什么是無功功率

1、什么是無功功率 現(xiàn)今許多用電設(shè)備均是根據(jù)電磁感應(yīng)原理工作的，如配電變壓器、電動(dòng)機(jī)等，它們都是依靠建立交變磁場(chǎng)才能進(jìn)行能量的轉(zhuǎn)換和傳遞。為建立交變磁場(chǎng)和感應(yīng)磁通而需要的電功率稱為無功功率，因此，所謂的“無功”并不是“無用”的電功率，只不過它的功率并不轉(zhuǎn)化為機(jī)械能、熱能而已。 無功功率其實(shí)是一份真實(shí)的功率, 它的數(shù)量級(jí)和隨伴它的有功功率一樣，但被電路不停地吞吐著。雖則每半周期都抵消掉，基本上不消耗電能，但如果讓它在電網(wǎng)中任意流動(dòng)的話，它不但白占著電源的容量，而且增加了電網(wǎng)的損耗，加大電壓降。 在交流輸電中，無功功率是不可避免的。它在半周之內(nèi)由零升到最大又降回零，電力系統(tǒng)要將如此巨大的一份電磁場(chǎng)能量

2、，在半周之內(nèi)吸收又放出來。使用的電流越大，建立的磁場(chǎng)能就越大，吞吐就越大。 1.2 純?nèi)菪噪娐?在電容C 上的正弦電壓 如下（4）式所示： q11 uc?idt?Imsin(?t)dt CC0C0 t Imt1 ?sin(?t)d(?t)?d?cos(?t) (4) ?C0?C0 tt ?ImI cos(?t)?msin(?t?90?)?C?C比較(4)和 (4)式，顯然，電壓, uC 比電流 i 滯? 后90°。 這里(4)式中的1/(L) 叫做容抗，記作 xC。 1.3 電感串電阻電路 按歐姆定律，電阻R 上的電壓降是 uR?i?R?RImsin(?t) 因?yàn)樵谑?(3) 已經(jīng)推

3、導(dǎo)過電感L 上的電壓 為 1 無功功率的解析推演 要理順無功功率的概念首先需對(duì)電力系統(tǒng)中的純感性電路和純?nèi)菪噪娐贩謩e進(jìn)行簡(jiǎn)單的推演。 1.1 純感性電路 uL?LImcos(?t) 于是在電感電阻串上的電壓u 設(shè)正弦電流為 I = Im sin (t ) (1) 根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，電感L上的感生電 u?uR?uL?RImsin(?t)?LImcos(?t) (5) 動(dòng)勢(shì)（e.m.f.）為： eind?L di (2) dt 對(duì)(5)式作些數(shù)學(xué)處理，并引入一些輔助參數(shù) 于是電感L上的電壓uL就是 tg? cos?R ?L R ? ; RR2?xL 2 比較(1)和 (3)式，就可以發(fā)現(xiàn)電壓

4、, uL 超前電流 i 90°。這里(3)式中的L叫做感抗，記作 xL 。 R2?(?L)2 ? R (6) z xL?L; 2 z?R2?(?L)2?R2?xL z 就稱為電感L電阻R串的阻抗。于是(5)式 就改寫成： 圖1表示出瞬時(shí)電壓u，瞬時(shí)電流，i和瞬時(shí)功率pL之間的關(guān)系。從(8)式看到，瞬時(shí)功率pL包括兩部分： 和 交變部分p2 = UI cos(2t - ) (10) u?RImsin(?t)?LImcos(?t)?RImsin(?t)? ?L R Imcos(?t) 恒定功率 p1 = UI cos= P (9) ?RIsin(?t)?tg?I mmcos(?t)? R

5、Im cos? sin(?t)cos?sin?Imcos(?t)?Imzsin(?t?)?Umsin(?t?)(7) 到此，就證明了加在一個(gè)帶有歐姆電阻的電感上的電壓u比電流i 超前角度。 2 瞬時(shí)功率和平均功率推導(dǎo) 上述Um 和 I m 分別是正弦電壓和正弦電流的幅值。為了接近實(shí)際，我們引入正弦電壓和正弦電流的有效值(均方根值r.m.s.) 到式(5)和式(7)。 同時(shí)為方便計(jì)算，令電壓作為參考(矢)量u = Um sin(t)。 于是瞬時(shí)功率： pL?ui?2Usin?t?Isin(?t?) ?UIcos?UIcos(2?t?) (8) 圖1正弦電壓加在阻抗 xL+jR上的瞬時(shí)電流、和瞬時(shí)

