10-2014年深圳市高中數(shù)學(xué)教師命題比賽理科

1、2021年市高中數(shù)學(xué)教師命題比賽理科1.全集 U 1,3,5,7,集合 A1,5,B 3,5,那么 Cu(AB)A.1,5,7B.C.7D.1,3,72.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1 i)z2i ,那么Z =3.函數(shù)f(X)為奇函數(shù)且當(dāng)f(x)In xf( 1)為A.2 B4.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Si, S3a1A.135.某程序框圖如下列圖，假設(shè)該程序運(yùn)行后輸出的值是2a210a1, 85A. a 4 b . a5c. a6d. a 7本試卷共4頁,21小題,總分值150分.考試用時(shí)120分鐘參考公式：1V臺-(S S TSS) V柱 Sh3，一、選擇題：本大題共 8小題，每題5分，總分值40分.在

2、每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的6. 一個(gè)幾何體的三視圖如下列圖，該幾何體從上到下由四個(gè)簡單幾何體組成，其體積分別記為V1, V2, V3, v4,上面兩個(gè)簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡單幾何體均為多面體，那么有 a.v1v2 v4 V3b . v1v3v2 v4C.V2V173V4D .V2V3V1V47. a 0 , x,xy滿足約束條件 y1a(x 3),假設(shè)x 3z 2xy的最大值為4 ,那么aA. 1 B.41 C.1D. 228. 對任意兩個(gè)非零的平面向量a和b ,定義a ba b.假設(shè)平面向量 a , b滿足|a| |b| 0 ,b ba b的夾角 0,玄，

3、且a b和ba都在集合第6題圖n|n Z中，那么 a b =1 3A.B.1 C. D.2 2二、填空題：本大題共 7小題，考生作答 6小題，每題5分，總分值30分。一必做題913題89. 假設(shè)x 3的展開式中x4的系數(shù)為7,那么實(shí)數(shù)a10.函數(shù)y log2 x22x的定義域是11.由直線x 0, y 1,與曲線y sinx,(x12.設(shè) a,b, c, x, y, z是正數(shù)，且 a2 b2c2a b c0,所圍成的封閉圖形的面積為22 210, x y2z 40, ax by cz 20,那么x y z13設(shè)AB是橢圓的長軸，點(diǎn)C在橢圓上，且CBA,假設(shè)4AB 4,BC 2 ,那么橢圓的兩個(gè)

4、焦點(diǎn)之間的距離為二選做題：第 14、15題為選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計(jì)前一題得分14.坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，曲線 2cos與 cos2的公共點(diǎn)在平面直15.PB角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為幾何證明選講如圖，割線PBC經(jīng)過圓心0,OB 1，PB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋120°到OD，連PD交圓O于點(diǎn)E，那么PE 三、解答題：本大題共 6小題，總分值80分，解答需寫出文字說明。證明過程和演算步驟。16. 本小題總分值12分f(x) sin( x)的最小正周期為6(I )求 的值( n )在 ABC中，角a, B,C的對邊分別是a,b,c，假設(shè)a2 b2 '一 2ab c2 且

5、 f (B)-求 sin A。217. 本小題總分值12分近年來，某市為了促進(jìn)生活垃圾分類處理，將垃圾分為廚余垃圾、 可回收垃圾、有害垃圾、其他垃圾四類，分別設(shè)置了相應(yīng)垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取該市四類垃圾箱中總計(jì)100噸生活垃圾，數(shù)據(jù)如下：廚余垃圾箱可回收垃圾箱有害垃圾箱其他垃圾箱廚余垃圾300010可回收垃圾02000有害垃圾00100其他垃圾1010010I丨試估計(jì)生活垃圾投放正確的概率(II)以各垃圾箱垃圾的頻率估計(jì)垃圾投入各垃圾箱的概率，現(xiàn)需丟3件垃圾，記 為投入廚余垃圾箱垃圾的數(shù)量，試求的分布列和數(shù)學(xué)期望。18. 本小題總分值 14分如圖1所示，直角三角形

