奧數(shù)新講義-一次函數(shù)-4師

1、第十一講一次函數(shù)4關(guān)于一次函數(shù)的解析式例1已知函數(shù).y = （7-2）x2n,+3-（3-H）是一次函數(shù)，則此函數(shù)的解析式為；解：由一次函數(shù)的定義，知2m+3J解之得m=-l.故所求函數(shù)解析武為 y=-3%-4.當(dāng)m二時(shí)，函數(shù)j3-m ）* J+”計(jì)1是一次函數(shù). （提示：妥注意尤項(xiàng)前的系數(shù)不能為0）例2.已知一次函數(shù)y = lcx+b伙HO）的圖像經(jīng)過(guò)A（l,2）、B （-1, 一4）兩點(diǎn)，求這個(gè)一次函數(shù)的解析 式；分析：由于一次函數(shù)y=kxb中有兩個(gè)待定的系數(shù)仁E,所以求其解 析式需兩個(gè)條件、而“過(guò)4、B兩點(diǎn)”就是兩個(gè)條件.把/I、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分 別代入解析氏屮，得關(guān)于斤的方程組，于是可求

2、出k、b的值.解：略.例3.直線1與直線,y = 2x+l的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2,與直線.y = -x + 2的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,求直線1對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；解：設(shè)直線I對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=kx.-b.由X=2代入y2x+1中， 得尸5,即求得直線I上的個(gè)點(diǎn)（2,5）（因它是/與v=2x + l的交點(diǎn)）； 又由y=l代入尸-2中，得存1,即求得宜線/上的另一個(gè)點(diǎn)（1,1）.將點(diǎn)（2,5）和點(diǎn)（1）代入y=kx-+b中，得解得L-4L :故直線Z b=-3,的對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=4r-3.例4正比例函數(shù)y1 = kx與一次函數(shù)y2=k2x + b的圖像如下圖，它們的交點(diǎn)P的坐標(biāo)是（4,3）點(diǎn)Q在y

3、軸的負(fù)半軸上且OQ=OP,求這兩個(gè)函數(shù)的解析式; 簡(jiǎn)析 易知V.*r如圖1-/ OArAP = 3rA OF = OQ = 5故Q（O, 5兒再由Pal,3）,可求得例5.試確定k的范圍，使一次函數(shù)y = （3-幻兀+伙一 2）的圖像和方程 - 2y = 4表示的宜線平行;0y隨X的增大而減小;通過(guò)第1. 2、3象限.解 將方程化從y=*r-2 根據(jù)l線平行的特點(diǎn)右 3一後=E2 寺.故當(dāng)2號(hào)時(shí)“線 y=(3-A)x+(2)和直線72y4 f ff.當(dāng)30.U-20.解得23.故當(dāng) 20,則其圖像大致是直線（） A. aB. bC. CD d解 由FV0， rnn Ao ,知力V 0因 此、-

4、次函數(shù)圖象過(guò) 2.3.4象限故應(yīng)選 （C）.例7 （99年全國(guó)競(jìng)賽）設(shè)ba,將一次函數(shù)y = bx + a與ym + b的圖像畫在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，則有一組db的取值，使得下列四個(gè)圖中的一個(gè)為正確的是（）奧數(shù)教程，初三年級(jí)P52,例2；或初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽同步輔導(dǎo)，初三P99,例2例8. （14屆江蘇省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽）已知一次函數(shù)y = d + b ,肋0,則這樣的一次函數(shù)的圖像必經(jīng)過(guò)的公共象限有個(gè)，即第象限.解：由肋v.知上、b異號(hào).當(dāng)20V O時(shí).它的圖像經(jīng)過(guò)一、三、四象限；（2）當(dāng)k 0時(shí).它的圖像經(jīng)過(guò)一、二、四象限.所以,該一次函數(shù)的圖像必經(jīng)過(guò)的公共 象限有兩個(gè)即第一、四象限.例9（98年全國(guó)

5、競(jìng)賽）已知dbcH,= = =/7,那么直線y=px+p 定通過(guò)（）CabA.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D(zhuǎn).第一、四象限初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽同步輔導(dǎo)，初三P99,例1例10.如果一條直線1經(jīng)過(guò)不同的三點(diǎn)A （a,b） ,Ba）,C（a-b,b-a）,那么直線1經(jīng)過(guò)（）A.第二、四象限B.第一、二、三象限C.第二、三、四象限D(zhuǎn).第一、三、四象限奧數(shù)教程，初三年級(jí)P51,例1一次函數(shù)圖像的特殊點(diǎn)以及面積問(wèn)題例11.（15屆江蘇省數(shù)學(xué)競(jìng)賽）函數(shù)y = 3-x-2的圖像如圖所示，則點(diǎn)A和B的坐標(biāo)分別是解頑已知可得= x5(x 翅) t,r+ l(x2 )山圖2可知:7. B/丟點(diǎn)A是直線T

6、= - .Y + 5與X軸的交點(diǎn), 有 A (5 Q): B是直線y = - X + 5與y = X + 1的交 點(diǎn)Iy=X-I解得 B (2 ,3).故 A(50)、E(2 3)例12.（2000年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）在宜角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（15,6）,宜線y = -+b恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，那么b=B(I5.6)O解：由矩形的對(duì)稱性可知平分其面積的 直線必過(guò)其中心（即對(duì)角線交點(diǎn)）設(shè)中心為點(diǎn)o,.山 E（156） 則 O .3 代入y =十X +得3 =十X17 + b.解 得b = 例13.（2001年河北省競(jìng)賽）設(shè)直線LV + （7 + l）y =

