函數(shù)yaX的反函數(shù)，記作ylog aX（a是常數(shù)且a 0, a 1），稱為對

22、數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)ylog aX的定義域為0,圖像過點1,0 .當a 1時，y當0 a 1時，ylog aX單調減少,如圖1-15 所示.科學技術中常用以e為底的對數(shù)函數(shù)3.對數(shù)函數(shù)IOgaX單調增加;稱為指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)y ax的定義域是,圖像通過點0,1 ,且總在X軸上方當時a 1，y ax是單調增加的；當0 a 1時，y以常數(shù)e 271828182L為底的指數(shù)函數(shù)Xa是單調減少的，如圖1- 14所示.是科技中常用的指數(shù)函數(shù)y In X y log 10X，I gx 也是常用的對數(shù)函數(shù)，簡記作y它被稱為自然對數(shù)函數(shù)，簡記作另外以10為底的對數(shù)函數(shù)4.三角函數(shù)常用的三角函數(shù)有正弦函數(shù)ySin X

23、余弦函數(shù)-L L 丄r F f =yCOSX正切函數(shù)ytan X余切函數(shù)yCOtX其中自變量X以弧度作單位來表示它們的圖形如圖1-16,圖1- 7,圖1- 8和圖1-19所示，分別稱為正弦曲線，余弦曲線,WMwwWWWMWW,WMIWWWMW正切曲線和余切曲線它們的定義域都為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是以 2為周期的周期函數(shù),值域都為1,1正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)就獲得余Iy=3IJI 厶4fNBt-I弦曲線y cosX .正切函數(shù)y tan XSnjL的定義域為COSXDx | X R， X(2n1), n為整數(shù).余切函數(shù)y cotx cosx的定義域為SIn XD fx X正切函數(shù)和余

24、切函數(shù)的值域都是 另外，常用的三角函數(shù)還有正割函數(shù)y SeCX ;X n,n為整數(shù).，且它們都是以為周期的函數(shù)，且都是奇函數(shù)余割函數(shù)y CSCX .5.反三角函數(shù)常用的反三角函數(shù)有（如圖 1-20）；（如圖 1-21）；反正弦函數(shù) 反余弦函數(shù)yyarcsin X arccos X反正切函數(shù)yarctan X（如圖1-22)；反余切函數(shù)yarccot X（如圖1-23).它們分別稱為三角函數(shù)y SinX ，y cosx， y tan X 和 y cotx 的反函數(shù)它們都是以2 為周期的周期函數(shù)，且SeCX1COSXCSCX1Sin X這四個函數(shù)都是多值函數(shù)嚴格來說，根據(jù)反函數(shù)的概念，三角函數(shù)y

25、Sin X , y cosx ,y tanx和y COtX在其定義域內不存在反函數(shù)，因為對每一個值域中的數(shù)y ,有多個X與之對應但這些函數(shù)在其定義域的每一個單調增加 （或減少）的子區(qū)間上存在反函數(shù)例如，y Sinxarcsin X的主值,在閉區(qū)間 ,上單調增加，從而存在反函數(shù)，稱此反函數(shù)為反正弦函數(shù)2 2記作y arcsinx.通常我們稱y arcsin X為反正弦函數(shù)其定義域為1,1 ，值域為 -, 反正2 2弦函數(shù)y arcsi nx在 1,1上是單調增加的，它的圖像如圖1-20中實線部分所示.類似地，可以定義其他三個反三角函數(shù)的主值y arccosx, y arcta nx和y arcc

26、ot X，它們分別簡稱為反余弦函數(shù)，反正切函數(shù)和反余切函數(shù)反余弦函數(shù)y arccos X的定義域為1,1其圖像如圖1-21中實線部分所示.反正切函數(shù)y arctan X的定義域為，加的，其圖像如圖1-22中實線部分所示.反余切函數(shù)y arccot X的定義域為，的，其圖像如圖1-23中實線部分所示.,值域為0, ，在 1,1上是單調減少的,值域為 在2 2上是單調增,值域為（0, ，在，上是單調減少圖 1-#圖 1-21I 1W HWW-I.-.Ky r tv ”I-2arc Im JEo i；-一一-F圖 1-22六、初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經有限次四則運算和復合運算得到并且能用一個式子

