函數(shù)與方程—講義

1、函數(shù)與方程一. 【目標要求】 結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系， 判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù). 會理解函數(shù)零點存在性定理，會判斷函數(shù)零點的存在性二. 【基礎(chǔ)知識】1. 函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)y f(x),我們把方程f(x) 0的實數(shù)根叫做函數(shù) y f(x)的零點。2. 函數(shù)零點與方程根的關(guān)系：方程f(x) 0有實數(shù)根函數(shù)y f (x)的圖象與X軸 有點 函數(shù)y f (x)有零點3. 函數(shù)零點的存在性定理：如果函數(shù)y f (x)在區(qū)間a,b上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f(a)f(b) 0,那么，函數(shù)yf (x)在區(qū)間a,b內(nèi)有零點，即存在Xo (a,b),使得

2、f(x°) 0 ,這個Xo也就是方程f(x) 0的根。注：若f(x) 0或f(x) 0恒成立，則沒有零點。三. 【技巧平臺】1.對函數(shù)零點的理解及補充(1) 若y f (x)在X a處其函數(shù)值為0,即f(a) 0 ,則稱a為函數(shù)f(x)的零點。(2) 變號零點與不變號零點 若函數(shù)f (x)在零點X。左右兩側(cè)的函數(shù)值異號，則稱該零點為函數(shù)f (x)的變號零點。 若函數(shù)f (X)在零點X。左右兩側(cè)的函數(shù)值同號，則稱該零點為函數(shù)f (x)的不變號零點。 若函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上的圖像是一條連續(xù)的曲線，則f (a) f (b) 0是f (x)在區(qū)間a,b內(nèi)有零點的充分不必要條件。(3)

3、 般結(jié)論：函數(shù)y f()的零點就是方程f() 0的實數(shù)根。從圖像上看，函數(shù)y f(x) 的零點，就是它圖像與 X軸 交點的橫坐標。(4) 更一般的結(jié)論：函數(shù) F(X) f (X) g(x)的零點就是方程f(x) g(x)的實數(shù)根，也就是函數(shù)y f(x)與y g(x)的圖像交點的橫坐標。2.函數(shù)yf (X)零點個數(shù)(或方程f (X)0實數(shù)根的個數(shù))確定方法1)代數(shù)法:函數(shù)y f (x)的零點f()0的根2)幾何法:有些不容易直接求出的函數(shù)yf ()的零點或方程f(x) 0的根，可利用y f()的圖像和性質(zhì)找出零點。畫3)注意二次函數(shù)的零點個數(shù)問題0y f ()有2個零點f()0有兩個不等實根0y

4、 f ()有1個零點f()0有兩個相等實根0 y f()無零點f() 0無實根對于二次函數(shù)在區(qū)間 a,b上的零點個數(shù)，要結(jié)合圖像進行確定4) 對于函數(shù)F(X) f (x) g(x)的零點個數(shù)問題，可畫出兩個函數(shù)圖像，看其交點個數(shù)有幾個,則這些交點橫坐標有幾個不同的值就有幾個零點。5) 方程的根或函數(shù)零點的存在性問題，要以根據(jù)區(qū)間端點處的函數(shù)值乘積的正負來確定，但要 確定零點的個數(shù)還需進一步研究函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，在給定的區(qū)間上，如果函數(shù)是單調(diào) 的，它至多有一個零點，如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)細分出小的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合這些小的區(qū) 間的端點處的函數(shù)值的正負，作出正確的判斷。6) 要特別注意數(shù)形結(jié)合解

5、出方程解的個數(shù)的問題。3.元二次函數(shù)的零點、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之間的關(guān)系。判別武 = A' iIacAO=OV0二次函數(shù)ytiM -bjr-c3 ACO的圖象yAOJXtXrjO丿r元二次方程a Jc -F j H- c = 0 (>0)的根有兩不等實根JCI * 3C g , ( J 'EJe- 2 )有兩相等實根 bNi=也=丑沒有實根a Jc2 -bjc c>0(>0) 的解集 1腐詳?shù)KL LLJ + 乩T 十 QVo<>0>的解集f 胡J藪為學(xué)習(xí)的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程時，把二次項系數(shù)a化為正數(shù),(

6、1) ax2 bx C 0(a0)恒成立ax2bx C 0(a0)恒成立(2) ax2 bx C 0的解集為R2ax bx C 0的解集為R(3)對于二次函數(shù)在區(qū)間a,b上的最值問題，參照第(1)和(2)節(jié) 3.構(gòu)造函數(shù)解不等式恒成立的問題(1)含有參數(shù)的不等式恒成立問題，若易于作出圖像，則用圖像解決，若不易作圖，可分離參數(shù)。m f (x) min (注意等號是否成立)(2) m f(x)恒成立 m f(x) max，m f(x)恒成立(3) m f(x)有解 mf (x)min，m f(x)有解f (x)max(4) f (x)0在區(qū)間a,b上恒成立f(x) min在a,b上大于0四. 【例