6、ABC中， B 900, D,E分別是AB, AC的中點(diǎn)，AB BC 4,將 ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐,使得A B A E , F為A B的中點(diǎn)。I丨證明: A B 平面DFE(II)求二面角A CE D的平面角的余弦值19.本小題總分值14分?jǐn)?shù)列an滿足an2nam2n 1(n2)y2，(2n1)an 11求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；(II)abnn ,求證對于一切正整數(shù)n,都有db2bn-成立。2n42 220. 本小題總分值14分雙曲線 篤 爲(wèi) 1(a,b 0)的離心率為2，且焦點(diǎn)到漸近線a b的距離為1，P(m, n)為雙曲線上任意一點(diǎn) m 1，過點(diǎn)P的直線與圓O: x2

7、y21相切于代B兩點(diǎn)I求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程II丨求點(diǎn)A, B所在的直線方程III丨雙曲線是否存在點(diǎn) P(m, n) m 1，使得 OAB的面積最大，假設(shè)存在求出點(diǎn) P的坐標(biāo)，與 OAB的最大面積，假設(shè)不存在，請說明理由。21. 本小題總分值14分設(shè)函數(shù)f (x) (x a)ln x，I丨假設(shè)x 1為y f (x)的極值點(diǎn)，數(shù)a的值II結(jié)合以下列圖像，試求函數(shù)y f (x)的單調(diào)區(qū)間用x°,X1,X2表示。2021年市高中數(shù)學(xué)教師命題比賽理科本試卷共頁,21小題，總分值150分.考試用時(shí)120分鐘1參考公式：V臺(S SJSS)，V柱Sh3 ,一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，總分值

8、40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的1.全集 U 1,3,5,7,集合 A 1,5, B 3,5,那么 Cu(A B)()A.1,5,7 B. C. 7 D. 1,3,7【解答】A B 5 Cu(A B) 1,3,7選擇 D【試題來源】2021數(shù)學(xué)理1改編【命題意圖】集合的交集與補(bǔ)集2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1 i)z 2i ,那么Z =A.1 i B.1 i C. 1 i D【解答】z2ii 選擇b【試題來源】2021新課標(biāo)理2改編【命題意圖】復(fù)數(shù)四那么運(yùn)算與共軛復(fù)數(shù)3.函數(shù)f(X)為奇函數(shù)，且當(dāng)xf(x)ln x 2x,那么 f( 1)A.2 B【解答】f( 1)f(1)

9、2選擇【試題來源】2021理3改編【命題意圖】函數(shù)奇偶性，求值4.等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S, S3a210a1, a9,那么a1A.1 B .3【解答】ai(14Bqq q2) a1q 10a1解之得a119選擇C【試題來源】2021新課II 3【命題意圖】等比數(shù)列通項(xiàng)公式95. 某程序框圖如下列圖，假設(shè)該程序運(yùn)行后輸出的值是，那么5 A. a 4 B . a 5 C. a 6D. a 71 119【解答】s 1 (1 -)-所以4 a,5 a應(yīng)選a2 4 55，【試題來源】2021理5【命題意圖】識別程序框圖，通過計(jì)算判斷控制條件。6. 一個(gè)幾何體的三視圖如下列圖，該幾何體從上到下由四個(gè)簡

10、單幾 何體組成，其體積分別記為 , V2, V3, v4,上面兩個(gè)簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡單幾何體均為多面體 ，那么有a.v1 v2 v4 V3b . v1 v3 v2 v4C V2 V1 V3 V4D. V2 V3 V1 V4【解答】由題意可知，自上到下為圓臺、圓柱、棱柱、棱臺。V1(4.4 2)73 31 28V2 2V3 8 V4 -(4 16 4 16) 一，33應(yīng)選擇C【試題來源】2021年理8【命題意圖】考察由三視圖復(fù)原幾何體，根據(jù)尺寸求體積。7. a 0，x,y滿足約束條件x 1y a(x 3)，假設(shè)z 2x y的最大值為4 ,那么a y x 3A.1 B. 1 C. 1