27、表示的函數(shù),稱為初等函數(shù)例如，y 3x2 Sin4x，y ln . 1 x2 ，y arctan2 3 . g( 1)snXX 1 等等都是初等函數(shù)分段函數(shù)是按照定義域的不同子集用不同表達式來表示對應關系的，有些分段函數(shù)也可以不分段而表示出來，分段只是為了更加明確函數(shù)關系而已例如，絕對值函數(shù)也可以表示成y X JX2;函數(shù)f(x) 1， X a，也可表示成f()丄1埜(X一-L .這兩個函0, Xa2Xa數(shù)也是初等函數(shù)七、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)1.雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)是工程和物理問題中很有用的一類初等函數(shù)定義如下:雙曲正弦雙曲余弦雙曲正切其圖像如圖ex eX-2-XXe e -2-ShX exChX

28、 ex e1-24和圖1-25 所示ShXChXthx圖 1-#圖 1-25雙曲正弦函數(shù)的定義域為 ( 稱在(X )內單調增加雙曲余弦函數(shù)的定義域為 ( 在 ,0內單調減少；在 0雙曲正切函數(shù)的定義域為 (X ),它是奇函數(shù)，其圖像通過原點0,0且關于原點對X ),它是偶函數(shù)，其圖像通過點0,1且關于y軸對稱,內單調增加.X ),它是奇函數(shù)，其圖像通過原點0,0且關于原點對稱在( X )內是單調增加的由雙曲函數(shù)的定義，容易驗證下列基本公式成立ShX yShXChy ChXShy，ChX yChXChy ShXShy，sh2x 2shxchx，ch2x Ch2X Sh2X 1 2sh2x 2ch

29、2X 1，2 2Ch X Sh X 1 .2.反雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù), 反雙曲正弦函數(shù)ShX，y ChX和y th X的反函數(shù)，依次記為反雙曲余弦函數(shù) 反雙曲正切函數(shù)yyyarsh X , arch X , arth X . 的定義域為反雙曲正弦函數(shù) y arsh X由y ShX的圖像，根據(jù)反函數(shù)作圖法，可得 的方法，不難得到,它是奇函數(shù)，在 ， 內單調增加， arsh X的圖像，如圖1-26 所示.利用求反函數(shù)y arsh X InX21 .反雙曲余弦函數(shù) 利用求反函數(shù)的方法,y arch X的定義域為1,不難得到,在1, 上單調增加，如圖 1-27所示,y arch Xl

30、nXx21(1 ,1),它在(1,1)內是單調增加的它是奇函數(shù),反雙曲正切函數(shù)其圖像關于原點(0,0)對稱，如圖1-28 所示容易求得y arth X In -_1 X第二節(jié)數(shù)列的極限、數(shù)列極限的定義定義 1如果函數(shù)f的定義域Df N*1,2,3,L ,貝y函數(shù)f的值域f N* f n n N*中的元素按自變量增大的次序依次排列出來，就稱之為一個無窮數(shù)列， 簡稱數(shù)列，即f 1 ,f 2，L , f n，L通常數(shù)列也寫成xi，X2，L,xrL,并簡記為Xn,其中數(shù)列中的每個數(shù)稱為一項，而Xn f n稱為一般項對于一個數(shù)列，我們感興趣的是當n無限增大時，Xn的變化趨勢我們看下列例子:數(shù)列,L的項隨

31、n增大時，其值越來越接近1 ；數(shù)列2,4,6,L ,2n,L的項隨n增大時，其值越來越大，且無限增大； 數(shù)列 1 ,0,1 ,L ,14 ,Ln的各項值交替地取1與0;n 1數(shù)列 1, 1,1 ,L ,二,L2 3 n的各項值在數(shù)O的兩邊跳動，且越來越接近O;數(shù)列 2,2,2,L ,2,L各項的值均相同在中學教材中，我們已知道極限的描述性定義,(1 2- 1)(1 2 2)(1 2 3)(1 2 4)(1 2 5)即“如果當項數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列Xn的一般項Xn無限地趨近于某一個常數(shù)a (即Xna無限地接近于0),那么就說a是數(shù)列Xn的極限” 于是我們用觀察法可以判斷數(shù)列(1)n12都有極

32、限，其極限分別為1,0,2.但什么叫做“ Xn無限地接近a”呢？在中學教材中沒有進行理論上的說明.來度量在數(shù)軸我們知道，兩個數(shù)a與b之間的接近程度可以用這兩個數(shù)之差的絕對值b a例1證明Iim 10.上b a表示點a與點b之間的距離, 為Xn 1110000時無限接近于1的實質.圖 1-29因兩個不等式IXn a | , a Xn a 等價，所以當n N時，所有的點Xn都落在開區(qū)間（a aN個點）在這區(qū)間以外.為了以后敘述的方便，我們這里介紹幾個符號，符號“內，而只有有限個點（至多只有”表示“對于任意的”、“對于所有的”或“對于每一個”守號“表示存在”；符號“ RBX X表示數(shù)集X中的最大數(shù);

