高中數(shù)學(xué)知識點歸納總結(jié)+(定稿)

1、高中數(shù)學(xué)必修+選修知識點歸納引言,1.課程內(nèi)容：必修課程由5個模塊組成：必修1 :集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、對、幕函數(shù)）必修2:立體幾何初步、平面解析幾何初步。必修3:算法初步、統(tǒng)計、概率。必修4:基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面向量、三角包等變換。必修5:解三角形、數(shù)列、不等式。選修課程：選彳2-1 :常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何。選彳2-2:導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)選彳23:計數(shù)原理、隨機變量及其分布列，統(tǒng)計案例。選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程。選彳4 45:不等式選講。歡迎下載學(xué)習(xí)必備學(xué)習(xí)必備歡迎下載必修1數(shù)學(xué)知識點第一章：集合與函數(shù)概念 1.1

2、.1、集合1、把研究的對象統(tǒng)稱為 元堂，把一些元素組成的總體 叫做集合。集合三要素： 確定性、互異性、無序 世。2、只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，就稱這兩個 集 合相等。3、常見集合：正整數(shù)集：自然數(shù)集：整數(shù)集：Z,有理數(shù)集：Q,實數(shù)集：R.4、集合的表示方法：列舉法、描述法. 1.1.2、集合間的基本關(guān)系1、一般地，對于兩個集合 A、B,如果集合A中任意 一個元素都是集合 B中的元素，則稱集合 A是集 合B的子集。記作AG B.2、如果集合 A J B ,但存在元素 x W B ,且x正A ,則稱集合A是集合B的真子集.記作：A&B.3、把不含任何元素的集合叫做 空軍.記作：0 .并規(guī)定：

3、 空集合是任何集合的子集.4、如果集合A中含有n個元素，則集合A有2n個子集， 個真子集，非空子集有個；非空的真子集有個.1、一般地，由所有屬于集合 A或集合B的元素組成的 集合，稱為集合 A與B的并集.記作：AU B.2、一般地，由屬于集合 A且屬于集合B的所有元素組 成的集合，稱為A與B的交集.記作：aD B.3、全集、補集：CUA = x|xeU,Hx2U 1.2.1 函數(shù)的概念1、設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng) 關(guān)系f ,使對于集合 A中的任意一個數(shù)x,在集 合B中都有惟一確定的數(shù) f(x)和它對應(yīng)，那么就 稱f : At B為集合A到集合B的一個函數(shù),記 作：y = f

4、 x,x A.2、一個函數(shù)的構(gòu)成要素為：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域. 如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全 一致,則稱這兩個函數(shù)相等. 1.2.2 函數(shù)的表示法1、函數(shù)的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法. 1.3.1 單調(diào)性與最大(小)值(1)定義法：設(shè) x、x2 w a,b,x1 x2那么f (x1)- f (x2)0u f(x)在a,b上是減函數(shù).步驟：取值一作差一變形一定號一判斷格式：解：設(shè)x1,x2 w B,b且x1 x2 ,則：f x - f x2 =(2)等價表述：設(shè)x1二2乏Q,b1,x1#x2那么 1.1.3、集合間的基本運算學(xué)習(xí)必備歡迎下載(Xi X2) f (Xi)

5、f(X2) 10 =f(x1) 一 f(x2)0上f(X)在kb】上是增函數(shù);X1 x2(X1 -X2) If (X1) - f (X2) I ： 0 =f(X1) f(X2)0 JL f(X)為增函數(shù)；卷f (X) .偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱.2、一般地，如果對于函數(shù)f(X )的定義域內(nèi)任意一個 X, 者B有f (一X)=-f(X ),那么就稱函數(shù)f(X)為奇函 數(shù).奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱.(注:奇偶函數(shù)的前提條件是：定義域必須關(guān)于原點一 對稱)奇偶函數(shù)間的關(guān)系：(1)、奇偶=奇;(2)、奇奇=偶;(3)、偶偶二偶;(4)、奇土奇=奇函數(shù)(5)、偶土偶=偶;(6)、奇土偶=非奇非偶函數(shù)知識鏈接

6、：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1、函數(shù)y= f(X)在點X。處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y = f (x)在點X0處的導(dǎo)數(shù)是曲線 y = f (X)在P(X0, f (X0)處的切線的斜率f (小)，相應(yīng)的切線方程是 y - yf (x)(x - x0).2、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù).nn 1 C=0；(x)=nx ；，、(sinx) =cosx； (cosx) =_sinx；(ax) =axlna；(ex) =ex；11(log a X)=;(ln x)=一xln ax3、導(dǎo)數(shù)的運算法則(1) (u _ v) = u _ v.(2) (uv) = U V UV .u u v-uv(3)=-2(v0). v v4、復(fù)合函

