輕松搞定排列組合難題二十一種方法

1、高考數(shù)學(xué)輕松搞定排列組合難題二十一種方法教學(xué)目標1 .進一步理解和應(yīng)用分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理。2 .掌握解決排列組合問題的常用策略；能運用解題策略解決簡單的綜合應(yīng)用題。提 高學(xué)生解決問題分析問題的能力3 .學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)思想和方法解決排列組合問題.復(fù)習(xí)鞏固1 .分類計數(shù)原理（加法原理）完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有鵬種不同的方法，在第2類辦法 中有回種不同的方法，,在第n類辦法中有F種不同的方法，那么完成這件 事共有：性+悒+端種不同的方法.2 .分步計數(shù)原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有咐種不同的方法，做第2步有咫種 不同的方法，做第n步有也種不同的方法，那

2、么完成這件事共有： 州=乂性乂x端種不同的方法.3 .分類計數(shù)原理分步計數(shù)原理區(qū)別分類計數(shù)原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。分步計數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段， 不能完成整個 事件解決排列組合綜合性問題的一般過程如下：1 .認真審題弄清要做什么事。2 .怎樣做才能完成所要做的事，即采取分步還是分類，或是分步與分類同時進行， 確定分多少步及多少類。3 .確定每一步或每一類是排列問題（有序）還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及 取出多少個元素.4 .解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略。1 .特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例

3、1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).解:由于末位和首位有特殊要求，應(yīng)該優(yōu)先安排，以免不合要求的元素占了 這兩個 位置.先排末位共有.二然后排首位共有c：最后排其它位置共有4由分步計數(shù)原理得C優(yōu)父=288位苴分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需 先安揶特殊元素,再處理其它元素,若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位 置.若有多個約束條件，往往是若慮一個約束條件的同時還要篥顧苴它條件2 .相鄰元素捆綁策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法.解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個

4、復(fù)合元素， 同時丙丁也看成一個復(fù) 合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。由分步計數(shù)原 理可得共有出用4 =480種不同的排法。要求某幾個元素必須為應(yīng)一蹌的問題,可以用摑綁法來解決問題即將需要相況的元素合并 為一個元素，苒與其它元素一起作便列同時蘿注意合并元素內(nèi)部也必須挪列.3 .不相鄰問題插空策略例3.一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場，則節(jié)目的出場順序有多少種？解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有北種，第二步將4舞蹈插入第 一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種 蜴不同的方法，由分步計數(shù)原 理,節(jié)目的不同順序共有過成種元盍相離

5、問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端4 .定序問題倍縮空位插入策略例4.7人排隊，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法解:（倍縮法）對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素 一起進行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù)，則共有不同排 法種數(shù)是：（空位法）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有金；種方法，其余的三個 位置甲乙丙共有1種坐法，則共有M；種方法。思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎？（插入法）先排甲乙丙三個人，共有1種排法，再把其余4四人依次插入共有工；方 法定序問題訶以用倍縮法，述可轉(zhuǎn)讓為占位插五.重排問題求幕策略例5.把6

6、名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí)，共有多少種不同的分法解:完成此事共分六步：把第一名實習(xí)生分配到車間有7種分法.把第二名實習(xí)生分配到車間也有7種分依此類推，由分步計數(shù)原理共有那種不同的排法允訐更復(fù)的排列問題的特點是以元素為研究對冢,元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素 的位置，一般地口不同的元素沒有B良制地安排在m個位置上的排列數(shù)為網(wǎng)融種六.環(huán)排問題線排策略例6. 8人圍桌而坐，共有多少種坐法？解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人用并從此位置把圓形展成直線其余 7人共有（8-1 ） !種排法即7 !oooooooooABCDEFGHA一般地小個不同元素作圓形排列

7、，共有（ml>l種摔法.如果從拄個不同元素中取出m個元素作圓 形排列共有工總二七.多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，內(nèi)在后排，共有多少排法解：8人排前后兩排，相當于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.個特殊元素有用種,再排后4個位置上的特殊元素內(nèi)有 種,其余的5人在5個位置上任意排列有一般地，元素分成多排的排列問題可歸結(jié)為一排有虛，再分段研窕8 .排列組合混合問題先選后排策略例8.有5個不同的小球，裝入4個不同的盒內(nèi)，每盒至少裝一個球，共有多少不同的 裝法.解:第一步從5個球中選出2個組成復(fù)合元共有4種方法.再把4個元素（包含一 個復(fù)合元素）裝入4個不同的

8、盒內(nèi)有此種方法，根據(jù)分步計數(shù)原理裝球的方法共 有-；解決排列組合混合問題先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相限嗎？9 .小集團問題先整體后局部策略例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾1, 5在兩個奇數(shù)之間，這樣的五位數(shù)有多少個？解：把1 ,5,2 ,4當作一個小集團與3排隊共有 另種排法，再排小集團內(nèi)部共有 用用種排法，由分步計數(shù)原理共有用密用種排法.小集團排列問題中，先整體后局都，再結(jié)合其它策略進行處理口十.元素相同問題隔板策略例10.有10個運動員名額，分給7個班，每班至少一個，有多少種分配方案?解：因為10個名額沒有差別，把它們排成一排。相