33、b a越小，則a與b就越接近，就數(shù)列（1-2-1）來說，因1n我們知道，當n越來越大時，1越來越小，從而Xn越來越接近1.因為只要n足夠大，IXn 就可以小于任意給定的正數(shù)，如現(xiàn)在給出一個很小的正數(shù)100 ,只要n 100即可得1Xn 1 孟，n 101,102,L如果給定則從10001項起，都有下面不等式10000Xn 1成立.這就是數(shù)列Xn nF （n 1,2,L ）,當n 一般地，對數(shù)列Xn有以下定義.定義2設Xn為一數(shù)列，若存在常數(shù) a對任意給定的正數(shù) 無論多么?。?，總存在正整數(shù) N ,當n N時，有不等式Xn a 即Xn U （a, ,則稱數(shù)列 Xn收斂，a稱為數(shù)列Xn當n時的極限，

34、記為IimXn a 或 Xn annn若數(shù)列Xn不收斂，則稱該數(shù)列發(fā)散.定義中的正整數(shù) N與&有關，一般說來，N將隨減小而增大，這樣的 N也不是唯一的顯然，如果已經證明了符合要求的N存在，則比這個N大的任何正整數(shù)均符合要求，在以后有關數(shù)列極限的敘述中，如無特殊聲明，N均表示正整數(shù).此外，由鄰域的定義可知，Xn U a, 等價于IXn a .我們給“數(shù)列Xn的極限為a”一個幾何解釋:將常數(shù)a及數(shù)列X1,X2,X 3,L ,Xn,L在數(shù)軸上用它們的對應點表示出來，再在數(shù)軸上作點a的鄰域，即開區(qū)間（a a ,如圖1-29 所示符號“ min X ”表示數(shù)集X中的最小數(shù).數(shù)列極限Iim Xn a的定義

35、可表達為:nIim Xn a 0,正整數(shù) N ,當 n N 時，有 Xn a.n因此,因此, 0(不防設0,取N1),In證明由于要使丄2n/In22n,則當nInimFIimn1 一CoS n1一-COS n 40,取N0.n cos4N時,只要 2n1 ,即 n (InN時，有2n0.要使1 cos一 n 4-)/In2 .由極限定義可知1.-COS n4,只要n由極限定義可知,即1 IIm cos n n 4用極限的定義來求極限是不太方便的，在本章的以后篇幅中，將逐步介紹其他求極限的方法.二、數(shù)列極限的性質定理1 (惟一性)若數(shù)列收斂，則其極限惟一 證 設數(shù)列Xn收斂，反設極限不惟一：即

36、Iim Xn a , Iim Xn b ,且a b ,不妨設a b ,nn由極限定義，取 bya ,貝y N10,當n N1時，Xn aby,即3a b , Xab2 V XnV Y，(1-2-6)b aN20,當 n N2 時，Xn bbya ,即a b / 3b a2V XnV Y- ,(1-2-7)取N ax N1,N2 ,則當n N時，(1-3-6), (1 - 3- 7)兩式應同時成立，顯然矛盾該矛盾證明 了收斂數(shù)列Xn的極限必惟一.定義3設有數(shù)列Xn ,若存在正數(shù)M ,使對一切n 1,2,L ,有Xn M ,則稱數(shù)列Xn 是有界的，否則稱它是無界的.對于數(shù)列Xn ,若存在常數(shù)M ,

37、使對n 1,2,L ,有Xn M ,則稱數(shù)列Xn有上界；若 存在常數(shù)M ,使對n 1,2,L ,有Xn M ,則稱數(shù)列 Xn有下界.顯然，數(shù)列Xn有界的充要條件是Xn既有上界又有下界.例3 數(shù)列 二J 有界；數(shù)列 n2有下界而無上界；數(shù)列 n2有上界而無下界；數(shù)列n 1定理2 （有界性）若數(shù)列Xn收斂，則數(shù)列Xn有界證 設IimXn a ,由極限定義， O ,且 1 , N O ,當n N時，Xn a| 1 ,n從而 IXn a.取Mmax 1a,X1X 2 ，XN,則有XnM ,對一切1,2,3,L ,成立，即Xn有界定理2的逆命題不成立，例如數(shù)列(1)n有界,但它不收斂定理3（保號性）若I

