第1章 1.2 極坐標(biāo)系

1、.1.2極坐標(biāo)系1.2.1平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)1.2.2極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系1.理解極坐標(biāo)系的意義，能用極坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置.難點(diǎn)2.理解極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系的聯(lián)絡(luò)，能進(jìn)展極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化.重點(diǎn)根底·初探1.平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)1極坐標(biāo)系：在平面上取一個(gè)定點(diǎn)O，由O點(diǎn)出發(fā)的一條射線Ox，一個(gè)長度單位及計(jì)算角度的正方向通常取逆時(shí)針方向，合稱為一個(gè)極坐標(biāo)系，O點(diǎn)稱為極點(diǎn)，Ox稱為極軸.2極坐標(biāo)：平面上任一點(diǎn)M的位置可以由線段OM的長度和從Ox到OM的角度來刻畫.這兩個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)對(duì)，稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo).稱為極徑，稱為極角.2.點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系，和，2k代表同一個(gè)點(diǎn)，其中k為整數(shù).特別地，

2、極點(diǎn)O的坐標(biāo)為0，R.假如限定0，0<2，那么除極點(diǎn)外，平面上的點(diǎn)就與它的極坐標(biāo)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.3.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系1互化背景：設(shè)在平面上取定了一個(gè)極坐標(biāo)系，以極軸作為直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸，以的射線作為y軸的正半軸，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，長度單位不變，建立一個(gè)直角坐標(biāo)系如圖1­2­1所示.圖1­2­12互化公式：設(shè)M是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是x，y，極坐標(biāo)是，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表：點(diǎn)M直角坐標(biāo)x，y極坐標(biāo)，互化公式2x2y2tan x0考慮·探究1.極坐標(biāo)系與平面直角坐標(biāo)系有什么區(qū)別和聯(lián)絡(luò)？【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62790

3、002】【提示】極坐標(biāo)系以角這一平面圖形為幾何背景，而直角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景；平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而極坐標(biāo)系那么不可.但極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系，用來刻畫平面內(nèi)點(diǎn)的位置.2.極坐標(biāo)系所在平面內(nèi)的點(diǎn)與極坐標(biāo)是否能建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系？【提示】建立極坐標(biāo)系后，給定數(shù)對(duì)，就可以在平面內(nèi)惟一確定一點(diǎn)M；反過來，給定平面內(nèi)一點(diǎn)M，它的極坐標(biāo)卻不是惟一的.所以極坐標(biāo)系所在平面內(nèi)的點(diǎn)與極坐標(biāo)不能建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.3.聯(lián)絡(luò)點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的紐帶是什么？【提示】任意角的三角函數(shù)的定義及其根本關(guān)系式是聯(lián)絡(luò)點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的紐帶.事

4、實(shí)上，假設(shè)>0，那么sin ，cos ，所以xcos ，ysin ，2x2y2，tan .自主·測評(píng)1.極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M1,0關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為A.1,0B.1，C.1，D.1,2【解析】，關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為p，M1,0關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為1，.【答案】C2.極坐標(biāo)系中，到極點(diǎn)的間隔 等于到極軸的間隔 的點(diǎn)可以是A.1,0B.2，C.3，D.4，【答案】C3.點(diǎn)A的極坐標(biāo)是2，那么點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為A.1，B.，1C.，1D.，1【解析】xcos 2cos，ysin 2sin1.【答案】C4.點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為0，那么點(diǎn)M的極坐標(biāo)可以為A.，0B.0，C.，D.，【解析】，且，M的極

5、坐標(biāo)為，.【答案】C質(zhì)疑·手記預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們討論交流：疑問1： 解惑： 疑問2： 解惑： 疑問3： 解惑： 類型一確定極坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)點(diǎn)A2，直線l為過極點(diǎn)且垂直于極軸的直線，分別求點(diǎn)A關(guān)于極軸，直線l，極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)限定>0，<.【精彩點(diǎn)撥】欲寫出點(diǎn)的極坐標(biāo)，首先應(yīng)確定和的值.【嘗試解答】如下圖，關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)為B2，.關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為C2，.關(guān)于極點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為D2，.四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D都在以極點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上.1.點(diǎn)的極坐標(biāo)不是惟一的，但假設(shè)限制>0,0<2，那么除極點(diǎn)外，點(diǎn)的極坐標(biāo)是惟一確定的.2

6、.寫點(diǎn)的極坐標(biāo)要注意順序：極徑在前，極角在后.再練一題1.在極坐標(biāo)系中，B3，D3，試判斷點(diǎn)B，D的位置是否具有對(duì)稱性，并求出B，D關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)限定>0，0,2.【解】由B3，D3，知|OB|OD|3，極角與的終邊關(guān)于極軸對(duì)稱.所以點(diǎn)B，D關(guān)于極軸對(duì)稱.設(shè)點(diǎn)B3，D3，關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為E1，1，F(xiàn)2，2，且123.當(dāng)0,2時(shí)，1，2，E3，F(xiàn)3，為所求.類型二將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)寫出以下各點(diǎn)的直角坐標(biāo)，并判斷所表示的點(diǎn)在第幾象限.12，；22，；32，.【精彩點(diǎn)撥】點(diǎn)的極坐標(biāo)，點(diǎn)的直角坐標(biāo)x，y斷定點(diǎn)所在象限.【嘗試解答】1由題意知x2cos2×1，y2s