7、數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)y = f (g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y = f(u),u = g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx = yu ux ,即y對x的導(dǎo)數(shù)等于yu的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的 乘積.解題步驟：分層一層層求導(dǎo)一作積還原.5、函數(shù)的極侑(1)極值定義：極值是在x0附近所有的點，都有 f(x)V f(x0), 則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值；極值是在x0附近所有的點，都有 f(x) f (x0),則 f (x0)是函數(shù)f (x)的極小值.(2)判別方法：如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0, 那么f(x)是極大值；如果在x0附近的左側(cè)f (x)0, 那么f(x0)是極小值.6、求函數(shù)的最值

8、 (1)求丫 = f (x)在(a,b)內(nèi)的極值(極大或者極小值)(2)將y = f (x)的各極值點與f (a), f (b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為極小值。注：極值是在局部對函數(shù)值進行比較(局部性質(zhì))； 最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進行比較(整體性質(zhì))。n am = m an*.(a A0,m, ” N , m1 1a=:(n 0)； a4、運算性質(zhì)： aras = ar*(a 0,r,sw Q )；(a,)= a,s(a 0, r, sw Q )；(ab，= arbr (a a Q b 0,r w Q )注：上有理指數(shù)哥的運算性質(zhì)，對實數(shù)指數(shù)哥都適用 2.2.1、對數(shù)與對

9、數(shù)運算x1、指數(shù)與對數(shù)互化式：a =Nu x = logaN ；2、對數(shù)恒等式：alogaN = N .3、基本性質(zhì)：loga1 = 0, loga a = 1.第二章：基本初等函數(shù)(I) 2.1.1、指數(shù)與指數(shù)哥的運算1、一般地，如果xn = a ,那么x叫做a的n次方根。其中n 1,n N .2、當(dāng)n為奇數(shù)時，Van =a ；當(dāng)n為偶數(shù)時，兩=a .3、我們規(guī)定：4、運算性質(zhì)：當(dāng)a a 0,a # 1,M a Q N 0時: loga (MN )= loga M + loga N ； 10g aOga M - lOg a N ； log a M n = n log a M .-logc b

10、5、換底公式：loga b =logc aa 0,a =1, c 0,c =1, b 0 .7、倒數(shù)關(guān)系：logab1 a .0, a=1,b 0,b =1 logbamm.6、重要公式：log an b = logab n(1)正比例函數(shù)f(x)=cx,f(x y) = f (x) f (y), f (1) = c.(2)指數(shù)函數(shù)f (x) = ax,f(x y) = f(x)f(y), f(1) = a = 0.對數(shù)函數(shù)f (x) =loga x 2.22、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與募函數(shù)的性質(zhì)f(xy)= f (x) f (y), f (a) =1(a 0,a = 1).由指數(shù)、對數(shù)與騫的運算

11、性質(zhì)得到對應(yīng)函數(shù)的性質(zhì):(4)募函數(shù) f (x) = xa,_ _ _ _ 1f(xy) = f (x)f(y), f 二二.指數(shù)函數(shù)y = ax a 0,a = 1對數(shù)數(shù)函數(shù)y = log a x a 0, a = 1表1過定點（0,1）過定點（1,0）學(xué)習(xí)必備歡迎下載減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)xW(-od,0)時，yW(1,*kc)xws,0)時，yw(0,1)xw(0,1)時,yw(0*)xw(0,1附,y(_co,0)xw(0,-)時，yw(0,1)xw(0,f 時，yw(1,代)xw(1,f)時，yw(0,f)xW(1,+：c)時，yW(_oo,0)3.1.1、方程的根與函數(shù)的零點a

12、ba ba b哥函數(shù)y=xC R)p為奇數(shù) q為奇數(shù)p為奇數(shù) q為偶數(shù)p為偶數(shù) q為奇數(shù)第一象限性質(zhì)第三章：函數(shù)的應(yīng)用1、方程f(x) = 0有實根學(xué)習(xí)必備歡迎下載U函數(shù)y = f (x兩圖象與x軸有交點u函數(shù)y = f (x后零點.2、零點存在性定理：如果函數(shù)y = f (x/區(qū)間h,b】上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f (a)”f(b) r u點P在圓外；d = r u點P在圓上；d r u點P在圓內(nèi).3、直線與圓的位置關(guān)系直線 Ax +By +C =0 與圓（x a）2 +（y b）2 = r2 的位置關(guān)系有三種：d a r u 相離 u 0 ；設(shè)兩圓圓心分別為 O,Q,半徑分別為