7、2 （n為自然數(shù)）與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為二(n=l, 2,3,2000),則S+S? + + S2000 的值為多少？解:直線MX + (刃+ Dy-Ji與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別彳O 捕 彳.0 1 X2+則S7r=因此5i S2 + S2OEIOGo 2 OOl_2 OoO=2 0Or例14(2001全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽天津賽區(qū)初賽)如圖,直線y =gx + l與X軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B,以AB為直角邊在第-象限內(nèi)作等腰直角且ZBAC=9。如果在第二象限內(nèi)有-點(diǎn)P(T),且AABP的面積與RtABC的面積相等,求a的值.解:由已知可得A(Ji ?0)(0 4) ,OA =、OB = 故 AB

8、 =- OB =2.因此,Ss=十 X2 2=2.連2則S 二 S 二費(fèi)0 S SQ - S Ab?=十 Xl Kd + XlX/5 + M #_ 22 4 .4/CI74x =S jsc所以-4-f =2.故斗例15.(北京市西城區(qū)2006年抽樣測(cè)試八年級(jí)(上)數(shù)學(xué)試卷)在直角坐標(biāo)系中，有兩個(gè)點(diǎn)A(-6), B(-2,5)(1) 在丿軸上找一個(gè)點(diǎn)C ,在X軸上找一個(gè)點(diǎn)D,畫出四邊形ABCD,使其周長(zhǎng)最短(保留作圖痕跡)；(2) 在(1)的情況下，求出C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo).解答：(1) GD兩點(diǎn)應(yīng)落在過(guò)點(diǎn)從-6廠3),歹(2,5)的直線上，如圖所示（2）過(guò)點(diǎn)A,（-6-3）,B,（2,5）的直線的

9、解析式為y = x + 3,故C點(diǎn)坐標(biāo)為（0, 3）, D點(diǎn)坐標(biāo)為（-3, 0） 例16.（懷柔區(qū)八年級(jí)下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷）已知一次函數(shù)7 =（加-3）x + 2的函數(shù)值隨著X的增大而減小，且一次函數(shù)J = （2 + 3）x-3的函數(shù)值隨著X的增大而增大，則同時(shí)滿足上述條件的加的取值范圍是（）解答：C例17.（北京市西城區(qū)2006年抽樣測(cè)試八年級(jí)（上）數(shù)學(xué)試卷）如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABcQ中，頂點(diǎn)4的坐標(biāo)是（0, 2）, 一次函數(shù)yx+t的圖像/隨/的不同取值變化時(shí)，位于/的右下方由/和正 方形的邊圍成的圖形面積（陰影部分）為S.（1）當(dāng)f取何值時(shí)，S=3；（2）在/移動(dòng)過(guò)程中，寫出

10、S與/的函數(shù)關(guān)系式（其中0r4）解答：Sr2,(02)4-l(4-n2,(2r O ,所以 S=LoCxOE=-2 2OvOES2,所以一2SS = SMAB4 + 3 一 2(l + )由于D在AB ,所以它的橫縱坐標(biāo)要適合;0 2ITl1 + a0 2l + 解、a0所以斜（心2或心。）綜合（1） （2）,可知:一一(一2 SdVo)2A + % 0)2(1 + )一.練習(xí)題5951. （2000年全國(guó)初中數(shù)學(xué)竟賽）一個(gè)一次函數(shù)的圖像與直線y = -x + -平行，與X軸，y軸的交點(diǎn)分別44為A、B,并且過(guò)點(diǎn)（一1,一25）,則在線段AB上（包括端點(diǎn)A, B）,橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)有（）

11、 A. 4個(gè)B. 5個(gè)C. 6個(gè)D. 7個(gè)答案：B2. （1999年湖北省黃岡市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽）如圖，宜線y = -2x + 10與X軸，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，把ZAOB沿AB翻折，點(diǎn)O落在C處，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是；3. （2001年Tl杯）在直角坐標(biāo)系XOy中，X軸上的動(dòng)點(diǎn)M（x, 0）到定點(diǎn)P（5, 5）、Q（2, 1）的距離分別為MP和MQ,當(dāng)MP+MQ取最小值時(shí)，點(diǎn)IVl的橫坐標(biāo)X=；答案號(hào)4. （第12屆江蘇數(shù)學(xué)競(jìng)賽）求證：不論k為何值，一次函數(shù)（2k-Y）x-伙+ 3），-伙-II） = O的圖像恒過(guò)一定點(diǎn)；（提示:此題是“直線束”問(wèn)題可先由兩條特殊直線求得交點(diǎn)坐標(biāo),再證明共他直線必經(jīng)

12、過(guò)此交 點(diǎn)）5. （2000年湖北省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽選拔題）設(shè)直線上Y +伙+ l）y = l （k為自然數(shù)）與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積為SJt （k=l, 2, 3,2000）,則S1+S2+.+S2（IOo等于多少？案 1 000.6（1994年天津中招）直線y = （m + ）x-3與y = （2-3）x + 5及y軸圍成的三角形面積為16,求m的值.W來(lái)鉗趣怠LHri岀G胸.Ih力和紐 y=5 十 1）工一3, y= CD=16即 8l = ,613無(wú)命 rn = -trntf 7已知直線y=S +勺過(guò)點(diǎn)（一 1, -4） 距為3.（0求兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)y2y,時(shí)，求啲范圍.解?？司€m=