二次函數(shù)與平行四邊形綜合

1、第十八講二次函數(shù)與平行四邊形綜合、教學(xué)內(nèi)容1. 二次函數(shù)的表示，二次函數(shù)圖像與性質(zhì)；2. 平行四邊形的性質(zhì)和判定；3. 函數(shù)圖像與平行四邊形的綜合應(yīng)用，典型應(yīng)用、圖像題；二、例題細(xì)看【例1】：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y - x 6與x軸、y軸的交點(diǎn)分 別為A B，4將 OBA對(duì)折，使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H落在直線AB上，折痕交x軸于點(diǎn)C.1直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求過(guò) A、B C三點(diǎn)的拋物線的解析式；2 假設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 D，在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形 ODAP為平行四邊形？假設(shè) 存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由；3設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與直線 BC的交點(diǎn)為T(mén) ,Q為線段BT

2、上一點(diǎn)，直接寫(xiě)出 QA QO的取值 范圍考點(diǎn)分析二次函數(shù)綜合題xPEC分析1點(diǎn)A的坐標(biāo)是縱坐標(biāo)為 0，得橫坐標(biāo)為8,所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為8，0；點(diǎn)B的坐標(biāo)是橫坐標(biāo)為 0，解得縱坐標(biāo)為6，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為0，6；由題意得：BC是/ ABO的角平分線，所以 OC=CH BH=OB=6AB=10, AH=4 設(shè) OC=x 貝U AC=8-x 由勾股定理得：x=3點(diǎn)C的坐標(biāo)為3，0將此三點(diǎn)代入二次函數(shù)一般式，列的方程組即可求得；2 求得直線 BC的解析式，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)角相等，對(duì)邊平行且相等，借助于三函 數(shù)即可求得；(3)如圖，由對(duì)稱(chēng)性可知 QO=QH |QA-QO|=|QA-QH| .當(dāng)點(diǎn)Q與

3、點(diǎn)B重合時(shí)，Q H A三點(diǎn)共線，|QA-QO|取得最大值4 (即為AH的長(zhǎng))；設(shè)線段 OA的垂直平分線與直線 BC的交點(diǎn)為K當(dāng)點(diǎn)Q與 點(diǎn)K重合時(shí)，|QA-QO|取得最小值0.跟蹤練習(xí)例1.(浙江義烏市)如圖，拋物線y x2 2x 3與x軸交A B兩點(diǎn)(A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè))，直 線丨與拋物線交于 A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.(1) 求A B兩點(diǎn)的坐標(biāo)與直線 AC的函數(shù)表達(dá)式；(2) P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò) P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于 E點(diǎn)，求線段PE長(zhǎng)度的最大值；(3) 點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在 x軸上是否存在點(diǎn) F,使A C F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形 是平行四邊形？如果存在，

4、求出所有滿足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【例2】 如圖，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) A(n , 0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)(n 0).以AO為一邊作矩形 AOBC，點(diǎn)C在 第二象限，且 OB 2OA .矩形AOBC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90得矩形AGDE .過(guò)點(diǎn) A的直線 y kx m (k 0)交y軸于點(diǎn)F , FB FA .拋物線y ax2 bx c過(guò)點(diǎn)E、F、G且和直線 AF 交于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)H作HM x軸，垂足為點(diǎn)M .求k的值；點(diǎn)A位置改變時(shí)，AMH的面積和矩形 AOBC的面積的比值是否改變？說(shuō)明你的理由.PEC分析(1)由題意知 OB=2OA=2n在直角三角形 AEO中, OF=OB-BF=

5、-2n-AF,因此可用勾股定理求出AF的表達(dá)式，也就求出了 FB的長(zhǎng)，由于F的坐標(biāo)為(0, nr)據(jù)此可求出 m n的關(guān)系式，可用n替換掉一 次函數(shù)中m的值，然后將 A點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出 k的值.(2) 思路同(1) 一樣，先用n表示出E、F、G的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式中，得出 a, b, c與n 的函數(shù)關(guān)系式，然后用 n表示出二次函數(shù)的解析式，進(jìn)而可用 n表示出H點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出 AMH的面 積和矩形AOBC勺面積進(jìn)行比擬即可.跟蹤練習(xí)(1)在圖1, 2, 3中，給出平行四邊形 ABCD的頂點(diǎn)A, B, D的坐標(biāo) 2, 3中的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，yF圖)，寫(xiě)出圖1 ,CD(4,0)圖1(