13、ri/2, O1O2 =dd a1+2之 外離u 4條公切線；d = r1 + r2 u 外切u 3條公切線；r1 -r2 d c r1 + r2 u相交u 2條公切線；d= r1 - r2 u內(nèi)切之1條公切線；0d|r1-r2=內(nèi)含=無公切線.3、空間中兩點間距離公式：P1P2 =辰- f +也一%f+一4 f3、兩IW立置關(guān)系：d =r u 相切 u = 0；d 0.弦長公式:l = 2，r2 - d2=1 k2 , (x1 -x2)2 -4x1x2學(xué)習(xí)必備歡迎下載必修3數(shù)學(xué)知識點第一章：算法1、算法三種語言：自然語言、流程圖、程序語言；2、流程圖中的圖框：起止框、輸入輸出框、處理框、判斷

14、框、流程線等 規(guī)范表示方法；3、算法的三種基本結(jié)構(gòu)：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)C、直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)順序結(jié)構(gòu)示意圖：（圖1）條件結(jié)構(gòu)示意圖： IF - THEN - ELSE 格式：（圖2）IF - THEN格式:（圖3）循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖: 當(dāng)型（WHILE型）循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖:（圖4）直到型（UNTIL型）循環(huán)結(jié)構(gòu)示意圖:頻率分布折線圖一一便于觀察總體分布趨勢制作散點圖，判斷線性相關(guān)關(guān)系算法案例：輾轉(zhuǎn)相除法一結(jié)果是以相除余數(shù)為 0而得到利用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)（步驟略）更相減損術(shù)一結(jié)果是以減數(shù)與差相等而得到進位制十進制數(shù)化為k進制數(shù)一除k取余法k進制數(shù)化為十進制數(shù)第二章：統(tǒng)計1、抽樣

15、方法：簡單隨機抽樣（總體個數(shù)較少）系統(tǒng)抽樣（總體個數(shù)較多）分層抽樣（總體中差異明顯）注意：在N個個體的總體中抽取出 n個個體組成樣本,每個個體被抽到的機會（概率）均為 工。N2、總體分布的估計：一表二圖：頻率分布表一一數(shù)據(jù)詳實頻率分布直方圖一一分布直觀注：總體分布的密度曲線與橫軸圍成的面積為1。莖葉圖：莖葉圖適用于數(shù)據(jù)較少的情況，從中便于看出數(shù)據(jù) 的分布，以及中位數(shù)、眾位數(shù)等。個位數(shù)為葉，十位數(shù)為莖，右側(cè)數(shù)據(jù)按照從小到大 書寫，相同的數(shù)據(jù)重復(fù)寫。3、總體特征數(shù)的估計：平均數(shù)：xx1 x2 x3 xn ；n取值為xi,x2，xn的頻率分別為Pl,P2,，Pn,則其 平均數(shù)為 xi Pi +x2P

16、2 +xnPn ；注意：頻率分布表計算平均數(shù)要取組中值。中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小排列，把處在最中間位 置的一個數(shù)據(jù)或最中間的兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)叫做這組 數(shù)據(jù)的中位數(shù)。注意：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)的左邊與右邊面 積相等F方差與標(biāo)準(zhǔn)差：一組樣本數(shù)據(jù)xi,x2, ,xn1 n2方差： s2 =Z （xi x）； n id標(biāo)準(zhǔn)差：s =1 1 年 （xi -x） . n id注：方差與標(biāo)準(zhǔn)差越小，說明樣本數(shù)據(jù)越穩(wěn)定。平均數(shù)反映數(shù)據(jù)總體水平；方差與標(biāo)準(zhǔn)差反映數(shù)據(jù)的穩(wěn)定水平。線性回歸方程變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系；線性回歸方程：y=bx +a (最小二乘法) n XiYi -nxyb -X

