整式乘除與因式分解(競賽)

1、補(bǔ)充公式:三項完全平方公式：(a b c)233,_、一， x y (x立方和與立方差：33x y (x完全立方公式:代數(shù)222_-a b c 2ab 2bc 2ca22、y)(x xy y )22、y)(x xy y )33223(xy)x3x y3xyy33223(xy)x3x y3xyy楊輝三角(x y)01 (x y 0)(x y)1x y 22(x y) x33(xy)x44(xy)x(xy)5x5(xy)6x62xy y22233x y 3xy y ,3- 2 2,344x y 6x y 4xy y43 22 3455x y 10x y 10x y 5xy y54 23 32 45

2、66x y 15x y 20x y 15x y 6xy y1 1f '71 2 1* W1 3 3 1VW1 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 13、因式定理和待定系數(shù)法1 .多項式x2+mx+5因式分解得(x+5)(x+n),則 m=2.若關(guān)于x的多項式x2 px 6含有因式x 3,則實數(shù)p的值為3,已知 x4+mx3+nx 16 有因式(x1)和(x 2),貝U m =, n =4.已知多項式ax3+bx2 47x 15可被3x+1和2x- 3整除.試求a, b的值及另外的因式.5.如果x4 x3+kx2 2kx-2能分解為兩個整系數(shù)的二次因式，

3、試求 k的值.6.已知x2-xy-2y2+mx+7y- 3能夠分解成兩個整系數(shù)的一次因式的乘積，求 m的值.7,對x5- 1進(jìn)行因式分解8 .觀察下列式子的因式分解做法：2x 1 (x 1)(x 1)x31 = x3x+x1 = x(x21)+x1 = x(x1)(x+1)+(x 1) = (x 1)x(x+1)+1 = (x 1)(x2+x+1)x41 = x4x+x1 = x(x31)+x1 = x(x1)(x2+x+1)+(x 1) = (x 1)x(x2+x+1)+1 = (x 1)(x3+x2+x+1)模仿以上做法，嘗試；x5 1(2)觀察以上結(jié)果，猜想 xn 1 =; (n為正整數(shù)

4、，直接寫結(jié)果，不用驗證 )(3)根據(jù)以上結(jié)論，試求 45+44+43+42+4+1的值.9 .(x 1)()=x61;D (x 1)(x6+x5+x4+x3+x2+x+1) = 1+4+4 2+43+4 2013=.10 .設(shè)多項式2x2+5x+3的一個因式為x+a,另一個因式為 2x+b貝 U (x+a)(2x+b)= 2x2+5x+3貝U 2x2+(2a+b)x+ab= 2x2+5x+3貝U ab = 3，2a+b=5®若 a, b 都取整數(shù)，由知有 a= 1, b= 3; a= 1 . b= 3; a= 3, b= 1; a= 3, b= 1只有a=1, b=3滿足則多項式2x

5、2+5x+3分解因式為(x+1)(2x+3)仿照以上(1)的解題過程，分解因式3x2 5x 2.43x x 7x x 611 .分解因式32x x 4x 443223x 9x y 26xy 24 yx5 x 112.分解因式3,.、 2x (a b c)x (ab bc ca)x abc32(a b)x (3a 2b c)x (2a b 3c)x 2(b c)13.試證明：(1)x 1是的x9 1因式x a是的xn an因式。(n是正整數(shù))1814.設(shè) f(x) 3x3 2x219x 6,試問下列何者是f(x)的因式?2x 1, (2) x Z (3) 3x 1 (4) 4x+1 , x ,

6、(6) 3x 4-32_ x3 4x2 x 615 .把下列多項式分解因式:3_ x3 5x 432 3x 5x 4x 2432 x 9x 25x27x 101 2-x2(y z)5 (z x)5 (x y)5x416 .因式分解a3(b c) b3(c a) c3(a b)二、拆項、添向和換元1 把下列多項式因式分解(2) x4+x2y2+y4(1) x4+642分解因式：x3-9x+837x2 1a3 4a 3224ab b432x x 2x x 1x4+4y42x 3x 14 .分解因式:(x4 x2 4)(x4 x2 3) 10(x 1)(x 2)(x 3)(x 4) 2444_ _(