38、imnXnaa 0(或 a0),則 N0,當n N時，Xn0 (或XnO ) 證由極限定義,對2 o，N 0,當nN 時，Xn J即a X n32a,故當nN時，Xn 2 O.類似可證a O的情形推論設有數(shù)列XnN 0 ,當nN時，Xn 0 (或 Xn0),若 Iim Xnn11a ,則必有a O （或 a O ）.在推論中，我們只能推出a O （或a 0），而不能由Xn 0 （或Xn 0）推出其極限（若存在）也大于O（或小于O）.例如Xn丄O ,但Iim Xn Iim 1 O .nnn 門下面我們給出數(shù)列的子列的概念定義4 在數(shù)列Xn中保持原有的次序自左向右任意選取無窮多個項構成一個新的數(shù)列

39、， 稱它為Xn的一個子列.在選出的子列中，記第 1項為Xn1 ,第2項為Xn2,第k項為Xnk ,，則數(shù)列 Xn的 子列可記為Xnk.k表示Xnk在子列Xnk中是第k項，k表示Xnk在原數(shù)列Xn中是第k項顯然，對每一個k ,有m k ；對任意正整數(shù)h , k ,如果h k ,則帀 m ;若m nk ,則h k由于在子列Xnk中的下標是k而不是nk ,因此Xnk收斂于a的定義是： O , K O, 當k K時，有Xnk a.這時，記為im Xnk a .定理4 Iimxl a的充要條件是：Xn的任何子列Xnk 都收斂，且都以a為極限kk證 先證充分性由于Xn本身也可看成是它的一個子列，故由條件得

40、證下面證明必要性由Iim Xn a， O， N O ,當n N時，有kXn a .今取K N ,則當k K時，有nk k nN ,于是Xnk a 故有Iim Xna kk定理4用來判別數(shù)列Xn發(fā)散有時是很方便的如果在數(shù)列Xn中有一個子列發(fā)散，或者 有兩個子列不收斂于同一極限值，則可斷言Xn是發(fā)散的例4判別數(shù)列Xn Sin N的收斂性.8解在Xn中選取兩個子列：SininkN8 16 ,即 Sin,sin88Sin 鄂;16k4 SinZ, kN*，即 SinSin16k 4 8顯然，第一個子列收斂于而第二個子列收斂于因此原數(shù)列Sinnn發(fā)散.三、收斂準則定義5 數(shù)列若滿足Xl X2 立時，則分

41、別稱收斂準則Xn 1 L ,則稱數(shù)列Xn為單調增加數(shù)列； 為單調減少數(shù)列當上述不等式中等號都不成 是嚴格單調增加和嚴格單調減少數(shù)列XnXn的項若滿足X1 X 2 LXn 1 L ,則稱數(shù)列 XXn單調增加有上界的數(shù)列必有極限；單調減少有下界的數(shù)列必有極限該準則的證明涉及較多的基礎理論，在此略去證明n例5證明數(shù)列1 1 收斂.n證根據(jù)收斂準則，只需證明n1 單調增加且有上界（或單調減少且有下界）n由二項式定理，我們知道1 1 n1、 1 n1Xn(1 n 11 1 (12!Xn 1(I n1 1 2 1Cn Cn -2- nn)(11n二)G(I1 Cn 12)C2(I1n 1)(11)3Ii(

42、I2n)(1逐項比較-(1 (n 1)! n 1Xn與Xn 1的每一項,I) L2n有I)(1n 1Cn nL丄(1n!11 2(n 1)厲)1)nn(1XnXnI)，這說明數(shù)列xn單調增加，又Xn1 2)(1 L (11 11n 1(n 1)丄2!12 2213!1,2,L .丄n!12n專），11丄2：12即數(shù)列1-n有界，由收斂準則可知收斂.n我們將 1-的極限記為e ,即neIimn第三節(jié)函數(shù)的極限.它是從數(shù)量方面來描述這種關系，但在某些實際函數(shù)概念反映了客觀事物相互依賴的關系問題中，僅僅知道函數(shù)關系是不夠的，還必須考慮在自變量按照某種方式變化時，相應的函數(shù)n , nN ,.下面介紹函

