數(shù)字信號(hào)處理作業(yè)-答案

1、數(shù)字信號(hào)處理作業(yè)DFT習(xí)題1. 如果是一個(gè)周期為的周期序列，那么它也是周期為的周期序列。把看作周期為的周期序列，令表示的離散傅里葉級(jí)數(shù)之系數(shù)，再把看作周期為的周期序列，再令表示的離散傅里葉級(jí)數(shù)之系數(shù)。當(dāng)然，是周期性的，周期為，而也是周期性的，周期為。試?yán)么_定。（76-4）232. 研究?jī)蓚€(gè)周期序列和。具有周期,而具有周期。序列定義為。a. 證明是周期性的，周期為。b. 由于的周期為，其離散傅里葉級(jí)數(shù)之系數(shù)的周期也是。類(lèi)似地，由于的周期為，其離散傅里葉級(jí)數(shù)之系數(shù)的周期也是。的離散傅里葉級(jí)數(shù)之系數(shù)的周期為。試?yán)煤颓?。?6-5）3. 計(jì)算下列各有限長(zhǎng)度序列DFT（假設(shè)長(zhǎng)度為N）:a. bc（7

2、8-7）4. 欲作頻譜分析的模擬數(shù)據(jù)以10千赫速率被取樣，且計(jì)算了1024個(gè)取樣的離散傅里葉變換。試求頻譜取樣之間的頻率間隔，并證明你的回答。（79 -10）5. 令表示點(diǎn)序列的點(diǎn)離散傅里葉變換(a） 證明如果滿(mǎn)足關(guān)系式：，則。(b） 證明當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，如果，則。（80-14）6. 令表示點(diǎn)序列的點(diǎn)離散傅里葉變換，本身也是一個(gè)點(diǎn)序列。如果計(jì)算的離散傅里葉變換得到一序列，試用求。（82-15）7. 若為一個(gè)點(diǎn)序列，而為其點(diǎn)離散傅里葉變換，證明：，這是離散傅里葉變換的帕斯維爾關(guān)系式。（82-16）8. 長(zhǎng)度為8的一個(gè)有限時(shí)寬序列具有8點(diǎn)離散傅里葉變換，如圖所示。長(zhǎng)度為16的一個(gè)新的序列定義為：，試畫(huà)

3、出相當(dāng)于的16點(diǎn)離散傅里葉變換的略圖。（86頁(yè)-18）9. 令表示z變換為的無(wú)限時(shí)寬序列，而表示長(zhǎng)度為N的有限時(shí)寬序列，其N(xiāo)點(diǎn)離散傅立葉變換用表示。如果和有如下關(guān)系：式中。試求和之間的關(guān)系。（93-22）10. 令表示序列的傅里葉變換，并令表示長(zhǎng)度為10的一個(gè)有限時(shí)寬序列，即時(shí)，時(shí)，的10點(diǎn)離散傅里葉變換用表示，它相當(dāng)于的10個(gè)等間隔取樣，即，試求（94-23）11. 討論一個(gè)長(zhǎng)度為的有限時(shí)寬序列，和時(shí)，我們要求計(jì)算其變換在單位圓的個(gè)等間隔點(diǎn)上的取樣。取樣數(shù)小于序列的時(shí)寬；即，試求一種得到的個(gè)取樣的方法，它只要計(jì)算一次點(diǎn)序列（這個(gè)序列是由得來(lái)的）的點(diǎn)離散傅里葉變換。（96-25）12. 研究?jī)?/p>

4、個(gè)時(shí)等于零的有限時(shí)寬序列和，且，將每一個(gè)序列的20點(diǎn)離散傅里葉變換，然后計(jì)算離散傅里葉反變換，令表示它的離散傅里葉反變換，指出的哪些點(diǎn)相當(dāng)于與線(xiàn)性卷積中的點(diǎn)。（96-26）FFT習(xí)題1. 假設(shè)有一計(jì)算如下離散傅里葉變換的程序：，試指出如何用此程序來(lái)計(jì)算如下反變換：（193-8）2. 在計(jì)算實(shí)序列的離散傅里葉變換時(shí)，利用序列是實(shí)序列這一特點(diǎn)有可能減少計(jì)算量，本題中討論了兩種減少計(jì)算量的途徑：a. 研究?jī)蓚€(gè)分別具有離散傅里葉變換和的實(shí)序列和，令為一個(gè)復(fù)序列，為其離散傅里葉變換。令、分別表示的實(shí)部的奇數(shù)部分、實(shí)部的偶數(shù)部分、虛部的奇數(shù)部分和虛部的偶數(shù)部分，試?yán)?、和表示和。b. 假設(shè)是一個(gè)點(diǎn)的實(shí)序列