9、鄰名額之間形成9個空隙。在9個空檔中選6個位置插個隔板，可把名額分成7份，對應(yīng)地分給7個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有 種分法。將口個相同的元素分成m份5，m為正整數(shù)），每份至少一個元素,可以用m4塊隔板， 插入甘個元素捧康一排的ml個空隙中，所有分法數(shù)為十一.正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于例的偶數(shù)，不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難，可用總體淘汰法。這十個數(shù) 字中有5個偶數(shù)5個奇數(shù)，所取的三個數(shù)含有3個偶數(shù)的取法有肉,只含有1個偶數(shù)的取法有以酸和為偶數(shù)的取法共有以受十煨。再淘汰和小

10、于10的偶數(shù)共9種， 符合條件的取法共有&燒+以-9種有些排列組合問題，正面直接考慮比較復(fù)雜而它的反面往往比莪匐提，可以先求出 它的反面.再從整體中蠹定十二.平均分組問題除法策略例12. 6本不同的書平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？解：分三步取書得盤種方法，但這里出現(xiàn)重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象，不妨記6本書為ABCDEF,若第一步取 AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為（AB,CD,EF）,則 CjCjC；中還有（ab,ef,cd）,（cd,ab,ef）,（cd,ef,ab）（ef,cd,ab）,（ef,ab,cd）共有 而種取法，而這些分法僅是（AB,CD,EF）一種分法,故共有用種分

11、法。平期分成的組，不管它們的順序如何,都是一種情況，所以分組后要一定要除以/：供為均分的組 數(shù)）避免重復(fù)計數(shù).十三.合理分類與分步策略例13.在一次演唱會上共10名演員，其中8人能能唱歌，5人會跳舞,現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目，有多少選派方法解：10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員 為標準進行研究只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有 學(xué)喈種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員玄武日種，只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有GW種，由分類計數(shù)原理共有種解含有約束條件的排列組合問題I可搜元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連塊過程分步，做 到標準明踴口分步層次漕楚，

12、不重不漏，分類標準一旦鼐定要貫穿于解題過程的始終口十四.構(gòu)造模型策略例14.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞，但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞，也不能關(guān)掉兩端的2盞，求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？解：把此問題當作一個排隊模型在6盞亮燈的5個空隙中插入3個不亮的燈有種一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位埴空模型，排隊模型，裝盒 模型等,可使問題直觀解決十五.實際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號1,2,3,4,5的五個球和編號1,2,3,4,5的五個盒子，現(xiàn)將5個球投入這五個盒子內(nèi)，要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的編號與盒子的編號相

13、同，有多少投法解：從5個球中取出2個與盒子對號有藻種還剩下3球3盒序號不能對應(yīng)，利用實際操作法，如果剩下3,4,5號球，3,4,5號盒3號球裝4號盒時，則4,5號球有只有1種裝法，同理3號球裝5號盒時,4,5號球有也只有1種裝法，由分步計數(shù)原理有2C；種3號盒4號盒5號盒時于條件比校寢雜的排列組合m題，不易用公式進行運法，住住利用布舉法或畫出樹狀圖會收 到意想不到的結(jié)果十六.分解與合成策略例16. 30030能被多少個不同的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式30030=2 X3X5 X 7 X11 X13依題意可知偶因數(shù)必先取2,再從其余5個因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有的偶因

14、數(shù)為：,匚叩G練習(xí):正方體的8個頂點可連成多少對異面直線解：我們先從8個頂點中任取4個頂點構(gòu)成四體共有體共以- 12= 53，每個四面體有3對異面直線，正方體中的8個頂點可連成3X58=174對異面直線分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題則把一個復(fù)雜問題分解成幾個小問題 逐一解決,落后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu)用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問題合成,從而得到 問題的答案算個比兢復(fù)雜的問題都要用到這種解題策略十七.化歸策略例17. 25人排成5 X5方陣，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不 同的選法有多少種？解：將這個問題退化成9人排成3X3方陣，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一

15、行 也不在同一列，有多少選法.這樣每行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉， 如此繼續(xù)下去.從3X3方隊中選3人的方法有C/C；種。再從5X5方陣選出3X3方陣便可解 決問題.從5 X5方隊中選取3行3列有點戊選法所以從5X5方陣選不在同一行也不在同一列的3人有處理復(fù)雜的排列組合間題時可以把一個問題退化成一個武 要的和題,通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法, 從而進下一步解決原來的問翹十八.數(shù)字排序問題查字典策略例18.由0, 1, 2, 3, 4, 5六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)的比 324105 大的數(shù)？解二：二I.用一萩字排序可即可用查字典法,查字典的法 應(yīng)從

16、高位向低位查.依次求出其符合要求 的個數(shù),根據(jù)分類時啜原理求出其總數(shù).十九樹圖策略例19 . 3人相互傳球，由甲開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過5次傳求后，球仍回到甲的手中，則不同的傳球方式有1時于條件比兢復(fù)雜的排列合問題不易用公式進行運算，樹圖會收到意想不到的結(jié)臬二十.復(fù)雜分類問題表格策略例20.有紅、黃、蘭色的球各5只，分別標有A、B、C、D、E五個字母,現(xiàn)從中取5只，要求各字母均有且三色 齊備,則共有多少種不同的取法？紅111223黃123r 1 1212lL321211取法爾*c沼滔一鱉復(fù)雜的分類選取題，要滴足的條件上傲備，無從人手，經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)遺 漏的情況用表格法，則分類明確n能保證題中須滿足的條件/到好的效一：住店法策略 解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可 以重復(fù)，另一類不 能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法 原理直接求解.例21.七名學(xué)生爭奪五項冠軍，每項冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種 數(shù)有種.分析：因同一學(xué)生可以同時奪得n項冠軍，故學(xué)生可重