11、D. 2【解答】如下列圖，當(dāng)z 2x y經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)取到最大值,C(1, 2a)帶入 z 2 2a 4 , a 1 應(yīng)選擇 C【試題來源】2021新課標(biāo)II理9改編【命題意圖】逆向線性規(guī)劃問題，以過定點(diǎn)的直線旋轉(zhuǎn)引起最大值變化，根據(jù)最大值確定變量 a的取值。|a| |b|0,a b的夾角(°,丁)，且4a b和b a都在集合2|nZ中，那么a b =135A.B.1 C.D222【解答】因?yàn)閍?ba b|a| cos<2 u - cos, b ab?a|b|qcos cos 1 ,b?b|b|2a ?a|a|h-b-且a b和b-na都在集合|n Z中,所以b a 也cos1?|

12、b|1,所以2|a|2|a | 2cos- |a|9-3a b -cos 2 cos2，因?yàn)?0, )，所以 1 ab 2 ,故有a b.應(yīng)選8.對任意兩個(gè)非零的平面向量rjrrjja和b，定義a：b 圧假設(shè)平面向量a , b滿足b b|b|42C.【試題來源】2021理8【命題意圖】定義題，考察向量的數(shù)量積、三角函數(shù)的計(jì)算，考察學(xué)生的閱讀能力。二、填空題：本大題共 7小題,考生作答6小題，每題5分，總分值30分。本大題分必做題和選做題兩局部。一必做題913 題9.假設(shè)a3X8的展開式中4x的系數(shù)為7,那么實(shí)數(shù)【解答】TrER8 r LCsrarx 34可得r 3所以C83【試題來源】2021

13、年理11【命題意圖】考察二項(xiàng)式定理與指數(shù)運(yùn)算。10.函數(shù)y log2(x22x)的定義域是【解答】x2 2x 0 x 2或x 0,答案是(2,)(,0)【試題來源】原創(chuàng)【命題意圖】考察對數(shù)函數(shù)定義域，一元二次不等式11.由直線x 0,y 1,與曲線ysinx,(x 0,)所圍成的封閉圖形的面積為2【解答】如下列圖，陰影局部面積=長方形面積 y si nx, x軸,x石圍成圖形的面2 sin xdx 2 0 2【試題來源】原創(chuàng)【命題意圖】考察利用定積分求封閉圖形的面積，轉(zhuǎn)化為整體減局部的方法求解。12.設(shè) a,b, c, x, y, z是正數(shù)，且 a2 b2a b cc210，x2z 40， a

14、x by cz 20，那么xyz【解答】由于(a2 b2 c2)(x2 a-ct那么 a tx,b ty,cxyzz2) (ax2/ 2tz，t (xbyz2)cz)2，10等號成立當(dāng)且僅當(dāng)t 1/2所以由題知t 1/2 ,又£ bx yc a b c a,所以一x y z【試題來源】2021理6題【命題意圖】考察柯西不等式等號成立的情況。13設(shè)AB是橢圓的長軸，點(diǎn)C在橢圓上，且CBA的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為【解答】如下列圖，有題意可得2，B(2,0)又由可得C(1,1)代入2 2所以丄每 1中可得b24 b8,2c【試題來源】2021理9題【命題意圖】考察數(shù)形結(jié)合能力，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與

15、a,b,c之間的關(guān)系。二選做題：第 14、15題為選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計(jì)前一題得分14. 坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中,曲線 2cos與 cos2的公共點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為 【解答】2cos ，可得2 2 cos , xy2 2y,cos2可，可得y 2，從而x 0 ,所以坐標(biāo)為(0,2)【試題來源】2021年理11改編【命題意圖】考察極坐標(biāo)系與平面直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。15. 幾何證明選講如圖，割線PBC經(jīng)過圓心O,PB OB 1，PB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋120。到OD，連PD 交圓O于點(diǎn)E，那么PE .2 2 2 0第15題圖得PD7，由相交弦定理PB PCPE PD，所

