高等數(shù)學(xué)D7_6高階線性微分方程VIP

1、高階線性微分方程 第六節(jié)一、二階線性微分方程舉例一、二階線性微分方程舉例 第七章 一、二階線性微分方程舉例一、二階線性微分方程舉例 當(dāng)重力與彈性力抵消時, 物體處于 平衡狀態(tài), 例例1. 質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復(fù)運(yùn)動,xxO解解:阻力的大小與運(yùn)動速度下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向物體在彈性力與阻取平衡時物體的位置為坐標(biāo)原點,建立坐標(biāo)系如圖. 設(shè)時刻 t 物位移為 x(t).(1) 自由振動情況.彈性恢復(fù)力物體所受的力有:(虎克定律)xcf成正比, 方向相反.建立位移滿足的微分方程.據(jù)牛頓第二定律得txxctxmdddd22,2mck,2mn令則得有阻尼

2、自由振動方程:0dd2dd222xktxntx阻力txRdd(2) 強(qiáng)迫振動情況. 若物體在運(yùn)動過程中還受鉛直外力作用，t pHFsin，令mHh 則得強(qiáng)迫振動方程:t phxktxntxsindd2dd222求電容器兩兩極板間電壓 0ddiRCqtiLE例例2. 聯(lián)組成的電路, 其中R , L , C 為常數(shù) ,sintEEm所滿足的微分方程 .cu解解: 設(shè)電路中電流為 i(t),的電量為 q(t) , 自感電動勢為,LE由電學(xué)知,ddtqi ,CquCtiLELdd根據(jù)回路電壓定律:設(shè)有一個電阻 R , 自感L ,電容 C 和電源 E 串極板上 在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0q

3、 LERQCqi,ddtqi ,CquC,ddtiLEL0ddiRCqtiLELCLR1,20令tLCEututumCCCsindd2dd2022串聯(lián)電路的振蕩方程:22ddtuCLCtuCRCddCutEmsin化為關(guān)于cu的方程:,ddtuCiC注意故有 q LERQCqi如果電容器充電后撤去電源 ( E = 0 ) , 則得0dd2dd2022CCCututun 階線性微分方程階線性微分方程的一般形式為方程的共性 (二階線性微分方程)( )( )( )yP x yQ x yf x 可歸結(jié)為同一形式:)()()()(1) 1(1)(xfyxayxayxaynnnn時, 稱為非齊次方程 ;

4、0)(xf時, 稱為齊次方程.復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 一階線性方程)()(xQyxPy通解:xxQxxPxxPde)(ed)(d)(xxPCyd)(e非齊次方程特解齊次方程通解Yy0)(xf )(11yCxP )(11yCxQ0證畢二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu)二、線性齊次方程解的結(jié)構(gòu))(),(21xyxy若函數(shù)是二階線性齊次方程0)()( yxQyxPy的兩個解,也是該方程的解.證證:)()(2211xyCxyCy將代入方程左邊, 得 11 yC22yC 22yC22yC)()(1111yxQyxPyC )()(2222yxQyxPyC (疊加原理) )()(2211xyCxyCy則),(21為任意常數(shù)CC定

5、理定理1.說明說明:不一定是所給二階方程的通解.例如,)(1xy是某二階齊次方程的解,)(2)(12xyxy也是齊次方程的解 )()2()()(1212211xyCCxyCxyC并不是通解但是)()(2211xyCxyCy則為解決通解的判別問題, 下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與 線性無關(guān)概念. 定義定義:)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是定義在區(qū)間 I 上的 n 個函數(shù),21nkkk使得Ixxykxykxyknn, 0)()()(2211則稱這 n個函數(shù)在 I 上線性相關(guān)線性相關(guān), 否則稱為線性無關(guān)線性無關(guān).例如， ,sin,cos,122xx在( , )上都有0sincos122xx故它們在

6、任何區(qū)間 I 上都線性相關(guān);又如，,12xx若在某區(qū)間 I 上,02321xkxkk則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點 ,321,kkk必需全為 0 ,可見2,1xx故在任何區(qū)間 I 上都 線性無關(guān).若存在不全為不全為 0 的常數(shù)兩個函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件充要條件:)(),(21xyxy線性相關(guān)存在不全為 0 的21, kk使0)()(2211xykxyk1221)()(kkxyxy( 無妨設(shè))01k)(),(21xyxy線性無關(guān))()(21xyxy常數(shù)思考思考:)(),(21xyxy若中有一個恒為 0, 則)(),(21xyxy必線性相關(guān)相關(guān)0)()()()(2121x

7、yxyxyxy(證明略)21, yy可微函數(shù)線性無關(guān)定理定理 2.)(),(21xyxy若是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解, )()(2211xyCxyCy數(shù)) 是該方程的通解.例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常數(shù),故方程的通解為xCxCysincos21(自證) 推論推論. nyyy,21若是 n 階齊次方程 0)()()(1) 1(1)(yxayxayxaynnnn的 n 個線性無關(guān)解, 則方程的通解為)(11為任意常數(shù)knnCyCyCyxytan21y為任意常21,(CC則三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)三、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu) )(* xy設(shè)是二階非齊次

8、方程的一個特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理定理 3.)()()(xfyxQyxPy 則是非齊次方程的通解 .證證: 將)(*)(xyxYy代入方程左端, 得)*( yY)*( )(yYxP)*)(*)(*(yxQyxPy )()(YxQYxPY )(0)(xfxf)*( )(yYxQ)(*)(xyxYy故是非齊次方程的解, 又Y 中含有兩個獨立任意常數(shù),例如例如, 方程xyy 有特解xy *xCxCYsincos21對應(yīng)齊次方程0 yy有通解因此該方程的通解為xxCxCysincos21證畢因而 也是通解 .定理定理 4.),2, 1()(mkxyk設(shè)分別是方

9、程的特解,是方程),2, 1()()()(mkxfyxQyxPyk mkkyy1則)()()(1xfyxQyxPymkk 的特解. (非齊次方程之解的疊加原理) 定理3, 定理4 均可推廣到 n 階線性非齊次方程. 定理定理 5.)(,),(),(21xyxyxyn設(shè)是對應(yīng)齊次方程的 n 個線性)(*)()()(2211xyxyCxyCxyCynn無關(guān)特解, 給定 n 階非齊次線性方程)()()() 1(1)(xfyxayxaynnn)()(xyxY)(* xy是非齊次方程的特解, 則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解常數(shù), 則該方程的通解是 ( ).321,yyy設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程)()()(xfyxQyxPy 的解, 21,CC是任意;)(32211yyCyCA;)()(3212211yCCyCyCB;)1()(3212211yCCyCyCC.)1()(3212211yCCyCyCDD例例3.提示提示:3231,yyyy都是對應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān) . (反證法可證)3322311)()()(yyyCyyCC3322311)()()(yyyCyyCD例例4. 已知微分方程( )( )( )yP x yQ x yf x個解,e,e,2321xxyyxy求此方程滿足初始條件3)0(,