7、x 1) (x 3)272;22_ 2(a a 1)(a 6a 1) 12a5 .因式分解(x+1)4+(x+3)4 272 =6 .因式分解：16(6x1)(2x1)(3x+1)(x 1)+25=用新字母代7 .你會對多項式(x2+5x+2)(x2+5x+3) 12分解因式嗎？對結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的多項式，若把其中某些部分看成一個整體，替(即換元)，能使復(fù)雜的問題簡單化、明朗化.從換元的個數(shù)看，有一元代換、二元代換等.對于(x2+5x+2)(x2+5x+3) 12.解法一：設(shè) x2+5x=y,則原式=(y+2)(y+3)12=y2+5y 6=(y+6)(y 1) = (x2+5x+6)(x2+5x

8、1) = (x+2)(x+3)(x2+5x 1).解法二：設(shè) x2+5x+2=y,則原式=y(y+1) 12 = y2+y 12=(y+4)(y 3)=(x2+5x+6)(x2+5x 1)= (x+2)(x+3)(x2+5x 1).解法三：設(shè) x2+2=m, 5x=n,則原式=(m+n)(m+n+1) 12= (m+n)2+(m+n) 12= (m+n+4)(m+n 3)= (x2+5x+6)(x2+5x 1)= (x+2)(x+3)(x2+5x 1).按照上面介紹的方法對下列多項式分解因式：(1)(x2+x 4)(x2+x+3)+10;(2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2;(

9、3)( x+y 2xy)(x+y 2)+(xy 1)2.8 .因式分解 m(n+1)(n+2)(n+3)+1 =9 .證明：四個連續(xù)的正整數(shù)的乘積加上1是一個完全平方數(shù).三、分式的恒等變形1 .解方程：？ + £ = 3(?+ ?.11a 12 .已知X 4,求下列各式子的值：X2 =x3 FXX2X33.若a、b、c均為非零常數(shù)，且滿足求X的值。a b c 口 (a b)(b c)(c a) 日 ,且 x ，且 X 0aabc片114.已知一 一x y3,求2X 3Xy 2y x 2Xy y2x 3xy 2yabc5 . 已知二個正數(shù) a、b、c 滿足 abc=1, 求 的值x 2

10、xy yab a 1 bc b 1 ac c 1八 x 1, 、x2-的值。16 .已知- -,試求分式十二x x 1 4x x7.已知三個不全為零的數(shù)x、V、z滿足4x,2x2 3v2 6z23y 6z 0, x 2y 7z 0,求2的值。x2 5y2 7z2四、對稱式和輪換對稱式、定義在含有多個變量的代數(shù)式f (x,y,z)中,如果變量x, y,例如：x+y,xy,x+y+z ,222x y x ；xyzxy yz zxx3+y3+z3 - 3xyz,x5+y5+xy,1 1 ；x y在含有多個變量的代數(shù)式f(x,y,z)中，如果變量x, y,z任意交換兩個后，代數(shù)式的值不變，則稱這個代數(shù)

11、式為對稱式x V y z z x .都是對稱式.xyz xyz xyzz循環(huán)變換后代數(shù)式的值不變，則稱這個代數(shù)式為輪換對稱式,簡稱輪換式。顯然，對稱式一定是輪換式，而輪換式不一定是對稱式1 .分解因式(x y z)5x5y5z52 .分解因式 f (x, y) x4 y4 (x y)43 .設(shè)實數(shù) a, b, c滿足a+b+c= 3,a2+b2+c2=4,則/+等+蕓=(A. 0B. 3C.D. 9?4 .已知abcO,且a+b+c= 0,則代數(shù)式 而+而+力期值為a+b+c=5 .設(shè) a、b、c 均為非零實數(shù),且 ab=2(a+b), bc=3(b+c), ca = 4(c+a),則6.若數(shù)

