第1章 1.3 第2課時(shí) 利用組合數(shù)公式解應(yīng)用題

1、.第2課時(shí)利用組合數(shù)公式解應(yīng)用題1能用組合數(shù)計(jì)算公式解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題重點(diǎn)2掌握常見組合問(wèn)題的求解方法難點(diǎn)3在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中區(qū)分排列與組合易混點(diǎn)小組合作型無(wú)限制條件的組合問(wèn)題在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某學(xué)校有12人通過(guò)了初試，學(xué)校要從中選出5人參加市級(jí)培訓(xùn)在以下條件下，有多少種不同的選法？1任意選5人；2甲、乙、丙三人必需參加；3甲、乙、丙三人不能參加；4甲、乙、丙三人只能有1人參加【精彩點(diǎn)撥】此題屬于組合問(wèn)題中的最根本的問(wèn)題，可根據(jù)題意分別對(duì)不同問(wèn)題中的“含與“不含作出正確分析和判斷，弄清每步從哪里選，選出多少等問(wèn)題【自主解答】1從中任取5人是組合問(wèn)題，共有C792種不同的選法2甲、乙、丙三人必

2、需參加，那么只需要從另外9人中選2人，是組合問(wèn)題，共有C36種不同的選法3甲、乙、丙三人不能參加，那么只需從另外的9人中選5人，共有C126種不同的選法4甲、乙、丙三人只能有1人參加，可分兩步：先從甲、乙、丙中選1人，有C3種選法；再?gòu)牧硗?人中選4人，有C種選法共有CC378種不同的選法解答簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題的考慮方法1弄清要做的這件事是什么事2選出的元素是否與順序有關(guān)，也就是看看是不是組合問(wèn)題3結(jié)合兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，利用組合數(shù)公式求出結(jié)果再練一題1現(xiàn)有10名老師，其中男老師6名，女老師4名1現(xiàn)要從中選2名去參加會(huì)議，有多少種不同的選法？2選出2名男老師或2名女老師去外地學(xué)習(xí)的選法有多少種？【解】1

3、從10名老師中選2名去參加會(huì)議的選法種數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，即C45.2可把問(wèn)題分兩類：第1類，選出的2名是男老師有C種方法；第2類，選出的2 名是女老師有C種方法，即CC21種有限制條件的組合問(wèn)題高二1班共有35名同學(xué)，其中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學(xué)參加活動(dòng)1其中某一女生必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？2其中某一女生不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？3恰有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？4至少有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？5至多有2名女生在內(nèi)，不同的取法有多少種？【精彩點(diǎn)撥】可從整體上分析，進(jìn)展合理分類，弄清關(guān)鍵詞“恰有“至少“至多等字眼使用兩個(gè)計(jì)

4、數(shù)原理解決【自主解答】1從余下的34名學(xué)生中選取2名，有C561種不同的取法有561種2從34名可選學(xué)生中選取3名，有C種或者CCC5 984種不同的取法有5 984種3從20名男生中選取1名，從15名女生中選取2名，有CC2 100種不同的取法有2 100種4選取2名女生有CC種，選取3名女生有C種，共有選取方式NCCC2 1004552 555種不同的取法有2 555種5選取3名的總數(shù)有C，因此選取方式共有NCC6 5454556 090種不同的取法有6 090種常見的限制條件及解題方法1特殊元素：假設(shè)要選取的元素中有特殊元素，那么要以有無(wú)特殊元素，特殊元素的多少作為分類根據(jù)2含有“至多“

5、至少等限制語(yǔ)句：要分清限制語(yǔ)句中所包含的情況，可以此作為分類根據(jù)，或采用間接法求解3分類討論思想：解題的過(guò)程中要擅長(zhǎng)利用分類討論思想，將復(fù)雜問(wèn)題分類表達(dá)，逐類求解再練一題2“抗震救災(zāi)，眾志成城，在我國(guó)“四川5·12抗震救災(zāi)中，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴賑災(zāi)前線，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家問(wèn)：1抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種？2至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？3至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種？【解】1分步：首先從4名外科專家中任選2名，有C種選法，再?gòu)某饪茖＜业?人中選取4人，有C種選法，所以共有C·C90種抽調(diào)方法2