16、以 PE【解答】PD OD OP 2OD OP cos120 7，可【試題來源】2021年深一模15題【命題意圖】考察余弦定理、割線定理。三、解答題：本大題共6小題，總分值80分，解答需寫出文字說明。證明過程和演算步驟。16.本小題總分值12分f(x) sin( x )的最小正周期為6(I )求 的值( n )在 ABC中，角a, B,C的對邊分別是a,b,c，假設(shè)a2 b2. 2ab c2 且 f (B)-求 sin A。2【解答】解：(I )最小正周期TcosCa2 b22abc222f(B)sin(2B -)1,且 0sin Asin(B C) sin BcosCcosBsi nC12分

17、1 /2、3 262( ) 2 22 24【試題來源】根據(jù) 2021深一模16改編【命題意圖】考察三角函數(shù)最小正周期、三角函數(shù)值與解三角形中的余弦定理、兩角和的正 弦公式等知識，正向、逆向運(yùn)用公式、定理的能力和轉(zhuǎn)化化歸思想。17.本小題總分值12分近年來，某市為了促進(jìn)生活垃圾分類處理，將垃圾分為廚余垃圾、 可回收垃圾、有害垃圾、其他垃圾四類，分別設(shè)置了相應(yīng)垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取該市四類垃圾箱中總計(jì)100噸生活垃圾，數(shù)據(jù)如下：廚余垃圾箱可回收垃圾箱有害垃圾箱其他垃圾箱廚余垃圾300010可回收垃圾02000有害垃圾00100其他垃圾1010010I丨試估計(jì)生活垃圾投放

18、正確的概率(II)以各垃圾箱垃圾的頻率估計(jì)垃圾投入各垃圾箱的概率，現(xiàn)需丟3件垃圾，記 為投入廚余垃圾箱垃圾的數(shù)量，試求的分布列和數(shù)學(xué)期望。P(B)30 101000.4,P(B)0.6丨設(shè)生活垃圾投放正確為事件A30 20 10 10P(A)100°.7 3分丨設(shè)垃圾投入廚余垃圾箱為事件B可能取值為0,1,2,3P( 0) C300.630.216,P( 1) C310.4 0.620.432P( 1) C320.42 0.6 0.288,P( 3) C330.430.064=0=1=2=3P()0.2160.4320.2880.06410分E( )1 0.432 2 0.288 3

19、 0.064 1.2 12分【試題來源】原創(chuàng)【命題意圖】以生活熱點(diǎn)問題垃圾分類處理為背景，考察學(xué)生閱讀理解、認(rèn)識圖表的能 力，從而建立二項(xiàng)分布模型，求解分布列與數(shù)學(xué)期望。18.本小題總分值 14分如圖1所示，直角三角形 ABC中， B 900, D,E分別是AB, AC的中點(diǎn)，AB BC 4,將 ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐,使得A B A E , F為A B的中點(diǎn)。圖1圖2I證明：AB 平面DFE(II)求二面角A CE D的平面角的余弦值【解答】I由題意可得，DEAD,DE DB, AD DB DDE 平面A BD又t AB 平面ABDDEA B'F為A B的中點(diǎn)，A

20、DDBDF A B 由和DF DEDA B平面 DEF (II) - AB BC 4DEADBD 2AE2 22 2 2 AB A D BD ，A DBD 6分傳統(tǒng)法：如右圖所示，過D作DFCE交CE的延長線于F ，連接A FTAD BD, AD DE,DEBD D A B 平面 BDE又-hCF 平面 BDECFA D8分又：hCF DF, AD DF DCF平面 ADF又:A F 平面ADFCFAF所以 A FD為二面角ACED的平面角4分A B 2. 210分結(jié)合圖1可知，F(xiàn)為AE中點(diǎn),故DF . 2 , A F DF 2 AD2-.6所以cos AFD罟冷T，所以二面角A CE D的平

21、面角的余弦值為晝314分向量法：以D點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz如下列圖，那么 A 0,0,2 , C 2,4,0 , E 0,2,0所以 AC 2,4, 2 , AE 0,2, 2平面CED，知陽0,0,1為平面CED的一個(gè)法向量，12分所以cosE*上1f ln1冋巧乜，即二面角A CE D的平面角的余弦值為314分設(shè)n.x, y,z為平面ACE的法向量，那么n AC02x4y2z0fyx人,即,解得，令x1n AE02y2z0z x得n.1,1,111分【試題來源】2021年理18題改編【命題意圖】此題以直角三角形翻折問題為載體，考察翻折前后的不變量與變化量，通過線面垂直的定