7、in2×.點(diǎn)2，的直角坐標(biāo)為1，是第三象限內(nèi)的點(diǎn).2x2cos1，y2sin，點(diǎn)2，的直角坐標(biāo)為1，是第三象限內(nèi)的點(diǎn).3x2cos1，y2sin，點(diǎn)2，的直角坐標(biāo)為1，是第四象限內(nèi)的點(diǎn).1.點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的三個(gè)前提條件：極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合；極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合；兩種坐標(biāo)系的長度單位一樣.2.將點(diǎn)的極坐標(biāo)，化為點(diǎn)的直角坐標(biāo)x，y時(shí)，運(yùn)用到求角的正弦值和余弦值，純熟掌握特殊角的三角函數(shù)值，靈敏運(yùn)用三角恒等變換公式是關(guān)鍵.再練一題2.分別把以下點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)：12，；23，；3，.【解】1xcos 2cos，ysin 2sin1.點(diǎn)的極坐標(biāo)2，

8、化為直角坐標(biāo)為，1.2xcos 3cos0，ysin 3sin3.點(diǎn)的極坐標(biāo)3，化為直角坐標(biāo)為0,3.3xcos cos ，ysin sin 0，點(diǎn)的極坐標(biāo)，化為直角坐標(biāo)為，0.類型三將點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)分別把以下點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)限定0,0<2.12,2；2，.【精彩點(diǎn)撥】利用公式2x2y2，tan x0，但求角時(shí)，要注意點(diǎn)所在的象限.【嘗試解答】14，tan ，0,2，由于點(diǎn)2,2在第二象限.點(diǎn)的直角坐標(biāo)2,2化為極坐標(biāo)4，.22，tan ，0,2，由于點(diǎn)，在第四象限，所以.點(diǎn)的直角坐標(biāo)，化為極坐標(biāo)為2，.1.將直角坐標(biāo)x，y化為極坐標(biāo)，主要利用公式2x2y2，tan x0求

9、解.2.在0,2范圍內(nèi)，由tan x0求時(shí)，要根據(jù)直角坐標(biāo)的符號(hào)特征判斷出點(diǎn)所在的象限.假如允許R，再根據(jù)終邊一樣的角的意義，表示為2kkZ即可.再練一題3.1“例3中，假如限定>0，R，分別求各點(diǎn)的極坐標(biāo)；2假如點(diǎn)的直角坐標(biāo)x，y滿足xy<0，那么在限定>0，R的情況下轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的極坐標(biāo)時(shí)，試探究的取值范圍.【解】1根據(jù)與角終邊一樣的角為2kkZ知，點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)>0，k分別如下：2,2的極坐標(biāo)為4，2kkZ.，的極坐標(biāo)為2，2kkZ.2由xy<0得x<0，y>0或x>0，y<0.所以x，y可能在第二象限或第四象限.把直角坐標(biāo)x，y

10、化為極坐標(biāo)，>0，R時(shí)，的取值范圍為2k，2k2k，22kkZ.類型四極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的綜合應(yīng)用在極坐標(biāo)系中，假如A2，B2，為等邊三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，求頂點(diǎn)C的極坐標(biāo)>0,0<2.【精彩點(diǎn)撥】解答此題可以先利用極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，再根據(jù)等邊三角形的定義建立方程組求解點(diǎn)C的直角坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)C的極坐標(biāo).【嘗試解答】對(duì)于點(diǎn)A2，有2，x2cos，y2sin，那么A，.對(duì)于B2，有2，x2cos，y2sin.B，.設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為x，y，由于ABC為等邊三角形，故|AB|BC|AC|4.有解之得或C點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，.2，tan 1，或.故點(diǎn)C的極坐標(biāo)為2，或2，.1.本例綜合

11、考察了點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式以及等邊三角形的意義和性質(zhì).結(jié)合幾何圖形可知，點(diǎn)C的坐標(biāo)有兩解，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)尋求等量關(guān)系建立方程組求解是關(guān)鍵.2.假設(shè)設(shè)出C，利用余弦定理亦可求解，請(qǐng)讀者完成.再練一題4.本例中，假如點(diǎn)的極坐標(biāo)仍為A2，B2，且ABC為等腰直角三角形，如何求直角頂點(diǎn)C的極坐標(biāo).【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62790003】【解】對(duì)于點(diǎn)A2，直角坐標(biāo)為，點(diǎn)B2，的直角坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為x，y，由題意得ACBC，且|AC|BC|，·0，即x，y·x，y0，x2y24.又|A|2|B|2，于是x2y2x2y2，yx代入，得x22，解得x±.或點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為，或，2，tan 1，或，點(diǎn)C的極坐標(biāo)為2，或2，.真題鏈接賞析教材P10習(xí)題12T3把以下各點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)限定>0,0<2：A1,1，B0，2，