43、數(shù)極限的一般類型值的變化趨勢，即所謂的函數(shù)極限，才能使問題得到解決正如我們對數(shù)列極限的定義，數(shù)列X 可看做自變量為正整數(shù) n的函數(shù)：Xn 1所以，數(shù)列的極限可視為函數(shù)極限的特殊類型時函數(shù)的極限當自變量X的絕對值無限增大時，函數(shù)值無限地接近一個常數(shù)的情形與數(shù)列極限類似，所不同的只是自變量的變化可以是連續(xù)的定義1設函數(shù)f X在區(qū)間a,）上有定義，如果存在常數(shù) A ,對于任意給定的正數(shù) （無 論它多么小），總存在正數(shù)X ,使得當X滿足不等式X X時，對應的函數(shù)值f X都滿足不等 式f X A &，那么，稱函數(shù)f X當X趨于+時極限存在并以 A為極限，記作Iim f （x） A 或 f（X） A （X

44、 ）.在定義中正數(shù)X的作用與數(shù)列極限定義中的正整數(shù) N類似，說明X足夠大的程度，所不同 的是，這里考慮的是比 X大的所有實數(shù)X ,而不僅僅是自然數(shù) n,因此，當X時，函數(shù)f X以A為極限意味著：A的任何鄰域必含有f在某個區(qū)間 X, 的所有函數(shù)值定義1的幾何意義如圖1-30所示，作直線y A &和y A ,則總有一個正數(shù) X存在， 使得當X X時，函數(shù)y f X圖形位于這兩條直線之間區(qū)間(類似于定義1 ,我們定義X趨于,a上有定義，如果存在常數(shù)則稱f時極限存在并以時函數(shù)的極限的概念,A， 0， X 0， f X A 8，A為極限，記作我們簡述如下：設函數(shù)f X在使得當X X時，總有證明IimXC

45、OSXX由于COSX 0要使因此， 0,可取則當時,證明即有10x0 0,Iim coSxX10x0.， 只要IimXIg 因此可取X Ilg 1 ,當X X時,10x0.當X充分大時有定義，:X ,使得當X滿足不等式如果存在常數(shù) A,對于任意給定的正數(shù) (不 :X X時，對應的函數(shù)值f X都滿足不等f (X) AA就稱為函數(shù)f X當X時的極限,r r 、 * 1 ,Ii *r * *r r 記作Iim f (x) A 或 f(X) A (X ).X由定義1、定義2及絕對值性質可得下面的定理.定理1 Iim f (x) A的充要條件是Iim f (x) Iim f (x) AXXX211X2X

46、1O ,要使1證明Iim X X X,只需X13 而 X 1 X1,故只需X13即X 1因此， O，可取X 1 3 ,則當XX時，有X 21X 1,故由定義2得XimX Xo時函數(shù)的極限對一般函數(shù)而言，除了考察自變量X的絕對值無限增大時，函數(shù)值的變化趨勢問題，還可研究X無限接近Xo時，函數(shù)值f X的變化趨勢問題它與X時函數(shù)的極限類似，只是 X的趨向不同，因此只需對 X無限接近Xo時f X的情形作出確切的描述即可.定義3設函數(shù)f X在點Xo的某個去心鄰域內有定義，A為常數(shù)，若對于任意給定的正數(shù)(無論它多么小)，總存在正數(shù),使得當X滿足不等式O X Xo時，對應的函數(shù)值f X都滿足f (X) A

47、,則稱函數(shù)f X當XXo時的極限存在并以 A為極限，記作Iim f (X) A ,或 f X A ( X Xo 時).XXo上述定義稱為X Xo時函數(shù)極限的分析定義或 X Xo時函數(shù)極限的“ ”定義.研究f X當 X Xo的極限時，我們關心的是X無限趨近Xo時f X的變化趨勢，而不關心f X在X Xo處 有無定義、其值的大小如何，因此定義中使用了去心鄰域.這就是說f X在X X O處有無極限與函數(shù)在該點有沒有定義無關 .函數(shù)f X當X Xo時的極限為 A的幾何解釋如下：任意給定一正數(shù),作平行于X軸的兩條直線y A 和y A ,介于這兩條直線之間是一橫條區(qū)域.根據(jù)定義，對于給定的,存在著點Xo的一個鄰域(Xo, X。 ),當y f X的圖形上的點的橫坐標 X在鄰域(X。 ,Xo )內，但X Xo時，這些點的縱坐標f(x)滿足不等式f (X) A ,或 A f (X) A.亦即這些點落在上面所作的橫條區(qū)域內，如圖1-31所示.例4證明IXmlX2.證函數(shù)f(x) X 1在X 1處無定義. X 1因此,由定義X 1 時,I X 1 l 成立 0,據(jù)上可取 ,則當X證 因為X01 得 IimX 12 .X 1 X 1 證明 Iim Sin X Sin X0.X00時,由于Sin XISin X Sin X01,CoSX2 cosX1 ,所以2