22、義、判定、性質(zhì)與二面角的平面角的余弦值的求解，訓(xùn)練學(xué)生的空間思維。同時(shí),考察學(xué)生以向量為工具將立幾問題轉(zhuǎn)換為代數(shù)問題的解題思路。19.本小題總分值14分?jǐn)?shù)列an滿足an2&1(2n 1)an 1尹5 2)，a12，I求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式;an(II)bn專，求證對于一切正整數(shù)2b2 bn7 、成立。4【解答】I由題意可得， an2* 1an 1(2n 1),(n 2)令Cn-,那么 G 1，an2時(shí),Cn Cn1 (2n 1)C2C3G 3C2 5Cn疊加可得Cn 1 3 5(2n1)當(dāng)n=1時(shí),G=1滿足上式,Cn2nan 2n(II)bnan2時(shí),bn1n(n 1)(n1 11)

23、 nb1 b2bn 112分綜上所述b2bn14分【試題來源】2021年理20題改編【命題意圖】此題考察通過一階遞歸數(shù)列的變形求倒數(shù)構(gòu)造結(jié)構(gòu)簡單數(shù)列方式求解通項(xiàng) 公式，經(jīng)過適當(dāng)放縮和裂項(xiàng)相消法證明不等式根據(jù)證明判斷從第幾項(xiàng)開始裂項(xiàng)2 2 _20.本小題總分值 14分雙曲線 篤 召 1(a,b 0)的離心率為2，且焦點(diǎn)到漸近線a b的距離為1，P(m, n)為雙曲線上任意一點(diǎn) m 1，過點(diǎn)P的直線與圓O: x2 y2 1相 切于代B兩點(diǎn)I求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程II丨求點(diǎn)A,B所在的直線方程III丨雙曲線是否存在點(diǎn) P(m, n) m1，使得 OAB的面積最大，假設(shè)存在求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，與 OAB的最大

24、面積，假設(shè)不存在，請說明理由?！窘獯稹縄丨由e - ，2c2 2a2，所以b2 c2 a2 a2a雙曲線漸近線方程為 ybX X,即x y 0漸近線，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(C,0)a那么c：21，所以a1，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為1II設(shè)A(Xo,yo)為過點(diǎn)P的直線與圓O的切點(diǎn)，所以Xo2 yo2 1 ,y。y。x x2xnm2y。1可得x0m %n 114分1m又了 KABKOP1,K abKOPnml AB :yy0-(xnX0) 6分即 mx ny mx() ny00由可得mx ny 10 7分1III丨點(diǎn)P(m,n)在雙曲線x2 y2 1上，所以m2 n2圓心(0,0)到直線AB的距離為h，那么h

25、_1_.2n21|AB| 2.r2 d22、12n22n210分1所以 SoAB 2|AB|12n22n21 2n2 1|n|2n2 1_|n |_2、2| n|12分當(dāng)且僅當(dāng)、.2|n| 1 ,邁時(shí)取等號。2由m2n2 1,可得込所以，當(dāng)n2遼時(shí)，Soab面積最大，最大為2此時(shí),2)或 P(14分【試題來源】2021年理20題改編【命題意圖】此題考察雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解和將雙曲線方程作為控制條件求解過圓的兩 個(gè)切點(diǎn)的直線方程，通過根本不等式求解三角形OAB面積的最大值，是一道綜合性強(qiáng)的題目。21.本小題總分值14分設(shè)函數(shù)f(x) (x a)l nx，I丨假設(shè)x 1為y f (x)的極值點(diǎn)，數(shù)a的值y f (x)的單調(diào)區(qū)間用x0,x-!,x2表示。P(xl.yl)II結(jié)合以下列圖像，試求函數(shù)圖1當(dāng)a0時(shí)圖2當(dāng) e2 a0時(shí)【解答】If(x) (xa)ln x , f xln x1 -xf 10,得a1.3分IIf(x)(xa)ln x定義域?yàn)?0,)令 g(x)fxIn x.a,、1-,那么