17、工 x2 -nxi 4a = y -bx注意：線性回歸直線經(jīng)過定點(x,y)。第三章：概率1、隨機事件及其概率：事件：試驗的每一種可能的結(jié)果，用大寫英文字母表不；必然事件、不可能事件、隨機事件的特點；隨機事件A的概率：P(A) =m,0 P(A) 1. n2、古典概型：基本事件：一次試驗中可能出現(xiàn)的每一個基本結(jié)果；古典概型的特點：所有的基本事件只有有限個；每個基本事件都是等可能發(fā)生。古典概型概率計算公式：一次試驗的等可能基本事 件共有n個，事件A包含了其中的 m個基本事件，則 事件A發(fā)生的概率P(A)=m.n3、幾何概型：幾何概型的特點:所有的基本事件是無限個；幾何概型概率計算公式:P(A)=

18、d的測度每個基本事件都是等可能發(fā)生。 其中測度根據(jù)題目確定，一般為線段、角度、面積、體積等。4、互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件；如果事件Ai, A2 ,，An任意兩個都是互斥事件，則稱事彳牛A,A2,，An彼此互斥。如果事件 A, B互斥，那么事件 A+B發(fā)生的概率， 等于事件A , B發(fā)生的概率的和，即：P(A B)= P(A) P(B)如果事件Ai, A2 ,，An彼此互斥，則有：P(Al A2An) =P(Al) P(A2)P(An)對立事件：兩個互斥事件中必有一個要發(fā)生，則稱 這兩個事件為對立事件。事件A的對立事件記作AP(A) P(A) =1,P(A) =1 - P(

19、A)對立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是對立事 件。必修4數(shù)學(xué)知識點第一章：三角函數(shù) 1.1.1 任意角1、正角、負(fù)角、零角、象限角 的概念.2、與角口終邊相同的角的集合：2k二，k Z ； 1.1.2 弧度制1、把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角.2、0(3、弧長公式：lR.4、扇形面積公式180c n 二 R2:S =360R.2 1.2.1、任意角的三角函數(shù)1、設(shè)u是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x,y)那么:sin : = y, cos =二x,y tan 二二一x2、設(shè)點 A(x ,y）為角a終邊上任意一點,那么：（設(shè)r = ,x2 y2 )- xcot -=一

20、 y3、sin u , cosot , 數(shù)線的畫法.tan 口在四個象限的符號和三角函正弦線:余弦線:正切線：AT4、特殊角0,30,45,60。，a0643234JI3冗2n90 ,180 ,270等的三角函數(shù)值sin acosatan a 1.2.2、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式一、.一22 一1、平萬關(guān)系:sin a + cos a = 1 .一,，一sin 工2、商數(shù)關(guān)系：tana =.cos 二 1.3、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（概括為“奇變偶不變，符號看象限k w Z ）1、誘導(dǎo)公式一：sini _ 2k二=sin ;，cosa +2kn )=cosa,(其中：kw Z ) tan 二2 k

21、二-tan ：.2、誘導(dǎo)公式二：sin 二 二二-sin ;，cos 二：-cos：, tan 二 ：=tan：.3、誘導(dǎo)公式三 ：sin - - - - sin:,cos - - - cos , tan - - - - tan-.4、誘導(dǎo)公式四：sin 二-：-sin 二，cos 二-：-cos-, tan 二-：-tan：.5、誘導(dǎo)公式五：sin冗1-CL |2=cos:,cos-Lina.6、誘導(dǎo)公式六：sin十口 i = cos%12)cos工Mi.0,co 0）有：振幅 a,周“2 二一，期T 二一，初相邛，相位與x+邛，頻率f =T =器.0）2、能夠講出函數(shù)y =sin x的圖象

22、與y = Asin（tox+中）+B的圖象之間的平移伸縮變換關(guān)系.先平移后伸縮：y =sin x平移|中|個單位y = sin （x +平） （左加右減）橫坐標(biāo)不變y = Asin （x+中）縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腶倍縱坐標(biāo)不變y = A、in （切x +邛）ii橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膢一|倍a平移|B|個單位V = Asin（8x +中）+B（上加下減）先伸縮后平移：y =sin x橫坐標(biāo)不變y = Asin x縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍縱坐標(biāo)不變y = Ain0 xi橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膢，|倍（P平移一個單位y = Asin （8x +中） （左加右減）平移|B|個單位,y = Asin（o x十中）+ B3