6、 功率 圖1中 / 是電流電壓相差的時(shí)間表達(dá)式。 瞬時(shí)功率的交變部分p2是以兩倍工頻2變化。整個(gè)瞬時(shí)功率pL在一周期T 的平均功率： T T P?1 T?p1 Ldt?UI(3.3) cos?UIcos(2?t?)dt 0 T0 ?UIcos?UIT 2?T?cos(2?t?)d(2?t?) 0 T ?UIcos?UI 2?Tsin(2?t?)?UIcos?0 (11) 上式告訴我們，瞬時(shí)功率的交變部分p L在一周期T 內(nèi)抵消為零。 消耗在電阻R (串有L 或C)上的瞬時(shí)功率： pR?i?uR?i?iR?Imsin(?t?)2R ?I2 mRsin2(?t?) ?I2 R?1 m cos(2?

7、t?2?)?1 ? I 2 R 1 ? 2cos( 2 ? t ? 2 ? ) 一周內(nèi)在電阻R (串有L 或C)上的平均功率： P1T I2RT 2 R?T?pRdt?T?1?cos(2?t?2?)dt?IR 00 P2(UR R?IR?Iz)R?IUz ?IUcos?P (12) 上式 (11) 、(12) 說明，消耗在電阻R平均功率，就是整個(gè)電路的平均功率。純電感L和純電容C都不消耗能量。 同時(shí)，瞬時(shí)功率交變部分p2可以進(jìn)一步分解為： p2?UIcos(2?t?) ?UIcos?cos(2?t)?UIsin?sin(2?t) (13) p2式的第一項(xiàng)是以平均功率P =UI cos 為振 幅

8、的交變功率。而第二項(xiàng)是以UI sin 為振幅的交變功率。讓我們將它記作Q = UI sin ，于是(13) 就變成： p2?Pcos2?t?Qsin2?t (14) 從因子cos2t和sin2t可以看出, P 和 Q 在時(shí)間相位上是正交的。于是（8）式的電感串電阻電路的瞬時(shí)功率pL 就變?yōu)椋?pL = P -Pcos 2t - Qsin 2t (15) 用相似的方法，我們可以得到電阻R和電容C串聯(lián)電路的瞬時(shí)功率pC 就變?yōu)椋?pC = P - Pcos 2t + Qsin 2t (16) 當(dāng)然，上式瞬時(shí)功率pC的交變部分也是在時(shí)間相位上是正交的。 3 復(fù)空間中的正弦交變量 3.1 旋轉(zhuǎn)矢量 以

9、上推算屬于解析推演，是最基礎(chǔ)的物理和數(shù)學(xué)方法，能準(zhǔn)確地描述瞬時(shí)過程和對(duì)時(shí)間的平均值，是最易理解和可信的分析。但只限于實(shí)空間(實(shí)軸)，無法在同一場(chǎng)面內(nèi)反映相位的關(guān)系。復(fù)數(shù)就能幫助我們克服這個(gè)困難。 參考量u 將采用余弦形式，u = Um cos(t) 而相應(yīng)的電流，就變?yōu)?i = Im cos(t -)。 圖2上兩個(gè)模(幅值)分別為Um和Im的矢量，繞原點(diǎn)0 以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)。 它 們?cè)趯?shí)軸0x上的投影Um cos(t) 和Im cos(t )正是交變電壓和交變電流的瞬時(shí)值。 這些矢量，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度 是常數(shù)。所以，如果我們有一個(gè)以恒定轉(zhuǎn)動(dòng)的平面，相對(duì)于這樣的平面，矢量變成固定的了。 以上的敘述還是基于