6、2)在圖4中，給出平行四邊形B(1,2)ABCD的頂點(diǎn)A B,B(c, d)A(a, b) D(e, b)> XD的坐標(biāo)(如下列圖)，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)用含a , b, c, d , e, f的代數(shù)式表示)；歸納與發(fā)現(xiàn)(3) 通過(guò)對(duì)圖1, 2 , 3 , 4的觀察和頂點(diǎn)C的坐標(biāo)的探究，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：無(wú)論平行四邊形 ABCD處于直角 坐標(biāo)系中哪個(gè)位置，當(dāng)其頂點(diǎn)坐標(biāo)為 A(a , b) , B(c, d) , C(m , n) , D(e, f)(如圖4)時(shí)，那么四個(gè)頂 點(diǎn)的橫坐標(biāo)a , c, m , e之間的等量關(guān)系為；縱坐標(biāo) b , d , n , f之間的等量關(guān)系為運(yùn)用與推廣21519(4) 在

7、同一直角坐標(biāo)系中有拋物線y x (5c 3)xc和三個(gè)點(diǎn)G c, c, S c, c,2 22 2H (2c , 0)(其中c 0) 問(wèn)當(dāng)c為何值時(shí)，該拋物線上存在點(diǎn)P,使得以G , S, H , P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？并求出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo).【例3】 如圖1, Rt ABC中， A 90 , tanB 3，點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q、R分別在線段BC、4AC上，且使得四邊形 APQR是矩形設(shè)AP的長(zhǎng)為x ,矩形APQR的面積為y，y是x的函 數(shù)，其圖象是過(guò)點(diǎn) 12,36的拋物線的一局部(如圖 2所示).(1 )求AB的長(zhǎng)；(2) 當(dāng)AP為何值時(shí)，矩形 APQR的面積最大，并求出

8、最大值為了解決這個(gè)問(wèn)題，孔明和研究 性學(xué)習(xí)小組的同學(xué)作了如下討論：張明：圖2中的拋物線過(guò)點(diǎn) 12,36在圖1中表示什么呢？李明：因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)(x,y)是表示圖1中AP的長(zhǎng)與矩形APQR面積的對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么12,36表示當(dāng)AP 12時(shí)，AP的長(zhǎng)與矩形APQR面積的對(duì)應(yīng)關(guān)系趙明：對(duì)，我知道縱坐標(biāo) 36是什么意思了！B孔明：哦，這樣就可以算出 AB，這個(gè)問(wèn)題就可以解決了 請(qǐng)根據(jù)上述對(duì)話，幫他們解答這個(gè)問(wèn)題考點(diǎn)點(diǎn)評(píng)此題結(jié)合三角形、矩形的相關(guān) 知識(shí)考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，用數(shù)形結(jié) 合的思路求得相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解 題的關(guān)鍵PEC分析(1)由于y是x的函數(shù)且過(guò)(12, 36)點(diǎn)，即AP=12時(shí)，矩形的面

9、積為 36，可求出PQ的長(zhǎng), 進(jìn)而在直角三角形 BPQ中得出BP的值，根據(jù) AB=AP+B唧可求出AB的長(zhǎng).(2)與(1)類(lèi)似，可先用 AP表示出BP的長(zhǎng)，然后在直角三角形 BPQ中，表示出PQ的長(zhǎng)；根據(jù)矩形的 面積計(jì)算方法即可得出關(guān)于 y , x的函數(shù)關(guān)系式然后可根據(jù)得出的函數(shù)的性質(zhì)求出矩形的最大面積以與 此時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值.跟蹤練習(xí)如圖，與X軸交于點(diǎn)A(1,0)和B(5,0)的拋物線h的頂點(diǎn)為C(3,4)，拋物線12與li關(guān) 于x軸對(duì)稱(chēng)，頂點(diǎn)為C .(1) 求拋物線12的函數(shù)關(guān)系式；(2) 原點(diǎn)O，定點(diǎn)D(0,4) , 12上的點(diǎn)P與li 上的點(diǎn)P始終關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，那么當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng) 到何處時(shí)，

10、以點(diǎn)D, O, P, P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？(3) 在12上是否存在點(diǎn)M，使 ABM是以AB為斜邊且一個(gè)角為30的直角三角形？假設(shè)存， 求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由.【例4】 如圖，在矩形OABC中，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A(4,0) C(0,) , D為OA的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P 是 AOC平分線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn) O重合).(1) 試證明：無(wú)論點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)到何處，PC總與PD相等；(2) 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)B的距離最小時(shí)，試確 定過(guò)O、P、D三點(diǎn)的拋物線的解析式；(3) 設(shè)點(diǎn)E是(2)中所確定拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，PDE的周長(zhǎng)最??？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)和 PDE的周長(zhǎng)；(