12、組（x, y, z）滿足下列三個方程:?=1、?+?+?3?_?+?+?= 2、 ?+?+?=，貝 U xyz=7,已知 a、b、c均為實數(shù)，且 a+b+c=0, abc= 2,求|a|+|b|+|c|的最小值.8.已知a, b, c均為實數(shù)，且 a+b+c=0, abc= 16,求正數(shù)c的最小值.111.111 ,一9-已知 a+b+c = °，?+ ?+ ?= - 4,求可+ ?2+ 費(fèi)的值.10 .不等于0的三個數(shù)a、b、c滿足?+ 1?+ ；?= ?篇?求證:a、b、c中至少有兩個互為相反數(shù).一 ?111 已知?+?= 15，?1=一?+?17 )?=?+?116 )?+?一

13、一？?一. ？吊 ?12.已知a、b、c滿足？?+?+ ?不?+而?=1,則？不?+濟(jì)?+而?勺值為多少?五、不定方程如果一個方程（組）中，未知數(shù)的個數(shù)多與方程的個數(shù)，那么把這種方程（組）叫不定方程（組）。不定方程（組）的解是不確定的，一般不定方程 （組）總有無窮多個（組）解。若加上整數(shù)（或正整數(shù)）解的限制，則不定方程（組）的解有無數(shù)組，或有限組，或不存在。1 .如圖，在高速公路上從 3千米處開始，每隔4千米設(shè)一個速度限制標(biāo)志，而且從10千米處開始，每隔9千米設(shè)一個測速照相標(biāo)志，則剛好在19千米處同時設(shè)置這兩種標(biāo)志.問下一個同時設(shè)置這兩種標(biāo)志的地點的千米數(shù)是（）Y 丫浦1甲Y37 10 11

14、151923A. 32千米B. 37千米C, 55千米D. 90千米2 .購買鉛筆7支，作業(yè)本3本，圓珠筆1支共需3元；購買鉛筆10支，作業(yè)本4本，圓珠筆1支共需4元，則購買鉛筆11支，作業(yè)本5本，圓珠筆2支共需（）A. 4.5 元B. 5 元C. 6 元D. 6.5 元3.某次足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場得順序，則該隊勝、平、負(fù)的情況可能有3分，平一場得1分，負(fù)一場得。分，某球隊參賽15場，積33分，若不考慮比賽A. 15 種B. 11 種C. 5種D. 3種4.某班級為籌備運(yùn)動會，準(zhǔn)備用365元購買兩種運(yùn)動服，其中甲種運(yùn)動服20元/套，乙種運(yùn)動服35元/套，在錢都用盡的條件下，有種購買方案

15、.5 .正整數(shù) m、n滿足8m+9n = mn+6,則m的最大值為 6 .甲、乙、丙三人進(jìn)行智力搶答活動，規(guī)定：第一個問題由乙提出，由甲、丙搶答.以后在搶答過程中若甲答對1題，就可提6個問題，乙答對1題就可提5個問題，丙答對l題就可提4個問題，供另兩人搶答.搶答結(jié)束后，總共有 16個問題 沒有任何人答對，則甲、乙、丙答對的題數(shù)分別是 .7 .陳老師給42名學(xué)生每人買了一件紀(jì)念品，其中有：每支 12元的鋼筆，每把4元的圓規(guī)，每冊16元的詞典，共用了 216 元，則陳老師買了鋼筆 支，詞典 冊.8 .中國百雞問題：雞翁一，值錢五，雞母一，值錢三，雞雛三，值錢一.百錢買百雞，問雞翁、雞母、雞雛各幾何?9 . 一個盒子里裝有不多于 200顆糖，如果每次2顆，3顆，4顆或6顆地取出，最終盒內(nèi)都只剩一顆糖，如果每次 11顆地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少顆糖?10 .某學(xué)校為九年級數(shù)學(xué)競賽獲獎選手購買以下三種獎品，其中小筆記本每本5元，大筆記本每本7元，鋼筆每支10元，購買的大筆記本的數(shù)量是鋼筆數(shù)量的2倍，共花費(fèi)346元，若使購買的獎品總數(shù)最多，則這三種獎品的購買數(shù)量各為多少？11 .將一個三位數(shù)？?件間數(shù)碼去掉，成為一個兩個