7、題精講】考點一、函數(shù)的零點【舉一反三】1.判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點2(1) f (x) X 3x 18,x 1,8(3) f (x) Iog2 X 2 x, X 1,3(2) f(x) X3 X 1,x 1,2(4) f(x)-x, X 0,1223例1.判斷函數(shù)f() 1 4x X X在區(qū)間 1,1上零點的個數(shù),3例2.若函數(shù)f (x) axb有一個零點為2,那么g(x)bx2ax的零點是。3例 3.設(shè) f(x) X bxC在 1,1上的增函數(shù)，且 f11f -0 ,則方程f (X)0在區(qū)22間1,1內(nèi)有個實數(shù)根?？键c二：二次函數(shù)的零點2 _例4.是否存在這樣的實數(shù) a ,使函數(shù)

8、f(x) X (3a 2)x a 1在區(qū)間 1,3上與X軸恒有一個 零點，且只有一個零點，若存在，求出范圍，若不存在，說明理由?？键c三、方程的根與函數(shù)的零點2例5.已知二次函數(shù)f (x) ax bx C(1) 若a b C且f(1) 0 ,試證明f(x)必有兩個零點；1(2) 若對X1,X2 R且咅X2,f(xJ f(X2),方程f (x) 一 f(N) f(X2)有兩個不等實根，證2明必有一個實根屬于x1,x2【舉一反三】2. X1與X2分別是實系數(shù)方程ax2 bx C 0和 ax2 bx C 0的一個根，且 x1 x2,x1 0,x2 0,求證：方程 X2 bx C 0的一個根介于x1與X

9、2之間。2【練習(xí)】1.函數(shù)f(x)井的零點有個。2.f (x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，且f(2)0 ,則方程f (x)0在區(qū)間0,6內(nèi)解的個數(shù)是。3.已知函數(shù)f (x)5 ,則當方程f(x)a有三個根時，實數(shù)a的取值范圍是4.3函數(shù)f(x) X2x 5 在區(qū)間 1,2上有三個零點，求的取值范圍。5.設(shè)a0且 a1，函數(shù)2f (x) Ioga(X 2x 3)有最小值，則不等式IOga(X 1) 0的解集26.函數(shù) f (x) ax bxc(a 0)的圖像關(guān)于直線 Xb扃對稱，據(jù)此可推測，對任意的非零P 0的解集不可能是下列表達式中的實數(shù) a,b,c,m, n, P 關(guān)于 X 的方程 m

10、f(x)2 nf (x)哪一個 1,2 1,4 1,2,3,4 1,4,16,647. 若函數(shù)f(x) ax X a(a 0且a 1)有兩個零點，則實數(shù) a的取值范圍是 。8. 已知定義在 R上的奇函數(shù)f (X),滿足f (x 4) f (X),且在區(qū)間 0,2上是增函數(shù)，若方程 f(x)m(m0)在區(qū)間8,8上有 四個不 同的根X1,X2,X3,X4 ，則N X2X3×4。9.已知函數(shù)f(x)1 X I3log2X, ab c,f (a) f(b) f(c) 0 ,實數(shù)d是函數(shù)f (X)的一個零點，給出下列四個命題： d aabd Cd C其中可能成立的是。10. 設(shè)函數(shù)f(x)

11、IXlX bx c,則下列命題中說法正確的是 當b 0時，函數(shù)f (X)在R上是單調(diào)增函數(shù) 當b 0時，函數(shù)f (X)在R上有最小值函數(shù)f (X)的圖像關(guān)于點 0,c對稱 方程f(x) 0可能有三個實數(shù)根11. 在平面直角坐標系中，設(shè)直線y3X 2m和圓X2 y2 n2相切，其中m,n NX 10 | m n | 1,若函數(shù) f (x) m n 的零點 x0(k, k 1),k Z ,則 k=。12. 方程x22x 1 0的解可視為函數(shù) y X -2的圖像與函數(shù) y 的圖像交點的橫坐標，X若方程X4 ax 4 0的各個實根Xl ,x2, ,xk,(k 4)所對應(yīng)的點X, (i 1,2, k)均在Xi直線y X同側(cè)，則實數(shù)a的取值范圍是 _。13. 方程2x X2 4 0的實數(shù)