6、“至少的含義是不低于，有兩種解答方法法一直接法按選取的外科專家的人數(shù)分類：選2名外科專家，共有C·C種選法；選3名外科專家，共有C·C種選法；選4名外科專家，共有C·C種選法根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有C·CC·CC·C185種抽調(diào)方法法二間接法不考慮是否有外科專家，共有C種選法，考慮選取1名外科專家參加，有C·C種選法；沒(méi)有外科專家參加，有C種選法，所以共有：CC·CC185種抽調(diào)方法3“至多2名包括“沒(méi)有“有1名“有2名三種情況，分類解答沒(méi)有外科專家參加，有C種選法；有1名外科專家參加，有C·C種選法；有2

7、名外科專家參加，有C·C種選法所以共有CC·CC·C115種抽調(diào)方法組合在幾何中的應(yīng)用平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn)，其中有4個(gè)點(diǎn)共線，此外再無(wú)任何3點(diǎn)共線以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可構(gòu)成多少個(gè)不同的三角形？ 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：29440013】【精彩點(diǎn)撥】解答此題可以從共線的4個(gè)點(diǎn)中選取2個(gè)、1個(gè)、0個(gè)作為分類標(biāo)準(zhǔn)，也可以從反面考慮，任意三點(diǎn)的取法種數(shù)減去共線三點(diǎn)的取法種數(shù)【自主解答】法一：以從共線的4個(gè)點(diǎn)中取點(diǎn)的多少作為分類標(biāo)準(zhǔn)第1類：共線的4個(gè)點(diǎn)中有2個(gè)點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，共有CC48個(gè)不同的三角形；第2類：共線的4個(gè)點(diǎn)中有1個(gè)點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，共有CC112個(gè)不同的三角形；第3類：共線的4

8、個(gè)點(diǎn)中沒(méi)有點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，共有C56個(gè)不同的三角形由分類計(jì)數(shù)原理知，不同的三角形共有4811256216個(gè)法二間接法：從12個(gè)點(diǎn)中任意取3個(gè)點(diǎn)，有C220種取法，而在共線的4個(gè)點(diǎn)中任意取3個(gè)均不能構(gòu)成三角形，即不能構(gòu)成三角形的情況有C4種故這12個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成三角形的個(gè)數(shù)為CC216個(gè)1解決幾何圖形中的組合問(wèn)題，首先應(yīng)注意運(yùn)用處理組合問(wèn)題的常規(guī)方法分析解決問(wèn)題，其次要注意從不同類型的幾何問(wèn)題中抽象出組合問(wèn)題，尋找一個(gè)組合的模型加以處理2圖形多少的問(wèn)題通常是組合問(wèn)題，要注意共點(diǎn)、共線、共面、異面等情形，防止多算常用直接法，也可采用排除法再練一題3四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其他頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)

9、，使它們與點(diǎn)A在同一平面上，有多少種不同的取法？【解】如下圖，含頂點(diǎn)A的四面體的3個(gè)面上，除點(diǎn)A外每個(gè)面都有5個(gè)點(diǎn)，從中取出3點(diǎn)必與點(diǎn)A共面，共有3C種取法，含頂點(diǎn)A的三條棱上各有三個(gè)點(diǎn)，它們與所對(duì)的棱的中點(diǎn)共面，共有3種取法根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，不同的取法有3C333種探究共研型排列、組合的綜合應(yīng)用探究1從集合1,2,3,4中任取兩個(gè)不同元素相乘，有多少個(gè)不同的結(jié)果？完成的“這件事指的是什么？【提示】共有C6個(gè)不同結(jié)果完成的“這件事是指：從集合1,2,3,4中任取兩個(gè)不同元素并相乘探究2從集合1,2,3,4中任取兩個(gè)不同元素相除，有多少不同結(jié)果？這是排列問(wèn)題，還是組合問(wèn)題？完成的“這件事指的是什