11、4) 設(shè)點(diǎn)N是矩形OABC的對(duì)稱(chēng)中心，是否存在點(diǎn) P，使 CPN 90° ?假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出 點(diǎn)P的坐標(biāo).PEC分析此題綜合考查了三角形全等、一次函數(shù)、二次函數(shù)，與線段最短和探索性的問(wèn)題.(1) 通過(guò) P03 POD而證得 PC=PD.(2) 首先要確定P點(diǎn)的位置，再求出P、F兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求的拋物線解析式；(3) 此問(wèn)首先利用對(duì)稱(chēng)性確定出P點(diǎn)位置是EC與/ AOC的平分線的交點(diǎn)，再利用拋物線與 直線CE的解析式求出交點(diǎn)P的坐標(biāo).進(jìn)而求的 PED的周長(zhǎng)；(4) 要使/ CPN=90 °，貝U P點(diǎn)是以CN的中點(diǎn)為圓心以CN為直徑的圓與角平分線的交點(diǎn)，由 此就易

12、于寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo).【例5】 如圖，拋物線h : y x2 4的圖象與x軸相交于A、C兩點(diǎn)，B是拋物線h上的動(dòng)點(diǎn)(B不與 A、C重合)，拋物線12與li關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，以AC為對(duì)角線的平行四邊形 ABCD的第四個(gè)頂點(diǎn)為 D .(1 )求12的解析式；(2) 求證：點(diǎn)D 一定在12 上;(3) 平行四邊形 ABCD能否為矩形？如果能為矩形，求這些矩形公共局部的面積(假設(shè)只有一個(gè) 矩形符合條件，那么求此矩形的面積)；如果不能為矩形，請(qǐng)說(shuō)明理由.(注：計(jì)算結(jié)果不取 近似值.)2y=x2-4PEC分析(1)根據(jù)11的解析式可求11與x軸的交點(diǎn)為A (-2 , 0), C( 2, 0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0, -

13、4 ), 12與l1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，實(shí)際上是l2與l1的頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，即l2的頂點(diǎn)為(0, 4),設(shè)頂點(diǎn)式，可 求拋物線12的解析式；(2) 平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形， A、C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，那么 B、D也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，設(shè)點(diǎn) B(m, n),那么點(diǎn) D (-m, -n )，由于 B (m, n)點(diǎn)是 y=x2-4 上任意一點(diǎn)，那么 n=m2-4,. -n=- (m2-4) =-m2+4=- (-m) 2+4, 可知點(diǎn)D (-m, -n)在l2y=-x2+4 的圖象上；(3) 構(gòu)造/ ABC=90是關(guān)鍵，連接 OB只要證明 OB=OC即可，為求 OB長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)B作BHL x軸于H,用B 的坐標(biāo)為(

14、x0, x02-4 )，可求 OB用OB=O(求x0,再計(jì)算面積.跟蹤練習(xí)如圖，拋物線 G與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次是 A 4 , 0 , B 2 , 0 , E 0 ,8 .(1 )求拋物線G關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的拋物線 C2的解析式；(2)設(shè)拋物線G的頂點(diǎn)為M，拋物線C2與x軸分別交于C , D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè))，頂點(diǎn)為N，四邊形MDNA的面積為S .假設(shè)點(diǎn)A，點(diǎn)D同時(shí)以每秒1個(gè)單位的速度沿水平方向分別向右、向左運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)M，點(diǎn)N同時(shí)以每秒2個(gè)單位的速度沿堅(jiān)直方向分別向下、向上運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)A與點(diǎn)D重合為止.求出四邊形MDNA的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的關(guān)系式, 并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；(3)

15、 當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形 MDNA的面積S有最大值，并求出此最大值;t的值；假設(shè)不能，說(shuō)明理由.(4) 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形 MDNA能否形成矩形？假設(shè)能，求出此時(shí)三、課堂一試1. 如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P為函數(shù)y -x2在第一象限內(nèi)的圖象上的任一點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為0, 1 ,4直線I過(guò)B 0 , 1且與x軸平行，過(guò)P作y軸的平行線分別交 x軸、直線I于C、Q ,連結(jié)AQ交x軸于H , 直線PH交y軸于R .求證：H點(diǎn)為線段AQ的中點(diǎn)； 求證：四邊形 APQR為菱形；1 除P點(diǎn)外，直線PH與拋物線yx2有無(wú)其它公共點(diǎn)？假設(shè)有，求出其它公共點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)沒(méi)4有，請(qǐng)說(shuō)明理由.2.如圖，在平面直