10、實(shí)空間的，啟示我們旋 轉(zhuǎn)矢量能代表正弦交變量。 3.2 旋轉(zhuǎn)復(fù)平面 數(shù)的最普遍的形式是復(fù)數(shù)。它包含兩個(gè)部分 實(shí)部x和虛y。通常的實(shí)數(shù)或虛數(shù)，看成是復(fù)數(shù)的特殊情況。復(fù)數(shù)用復(fù)空間上一個(gè)矢量來表示。 Z = x + j y = z (cos+ j sin) = z?ej? 式中z稱為復(fù)數(shù)的模(幅值)，稱為復(fù)數(shù)的幅角。z? x2?y2 ;?x z 通常，如果 R，L 和C 串聯(lián)，復(fù)阻抗就是 Z = R + j (xL - x C )= z?ej? 式中z稱為復(fù)數(shù)的模(幅值)，稱為復(fù)數(shù)的幅角。 令復(fù)平面繞原點(diǎn)0 以角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)。 于是正弦交變電壓U 和弦交變電流 I 就成為這個(gè)旋轉(zhuǎn)復(fù)平面上兩個(gè)靜止的矢量

11、。這里，矢量長(zhǎng)度不再是幅值，而是它們的有效值(其實(shí)幅值是有效值的2倍)。 用 表示旋轉(zhuǎn)復(fù)平面上的電流矢和電壓 矢。I 和U 是它們的絕對(duì)值（有效值）。對(duì)于電壓參考矢，由于它置于實(shí)軸，其絕對(duì)值和等于矢量，即 U?U. (17) 于是可以用歐姆定律導(dǎo)出電流矢： ? I? ? U?UU ?j?Zzej?z e?Ie?j? (18) 在旋轉(zhuǎn)復(fù)平面上只有兩種矢. 量，電壓矢量U和. 電流矢量I。參考矢的選用是任意的。通常都以電壓為參考矢。因?yàn)殡妷撼３０l(fā)自電源點(diǎn) 或在電路的始端。因此而驅(qū)動(dòng)電流的相移相對(duì)這個(gè)始點(diǎn)是順理成章的，如圖3。 電能E， 功率 P， 無功功率 Q 和 阻抗 Z (包括電抗 xL ，x

12、C ) 對(duì)旋轉(zhuǎn)復(fù)平面，都是的標(biāo)量。它們不能出現(xiàn)在旋轉(zhuǎn)復(fù)平面。但它們可以以復(fù)數(shù)形式出現(xiàn)在靜止的復(fù)平面上。 電壓和電流是旋轉(zhuǎn)復(fù)平面上的矢量。而它們的乘積(標(biāo)量積)，則是靜止復(fù)平面上的矢量。 以感性電路為例，電流矢比電壓矢滯后角度。 I? ?Ie ?j? (19) 它和電壓矢的標(biāo)量積： S. ?U. ?I. ?UIe?j?UI(cos?jsin?)?P?jQ （20） 國(guó)際的協(xié)議規(guī)定，感性負(fù)荷的無功Q 應(yīng)和有功功率同為正向。式(20)顯然是不符的。 所以視在功率定義為電流的共軛矢I* 和電壓 . 矢的標(biāo)量積。對(duì)于電流 I?Ie?j? ，它的共軛矢 就是： I*?Iej? (21) 共軛矢I* 在幾何上是原電流矢的鏡像。于是感性負(fù)荷的視在功率變成： S.?U. ?I*?U?Ie?(?j?)?U?Iej? (22) ?UI(cos?jsin?)?P?jQ 如果是容性負(fù)荷，視在功率就是 ： S? ?P?jQ (23) 4 結(jié)論 最后，我們回顧一下以上的基礎(chǔ)推演和復(fù)平面推算的結(jié)論： 首先，由式（14）可見，瞬時(shí)功率的交變部分 （無功部分）p2 可以用矢量表示為： p2 = - Pcos 2t - Qsin 2t 它存在于以2轉(zhuǎn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)復(fù)平面。從式（14）可見，在一個(gè)以2旋轉(zhuǎn)復(fù)平面上，由-P矢量和-Q矢量合