10、么？【提示】共有A210個(gè)不同結(jié)果；這個(gè)問(wèn)題屬于排列問(wèn)題；完成的“這件事是指：從集合1,2,3,4中任取兩個(gè)不同元素并相除探究3完成“從集合0,1,2,3,4中任取三個(gè)不同元素組成一個(gè)是偶數(shù)的三位數(shù)這件事需先分類，還是先分步？有多少個(gè)不同的結(jié)果？【提示】由于0不能排在百位，而個(gè)位必須是偶數(shù).0是否排在個(gè)位影響百位與十位的排法，所以完成這件事需按0是否在個(gè)位分類進(jìn)展第一類：0在個(gè)位，那么百位與十位共A種排法；第二類：0不在個(gè)位且不在百位，那么需先從2,4中任選一個(gè)排個(gè)位再?gòu)氖Ｏ路橇銛?shù)字中取一個(gè)排百位，最后從剩余數(shù)字中任取一個(gè)排十位，共CCC18種不同的結(jié)果，由分類原理，完成“這件事共有ACCC3

11、0種不同的結(jié)果有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，求分別符合以下條件的選法數(shù)：1有女生但人數(shù)必須少于男生；2某女生一定擔(dān)任語(yǔ)文課代表；3某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表；4某女生一定要擔(dān)任語(yǔ)文課代表，某男生必須擔(dān)任課代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表【精彩點(diǎn)撥】1按選中女生的人數(shù)多少分類選取2采用先選后排的方法3先安排該男生，再選出其別人擔(dān)任4科課代表4先安排語(yǔ)文課代表的女生，再安排“某男生課代表，最后選其別人擔(dān)任余下三科的課代表【自主解答】1先選后排，先選可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CCCC種，后排有A種，共CCCC·A5 400種2除去該女生后，先選

12、后排，有C·A840種3先選后排，但先安排該男生，有C·C·A3 360種4先從除去該男生、該女生的6人中選3人有C種，再安排該男生有C種，其余3人全排有A種，共C·C·A360種解決排列、組合綜合問(wèn)題要遵循兩個(gè)原那么1按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)展分步2按元素的性質(zhì)進(jìn)展分類解決時(shí)通常從以下三個(gè)途徑考慮：1以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；2以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；3先不考慮附加條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)再練一題4某班班會(huì)準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、

13、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且假設(shè)甲、乙同時(shí)參加，那么他們發(fā)言時(shí)不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為_種. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：29440014】【解析】分兩類：第一類，甲、乙中只有一人參加，那么有CCA2×10×24480種選法第二類，甲、乙都參加時(shí)，那么有CAAA10×2412120種選法所以共有480120600種選法【答案】600構(gòu)建·體系1有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，那么不同的選法共有_種【解析】從6名男醫(yī)生中選出2名男醫(yī)生共有C種不同選法，從5名女醫(yī)生中選出1名女醫(yī)生，共有C種不同選法，故組成一個(gè)醫(yī)療小組共有

14、CC75種不同的選法【答案】7527名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動(dòng)假設(shè)每天安排3人，那么不同的安排方案共有_種用數(shù)字作答 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：29440015】【解析】由題意可知周六共有C種安排方式，周日共有C種不同安排方式，共有CC140種不同安排方式【答案】1403將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，那么不同的分配方案有_種用數(shù)字作答【解析】有C·C·A36種滿足題意的分配方案其中C表示從3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)中任選定1個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，且其中某2名大學(xué)生去的方法數(shù)；C表示從4名大學(xué)生中任選2名到上一步選定的鄉(xiāng)鎮(zhèn)的方法數(shù)；A表示將剩下的2名大學(xué)生分配到另2個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去的

15、方法數(shù)【答案】364在直角坐標(biāo)平面xOy上，平行直線xnn0,1,2，5與平行直線ynn0,1,2，5組成的圖形中，矩形共有_個(gè)【解析】在垂直于x軸的6條直線中任取2條，在垂直于y軸的6條直線中任取2條，四條直線相交得出一個(gè)矩形，所以矩形總數(shù)為C×C15×15225個(gè)【答案】2255車間有11名工人，其中5名是鉗工，4名是車工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工，如今要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺(tái)機(jī)床，問(wèn)有多少種選派方法【解】法一：設(shè)A，B代表兩名老師傅A(chǔ)，B都不在內(nèi)的選派方法有：C·C5種；A，B都在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有：C·C·C10種；A，B都在內(nèi)且當(dāng)車工的選派方法有：C·C·C30種；A，B都在內(nèi)，一人當(dāng)鉗工，一人當(dāng)車工的選派方法有：C·A·C·C80種；A，B有一人在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有：C·C·C20種；A，B有一人在內(nèi)且當(dāng)車工的選派方法有：C·C·C40種所