16、角坐標(biāo)系內(nèi)，以y軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線經(jīng)過(guò)直線2與y軸的交點(diǎn)A和點(diǎn)(1 )求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的關(guān)系式；(2 )將(1)中所求拋物線沿x軸平移. 在題目所給的圖中畫(huà)出沿 x軸平移后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線大致圖象； 設(shè)沿x軸平移后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線對(duì)稱(chēng)軸與直線AB相交于C點(diǎn)判斷以O(shè)為圓心，OC為半徑的圓與直線 AB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；求P點(diǎn)的坐標(biāo)，使得以O(shè)、A C、P(3) P點(diǎn)是沿x軸平移后經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)。四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.y3.如下列圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形 ABOC的邊BO在x軸的負(fù)半軸上，邊 0C在y軸的正半軸上，且 AB 1，0B 3，矩形ABOC繞點(diǎn)0

17、按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60后得到矩形EFOD 點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) E , 點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) F，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) D，拋物線y ax2 bx c過(guò)點(diǎn)A , E , D .(1) 判斷點(diǎn)E是否在y軸上，并說(shuō)明理由；(2) 求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(3) 在x軸的上方是否存在點(diǎn) P，點(diǎn)Q，使以點(diǎn)0 , B , P , Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積是矩 形ABOC面積的2倍，且點(diǎn)P在拋物線上，假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P，點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在， 請(qǐng)說(shuō)明理由. 2 4.如圖10,拋物線P: y=ax +bx+c(a工0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸的正半軸上), 與y軸交于點(diǎn)C,矩形DEFG勺一條邊DE在線段AB

18、上，頂點(diǎn)F、G分別在線段BC AC上，拋物線P上局部點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)如下:x-3-212y52-4520(1)求A B、C三點(diǎn)的坐標(biāo);-EDAOr 11圖10(2) 假設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m, 0)，矩形DEFG勺面積為S,求S與m的函數(shù)關(guān)系，并指出m的 取值范圍；(3) 當(dāng)矩形DEFG勺面積S取最大值時(shí)，連接DF并延長(zhǎng)至點(diǎn)M使FM=kDF,假設(shè)點(diǎn)M不 在拋物線P上，求k的取值范圍.5. 如圖，平面直角坐標(biāo)系中有一直角梯形OMNH點(diǎn)H的坐標(biāo)為(一8，0)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(一6， 4).(1) 畫(huà)出直角梯形 OMN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°的圖形OABC并寫(xiě)出頂點(diǎn) A，B, C的坐標(biāo)(點(diǎn)M的對(duì)

19、應(yīng)點(diǎn) 為A 點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C);(2) 求出過(guò)A，B, C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；(3) 截取CE=OF=AG=m且E, F, G分別在線段 CQ OA AB上，求四邊形 BEFG勺面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；面積 S是否存在最小值？假設(shè)存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由;(4) 在(3)的情況下，四邊形 BEFG是否存在鄰邊相等的情況，假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)m的值,并指出相等的鄰邊；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由.6. 如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，有一張矩形紙片QABC Q0, 0) , A(4 , 0), C(0 , 3)，點(diǎn)P是QA邊上的動(dòng)點(diǎn)

20、(與點(diǎn)Q A不重合)現(xiàn)將 PAB沿PB翻折，得到 PDB再在QC邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn) E, 將厶PO曰沿PE翻折，得到 PFE并使直線 PD PF重合.(1) 設(shè)F(x, 0) , E(0 , y)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求 y的最大值； 如圖2,假設(shè)翻折后點(diǎn)D落在BC邊上，求過(guò)點(diǎn)P、B、E的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；(3) 在(2)的情況下，在該拋物線上是否存在點(diǎn)Q使厶PEC是以PE為直角邊的直角三角形？假設(shè)不存在，說(shuō)明理由；假設(shè)存在，求出點(diǎn) Q的坐標(biāo).四、課后有練1.如圖，矩形 ABCDh AB= 3，BC= 4，將矩形ABC沿對(duì)角線A平移，平移后的矩形為 EFGH A、E、C G 始終在同一條直線上)，當(dāng)點(diǎn)E與C重時(shí)停止移動(dòng).平移中EF與BC交于點(diǎn)N GHW BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) M EH與DC交于點(diǎn)P, FG與 DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) Q設(shè)S表示矩形PCM的面積，S表示矩形NFQC勺面積.(1) S與S相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.(2) 設(shè)AE= x,寫(xiě)出S和x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出 x取何