5、，且可以被2整除，令和為兩個(gè)點(diǎn)序列，其定義為：，試?yán)煤颓蟆＃?98-10）3. 研究一個(gè)有限長(zhǎng)度序列，并且和時(shí)，。假設(shè)我們想要計(jì)算在平面內(nèi)下列各點(diǎn)上的變換之取樣：，式中。試詳細(xì)說(shuō)出一種計(jì)算這些點(diǎn)上的的有效方法。（199頁(yè)-11）4. 研究一個(gè)長(zhǎng)度為的有限時(shí)寬序列，并且和時(shí)，。我們希望計(jì)算變換在單位圓上個(gè)等間隔點(diǎn)上的取樣，即在，上的取樣，試找出對(duì)下列情況只用一個(gè)點(diǎn)離散傅里葉變換就能計(jì)算的個(gè)取樣的方法，并證明之。（a） （b） （200-12）5. 表示長(zhǎng)度為10的有限時(shí)寬序列的傅里葉變換，我們希望計(jì)算在頻率時(shí)的10個(gè)取樣。計(jì)算時(shí)不能采取先算出比要求多的取樣，然后再丟掉一些的辦法。討論采用下列各

6、方法的可行性：(a) 直接利用10點(diǎn)快速傅里葉變換算法。(b) 利用線(xiàn)性調(diào)頻變換算法。（201-13）6. 在下列說(shuō)法中選擇正確的結(jié)論并加以證明。線(xiàn)性調(diào)頻z變換可以用來(lái)計(jì)算一個(gè)有限時(shí)寬序列在z平面實(shí)z軸上諸點(diǎn)的z變換，使a) ;b) c) a)和b)兩者都行；d) a)和b)都不行，即線(xiàn)性調(diào)頻z變換不能計(jì)算在z為實(shí)數(shù)時(shí)的取樣。（203-15）Hilbert變換習(xí)題1 令為的一個(gè)實(shí)因果序列，已知的變換為 上式為變量的泰勒級(jí)數(shù)，所以它在以z=0為中心的某一圓外部處處收斂于一個(gè)解析函數(shù)。收斂區(qū)域包括點(diǎn)z=，事實(shí)上，。我們說(shuō)是解析（在其收斂區(qū)域內(nèi)）的，表示對(duì)X加了苛刻的約束條件，即它的實(shí)部和虛部各都滿(mǎn)

7、足拉普拉斯方程，且實(shí)部和虛部之間滿(mǎn)足柯西-黎曼方程?，F(xiàn)在我們利用這些性質(zhì)，根據(jù)的實(shí)部確定，條件是為有限值的實(shí)因果序列。 令為實(shí)（有限值的）因果序列，其z變換為：式中：和是z的實(shí)函數(shù)。假設(shè)時(shí)，給定為（為實(shí)數(shù)）假設(shè)除了z=0外，處處解析，試求并表示成z的顯函數(shù)。（建議用時(shí)域法解此題）（214-4）2 序列的偶部定義為：，假設(shè)是一個(gè)有限時(shí)寬實(shí)序列，定義為和時(shí)，。令表示為的點(diǎn)的離散傅立葉變換。（a）的離散傅立葉變換是否等于Re？（b）試求出以表示的Re的離散傅立葉反變換。（228-15）3 研究一個(gè)長(zhǎng)度N的有限時(shí)寬實(shí)序列（即n<0,nN時(shí)，=0），此處N為奇數(shù)。用表示的M點(diǎn)的離散傅立葉變換，因此

8、令表示的實(shí)部。（a） 試?yán)肗來(lái)求能使唯一確定的最小M值（M=1,2除外）。（b） 如果M滿(mǎn)足（a）中所確定的條件，則可以表示為和序列的循環(huán)卷積。請(qǐng)確定。（228-16）4 研究一個(gè)復(fù)序列x（n），x(n)=xr(n)+xi(n),其中xr(n)和xi(n)是實(shí)序列，序列x(n)的z變換X(z)在單位圓的下半部分為零。即，2時(shí)，X(ej)=0. x(n)的實(shí)部為xr(n)=試求X(ej)的實(shí)部和虛部。5 令H表示理想希爾伯特變換運(yùn)算，即 Hx(n)=式中h(n)由（7.48）式給定。試證明下列特性：（a） HHx(n)=-x(n).（b） . (提示：利用帕斯維爾定理)（c） Hx(n)*y(n)=Hx(n)*y(n)=x(n)*Hy(n),式中x(n)和y(n)為任意序列。（233-19）Walsh函數(shù)1 a) 時(shí)間序列,=0,1,2,.7為0 0 1 1 0 0 1 1 將其作離散Walsh變換 b)將上述序列Hadamard變換2 設(shè)輸入序列為0 0 1 1 0 0 1 1 , 并將此輸入序列作a=3的并元移位，試求Wz (N)3 給定兩個(gè)時(shí)間序列，定義兩個(gè)序列的并元時(shí)間域相關(guān)和并元時(shí)間域卷積為：a) 并元時(shí)間域相關(guān)為： b) 并元時(shí)間卷積為： 若試證明：1) 并元相關(guān)定理2) 并元時(shí)間卷積定