23、、三角函數(shù)的周期，對稱軸和對稱中心函數(shù) y =sin（0 x +中）,xC R及函數(shù) y = cos x +邛），2 二xC R（A, CO，邛為常數(shù)，且Aw 0）的周期T =；函|數(shù)y =tan（cox十平）,x。依+工，k w Z （A,，中為2常數(shù)，且Aw 0）的周期T =. |對于 y = Asin（eo x + 中）和 y=Acos3x +中）來說,對稱中心與零點相聯(lián)系，又稱軸與最值點聯(lián)系求函數(shù)y = Asin（0x + 中）圖像的對稱軸與對稱中心，只需令 cox + 邛=kn +（k w Z）與6x+邛=kn（k w Z）2解出x即可.余弦函數(shù)可與正弦函數(shù)類比可得.4、由圖像確定三

24、角函數(shù)的解析式利用圖像特征：A = ymax - ymin B = ymax ymin22切要根據(jù)周期來求，平要用圖像的關(guān)鍵點來求.第三章、三角恒等變換 3.1.1、兩角差的余弦公式降哥公式:21cos 二二卷(1 cos2：)42.21八、sin a =-2 (1 -cos2ot)otsin acos atana穆2 -4/642-V3會算甚至記住15的三角函數(shù)值:3.1.2、兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1、sin(a + P )=sina cosP + cosa sin P2、sin3 P )= since cosPcosot sin P3、cos(u +P )=cosacosP -s

25、incesinP4、cos(a - P )=cosacosP +sinctsinPtan,：，tan :、tan (值)=1 -tan ot tan P .3、tan2： = 2tan2.1 - tan2 : 3.2 簡單的三角恒等變換1、注意正切化弦、平方降次.2、輔助角公式y(tǒng) = asin x bcosx = . a2 b2 sin（x ）（其中輔助角 邛所在象限由點 （a, b）的象限決定 tan = b ）.atan- -tan :、tan( )-1 戈an ot tan P . 3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、sin 2 = 2 sin a cosa ,變形：siRQ c

26、osa = 1 sin 2a._-2 - 2 -2、cos2ct =cos 豆 一sin 口2.=2 cos 二一1_2=1 -2sin :.變形如下:升哥公式:21 cos2 = 2cos -21。cos2 =2sin第二章：平面向量 2.1.1 、向量的物理背景與概念1、了解四種常見向量： 力、位移、速度、加速度 .2、既有大小又有方向的量叫做 回區(qū). 2.1.2 2.1.2、向量的幾何表示1、帶有方向的線段叫做 有向線段，有向線段包含三個 要素：起點、方向、長度.2、向量AB的大小，也就是向量AB的長度（或稱惶）, 記作AB ；長度為零的向量叫做 零向量；長度等于1個單位的向量叫做 單位

27、向量.2、平面向量共線定理：向量2�）與6共線，當(dāng)且 a + b = (x +x2,y十 y2 ), ab = (xi -X2,yi -y2),向量）.規(guī)定：零向量與任意向量平行 2.1.3、相等向量與共線向量 2.2.3、向量數(shù)乘運算及其幾何意義1、長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.1、規(guī)定：實數(shù) 人與向量a的積是一個向量，這種運算定如下:僅當(dāng)有唯個實數(shù)九，使b = Za . 2.3.2、平面向量的正交分解及坐標(biāo)表不2、三角形減法法則 和平行四邊形減法法則1、a = xi + yj = (x, y).3、方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量（或共線3、鼠忖叩臼叩十尺 2.2.1、向

28、量加法運算及其幾何意義叫做向量的數(shù)乘.記作：九a ,它的長度和方向規(guī)1、三角形加法法則和平行四邊形加法法則 2.3.1、平面向量基本定理1、平面向量基本定理：如果e ,e2是同一平面內(nèi)的兩 2.2.2、向量減法運算及其幾何意義個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)任一向量 a ,1、與a長度相等方向相反的向量叫做a的相反向量.有且只有一對實數(shù) 七，九2,使a =九1 e十Z. 2 e2.三角形加送法則當(dāng)九0時，入a的方向與 a的方向相同；當(dāng)&Aa 平行四辿形加法法則0 0時，兒a的方向與a的方向相反2、a a +b w a + b（兩邊之差小于第三邊，兩邊之和大于第三邊）三角形讖法法則 2.3.3、

29、平面向量的坐標(biāo)運算1、設(shè) a = (x1, y1 )b = (x2, y2 ),則:b平行四邊形瀛法法值a九a = 0區(qū),Ky1 ）, * f a/b 匕 x1 y2 = x2 yl.2、設(shè)A（xi,y1漳仁.）,則：AB = 2 - xl - yi . 2.3.4 平面向量共線的坐標(biāo)表示1、設(shè) A（xi, yi B（x2,y2 4儀坐）,則線段AB中點坐標(biāo)為（空，吟）， ABC的重心坐標(biāo)為空言的竺守. 3，3 2.4.1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義1、a b =抑可cos日.2、a在6方向上的投影為：a cosH .-2- 23、a a .t卜24、a = Ya . I-I-*r 5、

30、 a_Lbu a b = 0. 2.4.2、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角1、設(shè) a = （x1,y1 ）b =（x2,y2 ）,則： a b = x1x2 y1 y a =、；x2 +yj a _ b：= a b =0= xx2 y1y2 =0/ * 4 - a/b：二 a - b二 xy2 - x2y1 = 02、設(shè)A(x1,y1冷區(qū)E),則：AB =#x2 x1 f +(y2 y1 )2 .3、兩向量的夾角公式x1x2 y1y2-22-22x1y1y2 2.5.1 平面幾何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的應(yīng)用舉例知識鏈接：空間向量空間向量的許多知識可由平面向量的知識類比而得

31、下面對空間向量在立體幾何中證明，求值的應(yīng)用進行 總結(jié)歸納.1、直線的方向向量和平面的法向量.直線的方向向量：若A、B是直線l上的任意兩點，則AB為直線l的 一個方向向量；與滯 平行的任意非零向量也是直線 l 的方向向量.平面的法向量： 4若向量n所在直線垂直于平面 o（,則稱這個向量* * 彳垂直于平面a ,記作n-La ,如果n-Lct ,那么向量n 叫做平面a的法向量.平面的法向量的求法（待定系數(shù)法）：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.設(shè)平面a的法向量為n=（x, y,z）.求出平面內(nèi)兩個不共線向量的坐標(biāo)4-I2=（4e2自）,b=（h，b2，a）.月4 ，一，一、,、一， n a = 0根據(jù)法向量定義建

32、立方程組n a .n b = 0解方程組，取其中一組解，即得平面口的法向量即：直線與平面平行 G直線的方向向量與該平面的法向量垂直且直線在平面外（法二）要證明一條直線和一個平面平行，也可 以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線 向量即可.面面平行II44若平面a的法向量為U ,平面P的法向量為V ,要IIi 44證0（ / P ,只需證u / V ,即證u =九V.即：兩平面平行或重合 Qi兩平面的法向量共線。3、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系線線垂直設(shè)直線li2的方向向量分別是 a、b,則要證明li _Ll2,只需證明 a-Lb,即 a b = 0.即： 兩直線垂直 O 兩直線的方向向

33、量垂直。線面垂直2、用向量方法判定空間中的平行關(guān)系線線平行設(shè)直線li2的方向向量分別是a、b,則要證明li / I2 , II只需證明a / b ,即a = kb（k w R）.即：兩直線平行或重合 =兩直線的方向向量共線。線面平行 （法一）設(shè)直線l的方向向量是a ,平面久的法向量是U ,則要證明l / a ,只需證明a _L u ,即a u = 0.（法一）設(shè)直線l的方向向量是a,平面a的法向* * 4量是u ,則要證明l，豆，只需證明a / u ,即a = ?uu .（法二）設(shè)直線l的方向向量是a,平面a內(nèi)的兩個相交向量分別為m、n,若（a m ，則l_LG.a n = 0即：直線與平面垂

34、直 =直線的方向向量與平面的 法向量共線 o1直線的方向向量與平面內(nèi)兩條不共線 直線的方向向量都垂直。面面垂直 若平面a的法向量為u ,平面P的法向量為V ,要證4 4 * _L P ,只需證u -L v ,即證u V = 0 .即：兩平面垂直 一兩平面的法向量垂直。4、利用向量求空間角求異面直線所成的角量分別為 m、n ,再設(shè) m、n的夾角為 中,二面角已知a,b為兩異面直線,A, C與B, D分別是a, ba -l - P的平面角為e ,則二面角8為m、n的夾角上的任意兩點，a,b所成的角為9 ,中或其補角元-5.貝U cos6 = 一 +. AC BDl根據(jù)具體圖形確定e是銳角或是鈍角:求直線和平面所成的角如果e是銳角，則cose =定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個平面所成的角.求法：設(shè)直線l的方向向量為a,平面口的法向量III為u,直線與平面所成的角為a,a與u的夾角為邛，=-cos丹=-如果6是鈍角，則cose5、利用法向量求空間距離則e為中的余角或中的補角的余角.即有：|a U|sin日=cos* =普斗 甲求二面角定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個部分， 其中的每一部分叫做半平面；從一條直線出發(fā)的兩